Atelier Matrices et Suites en Atelier Matrices et Suites en spécialité S spécialité S

Atelier Matrices et Suites en Atelier Matrices et Suites en

spécialité S spécialité S

Journées APMEP Journées APMEP Metz, 29 otobre 2012 Metz, 29 otobre 2012

Frédéric Laroche Frédéric Laroche

Matrices, Graphes et Suites Matrices, Graphes et Suites

Introduction des matrices et des graphes Introduction des matrices et des graphes

dans l’enseignement de spécialité de dans l’enseignement de spécialité de

terminale S, comment ? terminale S, comment ?

Des exemples de situations en lien avec les Des exemples de situations en lien avec les

recommandations du programme

recommandations du programme

Doudou, un exemple commenté qui met en Doudou, un exemple commenté qui met en

relation notions du programme et problème relation notions du programme et problème

1 2 3

1 0,9 0,05 0,05

2 0,7 0 0,3

3 0,8 0 0,2

Dormir

Manger P

Roue

  

 

   

 

  



 

1 0 ⁿ 0,884 0,044 0,072

n n P P

  _  

 

1 0 ⁿ 0,884 0,044 0,072

n n P P

  _  

Lien avec le programme Lien avec le programme

Matrices et suites :

Matrices et suites : Il s’agit d’étudier des exemples de processus discrets, déterministes ou Il s’agit d’étudier des exemples de processus discrets, déterministes ou stochastiques, à l’aide de suites ou de matrices.

stochastiques, à l’aide de suites ou de matrices.

On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel.

ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel.

Programme TS spé maths Activités liées à Doudou

Matrices carrées, matrices colonnes : opérations. Ok : attention au « problème » des vecteurs ligne/colonne.

Matrice inverse d’une matrice carrée. Ok : on cherche la distribution stationnaire (a,b,c) en rajoutant l’équation a+b+c=1.

Exemples de calcul de la puissance n-ième d’une matrice carrée d’ordre 2 ou 3.

Ok : calcul à la main (!) ou avec un logiciel (Geogebra par exemple)

Écriture matricielle d’un système linéaire. Ok : voir l’utilisation du CAS GeoGebra Suite de matrices colonnes (U_n ) vérifiant une

relation de récurrence du type U_n+1 = AU_n + B.

Non, quoique…

Étude asymptotique d’une marche aléatoire.

Urnes d’Ehrenfest, modèle proie prédateur discrétisé, etc.

Ok : on peut remplacer le graphe initial par le graphe associé à une marche sur les arètes d’un tétraèdre par exemple (matrice 4*4).

Pourquoi pas la géométrie ? Pourquoi pas la géométrie ?

Une introduction Une introduction

élémentaire au calcul élémentaire au calcul matriciel et une

matriciel et une

interprétation immédiate.

interprétation immédiate.

On peut itérer pour On peut itérer pour obtenir des IFS par obtenir des IFS par exemple…

exemple…

Toutes les opéraions ont Toutes les opéraions ont une signification évidente.

une signification évidente.

On peut passer en dim 3 On peut passer en dim 3 aisément

aisément

Chaines de Markov homogènes Chaines de Markov homogènes

On considère On considère

un espace d’état E = {1, 2 , … m} qui correspond aux issues possibles un espace d’état E = {1, 2 , … m} qui correspond aux issues possibles

d’une expérience aléatoire, d’une expérience aléatoire,

à tout instant

à tout instant nn, les variables aléatoires X, les variables aléatoires X_nn à valeurs dans E qui à valeurs dans E qui décrivent un système évolutif.

décrivent un système évolutif.

Si la loi de

Si la loi de XX_n+1n+1 ne dépend pas de l’histoire du système mais ne dépend pas de l’histoire du système mais seulement de X

seulement de X_nn : :

on dit que (

on dit que (XX_nn))_{n n  N N} est une chaine de Markov est une chaine de Markov ; ; si elle ne dépend pas non plus de l’instant

si elle ne dépend pas non plus de l’instant nn elle est elle est homogènehomogène..



