N ° SPÉCIAL B - 1 9 6 2 L A H O U I L L E B L A N C H E 8 2 7
Débit des puits cylindriques
pénétrant partiellement la nappe aquifère
Discharge f r o m cylindrical wells
penetrating partly into the water table
PAR J . B R I L L A N T ,
I N G É N I E U R E . M . P . , S O C I É T É « S O L É T A N C H E » , P A R I S
En terrain homogène et dans tes conditions de validité de la loi de Darcu, on démpntre que le débit d'un puitf, pénétrant line nappe captive d'épaisseur H sur une hauteur L = XH <H, peut
être évalué en toute rigueur par la formule de Dupuit relative au puits « complet » (L = H), à condition de prendre en compte un rayon équivalent Rs déterminé par ta relation :
eRe 4-mil
eR„
4 mL i/>.
Outre les grandeurs précédemment évoquées, l'équivalence fait intervenir ;
—• La base des logarithmes népériens e = 2,718 ...;
— Le rapport m3 — des perméabilités horizon- tale et verticale;
— Le rayon réel du puits — Rv — considéré comme négligeable;
— Le facteur correctif xSr (X), fonction connue de A, décroissant de : (e/y) = 1,525 (pour 1 = 0) à 1 (pour X = 1).
lt is shown that, given homogeneous soit and conditions in which Darcy's law applies, the dis- charge from a well sunk into a water table of depth H to a depth L = XH < H can be rigor- ously established by Dupuit's formula for a
"complète" well (L —. H), provided that an équivalent radius R B is taken into considéra- tion. This radius is determined by the relation:
eRt:
4 mH
eflp V A 4 mL
• MX)
In addition to the above values, the équivalence involves the following:
—• The natural logarithm base e = 2.718 ... ;
—• The horizontal/vertical perm,eabilily ratio m\-
— The true radius of the well Rv, taken as negligible;
-- The correction factor "i'CX), which is a known function of X, diminishing from, e/y = 1.525 (where X = 0) to 1 (where X = D.
L ' o b j e t d e c e t t e c o m m u n i c a t i o n e s t d e p r é - s e n t e r u n e n o u v e l l e f o r m u l e — p o u r é v a l u e r le d é b i t d e s p u i t s d i t s « i n c o m p l e t s » (afin d ' e x p r i - m e r q u ' i l s n ' a t t e i g n e n t p a s l a l i m i t e i n f é r i e u r e , r é p u t é e i m p e r m é a b l e , d e l a n a p p e a q u i f è r e ) .
L a f o r m u l e p e u t s ' i m p o s e r p a r u n e c e r t a i n e r i g u e u r ; n o u s d o n n e r o n s le p r i n c i p e d e l a d é - m o n s t r a t i o n a p r è s a v o i r s i t u é le c a d r e t h é o r i q u e d u p r o b l è m e , s a n s d i s s i m u l e r c e r t a i n e s difficultés p l u s o u m o i n s b i e n r é s o l u e s , m a i s s a n s e n t r e r n o n p l u s d a n s le d é t a i l d e c a l c u l s f a s t i d i e u x , o ù l ' h y d r a u l i q u e n ' e s t p a s s p é c i a l e m e n t e n c a u s e .
N o u s e s p é r o n s a i n s i p o u v o i r i n s i s t e r s u r d e s n o t i o n s p l u s p r o p r e s à l ' h y d r o l o g i e s o u t e r r a i n e ( s u r f a c e s l i b r e s e t a n i s o t r o p i e d e s t e r r a i n s a l l u - v i o n n a i r e s ) , e n t e n i r c o m p t e s a n s c o m p l i q u e r les c a l c u l s , et c o n f r o n t e r s u r u n e x e m p l e q u e l q u e s f o r m u l e s e x i s t a n t e s .
N o u s n o u s p l a ç o n s d a n s le c a d r e le p l u s s t r i c t d e l a loi d e D a r c y o ù le m i l i e u p o r e u x , h o m o - g è n e e t i s o t r o p e e s t e n t i è r e m e n t d é f i n i p a r s a p e r m é a b i l i t é à l ' e a u , K, é v a l u é e p a r u n e « v i -
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1962016
828 LA HOUILLE BLANCHE — N° SPÉCIAL B - 1962
F I G . 1 a F I G . 1 b F I G . 1 c
t e s s e », et n o u s c o n s i d é r o n s (fig. 1 a, 1 b, e t 1 c) u n e n a p p e c a p t i v e d r a i n é e p a r u n p u i t s c y l i n - d r i q u e v e r t i c a l d e h a u t e u r L e t r a y o n Rp o ù le r a b a t t e m e n t S n e d é p a s s e p a s la m i s e e n c h a r g e N d e l a n a p p e ; o n d i s p o s e d e d e u x f o r m u l e s c l a s s i q u e s :
— La formule de l'ellipsoïde e n l ' a b s e n c e d e s u b s t r a t u m (fig. 1 a) :
Q„>Q 2 K . K L S In 2 L / R „
d a n s l a q u e l l e le d é b i t d u p u i t s — Qp — e s t s o u s - e s t i m é p a r le d é b i t Q c o r r e s p o n d a n t a u m ê m e p u i t s l i m i t é a u d e m i - e l l i p s o ï d e i n s c r i t , d e f a i b l e r a y o n ( Rp) d e v a n t la l o n g u e u r (L) : il s ' a g i t p l u s p r é c i s é m e n t d ' u n c a s l i m i t e ( Rp/ L - » 0) o ù Q a u s s i b i e n q u e Q,, t e n d e n t v e r s z é r o , m a i s s o n t
« é q u i v a l e n t s » [ a v e c ( Q9/ Q ) - » 1 ] .
