Placer ci-contre les points Aet B d’affixe zA= eiπ3 etzB = 2e−i3π4

(1)

T8 DS 5 : Espace, Forme exponentielle exponentielle et Suite Correction 26 janvier 2018

Exercice 1 : Exercices classiques (20 minutes) (3 points)

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;~u;~v), on a tracé le cercle trigonométrique.

1. ´Ecrire 3eⁱ^π³ et eⁱ^π²

eⁱ^π⁴ sous forme alg´ebrique.

2. ´Ecrire 3−3iet (3−3i)³ sous forme exponentielle.

3. R´epondre par vrai ou faux :

L’ensemble des points du plan d’affixeztels que

|z−4|=|z+ 2i|est une droite qui passe parA d’affixe 3i.

4. Placer ci-contre les points Aet B d’affixe z_A= eⁱ^π³ etz_B = 2e⁻ⁱ^3π⁴ .

O A

B

~ u

~ v

Solution:

1. 3eⁱ^π³ = 3¹₂ +i

√ 2 2

= ³₂ +i³

√ 2 2 et eⁱ^π²

eⁱ^π⁴ = eⁱ^π⁴ =

√ 2 2 +

√ 2 2 i 2. 3−3i= 3√

2e⁻ⁱ^π⁴ et (3 + 3i)³ = 18√ 2e⁻ⁱ^3π⁴

3. L’ensemble des points du plan d’affixe z tels que |z−4| = |z+ 2i| est la m´ediatrice des points d’affixe 4 et−2i.|4−3i|² = 16 + 9 = 25 et|3i+ 2i|² = 25. DoncAappartient `a cette droite. Donc Vraie.

4. Voir graphique

Exercice 2 : Suite (30 minutes) (5 points)

On cherche à modéliser de deux fa¸cons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers fran¸cais possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l’année.

Soit u_n le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’annéen.

On posen= 0 en 2005,u0 = 1 et, pour tout n>0, u_n+1= 1

10u_n(20−u_n). 1. Soit f la fonction d´efinie sur [0 ; 20] par

f(x) = 1

10x(20−x).

(a) ´Etudier les variations def sur [0 ; 20].

(b) En d´eduire que pour tout x∈[0 ; 20], f(x)∈[0 ; 10].

(c) On donne enannexe la courbe repr´esentativeC de la fonctionf dans un rep`ere orthonormal.

Repr´esenter, sur l’axe des abscisses, `a l’aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite (un)_n_>₀.

2. Montrer par r´ecurrence que pour tout n∈N, 06u_n6u_n+1610.

3. Montrer que la suite (un)_n_>₀ est convergente et d´eterminer sa limite.

Solution:

1. (a) On af(x) = 2x−x²

10, doncf⁰(x) = 2−x

5. On a f⁰(x) 60 ⇐⇒ x610 etf⁰(x)>0 ⇐⇒

x>10. La fonction f est donc croissante sur [0 ; 10] et d´ecroissante sur [10 ; 20].

(b) Sur [0 ; 20], le maximum def est doncf(10) = 10, f(0) = 0 etf(20) = 0 sont les minimums de f.

On a donc quel que soit x∈[0 ; 20], f(x)∈[0 ; 10].

(2)

(c) Voir ci-dessous.

2. Initialisation : On a u₁=f(u₀) =f(1) = 2−0,1 = 1,9 On a bien 06u06u1 610.

Hérédité : soit un natureln et supposons que 06un6un+1610.

On a vu que sur l’intervalle [0 ; 10], le fonction f est croissante, donc 6un6un+1 ⇒f(un)6f(un+1) ⇐⇒ un+16un+2.

De plus d’apr`es la question 1. b. quel que soit un nombre dans l’intervalle [0 ; 20] et a fortiori dans l’intervalle [0 ; 10], son image par f et elle aussi dans l’intervalle [0 ; 10]. On a donc bien 06un+1 6un+2 610.

La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang n, elle est vraie au rang n+ 1 ; on a démontré par récurrence que pour toutn∈N, 06u_n6u_n+1610.