 



P P

Ce qui compte finalement est la connaissance des Ce qui compte finalement est la connaissance des probabilités de passage d’un état i à un état j pour

probabilités de passage d’un état i à un état j pour i et i et j j variant de 1 à

variant de 1 à m : m :

D’où l’intérêt d’une représentation sous forme d’un graphe D’où l’intérêt d’une représentation sous forme d’un graphe (pas toujours évident) dont les sommets sont les états, ce (pas toujours évident) dont les sommets sont les états, ce

qui permet d’écrire la matrice de transition qui permet d’écrire la matrice de transition

La probabilité de transition de passer en

La probabilité de transition de passer en n n étapes de étapes de l’état

l’état i à l’état i à l’état j est le terme j est le terme ij ij de la matrice de la matrice P P

. .

11 1

1

m

m mm

p p

P

p p

 

 

  

 

 



  



 

p

Si on note sous forme de vecteur ligne la loi de Si on note sous forme de vecteur ligne la loi de

probabilité de X probabilité de X

: :

alors on a alors on a

Si on a une loi stationnaire

Si on a une loi stationnaire   , souvent limite des lois , souvent limite des lois  

, , elle vérifie les équations

elle vérifie les équations

Le temps de retour moyen de l’état

Le temps de retour moyen de l’état i i à l’état à l’état i est l’inverse i est l’inverse de la probabilité

de la probabilité p p

. .

 ^{( 1), ( 2),..., ( )} 

n

p X

p X

p X

m

    



 

P  

P

 





1

, , ..., _m , ^m _i 1

i

p p p p









Introduire les matrices Introduire les matrices

Quel temps fait-il à Brest ? Quel temps fait-il à Brest ?

Aux mois de décembre, janvier et février, le temps à Brest est à peu Aux mois de décembre, janvier et février, le temps à Brest est à peu près le suivant : il n’y a que deux états : pluvieux ou beau. S’il pleut près le suivant : il n’y a que deux états : pluvieux ou beau. S’il pleut un jour alors il repleut le jour suivant avec la probabilité 2/3 ; s’il fait un jour alors il repleut le jour suivant avec la probabilité 2/3 ; s’il fait

beau, alors il refait beau avec la probabilité 3/4.

beau, alors il refait beau avec la probabilité 3/4.

1. Quelle est la proportion de beaux jours en hiver ? 1. Quelle est la proportion de beaux jours en hiver ?

2. Aujourd’hui il fait beau (resp. il pleut) ; combien de temps en 2. Aujourd’hui il fait beau (resp. il pleut) ; combien de temps en moyenne attendrons nous un autre jour de beau temps ? (resp.

moyenne attendrons nous un autre jour de beau temps ? (resp.

mauvais temps.) mauvais temps.)

Solution : Solution :

3/ 4 1/ 4 1/ 3 2/ 3

P  

  

 

 

3 1 4 3 4

, 1 2 7

4 3 3

1 7

a b a a b a

a b b

P b

a b



 

  

 

  

      

  

   

     



 1  4 ¹4 ¹

1 7 7

k k

X k b a

 

 

    

P



 



1

1 7 4/ 7 4

k

X k X k









E P

Introduire les matrices Introduire les matrices

Matrices :

Matrices : Jeunes et vieux Jeunes et vieux

On distingue les jeunes et les vieux. Un « état » de la population est On distingue les jeunes et les vieux. Un « état » de la population est

un point du plan (

un point du plan (J, J, VV).).

