Casse-tête de Diophante - novembre 2009
Ce pays du Lointain Ponant projette de construire en plein désert 6 villes nouvelles A,B,C,D,E et F disposées aux sommets de deux carrés juxtaposés de côté 8 kms :
A B C
F E D
8 kms 8 kms
8 kms
Des ingénieurs des télécommunications et des ingénieurs des ponts et
chaussées se réunissent pour concevoir le réseau routier câblé le plus court possible qui relie les six villes entre elles. D'entrée de jeu, les premiers proposent le circuit ABCDEF qui a l'avantage de la simplicité et demande 40 kms de câbles. Les seconds plus économes affirment qu'il existe un réseau qui a deux mètres près fait faire une économie de 3 kms.
Les ingénieurs des télécommunications contestent cette évaluation et évoquent une erreur de calcul. Qui a raison ?
Nota : il n'y a aucune servitude ni contrainte pour réaliser dans le désert un quelconque tracé qui relie les six villes entre elles.
Solution
Rappelons que pour un réseau de segments rectilignes reliant des points fixés Ai et des nœuds intermédiaires Nj la longueur totale est localement minimale lorsque en chaque nœud les angles des segments voisins qui y aboutissent sont tous égaux (en chaque nœud la somme des gradients de déplacement est nulle).
Ainsi deux solutions (symétriques l’une de l’autre) s’offrent à nous :
Les angles aux points intermédiaires sont de 2π/3.
Ci-dessous figure une construction de U et V.
A
U
s V
S O
F E D
B C f
a
Notons S le centre de l’homothétie, de rapport –1/2, qui envoie AF sur OB mais aussi U sur V.
Il apparaît que le point U est, dans le triangle AFS, le point qui voit les trois cotés sous le même angle 2π/3 (pour lequel la somme des distances au trois sommets est minimale). Ce point s’obtient comme intersection des droites Aa, Ff et Ss, où a, f et s sont les sommets des triangles équilatéraux.
Prenons sO pour axe des x ; FA pour axe des y ; de manière provisoire, FA/6 pour unité et dressons un tableau des coordonnées des points :
x – 4/√3 y
A 0 3
F 0 - 3
S 4 1
s - 3√3 0
a 2 + 2√3 - 1 - 2√3 Les droites sS et Aa ont pour équations respectives :
x - (4+3√3)y + 3√3 = 0 et (4+2√3)x + (2+2√3)y – 6 - 6√3 = 0 soit x – 9,1962 y = - 5,1962 et 7,4641 x + 5,4641 y = 16,3923
D’où les coordonnées de U : x = 1,6510847 y = 0,7445763 et les distances respectives de U aux trois sommets :
AU = 2,79517 FU = 4,09242 SU = 2,36276 puis la somme : 9,25036
D’une part cette somme ne représente que le tiers de la longueur des routes et d’autres part l’unité de l’énoncé est le quart de AF.
Autrement dit, le résultat cherché est 4 fois 9,25036 soit 37,00144. Cette solution fait faire une économie de 3 Km, à moins de 1,5 mètres près.