3. On vient en fait de démontrer que la suite (u_n)_n_>₀ est croissante. Comme elle majorée par 10, elle converge vers une limiteìnférieure ou égale à 10.

Comme la fonctionf est continue on obtient par passage `a la limite :

`= 2`− `²

10 ⇐⇒ 10`−`² = 0 ⇐⇒ `(10−`) = 0 ⇐⇒ `= 0 ou `= 10.

`= 0 n’est pas possible car u0 =`et la suite est croissante.

Donc lim

n→+∞un= 10.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 f

Exercice 3 : Exercice sur l’espace (45 minutes) (7 points)

Soit ABCDEF un prisme droit , donn´e en annexe, ABDE, BCEF et ACDF sont des rectangles.

On d´efinit le rep`ere (A;−−→

AB;−−→

AC;−−→

AD).

1) Sur l’annexe, placer I milieu de [AB], J milieu de [BE] et K tel que −−→

AK = 1 4

−−→AC.

2) Donner les coordonnées des sommets du prisme, puis déterminer les coordonnées des points I, J et K.

3) Déterminer une équation paramétrique de la droite (IJ).

On admet que la droite (DE) a pour repr´esentation param´etrique







x = t⁰ y = 0 z = 1

, t⁰ ∈R. 4) Montrer que les droites (DE) et (IJ) sont s´ecantes en un point L.

Pour la suite, on admettra que L a pour coordonn´ees^Ä³₂; 0; 1^ä. 5) Placer M^Ä0;³₄; 1^ä. Sur quelle arˆete se trouve le point M ? 6) Montrer que les points I, J, K et M sont coplanaires.

7) Justifier que (LM) est l’intersection des plans (FDE) et (IJK), puis d´emontrer que (LM) est parall`ele

` a (IK).

(3)

T8 DS 5 Page 3 sur 5 8) Construire la section du prisme par (IJK) en laissant uniquement les traits de construction sans

justification.

A

B

C D

E

F

Solution:

1.

A

B

C D

E

F

K I J

p q

L

M r

N

2. I(¹₂; 0; 0), J(1; 0;¹₂) et K(0;¹₄; 0) 3. Un vecteur directeur est −→

IJ^Ä¹₂; 0;¹₂^ä. Donc (IJ) :











x= ¹₂ +¹₂t y= 0 z= ¹₂t

, t∈R.

4. R´esolvons l’´equation :











1

2+¹₂t=t⁰ 0 = 0

1 2t= 1

⇔









 t⁰ = ³₂ 0 = 0 t= 2

. Les droites sont donc s´ecantes en un pointL^Ä³₂; 0; 1^ä. 5. Voir figure

6. Nous remarquons que 2−→

IJ+ 3−→

IK =−−→ IM;

7. M appartient `a la droite (DF), doncM appartient `a la droite (F DE). On a donc (LM) inclus dans (F DE) et dans (IJ K) donc (LM) est l’intersection des deux plans.

Un vecteur directeur de (LM) est−−→

LM^Ä−³₂;³₄; 0^ä. Un vecteur directeur de (IK) est−→

IK^Ä−¹₂;¹₄; 0^ä. On a −−→

LM = 3−→

IK.

Donc les droites (LM) et (IK) sont parall`eles.

(4)

T8 DS 5 Page 4 sur 5 8. Voir figure.

Exercice 4 : Prise d’initiative sur les complexes (20 minutes) (4 points) Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonorm´e direct O, −→

u , −→

v, on consid`ere les points A et B d’affixes respectives z_A= 2eⁱ^π⁴ etz_B= 2eⁱ^3π⁴

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE4 3 points

Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct! O ;−→

u,−→ v"

, on consi- dère les points A et B d’affixes respectiveszA=2eⁱ^π⁴ etzB=2eⁱ^3π⁴

−1 1 2

1 2

−1

A B

−

→u

−

→v O

1. Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.

2. On considère l’équation

(E) :z²−#

6z+2=0.