On observe la population : la période choisie est la moitié de la On observe la population : la période choisie est la moitié de la

durée de vie moyenne, tous les jeunes sont devenus vieux avec un durée de vie moyenne, tous les jeunes sont devenus vieux avec un

taux

taux cc ou sont morts (taux 1 - c ou sont morts (taux 1 - c) et tous les vieux sont morts ; mais ) et tous les vieux sont morts ; mais chaque classe a « produit » une certaine quantité de jeunes avec chaque classe a « produit » une certaine quantité de jeunes avec

les taux de natalité

les taux de natalité a (pour les jeunes) et a (pour les jeunes) et bb (pour les vieux). (pour les vieux).

1. Représenter la situation par un graphe.

1. Représenter la situation par un graphe.

2. (2. (JJ_nn) et ( V) et ( V_nn) sont les nombres de jeunes et de vieux lors du ) sont les nombres de jeunes et de vieux lors du n-ième n-ième recensement. Ecrire les relations entre les vecteurs (

recensement. Ecrire les relations entre les vecteurs (JJn_n, V, Vn_n) puis ) puis étudier les comportements des populations.

étudier les comportements des populations.

On prendra par exemple On prendra par exemple

a=0,1 ; b=0,8 ; c=0,9 a=0,1 ; b=1 ; c=0,9 a=1 ; b=1 ; c=0,9 a=0,5 ; b=1 ; c=0,6

Modélisation avec un graphe Modélisation avec un graphe

Le problème du collectionneur Le problème du collectionneur

Dans chaque paquet de café BlackSabbath on trouve une figurine Dans chaque paquet de café BlackSabbath on trouve une figurine

de collection. La série complète comprend 4 figurines : on note

de collection. La série complète comprend 4 figurines : on note TT le le nombre de paquets qu’il faut acheter pour obtenir la collection

nombre de paquets qu’il faut acheter pour obtenir la collection complète.

complète.

1. Représenter le processus par une chaine de Markov (graphe).

1. Représenter le processus par une chaine de Markov (graphe).

2. Établir la matrice de transition. Calculer le vecteur de distribution 2. Établir la matrice de transition. Calculer le vecteur de distribution

de probabilité à la troisième transition.

de probabilité à la troisième transition.

3. Calculer l’espérance et la variance de 3. Calculer l’espérance et la variance de T. T.

Interpréter.

Interpréter.

Attention,

Attention, TT représente le nombre de figurines représente le nombre de figurines distinctes…

distinctes…

Solution Solution

1. Graphe : 1. Graphe :

2. Matrice de transition 2. Matrice de transition

3. 3. XXi_i = nombre de paquets à acheter pour passer de l’état = nombre de paquets à acheter pour passer de l’état i à l’état i à l’état ii+1 : on a +1 : on a

 

 

 

 

 

 

0,25 0,75 0 0

0 0,5 0,5 0

0 0 0,75 0,25

0 0 0 1

P

 

 

 

 

 

 

 

3

0,0156 0,3281 0,5625 0,0938 0 0,125 0,5938 0,2813

0 0 0,4219 0,5781

0 0 0 1

P

 

 ₀ 1, 0, 0, 0

 

 ₃ 0,016 ; 0,33 ; 0,56 ; 0,09

  ^   ^{ }

 

 







E P

1

1 1

1 1

3 3 1 4

1 4 4 3 / 4 3

k

k k

X k X k k

       

       

   

   

E E ₁ E ₂ E ₃

1 2 3

22 3

var var var var 130

9

T X X X

T X X X

Transfert de bits Transfert de bits

Un message codé de façon binaire est transmis à travers un Un message codé de façon binaire est transmis à travers un

réseau. Chaque bit est transmis avec une probabilité d’erreur égale réseau. Chaque bit est transmis avec une probabilité d’erreur égale à aà a pour un passage de 0 à 1, égale à pour un passage de 0 à 1, égale à b pour un passage de 1 à 0 b pour un passage de 1 à 0 (a(a et et bb différents de 0 et 1). différents de 0 et 1).

