Enoncé E562 (Diophante) On gagne à tous les coups
A la Foire au Trône, Zig est attiré par l’enseigne « On gagne à tous les coups » du stand du marchand de confiseries. . .. Le forain partage un sachet contenant 2013 pralines en cinq tas distincts et bien visibles. Puis Zig choisit un nombre entierN compris entre 1 et 2013 qu’il annonce au forain. Celui-ci prépare alors un sixième tas (qui peut être vide) en extrayant des pralines des tas précé- demment constitués jusqu’à obtenir exactement le nombreN par addition des nombres de pralines contenues dans un ou plusieurs des six tas. Dès lors Zig reçoit pour lot le nombrepde pralines dé- placées par le forain pour constituer le sixième tas. Sachant que le forain cherche à minimiser ce nombre et qu’à l’inverse Zig cherche à le maximiser, déterminerp.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Les 5 tas du forain fournissent 32 totaux possibles, de 0 à 2013, et le but de Zig est de choisirN aussi éloigné que possible de ces valeurs, pour que le forain ait à faire un 6e tas correctif aussi gros que possible (qu’il s’agisse de l’ajouter à d’autres ou, au contraire, d’alléger tels ou tels tas pour ajuster la somme).
Par exemple, si le plus petit tas a 2t+ 1 pralines, Zig obtiendra au moinstpralines, par exemple avec N =tou N =t+ 1.
Le forain a avantage à constituer des tas en sorte que les 32 totaux soient échelonnés aussi régulièrement que possible, car si deux to- taux consécutifs (dans un classement par total croissant) sont T etT+ 2tou T+ 2t+ 1, Zig pourra obtenirtpralines.
Les 31 différences entre totaux consécutifs valent 2013/31 en moyenne, ce qui est>64. Ainsi Zig pourra toujours obtenir plus de 31 pra- lines, et le forain pourra limiter le 6e tas à p = 32 pralines avec une répartition en 5 tas
65, 130, 260, 519, 1039.
En effet, les différences entre totaux consécutifs sont alors 64 ou 65.
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