— L ' a u t r e e s t l a formule de Dupait (fig. 1 c ) , r i g o u r e u s e , p o u r u n p u i t s a t t e i g n a n t le s u b s t r a - t u m à l a p r o f o n d e u r H (•== L ) ;
. K H S In R / R „
où l ' é v a l u a t i o n d e QP e s t s u b o r d o n n é e à l ' i n t r o - d u c t i o n d ' u n e d o n n é e s u p p l é m e n t a i r e , le « r a y o n d ' a c t i o n » R, fini m a i s g r a n d p a r r a p p o r t à H, p a r l e q u e l o n a d m e t q u e t o u t s e p a s s e c o m m e si la n a p p e é t a i t a l i m e n t é e s a n s p e r t e d e c h a r g e p a r u n e r é s e r v e à n i v e a u fixe, b a i g n a n t c i r c u l a i r e - m e n t à c e t t e d i s t a n c e t o u t e l ' é p a i s s e u r d e l ' a q u i - f è r e .
*
E n p r e m i è r e é t a p e , o n r e p r e n d l a f o r m u l e d e l ' e l l i p s o ï d e d o n t le r a b a t t e m e n t e s t i d e n t i f i é (fig. 2) à c e l u i p r o v o q u é p a r le s e g m e n t 2 L (de p a r t e t d ' a u t r e d e l ' h o r i z o n t a l e r e p r é s e n t a n t le
« t o i t » e t l ' o r i g i n e d e s o r d o n n é e s ) , s e g m e n t
u n i f o r m é m e n t d r a i n é p a r le d é b i t 2 Q, c ' e s t - à - d i r e p a r u n e « l ' é p a r t i t i o n » c o n s t a n t e
q0 = ( Q / D
e t ce r a b a t t e m e n t é v a l u é e n A, à l a d i s t a n c e Rp, p a r l a s o m m e d e s i n f l u e n c e s é l é m e n t a i r e s :
dQ (= q0dz) 4 TCKO
o é t a n t l a d i s t a n c e d e s é l é m e n t s dz a u p o i n t A ( s u r l ' e l l i p s o ï d e ) o ù l ' o n c a l c u l e le r a b a t t e m e n t . E n p r é s e n c e d ' u n s u b s t r a t u m B , le r a b a t t e - m e n t a u m ê m e p o i n t p e u t ê t r e é v a l u é e n a j o u - t a n t l ' i n f l u e n c e d e t o u t e s les i m a g e s s u c c e s s i v e s d u s e g m e n t i n i t i a l p a r r a p p o r t a u « m i r o i r » B et s o n s y m é t r i q u e B ' . M a i s le r a b a t t e m e n t e n A, d o n t c h a q u e t e r m e c o r r e s p o n d à l ' i n f l u e n c e d ' u n c o u p l e d ' i m a g e s d ' i n d i c e n, se p r é s e n t e a l o r s s o u s la f o r m e d ' u n e s é r i e d e t e r m e g é n é r a l d ' o r - d r e [ l / n (—» o o ) ] , d o n c divergente.
P o u r o b t e n i r u n r a b a t t e m e n t fini, o n e s t a m e n é à t e n i r c o m p t e d e la r é a l i m e n t a t i o n à d i s - t a n c e finie, d o n t l ' i n f l u e n c e s e r a i d e n t i f i é e à celle d u d é b i t (•— 2 Q) u n i f o r m é m e n t r é p a r t i s u r c h a - q u e s u r f a c e c y l i n d r i q u e d e r a y o n Rœ e t h a u t e u r 2 H, o u , ce q u i r e v i e n t a u m ê m e , s u r c h a q u e s e g m e n t d e g é n é r a t r i c e t e l q u e GG'. L e u r e n s e m - b l e d o n n e l i e u à u n e d e u x i è m e s é r i e e n 1/n d o n t l a différence t e r m e à t e r m e a v e c la p r e m i è r e e s t u n e s é r i e convergente ( e n 1/n2). S a s o m m e p e u t ê t r e é v a l u é e s a n s difficulté e n f a i s a n t i n t e r v e n i r l a f o n c t i o n « f a c t o r i e l l e » g é n é r a l i s é e p o u r x q u e l c o n q u e ( n o n e n t i e r ) e t il v i e n t , t o u s c a l c u l s f a i t s , u n e f o r m u l e a n a l o g u e à l a f o r m u l e d e D u p u i t :
Q 2 i r . K H S In R „ / Xf l a v e c
X0 — = 4 H
I L
R 2 L"
( L / 2 H ) ! ' 2 L - ( - L / 2 H ) ! .H/L
N " SPÉCIAL B - 1 9 6 2 J. B R I L L A N T
o u , X0 défini p a r : 2 H
/ Tl \ H / L 2 L / ' a v e c :
<r>
P o u r L = L H
H :
' ( L / 2 H ) ! . ( — L / 2 H ) !