Montrer qu’une des solutions de (E) est l’affixe d’un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un biologiste souhaite étudier l’évolution de la population d’une espèce animale dans une réserve.

Cette population est estimée à 12 000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60 000 individus.

Partie A : un premier modèle

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an.

L’évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite (vn) oùvn

représente le nombre d’individus, exprimé en milliers, en 2016+n. On a donc v0=12.

1. Déterminer la nature de la suite (vn) et donner l’expression devnen fonction den.

2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel?

Partie B : un second modèle

Le biologiste modélise ensuite l’évolution annuelle de la population par une suite (u_n) définie paru₀=12 et, pour tout entier natureln, u_n+1= −1,1

605u_n²+1,1u_n. 1. On considère la fonctiongdéfinie surRpar

g(x)= −1,1

605x²+1,1x.

Amérique du Sud 4 21 novembre 2017

1. Montrer que OAB est un triangle rectangle isoc`ele.

2. On consid`ere l’´equation

(E) : z²−√

6z+ 2 = 0.

Montrer qu’une des solutions de (E) est l’affixe d’un point situ´e sur le cercle circonscrit au triangle OAB.

Solution:

Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonorm´e directO, −→ u , −→

v, on consid`ere les points A et B d’affixes respectives z_A= 2eⁱ^π⁴ etz_B= 2eⁱ^3π⁴

A. P. M. E. P.

1. a. Ce choix de modélisation est pertinent car on a trouvé une moyenne de 140,21 et un écart- type de 19,16 dans lapartie A.

b. À la calculatrice, on trouvep=P(X!¹⁶⁰⁾≈0,146.

2. Lors de l’inspection d’une laiterie, l’organisme de contrôle sanitaire analyse un échantillon de 50 prélèvements de 1 ml de crème fraîche dans la production de cette laiterie ; 13 prélèvements contiennent plus de 160 milliers de bactéries, ce qui fait une fréquence def =13

50=0,26.

a. Pour voir s’il y a une anomalie dans la production avec une probabilité de 0,05 de se tromper, on va utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

n=50!^30,^np=50×0,146=7,3!^{5 et}ⁿ⁽¹−p)=50×(1−0,146)=42,7!5 donc les condi- tions pour qu’on détermine l’intervalle de fluctuation sont vérifiées :

I95=

! p−1,96

"

p(1−p)

$n ,p+1,96

"

p(1−p)

$n

#

=

!

0,146−1,96

"

0,146(1−0,146)

$50 , 0,146+1,96

"

0,146(1−0,146)

$50

#

≈[0,048 ; 0,244] La fréquence f =0,26 trouvée dans l’échantillon n’appartient pas à l’intervalleI95donc on peut supposer qu’il y a une anomalie dans la production avec une probabilité proche de 0,05 de se tromper.

b. Avec une probabilité de 0,01 de se tromper, il faut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99 % que l’on obtient en remplaçant dans l’intervalle précédentu0,05=1,96 paru0,01=2,58 :

I99=

! p−2.58

"

p(1−p)

$n ,p+2.58

"

p(1−p)

$n

#

=

!

0,146−2,58

"

0,146(1−0,146)

$50 , 0,146+2,58

"

0,146(1−0,146)

$50

#

≈[0,017 ; 0,275] La fréquence calculée de 0,26 dans l’échantillon appartient à l’intervalleI99donc l’organisme n’aurait pas pu affirmer qu’il y avait une anomalie avec une probabilité proche de 0,01 de se tromper.

Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct$

O ;−→u,−→v%

, on considère les points A et B d’affixes respectivesz_A=2eⁱ^π⁴ etz_B=2eⁱ^3π⁴

−1 1 2

1 2

−1

A

B C

−

→u

$2

$2 2

−^$₂²

$6 2

−

→v O

M2

M1

Amérique du Sud 4 21 novembre 2017

1.

M´ethode 1

• On a OA =|z_A|= 2 ; de mˆeme

• OB =|z_B|= 2. OA = OB : le triangle est isoc`ele en O.

