ARKIV FOR MATEMATIK Band 8 nr 20
1.69 14 1 Communicated 12 November 1969 by OTTO FROSTMAI~-S u r u n e ~ q u a t i o n i n t ~ - T a l e sin~o~di~re Par KARL DAGERHOLM
Considdrons l'dquatioli int6grale
q~(x)logx + f: (y-x)-~¢(y)dy = O,
(1) oh 0 < x < 1 et log x est rdel. L'dquatioli (1) eontient la fonctioli inconliue ¢(x) sous le siglie d'une int6grale divergente, entendue comme valeur prineipale de Cauehy. Quant ~ la solution de l'dquatioli intdgralea(x)u(x)-~ f:: (y-z)-lu(y)dy = f(x), (2)
les fonetions a(x) et ](x) satisfaisant £ des conditions diffdrelites, on peut dtudier par example T. Carleman [1], S. G. Mihlin [4], N. J. Muskhelishvili [5] et F. G.
Trieomi [6]. Cependant le eas off a(x) poss~de un point critique logarithmique ne para£t pas dtudid.
Dans eet article je vais examiner l'existeliee d'une solution ¢(x) de l'dquation (1).
Supposons que ¢(x) soit de la forme
o o
¢(~) = ~ ~ - 1 ,
qffil
oh la sdrie ~ q-ixq converge. (3)
Done ~(x) est intdgrable sur [0,1]. On peut ddmolitrer le thdor~me suivalit.
Th~or~me. La condition ngcessaire et su//isante pour que (1) admette une solution
~(x) ~- O, satis/aisant ~ la condition (3), est que le syst~me d'dquations
c o t
(p--q)-lxq = 0 (q = 1,2, ...), (4)
q=l
air une solution x = (xi, x2 .... ) #:0 qui rend les sdries de (4) convergentes.
Oil a pour 0 < x < 1
j~i fl
o (y - x ) - I ( ¢ ( y ) - ¢ ( x ) ) d y = (y - x ) - ~ ¢ ( y ) d y - ¢ ( x ) l o g (1 - x ) / x ) . (5)
Done l'dquation (1) est 6quivalente ~ l'dquation suivante
( )log + = o. (6)
J o
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K. DAGERHOLM, Sul" une
~quation int~ale singuli~re
Introduisons maintenant l'expression intdgrale
j 0
dy,
(7)off la fonction ~b(x) satisfait k la condition (3) et r d~signe un hombre rdel positif satisfaisant ~ l'in~galitA r < 1.
P o u r Ix[ < 1 on peut dcrire l'expression (7)
On a
- ~ x ~ x ~ - l ' ~ p - l x ~ + x~, ( y - x ) - l ( y ~ - l - x ~ - l ) d y .
f l (y - x)-~(y~'-:t _ ~ - i ) d y -- E ( p - 1 - n ) - 1 ~ n r ~ - i - 4; I~ --2 n-O
done l'expression (8) peut s'~crire
~ x "-1 - Y. ( p - q ) - l x ~ + q - l x ~ ÷ , r" .
~ - 1 \ q--1 q ~ l
D ' a p r & la condition (3) on trouve
l i m ~ q - l x , + q r ¢ = ~ q-ixv+q.
r--~l q - i q--1
(8)
(9)
(10)
(11) P o u r r-~ 1 l'int~grale dans (7) se transforme en l'int$grale du membre gauche dans (5). Done une solution ~ ( x ) = ~q=lXqX q-1 de l'dquation (6), oh ~¢-1 q-lxq converge doit satisfaire au syst~me (4).
D'autre part, consid~rons une solution x = (xl, x2, ...) # 0 du syst~me (4), la condi- tion de la convergence (3) &ant satisfaite. Cette suite des hombres xq d&ermine une fonetion ¢ ( x ) - ~ q = l 3Cq xq-lo Comme les ealculs pr~e~dentes sont reversibles, eette fonetion ¢(x) est une solution indSpendante de l'dquation (6).
De ee qui precede on obtient le thdor~me mentionn&
On peut aussi obteuir la relation entre l'dquation int~grale (6) et le syst~me d'dquations (4) en posant a = b - l = 1 dans l'dquation (6') dans [2]. Par quelques ealeuls on obtient le rSsultat en question.
Dans l'article [3] j'ai 4tudi~ le syst~me (4) et j'ai obtenu le th~or~me suivant.
Thiior~me. Le syst$me (4) poss~de une et seulement une solution inddTendante x = (Xl, x2 .... ) # 0 qui rend les sdries de (4) convergentes.
Dans l'~tude de [3] j'ai pos$
v 2 ( s ) = ~ c . s ~ , o h c n = ( - 1 ) n x . ( n = 1,2 .... ).
nffil
x = (xl, xu .... ) pr~sente une solution du syst~me (4). J ' a i obtenu
~ ( s ) - ~ ( - s) e °(-') S Wl --S 2"
196
AI~KI~ r FSI~ MATEM~.TIK. B d 8 n r 20
Ici g(s)= u + iv est la fonction analytique dans Is I< 1, dont la partie r~elle satisfait ~ la condition
1 1
u(e '°) = ~ l o g ~ , - ~ r < O < ~
et dont la partie imaginaire s'annule sur le segment ( - 1,1). Si l'on pose 11 1
g(s) = ~ og ~ + k(s), il s'ensuit
1 e~l ) + 1 ( s ek(8 > _ 1 k(~)~
1 1 - e ~°]
o5 k(e i°) = ~ l o g ---0-- "
Voir [3], page 599.
@onclusion. L'dquation (1) poss~de une et seulement une solution inddpendante
~(x) = ~ 1 xq x ~-1, o~ la sdrie ~q~=l q-1 xq converge.
Probablement on peut gSn~raliser le r4sultat obtenu.
En publiant le present article je veux exprimer ~ M. Otto Frostman, Professeur l'Universitg de Stockholm, rues sentiments reconnaissants pour les critiques amicales et les fecondes entretiens dont j'ai profit~ au fil des armies.
B I B L I O G R A P H I E
i. C ~ R L ~ . ~ , T., Sur la r~solution de certaines 6quatinns int6grales. Arkiv fTr m a t e m a t i k , astronomi och fysik 16, no. 26 (1922).
2. I)~GE~OV.M, K., Sur un syst~me d'~quations lln6aires ~ une infinit6 d'inconnues. Arkiv fbr m a t e m a t i k 6, no. 7 (1965).
3. DAGERHOL~, •., Sur u n syst~me d'6quatinns lin6aires ~ une infinit6 d'inconnues. II. Arkiv fbr m a t e m a t i k 7, no. 45 ~1968).
4. M ~ , S. G., Singular integral equations. (Translations. Series one, volume 1O. Functional Analysis a n d Measure Theory. American Mathematical Society, R h o d e Island, 1962.) 5. MUSKB~.LISKVrr.I, 1~. I., Singular integral equations. (Second edition, Moscow, 1946. Transla-
tion. Groningen0 1953.)
@. TRICOMI, F. G., Integral equations. New York, 1957.
Tryckt den 21 april 1970
Uppsala 1970. Almqvist & Wiks¢lls Boktryckeri AB
197