II/L
= 1 , X0 — Rj, e t o n r e t r o u v e l a f o r m u l e d e D u p u i t :
2 w . K H S Q = In R„/R;,
Q é t a n t a l o r s r i g o u r e u s e m e n t é g a l à Qp, o n en d é d u i t :
1° q u e la d i s t a n c e p r i s e e n c o m p t e p o u r l a r é a l i m e n t a t i o n ( R0) d o i t ê t r e i d e n t i f i é e a u
« r a y o n d ' a c t i o n » R d e la f o r m u l e d e D u p u i t ; 2° q u ' o n o b t i e n t d a n s l e c a s g é n é r a l (fig. 1 b, L < H ) u n e a p p r o x i m a t i o n s u r le d é b i t a u m o i n s
é g a l e à celle d e l ' e l l i p s o ï d e i n s c r i t à l ' é g a r d d u p u i t s c y l i n d r i q u e , e n s u b s t i t u a n t X0 à Rp. . . M a i s d a n s le c a d r e d e c e t t e a p p r o x i m a t i o n , il s e m b l e q u ' i l n ' y a i t p a s l i e u d e c o n s e r v e r le f a c t e u r <I>
égal à 1 p o u r L / H = 1 d o n t l e m a x i m u m ( p o u r L / H = 0) e s t l i m i t é à 2 / y = 1,1233 # 1.
D ' a i l l e u r s , si l ' o n n e se p r é o c c u p e q u e de l ' é q u i v a l e n c e e n t r e Qp ( d é b i t réel) et Q ( d é b i t é v a l u é ) à la l i m i t e < RP/ L ) - » 0, t o u t e s u b s t i t u - t i o n a X0 ( p o u r « fini) e s t t o u t a u s s i v a l a b l e s a n s q u e l ' u n e p u i s s e ê t r e p l u s p r é c i s é m e n t r e c o n n u e c o m m e « r a y o n é q u i v a l e n t » à s u b s t i t u e r â R„
d a n s le c a s l i m i t e . O n p e u t s u p p o s e r q u e c ' e s t à c a u s e d e c e t t e i n d é t e r m i n a t i o n , p l u s a p p a r e n t e q u e r é e l l e e n ce q u i c o n c e r n e l ' a p p r o x i m a t i o n d u d é b i t , q u e la f o r m u l e é t a b l i e s a n s g r a n d e dif- ficulté e t p a r u n p r o c e s s u s a s s e z n a t u r e l , n ' a p a s e n c o r e é t é p r o p o s é e . . . à n o t r e c o n n a i s s a n c e .
M a i s n o u s a l l o n s p o u v o i r p r é c i s e r le r a y o n é q u i v a l e n t : d a n s le c a s d ' u n e r é p a r t i t i o n l i n é a i r e qa = ( Q / L ) (isolée s u r u n s e u l s e g m e n t 2 L p o u r
8 3 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N " SPÉCIAL B - 1 9 6 2
fixer les i d é e s ) , o n p e u t c a l c u l e r à la d i s t a n c e Rp et à l ' o r d o n n é e z le r a b a t t e m e n t ( p r é c é d e m - m e n t é v a l u é à l ' o r d o n n é e z é r o ) s o u s la l'orme :
S ?0 =
2 * K In 2 L
R„ + In V I V L2 O n d i s t i n g u e a i n s i :
u n t e r m e fixe infini ( p o u r ( Rp/ L ) —> 0 :
2 w K
2 L R„
u n e fonction finie d e
_2<l
2 * K ZJI V I — z2/ L2
e t l ' i d é e v i e n t a s s e z n a t u r e l l e m e n t q u e l a « p a r - t i e p r i n c i p a l e infinie » d u r a b a t t e m e n t a u n i v e a u 2 p e u t ê t r e liée d e m a n i è r e p l u s g é n é r a l e à l a v a l e u r p r i s e a u m ê m e n i v e a u p a r u n e r é p a r t i - t i o n q f o n c t i o n d e z. O n d é m o n t r e e f f e c t i v e m e n t q u e l e r a b a t t e m e n t s o u s l ' i n f l u e n c e d e q (z) e s t de l a f o r m e :
2 « K
L
R„+ ( f o n c t i o n n e l l e finie d e q A v e c l a d i s t r i b u t i o n :
=) ? (z)
O n a u r a d o n c :
q0 In V I — z2/L2 In 2 L / R „
S ? JjL.