Le résultat de la transmission au

Le résultat de la transmission au nn^ee relais est à valeurs dans {0, 1} ; relais est à valeurs dans {0, 1} ; on suppose que les relais se comportent indépendamment les uns on suppose que les relais se comportent indépendamment les uns des autres et que les erreurs sur les bits sont indépendantes.

des autres et que les erreurs sur les bits sont indépendantes.

On souhaite calculer la taille du réseau (la valeur de

On souhaite calculer la taille du réseau (la valeur de nn) au delà de ) au delà de laquelle la probabilité de recevoir une erreur est supérieure à

laquelle la probabilité de recevoir une erreur est supérieure à εε.. On note

On note LL la longueur du message. la longueur du message.

Solution Solution

L = 1 : Matrice de transitionL = 1 : Matrice de transition

On pose d’avoir un 0 au

On pose d’avoir un 0 au nn^ee relais : relais :

Point fixe : d’où Point fixe : d’où Pour répondre à la

Pour répondre à la question, on a la même question, on a la même loi Xloi X_kk sur chaque bit d’où : sur chaque bit d’où :

Un algorithme pour conclure…

Un algorithme pour conclure…

0 1

0 1

1 1

a a

P b b

  

   





n n

p  P X 

   

1 1 1

n n n

p _   a p  b  p p b

 a b

 p_n  p



 



On envoie un

Probabilité message pas erroné au n^e relais

0 : p₀ = 1 1 : p₀ = 0

 ⁰  ¹ ⁿ

n

b a

r a b

a b a b

   

 

 ¹  ¹ ⁿ

n

a b

r a b

a b a b

   

 

 

1

L i

n n

i

r r X







Échange de particules Échange de particules

Un récipient creux est divisé en deux chambres A Un récipient creux est divisé en deux chambres A

(ou 0) et B (ou 1) par une paroi percée d'un trou.

(ou 0) et B (ou 1) par une paroi percée d'un trou.

n molécules se trouvent primitivement en An molécules se trouvent primitivement en A Le système évolue

Le système évolue irréversiblement irréversiblement vers un état vers un état d'équilibre dans lequel chaque chambre contiendra d'équilibre dans lequel chaque chambre contiendra

finalement à peu près

finalement à peu près n molécules, ce qui est n molécules, ce qui est vérifié par l'expérience.

vérifié par l'expérience.

Le système est un mot de trois bits ; les 8 états possibles sont représentés par les sommets d'une boîte.

Les trois boules sont en 000 qui vont vers l'un des sommets voisins : à chaque instant, un des trois chiffres est inversé.

Promenade symétrique sur un cube. On peut facilement écrire la matrice P de transition, à 8 lignes et 8 colonnes.

Comme

Comme PP est bistochastique (somme des termes de chaque ligne et de est bistochastique (somme des termes de chaque ligne et de chaque colonne égale à 1), on obtient la répartition stationnaire

chaque colonne égale à 1), on obtient la répartition stationnaire

Après un temps très long tous les sommets auront reçu le même Après un temps très long tous les sommets auront reçu le même nombre de visites : l'intervalle moyen entre deux visites à un même nombre de visites : l'intervalle moyen entre deux visites à un même sommet est 8, d'où l'irréversibilité parfaite (avec

sommet est 8, d'où l'irréversibilité parfaite (avec n particules le temps de n particules le temps de retour à un sommet est 2

retour à un sommet est 2ⁿⁿ).).

 

 

 

 

 

  

 

 

 



 

1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 0 0 0 0

1/ 4 1/ 4 0 0 1/ 4 1/ 4 0 0

1/ 4 0 1/ 4 0 1/ 4 0 1/ 4 0

1/ 4 0 0 1/ 4 0 1/ 4 1/ 4 0

0 1/ 4 1/ 4 0 1/ 4 0 0 1/ 4

0 1/ 4 0 1/ 4 0 1/ 4 0 1/ 4

0 0 1/ 4 1/ 4 0 0 1/ 4 1/ 4

0 0 0 0 1/ 4 1/ 4 1/

000 001 010 100 011 101 110 111 000

001 010 100 011 101 110

4 1/ 4 111

P



1 1 1

, , ...,

8 8 8

 _{ }^{ }_

 