• On a AOB = argz[ _B−argz_A= 3π 4 −π

4 = 2π 4 = π

2 : le triangle est rectangle en O.

Conclusion : le triangle OAB est rectangle isoc`ele en O.

M´ethode 2

• On a OA =|z_A|= 2 ;

(5)

T8 DS 5 Page 5 sur 5

• OB =|z_B|= 2 ; on a donc OA = OB = 2 : le triangle OAB est isoc`ele en O ;

• AB =|z_B−z_A|=2eⁱ^3π⁴ −2eⁱ^π⁴=2eⁱ^3π⁴ −eⁱ^π⁴= 2eⁱ^3π⁴ −eⁱ^π⁴= 2eⁱ^π⁴ ^Äeⁱ^π² −1^ä.

Or eⁱ^π² = i, donc puisqueeⁱ^π⁴= 1 : OA = 2|i−1|= 2√

1²+ 1²= 2√

2. On a donc : OA²+ OB² = 2²+ 2² = 8 et

AB² =^Ä2√

2^ä²= 2²×2 = 8.

Donc OA²+ OB²= AB² = 8 : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en O.

M´ethode 3

On a z_B= 2eⁱ^3π⁴ = 2eⁱ(^2π₄⁺^3π₄ ) = 2eⁱ(^π₂⁺^3π₄) = 2eⁱ^π² ×eⁱ^π⁴.

Donc z_B= iz_A; en exploitant cette ´egalit´e en termes de modules et d’arguments :

• |z_B|=|iz_A|=|i× |z_A|, donc|z_B|=|z_A|, soit OB = OA ;

• argz_B = argi + argz_A, soit argz_B = π

2 + argz_A, ce qui signifie que −−→

OA ; −−→

OB= π

2. Le triangle OAB est rectangle en O.

2. D’après la question précédente le triangle AOB est inscrit dans le cercle centré au milieu de [AB], soit en C d’affixe zA+zB

2 = 2eⁱ^π⁴ + 2eⁱ^3π⁴

2 = eⁱ^π⁴ + eⁱ^3π⁴ . On sait que eⁱ^π⁴ = cos^π₄ + i sin^π₄ =

√2 2 + i

√2 2 et eⁱ^3π⁴ = cos^3π₄ + i sin^3π₄ =−

√ 2 2 + i

√ 2 2 , donc z_C=

√2 2 + i

√2 2 −

√2 2 + i

√2 2 = i√

2.

Rem. On pouvait aussi calculer :

eⁱ^π⁴ + eⁱ^3π⁴ = eⁱ^π⁴ ^Ä1 + eⁱ^π²^ä= eⁱ^π⁴ (1 + i) =

√2 2 + i

√2 2

(1 + i) =

√2 2 + i

√2 2 −

√2 2 = i√

2.

On a donc CO =|CO|=√ 2.

Le cercle circonscrit au triangle OAB et donc centr´e en C et a pour rayon √ 2.

Equation (E) : on a ∆ = 6´ −8 =−2 =^Äi√ 2^ä².

Cette ´equation a donc deux solutions complexes conjugu´eesz1 etz2 affixes des pointsM1 etM2 :

• z₁=

√6−i√ 2

2 .

Le carr´e de la distance du point M1 d’affixez1 au point C est :

|z₁−z_C|² =

√6−i√ 2 2 −i√

2

=

√6−i3√ 2 2

2

= 6 4 +

Ç3√ 2 2

å2

= 3 2 + 9

2 = 6. Donc CM₁ =

√66=√ 2.

On pouvait ´eviter le calcul en remarquant qu’un point de partie imaginaire n´egative ne peut appartenir au cercle.

• z₂=

√6 + i√ 2

2 .

Le carr´e de la distance du point M2 d’affixez2 au point C est :

|z₂−z_C|² =

√6 + i√ 2 2 −i√

2

=

√6−i√ 2 2

2

= 6 4+2

4 = 8

4 = 2. Don CM₂ =√

2, donc le point M2 appartient au cercle circonscrit au triangle AOB