2 * K
2 L R„
g0Zn V I — ( z2/ L2) 2 wKZn (2 L / R ,
+ ZN ^ 3
) L
go 2 r c K
Rn Zn 2 L
R„ + «(«) L a d i s t r i b u t i o n c o n s i d é r é e — e n r e t r a n c h a n t à l a r é p a r t i t i o n c o n s t a n t e qu u n e r é p a r t i t i o n i n f i n i m e n t p e t i t e , p r o p o r t i o n n e l l e à l ' a c c r o i s s e - m e n t , e n t r e 0 et z, d u r a b a t t e m e n t p r o v o q u é p a r q0 — , n o u s d o n n e d o n c à l a d i s t a n c e Rp ( c ' e s t - à - d i r e s u r la s u r f a c e c y l i n d r i q u e d u p u i t s ) un rabattement infini constant à un infini- ment petit près, a u lieu d u r a b a t t e m e n t i n f i n i constant à une fonction finie près p o u r la r é p a r - t i t i o n q0; le m ê m e p r i n c i p e a p p l i q u é a u c a s
« a v e c s u b s t r a t u m », o n o b t i e n t s u c c e s s i v e m e n t :
— le d é b i t d u p u i t s e n n a p p e s e m i - i n d é f i n i e : 2 7T K L S
In 2 L (e = 2 , 7 1 8 . . . )
R , ( e / 2 ) (1 + %)
c ' e s t - à - d i r e { à l a l i m i t e s» —» 0 a v e c R„
0 le d é b i t c o r r e s p o n d a n t n o n p l u s à l ' e l l i p s o ï d e i n s c r i t ( d e r a y o n R^), m a i s à l ' e l l i p s o ï d e d e m ê m e h a u t e u r e t r a y o n ( e / 2 ) Rp (fig. 3) ; ce
« r a y o n é q u i v a l e n t d ' e l l i p s o ï d e » e s t d ' a i l l e u r s a u s s i b i e n v a l a b l e p o u r u n p u i t s à f o n d c r é p i n e q u ' à f o n d p l e i n , l a d i s t i n c t i o n n e d e v a n t a p p a - r a î t r e q u e d a n s l ' e x p r e s s i o n d e l ' i n f i n i m e n t p e t i t
F I G . 3
— e n p r é s e n c e d ' u n s u b s t r a t u m , u n e v a l e u r l i m i t e [ p o u r OR^/L) —»0] d u raj^on à s u b s t i t u e r d a n s l a f o r m u l e d e D u p u i t , r a y o n RE défini p a r :
4 H 4 L
H / L
w ( ±
\ H
L ' e x p r e s s i o n d e W ( L / H ) e s t a s s e z c o m p l i q u é e ; m a i s c o m p t e t e n u d e s e s l i m i t e s :
u n m a x i m u m (e/t) = 1,525 p o u r ( L / H ) = 0, u n m i n i m u m é g a l à 1, a v e c t a n g e n t e v e r t i c a l e , p o u r ( L / H ) = 1 le c a l c u l d e t r o i s p o i n t s n o u s a p a r u s u f f i s a n t p o u r d é t e r m i n e r W, a d m e t t r e l ' a j u s t e m e n t e l l i p t i q u e
log ¥ = 0,184 V I — L2/ H2 e t e n définitive, RH défini p a r :
4 H 4 L
H / L
1 0 0 , 1 8 4 \/i=i:vTf-~
Ici, n o u s a r r i v o n s a u x « difficultés m a l r é s o - l u e s » : q u e d e v i e n t le f a c t e u r W, o u s i l ' o n p r é - fère l a c o u r b e d ' é q u a t i o n :
Y = 0,184 V I — L V H2
a j u s t é e à « l o g * F » , p o u r d e s v a l e u r s p r a t i q u e s , p e t i t e s m a i s n o n n u l l e s , d e R „ / L ? L ' a n a l y s e n e
N° SPÉCIAL B - 1962 J. BRILLANT 8 3 1
n o u s a p a s p e r m i s d e p r é c i s e r g r a n d c h o s e à ce s u j e t s i n o n q u e :
1° A u v o i s i n a g e d e l ' o r i g i n e (fig. 4 ) , p o u r ( L / H ) - » 0) le s u p p l é m e n t d ' o r d o n n é e AY e s t lié à sp p a r :
A Y
= IL iog
(i +
S ) #J L . JL
et d e v i e n t d o n c infini s a u f p o u r sp r i g o u r e u s e - m e n t n u l , ce q u i n e s e m b l e p a s le c a s (et de t o u t e m a n i è r e c e r t a i n e m e n t p a s à la fois p o u r les p u i t s à f o n d p l e i n o u c r é p i n e ) . E n fait, il y a u n e p r é s o m p t i o n , c o n f i r m é e p a r « m o d è l e a n a l o g i - q u e », q u e A Y soit p o s i t i f a v e c f o n d c r é p i n e , n é g a t i f a v e c f o n d p l e i n et q u e l a c o u r b e log W s é p a r e d a n s c e t t e z o n e le d o m a i n e d e s d e u x « c a - t é g o r i e s » d e p u i t s .
2° A u c o n t r a i r e , a u v o i s i n a g e d e ( L / H ) = 1 (fig. 4 ) , les c o u r b e s r e l a t i v e s à ( R „ / L ) 0 d o i - v e n t a d m e t t r e d e s t a n g e n t e s n o n v e r t i c a l e s et p a s s e r toutes a u - d e s s o u s de l a c o u r b e Y = log W à t a n g e n t e v e r t i c a l e : s i n o n le r a y o n é q u i v a l e n t d ' u n p u i t s « presque complet » p o u r r a i t d e v e n i r légèrement supérieur à c e l u i d u p u i t s c o m p l e t .