Modèle macroscopique Modèle macroscopique

Les boules ne sont plus discernables ; les sommets de la boîte ayant Les boules ne sont plus discernables ; les sommets de la boîte ayant

même somme de leurs trois chiffres sont regroupés, on utilise la même somme de leurs trois chiffres sont regroupés, on utilise la

promenade aléatoire (les états sont le nombre de boules dans B) : promenade aléatoire (les états sont le nombre de boules dans B) :

On a : avec

On a : avec pp0₀==pp₃3, , pp₁1==pp₂2, , pp₀0++pp₁1++pp₂2++pp₃3=1, soit : =1, soit :

et les temps de retour : et les temps de retour :

En général on aura une loi binomiale…

En général on aura une loi binomiale…





 

1 3 3 1 , , , 8 8 8 8

 _{ }^{ }_

 





, , , 8, , , 8

m  m m m m   3 3 

Séries de 1 Séries de 1

Soit

Soit U U

une suite de variables aléatoires valant 1 avec une suite de variables aléatoires valant 1 avec probabilité

probabilité p p et 0 avec probabilité 1 – et 0 avec probabilité 1 – p. p.

Appelons

Appelons N N

le nombre de 1 consécutifs avant le le nombre de 1 consécutifs avant le n n -ième -ième tirage. Par convention

tirage. Par convention N N

= 0 et = 0 et N N

= 0 si le = 0 si le m m -ième -ième tirage est 0.

tirage est 0.

Il est facile de vérifier que Il est facile de vérifier que

1. Déterminer la matrice de transition de 1. Déterminer la matrice de transition de N N

. .

2. Combien de piles consécutifs voit-on dans 100 2. Combien de piles consécutifs voit-on dans 100

tirages ? tirages ?

  _{ }

1

1

n n Un

N

N

  1

Solution Solution

Avec

Avec L L coups : coups :

1 0 0 ... 0

1 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 1

L

p p

p p

P p p

p p

  

  

 

 

   

  

 

 

Histogramme F. de répartition

, 1 , 0 ,

1

0 sinon

i i i i j

p p

p p

p

  

  

 



Références Références

Dartmouth College,

Dartmouth College, Introduction to probabilityIntroduction to probability, AMS sd, AMS sd

http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html

(+ programmes Mathematica, Maple V, Basic) (+ programmes Mathematica, Maple V, Basic)

Benaïm Michel, El Karoui Nicole,

Benaïm Michel, El Karoui Nicole, Promenade AléatoirePromenade Aléatoire, Éd. de l’École Polytechnique, 2004, Éd. de l’École Polytechnique, 2004 Engel Arthur,

Engel Arthur, L’enseignement des probabilités et de la statistiqueL’enseignement des probabilités et de la statistique, volumes 1 & 2, Cedic Nathan , volumes 1 & 2, Cedic Nathan 19791979

Engel Arthur,

Engel Arthur, Mathématique élémentaire d’un point de vue algorithmiqueMathématique élémentaire d’un point de vue algorithmique, Cedic Nathan sd, Cedic Nathan sd Foata Dominique, Fuchs Aimé,

Foata Dominique, Fuchs Aimé, Processus StochastiquesProcessus Stochastiques, Dunod 2002, Dunod 2002 Frugier Gérard,

Frugier Gérard, Exercices ordinaires de probabilitésExercices ordinaires de probabilités, Ellipses 1992, Ellipses 1992 Lefebvre Mario,

Lefebvre Mario, Processus stochastiques appliquésProcessus stochastiques appliqués, Hermann 2005, Hermann 2005 Rényi Alfred,

Rényi Alfred, Calcul des probabilités, Dunod 1966Calcul des probabilités, Dunod 1966

FIN FIN