Statistiques à deux variables NP 2021   

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Statistique à deux variables NP 2021 Page 1 sur 7

Statistiques à deux variables NP 2021

I) Rappels de première :

 Une série statistique qui possède ……… est dite ………

………. Ces valeurs sont de la forme ……….

Pour représenter graphiquement une série statistique à deux variables, on place les points

……… dans un ……….

L’ensemble des points est appelé ………. On peut déterminer un point moyen G( x ; y ).

Lorsque les points d’un nuage de points paraissent presque alignés, il existe une relation (………) entre les deux variables. On peut réaliser un ………, c'est-à-dire tracer ……… qui passe par le ………et qui ………

……….

 En utilisant les TIC (techniques informatique de calculs), on peut juger de la qualité d’une

……… en calculant ……….

Une corrélation est forte quand r

²

se rapproche de …….

 L’ajustement affine donnant une ………, on peut l’utiliser pour faire …………

……… sur d’autres valeurs que celles observées.

On dit qu’on ……… quand on cherche une valeur ……… de l’intervalle des valeurs

étudiées et qu’on ……… quand on cherche une valeur ……… l’intervalle des valeurs étudiées.

II) Courbe de tendance :

Une plate forme de films en streaming vient d’entamer sa cinquième année. L’évolution du nombre d’abonnés dans le monde est donnée dans le tableau suivant :

Rang de l’année Nombre d’abonnés (en millions)

1 71

2 89

3 110

4 139

5 167

A partir de la calculatrice, faire apparaitre le nuage de points correspondant à cette série statistique à deux variables.

Donner l’équation de la droite de régression ainsi que le coefficient r

²

(Arrondir r

²

au dix

millième).

(2)

………

Si la courbe d’abonnés se poursuit en ce sens quel pourrait être le nombre d’abonnés : - dans deux ans ?

- dans cinq ans ?

………

Le choix de ce mode d’ajustement était-il le meilleur ? Déterminer r

²

pour un ajustement polynomial de degré 2.

On identifie le symbole d’ajustement polynomial de degré 2 sur : - Une casio par le symbole

- Une T.I. par le symbole ou

r

²

= ………

Déterminer r

²

pour un ajustement polynomial de degré 3.

On identifie le symbole d’ajustement polynomial de degré 3 sur : - Une casio par le symbole

- Une T.I. par le symbole ou r

²

= ………

Quel est le meilleur ajustement ? ………

……….

Ecrire l’équation de la courbe d’ajustement choisi (arrondir les coefficients au centième si nécessaire): ……….

Puisque la courbe d’abonnés ne correspond pas à une régression linéaire. Refaire les calculs afin d’obtenir le nombre d’abonnés dans deux ans puis dans cinq ans (Penser à utiliser le mode tableau de votre calculatrice).

………

On constate que les valeurs sont différentes des précédentes, il est donc nécessaire

d’obtenir une courbe de tendance pour laquelle le coefficient r

²

est le plus proche possible de 1.

III) Modèle d’ajustement :

L’observation des points tracés par un outil graphique (calculatrice ou logiciel) nous permet

de déterminer le modèle d’ajustement le plus approprié. Ce modèle est choisi en observant la

forme du nuage de points parmi les ajustements suivants :

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Affine : y = ax + b Polynomial d’ordre 2 : y = ax

²

+ bx + c

Polynomial d’ordre 3 : y = ax

³

+ bx

²

+ cx + d Logarithmique : y = a.lnx + b

Exponentiel : y = a.b

^x

ou y = a.e

^bx

Puissance : y = a

^x

x y

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Remarque : Lorsque l’on choisit un ajustement polynomial, on peut remarquer que plus l’ordre grandit, plus la valeur de r

²

se rapproche de 1. On obtient de ce fait des fonctions plus compliquées. Il faudra plus regarder l’allure de la courbe pour faire son choix.

IV) Exercices :

Exercice résolu : On donne la série statistique quantitative à deux variables suivante.

x

i

2 3 4 7 11 14

y

i

12 14,8 17,3 22,8 24,2 21,8

a) Représenter la série statistique par un nuage de points à l’aide de la calculatrice.

CASIO T.I. NUMWORKS

Cette calculatrice propose une régression linéaire par défaut

b) Choisir l’ajustement le plus approprié pour cette série.