P o u r e s s a y e r d ' e n s a v o i r u n p e u p l u s , n o u s a v o n s fait a p p e l à l ' a n a l o g i e é l e c t r i q u e ; le m o n -
F I G . 5
tage e s t r e l a t i v e m e n t s i m p l e (fig. 5 ) . L e s r é s i s - t a n c e s e n t r e é l e c t r o d e s - p u i t s e t les p a r o i s l a t é - r a l e s m é t a l l i q u e s de d e u x « c u v e s » de r a y o n R s o n t d a n s le r a p p o r t :
log R — log R„
l o g R — log RE
m e s u r é à l ' é q u i l i b r e d ' u n p o n t d e W h e a t s t o n c , p a r le r a p p o r t c o n n u M d e s r é s i s t a n c e s U et UK. O n e n d é d u i t RE p u i s :
c RE/ 4 H , . . n
-, r, A T S T T , T ' = I ( e x p é r i m e n t a l ) . ( e R „ / 4 L )H / L
O n c o n s t a t e s u r la figure 6 q u e les différentes
« f o r m e s » d e p o i n t s c o r r e s p o n d a n t à d e s v a l e u r s
8 3 2 L A H O U I L L E B L A N C H E N" SPÉCIAL B - 1 9 6 2
de R „ / L é c h e l o n n é e s d e 0,5 à 20 c e n t i è m e s (= 0,2) n e d o n n e n t p a s lieu à u n « c l a s s e m e n t » significatif; p a r c o n t r e l a s é p a r a t i o n d e s « points blancs » et d e s « points noirs » p o u r les p u i t s à fond crépine o u non e s t a s s e z n e t t e et l a c o u r b e s é p a r a t r i c e C p e u t d o n c ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e l e u r l i m i t e c o m m u n e p o u r ( Rp/ L ) —» 0, c ' e s t - à - d i r e c o m m e u n e a p p r o x i m a t i o n e x p é r i m e n t a l e d e l a c o u r b e l o g W q u i n e s e m b l e p a s t r o p m a u - v a i s e (vis-à-vis d e l a c o u r b e t h é o r i q u e ) , s u r l a p a r t i e d r o i t e d u g r a p h i q u e [ ( L / H ) > 0 , 4 ] . E n d e ç à [ ( L / H ) < 0 , 4 ] , l a c o u r b e C p a r a î t s'infléchir v e r s le b a s , s a n s d o u t e à c a u s e d e s r é s i s t a n c e s d e
c o n t a c t p r é p o n d é r a n t e s s u r les é l e c t r o d e s t r o p c o u r t e s .
N o u s r e t i e n d r o n s s u r t o u t q u e les é c a r t s e x p é - r i m e n t a u x a v e c la c o u r b e C r e p r é s e n t e n t p l u s o u m o i n s g r o s s i è r e m e n t les é c a r t s t h é o r i q u e s a v e c l a c o u r b e l o g W, p o u r d e s v a l e u r s ( Rp/ L ) < 0,2 et a t t e i g n e n t e n v i r o n :
0,04 p o u r ( L / H ) = 0,4 e t :
0,1 p o u r ( L / H ) = 0,2
N ° S P É C I A L B - 1 9 6 2 J . B R I L L A N T 833
E n c o n c l u s i o n , n o u s m a j o r o n s le l'acteur 0,184 (log e/y) d u t e r m e :
1 R „ H
~w
- ( = A Y, p o u r „ - ^ (l et v ' I • L - / I P = 1 L
L*5 V W
( a v e c l e s i g n e - j - p o u r l e s p u i t s à f o n d c r é p i n e et — p o u r l e f o n d p l e i n ) t e r m e q u i c o r r e s p o n d e f f e c t i v e m e n t
•— à l ' o r d r e d e g r a n d e u r d e s é c a r t s o b s e r v é s
p o u r ' - y2- < 0,2 e t = 0,4 o u 0,2
— e t à u n e e x p r e s s i o n d e e „ :
e . = d b 0,23 ^
d u p r e m i e r d e g r é e n Rp/h, d o n c a s s e z « n a t u - relle ».
E n d é f i n i t i v e , n o u s p r o p o s o n s l a f o r m u l e c o m - p l è t e :
ERG
4 H
eR„
4 L
H / L [0,i8-i±(K„H/it)L-')i y/î=nrrgs
m a i s n o u s l i m i t o n s le t e r m e c o r r e c t i f ( R „ H / 1 0 L2)
à 0,2 c e q u i s ' e x p r i m e p a r u n e c o n d i t i o n d ' a p p l i - c a t i o n p e u r e s t r i c t i v e :
L H
E n f i n , s i l ' o n t i e n t a b s o l u m e n t à é v i t e r t o u t é c a r t p o s s i b l e d a n s l e « m a u v a i s s e n s » ( RE > Rp) p o u r d e s p u i t s « p r e s q u e c o m p l e t s », il f a u t e x c l u r e l e s c a s o ù ( H — L ) / H e s t i n f é r i e u r à Û , 5 / ( 7 «2H / 2 R p ) .
T E R R A I N S À N I S O T R O P E S :
L e s t e r r a i n s a l l u v i o n n a i r e s s o n t n o r m a l e m e n t d o u é s d ' u n e « a n i s o t r o p i e d e r é v o l u t i o n v e r t i - c a l e » r é s u l t a n t d e s c o n d i t i o n s d ' a l l u v i o n n e m e n t ( d é p ô t « à p l a t » d e p a r t i c u l e s n o n s p l i é r i q u e s , m a i s s u r t o u t « c y c l e s d ' a l l u v i o n n e m e n t » s u p e r - p o s a n t d e s h o r i z o n s d e p e r m é a b i l i t é s différen- t e s ) , a n i s o t r o p i e c a r a c t é r i s é e p a r le r a p p o r t (K;,./K„) = m2 d e s p e r m é a b i l i t é s h o r i z o n t a l e et v e r t i c a l e :
O n s a i t q u ' u n t e l m i l i e u p e u t ê t r e identifié a u m i l i e u i s o t r o p e d e p e r m é a b i l i t é K,,, d o n t l e s d i - m e n s i o n s h o r i z o n t a l e s s o n t d i v i s é e s p a r
O n vérifie d a n s c e s c o n d i t i o n s q u e l a f o r m u l e d e D u p u i t r e s t e v a l a b l e à c o n d i t i o n d e c o n s i d é r e r K c o m m e l a p e r m é a b i l i t é h o r i z o n t a l e ; p a r c o n - t r e , l a f o r m u l e q u i définit le r a y o n é q u i v a l e n t d e v i e n t :
C RK
4
mk
4 m LH / L K ) , l H 4 ± i l l „ I ! . l » » ) L S ) i y/l—Wte . 1 0 "
L e rapport m2 est c o u r a m m e n t évalué entre 5 et 1 0 ; en l'absence de donnée précise à cet égard, on peut donc accepter u n e valeur moyenne m2 = VSTTfFet pour simplifier la for- mule, assimiler (ici comme p a r la suite)
m V 5 0 = 2,66 à e = 2 , 7 1 .
M a i s d a n s le c a d r e d e c e t t e i n d é t e r m i n a t i o n , le f a c t e u r 10(°-1 8 i-> [ c o m p r i s e n t r e 0,95 et 2,5 c o m p t e t e n u d e (-1/10) ( R „ H / m L2) < 0,2] d e v i e n t i l l u s o i r e , et il suffit d e r e t e n i r :
g r o s s i è r e m e n t (L 2 R „ ) .
R A B A T T E M E N T D A N S L ' A Q U I F È R E ( S ' ) . — L o r s q u e le p u i t s c o m p l e t e s t r a b a t t u d ' u n e h a u t e u r S' p a r r a p p o r t à u n e s u r f a c e l i b r e o u q u e s o n r a - b a t t e m e n t d é p a s s e d e S' = S — N l a m i s e e n c h a r g e d e l a n a p p e c a p t i v e , o n d i s p o s e d ' u n e a u t r e « f o r m u l e d e D u p u i t », d é m o n t r é e e n t o u t e r i g u e u r p a r T c h a r n y i [ 6 ] , p o u r é v a l u e r le d é b i t ; avec n o s n o t a t i o n s :
Q ,
Tr 2 H ( N
: % IV •
S') —- S '2
(N = 0 d'où S' :
In R / R; J
S p o u r u n e n a p p e l i b r e ) .
m = V ( K » / K „ ) .
M a i s , d a n s ces c o n d i t i o n s , r i e n n e p e r m e t d'af- f i r m e r q u e le r a y o n é q u i v a l e n t RE d u p u i t s i n c o m p l e t , p r é c é d e m m e n t é v a l u é p o u r u n e n a p p e c a p t i v e s a n s r a b a t t e m e n t d a n s F a q u i f è r e (S < N ) e n f o n c t i o n d e s s e u l e s d o n n é e s H , L e t R; ) (ou R P / M ) . . . soit e n c o r e v a l a b l e e n r e m p l a c e m e n t d u r a y o n r é e l RA; il s e m b l e e n f a i t q u ' i l y a i t a l o r s lieu d ' é v a l u e r u n r a y o n é q u i v a l e n t d i l f é r e n t — n o u s l ' a p p e l o n s R 'E p o u r é v i t e r t o u t e c o n f u s i o n
— f o n c t i o n d é c r o i s s a n t e d e S' e n t r e a u t r e s . I n v e r s e m e n t , t o u t e f o r m u l e g é n é r a l e c o n c e r - n a n t le d é b i t d ' u n p u i t s i n c o m p l e t , a v e c o u s a n s r a b a t t e m e n t d a n s l ' a q u i f è r e , p e r m e t d e f a i r e a p p a r a î t r e u n r a y o n é q u i v a l e n t RE o u R 'E : il suffit, e n effet, d ' é l i m i n e r QP/ K e n t r e c e t t e f o r - m u l e et l a f o r m u l e d e D u p u i t c o r r e s p o n d a n t e .
v a l a b l e p o u r t o u t p u i t s a l l o n g é
834 LA HOUILLE BLANCHE • - N° SPÉCIAL B - 1962
M a i s R 'K —> RE et t o u t e s a u t r e s d o n n é e s q u e H, L e t Rj, (ou Kp/m) d o i v e n t s ' é l i m i n e r , le rayon d'action R en particulier à l a l i m i t e S' 0 (où les « d e u x f o r m u l e s d e D u p u i t » se c o n f o n d e n t ) . M ê m e s a n s f a i r e é t a t d e s b a s e s t h é o r i q u e s q u i j u s t i f i e n t l ' e x p r e s s i o n d e RE e t f o n t l ' o b j e t p r i n - c i p a l d e c e t t e c o m m u n i c a t i o n , a u c u n e d e s f o r m u - les e x i s t a n t à n o t r e c o n n a i s s a n c e , n e s a t i s f a i t à l ' e n s e m b l e d e c e s c o n d i t i o n s .
D ' u n e p a r t MM. L i , B e n t o n e t B o c k [ 3 ] s e m - b l e n t ê t r e les s e u l s à a v o i r p r o p o s é p o u r u n e n a p p e c a p t i v e (et S < N ) u n e e x p r e s s i o n de RE i n d é p e n d a n t e d e R ( p o u r u n p u i t s à f o n d p l e i n ) :
H H
},<-! (H/100 R,,}»-»
m a i s s a n s p r é c i s e r , à n o t r e c o n n a i s s a n c e , s'ils e n v i s a g e n t l a m ê m e s u b s t i t u t i o n ( RE) o u celle d ' u n r a y o n p l u s o u m o i n s r é d u i t ( R 'E) d a n s la f o r m u l e de D u p u i t r e l a t i v e a u c a s où le r a b a t - t e m e n t i n t é r e s s e l ' a q u i f è r e .