L’allure de la courbe nous incite à choisir une fonction polynomiale d’ordre deux.

c) Donner l’expression de cette fonction en arrondissant les coefficients de la fonction au centième. Donner la valeur de r

²

(arrondir au millième).

CASIO T.I. NUMWORKS

Lorsque le curseur est sur la courbe, on clique sur puis on sélectionne

.

y = -0,19x

²

+ 3,82x + 5,07 r

²

= 0,999

d) Déterminer la valeur de y (arrondie au dixième) si x vaut 9. Précisez s’il s’agit d’une interpolation ou d’une extrapolation.

Il s’agit d’une interpolation (x se situe à l’interrieur du tableau). En effet, utilisons le mode

tableau de la calculatrice afin d’éviter de nombreux calculs.

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CASIO T.I. NUMWORKS

Si x = 9 alors y = 24,1.

e) Déterminer la valeur de x inférieure à 10 (arrondie au dixième) si y = 20. Pour cela tracer la fonction obtenue précédemment et déterminer le point d’intersection avec la fonction y = 20.

CASIO T.I. NUMWORKS

On se positionne sur graphique puis

Si y = 20 alors x = 5,3. (Résolution graphique) Exercice N°1 :

On donne la série statistique quantitative à deux variables suivante.

x

i

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

y

i

25,85 26,71 27,18 26,95 26,35

a) Représenter la série statistique par un nuage de points à l’aide de la calculatrice.

b) Choisir l’ajustement le plus approprié pour cette série, vous indiquerez la valeur de r

²

.

Les coefficients seronts arrondis au centième et r

²

au millième.

(6)

………

c) Par interpollation, déterminer la valeur de y (arrondie au centième) qui correspond à x

= 0,6. Par extrapollation, déterminer la valeur de y (arrondie au centième) qui correspond à x = 1,2.

………

d) Représenter graphiquement la fonction précédente sur [0 ; 1,6]. Déterminer sur [0 ; 0,7] la valeur de x (arrondie au centième) qui correspond à y = 26.

………

Exercice N°2 :

L’accompagnement du « très grand âge » devient un problème de société. Si en 2020 en France, on compte environ 21 000 centenaires, une étude prévoit qu’ils seront plus de 270 000 à l’horizon 2070.

On dispose des statistiques suivantes :

Année 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

Rang de l’année 1 2 3 4 5 6 7

Nombre de

centenaires 976 1 123 1 544 3 761 8 062 14 505 20 943 a) Représenter graphiquement le nuage de points (Rang de l’année ; Nombre de

centenaires).

b) Déterminer le meilleur ajustement après avoir précisé sa nature (arrondir les coefficients au centième et r

²

au millième).

………

c) Calculer le nombre de centenaires en 2030. (Attention avec la casio, il vaut mieux se positionner sur le nombre affiché dans le tableau car cette dernière fait une

troncature et non un arrondi.)

………

d) Cet ajustement confirme-t-il la prévision de 270 000 centenaire en 2070 ?

………

e) Les statisticiens préfèrent utiliser un ajustement exponentiel de la forme y = ae

^bx

. (avec la Casio ou la Numworks) et de la forme y = a.(b

^x

) (avec la Casio ou la T.I.).

Donner l’équation de cet ajustement (les coefficients seront arrondis au centième).

………

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f) Combien la France comptera de centenaires en utilisant le modèle y = ae

^0,57x

. (Attention avec la casio, il vaut mieux se positionner sur le nombre affiché dans le tableau car cette dernière fait une troncature et non un arrondi.)

Utiliser la fonction tableau de la calculatrice. (Avec une Casio, on exprime e

^x

avec les touches . Avec une T.I., on utilise les touches . Avec la numworks .)

………

Exercice N°3 :

Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’abonnés d’un compte que Jules a créé sur les réseaux sociaux.

Nombre de

semaines 1 2 3 4 5

Nombre

d’abonnés 152 178 209 256 296

a) Réaliser l’ajustement affine du nuage de points (Nombre de semaines ; Nombre d’abonnés). Donner l’équation de la droite d’ajustement et la valeur de r

²

arrondie au millième.

………

b) Selon cette tendance, Jules aura combien d’abonnés la sixième semaine ?

………

c) Dans combien de semaines les 500 abonnés pourraient être dépassés ?

………

d) Son amie pense qu’un ajustement parabolique est plus adapté. Réaliser l’ajustement parabolique en donnant les coefficients au centième près et la valeur de r

²