D ' a u t r e p a r t , les r é s u l t a t s d e M. B o r e l i [ 4 ] p a r a i s s e n t i n d i s c u t a b l e s e n ce q u i c o n c e r n e s e p t c a s p a r t i c u l i e r s « e n n a p p e l i b r e » r é s o l u s p a r r e l a x a t i o n .
L e s s i x p r e m i e r s n o u s o n t d ' a i l l e u r s p e r m i s d e vérifier u n a j u s t e m e n t e x c e l l e n t d e n o t r e for- m u l e e n é v a l u a n t R 'E c o m m e RE a p r è s a v o i r s i m p l e m e n t r é d u i t l a l o n g u e u r L de la q u a n t i t é :
4 S '2 (H — L ) V H3
q u i s ' a n n u l e c o m m e il se d o i t p o u r S' = 0 o u H — L = 0 ;
p a r c o n t r e , c o m m e celles d e F o r c h h e i m e r [ 1 ] e t K o z e n y [ 2 ] , la f o r m u l e q u e p r o p o s e M. B o r e l i
fait a p p a r a î t r e u n r a y o n é q u i v a l e n t , défini avec n o s n o t a t i o n s p a r :
R E
R R
( I I - S ' ) / ( L - S - )
l + ( 0 , 2 9 + 1 0 E , , / L ) s i n l , 8 [(H—L)/H]
q u i d é p e n d e n c o r e d u rayon d'action fi à la l i m i t e S ' - » 0 .
N o u s c o n f r o n t o n s le r é s u l t a t d e d i f f é r e n t e s for- m u l e s d a n s u n c a s s i m p l e , s a n s r a b a t t e m e n t d a n s l ' a q u i f è r e (S < N ) a v e c :
e t
H — 10 m , L = 5 m , R = 200
R„ = 200 m m
m
(d'où L / H = 1/2 e t Rp/L = 1 / 2 5 ) .
N o u s a v o n s c h o i s i à d e s s e i n u n c a s o ù n o t r e r é s u l t a t , (avec f o n d p l e i n ) e s t t r è s p e u d i f f é r e n t d e c e l u i d e MM. L i , B e n t o n e t B o c k . E n effet, la c o m p a r a i s o n facile d e f o r m u l e s q u i f o n t i n t e r - v e n i r les m ê m e s d o n n é e s (H, L et Rs) m o n t r e q u e l ' é v a l u a t i o n a n c i e n n e d e RE s e r a p a r d é f a u t a v e c
_L_ 1
H 2 e t JR,,
L
<
25 'p a r e x c è s d a n s le c a s c o n t r a i r e . O n n o t e d ' a i l - l e u r s l a f a i b l e i n f l u e n c e q u e « l ' e x p é r i e n c e a n a l o - g i q u e » r e c o n n a î t a u f o n d ( c r é p i n e o u n o n ) p o u r u n r a p p o r t ( R „ / L ) = 1/25 q u i n ' e s t p a s t e l l e - m e n t n é g l i g e a b l e .
O n n o t e r a é g a l e m e n t l ' é v a l u a t i o n p a r d é f a u t d e M. B o r e l i ; c o m m e n o u s a d m e t t o n s le r é s u l - t a t d e ses c a s d e r é f é r e n c e , l ' é c a r t p e u t p r o v e n i r d ' u n m a u v a i s a j u s t e m e n t d e s a f o r m u l e à la l i m i t e S' —> 0, m a i s s u r t o u t d u rayon d'action, q u i i n t e r v i e n t ici e n f a c t e u r d ' e x p o s a n t n é g a t i f , et q u i e s t b e a u c o u p p l u s g r a n d d a n s n o t r e
F O N D
(mm)
QP/QO
(puits complet de même rayon)
F o r c h h e i m e r (1898) non p r é c i s é 29,36 0,783
Kozeny (1953) c r é p i n e 59,90 0,850
Li, Benton et Bock (1954) plein 15,58 0,715
Boreli (1955) crépine 7,69 0,679
c r é p i n e plein
15,98 15,75
0,732 0,728
N" SPÉCIAL B - 1962 — . r — J. BRILLANT — 335
e x e m p l e (20 H ) q u e c e l u i p r i s e n c o m p t e d a n s les m o d è l e s d e r é f é r e n c e (0,5 à 2 H ) .
P o u r t e r m i n e r , n o u s r a p p e l o n s q u e l e s r a y o n s é q u i v a l e n t s m i s e n c a u s e , c o n s t i t u e n t u n m o y e n de c a l c u l , p a s t o u j o u r s u n e « r é a l i t é p h y s i q u e », si T o n t i e n t c o m p t e d e s l i m i t e s d ' a p p l i c a t i o n d e la loi d e D a r c y [ 5 ] , s o m m a i r e m e n t e x p r i m é e s p a r u n e vitesse limite s o u s les f o r t s g r a d i e n t s . Â c e p o i n t d e v u e , il n e v i e n d r a i t c e r t e s à Tidée d e p e r s o n n e d e c o n f o n d r e u n p u i t s d e d i m e n s i o n s r a i s o n n a b l e s — 1 m d e d i a m è t r e et
p é n é t r a n t d e q u e l q u e 2 à 3 m u n e f o r m a t i o n a q u i f è r e d e 2 0 m , a v e c l e « p u i t s c o m p l e t é q u i v a - l e n t » d o n t l e r a y o n s e t i e n t a l o r s a u x e n v i r o n s d u m i l l i o n i è m e d e m i l l i m è t r e !
P a r c o n t r e , d a n s d e s l i m i t e s d e c o m p a r a i s o n p l u s r a i s o n n a b l e s , où le j e u d e l a f o r m u l e a c t u e l l e e t d e s lois d ' a s s o c i a t i o n d e p u i t s m u l t i - p l e s p e r m e t t r a i t d e c o n c l u r e à l ' é q u i v a l e n c e é c o - n o m i q u e d e p l u s i e u r s d i s p o s i t i f s d e c a p t a g e o u de r a b a t t e m e n t , i l c o n v i e n d r a i t d e r e c o n n a î t r e u n a v a n t a g e m a l h e u r e u s e m e n t difficile à chiffrer, m a i s s u r t o u t m a r q u é d a n s l e s f o r t e s p e r m é a b i - lités, e n f a v e u r d e s s o l u t i o n s q u i p r o c u r e n t l a p l u s g r a n d e s u r f a c e c r é p i n é e a u c o n t a c t d e l ' a q u i f è r e .
RÉFÉRENCES
[ 1 ] F O R C H H E I M E R . •— Hydraulik, B. G. Teubner, Leipzig et Berlin ( 1 9 3 0 ) , p. 77.
[ 2 ] K O Z E N Y ( J . ) . — Hydraulik, Vienne ( 1 9 5 3 ) , p. 4 2 2 - 4 2 5 . [ 3 ] L Ï , B E N T O N et B O C K . — Trans. Amer Geophys., Un, 3 5 ,
n» 5 ( Î 9 5 4 ) , p. 8 0 5 .
[ 4 ] B O R E L I ( M . ) . — Contribution à l'étude des milieux
poreux. Publications scientifiques et techniques du Ministère de l'Air, n° 305 (1955).
[5] SciïNEEBELi (G.). — Limite de validité de la loi de Darcy. La Houille Blanche, n° 2 (1955), p. 141-149.
[6] T C H A R N V Ï ( M . ) . — Article de M . Brillant. Le Génie Civil ( 1e r mars 1956).
O U B F E O N T I S P I O E See p a g e 798
Emile JOUGUET (1871-1943), Ingénieur General des Mines
Member of the French Academy of Science (1933)
Emile Jouguet was born on- the 5ih January3 1871, at Bessèges (Gard), where his father, a graduate of the Ecole des Mines in Paris, was iti charge of a local steel Works. His mother was the daughter of a maihematics professer aï Montpellier Univer- sity.
Placed fourth in his year ai the Ecole Polytechnique in 1892 he entereâ the "Corps des Mines'* and sindied ai the Ecole des Mines in Paris and was afierwards given a routine post ai Bordeaux, where' his naturel bent for science lèd him to attend the lectures of Pierre Duhem at the Bordeaux Science Faculty, Ont of his contact with this fine min d grew his passion forEner- getics1 which he jised in a masterly fashion, stripping it to its essentiels in his efforts to perfect it.
In 1898 he took up a teaching post at the Ecole des Mines, first in Saint-Etienne and then in Paris. In 1919 he began teaching Méchantes at the Ecole Polytechnique, first as an assistant to P. Painlevé and then as a full professor. Retiring in 1942 he died shortly afterwards of a serions illness. His untimely loss, in his intellectuel prime, robbed French Méchantes of its diudem ana the sorry plight of France at the time provides no excuse for the inadéquate homage done at the time to this faultless servant of his cotmtry and tnagnificent French scieniist, who was as outstanding an engineer as a teacher and thinker,
The bulk of Emile Jouguet's work zvas in Mechanics, the fiai- damcntal nature of which he took to be dmninated by Thermo- dynamics. His principal fields of study were applied mechanics, continuons solid and fluid média mechanics and chemical mecha- nics and his tvark, which covers the first foriy years of this century, produced concepts both original and sound, new results and fruitful methods, It may be noted in passing and the fact will repay refiection, that his theory of shock waves and com-
bustion in explosives, for certain aspects of which he gave the crédit to Chapman and Crussard, is nowaday more widely known and applied in the United States than in France,
For Emile Jouguet fluid mechanics proper fell rather within the province of theaching than of essentiel research. Although hc published Utile on this subject we shoitld note his fmidamental stadies on the exeptîons to d'Alembcrt's Paradox and their phy- sical significance, on similitude in fluid dynamîcs and lastly the energy dissipating properties and measurcment of head loss as defined by the classical hydraulîcs théories of his time. In con*
uection with thèse particitlar problems he always took an active inieresi in the work of the Société Hydroiechnique de France.
Although his work and préoccupations did not bring him into very close contact with aviation, at this time.in its eerly stages, he possessed a very sure insight into the future directions which the iremendoas development of the associated disciplines requir- ed by this fiedgling science would takc and it was at his Personal instigation that the présent author was led, from 1921 onwards, to concentrate on the work donc between 1915 and 1918 by Prandtl and the famous Gôttingen school, at the time almost unknown in France.
The problems of fluid mechanics to which he made a major contribution, which continues and to a certain extent resembles that of Hugoniot beUveen 1875 and 1880, concern shock wave theory and the combincd effects of thermal conductivity and vis- cosity in shock waves.
It is not generally known, for instance, but nevertheless true that it was Emile Jouguet who, half a century ago, foresaw that future supersonic ftow theory would, for certain results, coïncide with Mewt&n's daring concept pf a compressible fluid, first aâvanccd over three centuries ago,
Maurice ROY, Ingénieur Général des Mines, Member of the French Academy of Science,
Professor at the Ecole Polytechnique,
