L'ARITHMI TIOUE SUR LES C0URBES ALGt BRIOUES.
P a r
ANDRE WEIL '~ PA:RtS.
I n t r o d u c t i o n .
La g4om4trie sur une courbe ~lg4brique a pour objet l'4tude des propri4t4s des points et syst~mes d e points 1 sur la courbe qui sont invariantes par rapport aux transformations birationnelles, lV[ais soit C une courbe ~lg4brique donn4e par une ~quation
f ( x , y ) : o ~ coe.fficie~ts ratio~els
(darts un certain dom~ine de rationalit4 k): appelonspoints ration~els
les points qui sont £ coordonn4es ra- tionnelles (dans k), et points alg4briques ceux qui sont £ coordonn4es alg4bri- ques; appelonssystOme rationnel
de n points tout syst~me de n points tel que les fonctions sym4triques des coordonn4es de ces points soient rationnelles, et syst6me alg4brique tout syst~me de points ulg4briques; Yon peut se proposer d'4tudier les propri4t4s des points e t syst6mes de points rationnels ou alg4bri- ques sur 1~ courbe C, et particuli~rement celles de ces propri4t4s qui sont in- variantes par rapport aux transformations birationnelles £ coefficients rationnels:c'est cette 4rude qui constitue l'objet de ce que je nomme
l'arithmgtique sur la courbe C.
En particulier, la recherche des points r~tionnels sur une courbe donn4e C est 4videmment un probl~me invariant par rapport aux transformations birationnelles ~ coefficients rationnels, et rentre, £ ce titre, dans l'arithm&tique sur les courbes alg4briques: lorsque le domaine de rationalit4 se r4duit £ l'ensemble des nombres rationnels, ce probl~me n'est autre que celui de la r4solu- tion en nombres rationnels des 4quations diophantiennes £ deux variables, ou
1 Afin de rdserver le m o t de g r o u p e au s e n s qu'il a p r i s d e p u i s Galois, je p a r l e r a i t o u j o u r s de s y s t e m e s de points, b i e n q u ' o n air l ' h a b i t u d e en gdomdtrie alg(~brique de p a r l e r de g r o u p e s de p o i n t s s u r u n e courbe.
3 6 - - 2 8 2 2 . A c t a mathematica. 52. Imprlm6 le 4 novembre 1928.
282 Andr6 Weil.
encore (ee qui r e v i e n t au m4me) de la r6solution en h o m b r e s entiers des 6quations d i o p h a n t i e n n e s homog~nes "~ trois w r i a b l e s .
Depuis D i o p h a n t e , qui leur a laiss6 son nora, l'on a 6tudi6 une foule d'6qua- ti0ns partieuli6res de e e t t e sorte, et eertaines d ' e n t r e elles out provoqu6 des efforts eonsid6rables: il suffira de citer l ' 6 q u a t i o n x ~ + y ' ~ = I , d e n t l'impossibilit6 en h o m b r e s rationnels p o u r n > 2, affirm6e p~r F e r m a t dans ses Observations sur D i o p h a n t e , est rest6e i n d 6 m o n t r 6 e jusqu"~ ee .jour. Mais ee n ' e s t qu'~ une 6poque r o u t e r6eente que les progr6s de la g6om6trie sur les courbes alg6briques sugg6r~rent d ' a b o r d e r p a r des m6thodes analogues l'6tude g6n6rale des 6quations d i o p h a n t i e n n e s ~ deux variables, t t i l b e r t et t t u r w i t z ~ r e m a r q u h r e n t les premiers que la r e c h e r c h e des points r a t i o n n e l s sur u n e eourbe alg6brique est un probl6me i n v a r i a n t p a r les t r a n s f o r m a t i o n s birati0nnelles '~ coefficients r a t i o n n e l s : il en r6sultait que l'616ment f o n d a m e n t a l de classification des 6quations d i o p h a n t i e n n e s deux variables est le g e n r e de l ' 6 q u a t i o n et n o n son degr6; en u t i l i s a n t des t r a v a u x de N o e t h e r , ils m o n t r 6 r e n t c o m m e n t les t r a n s f o r m a t i o n s birationnelles f o u r n i s s e n t u n proe6d6 simple p o u r r6soudre c o m p l 6 t e m e n t routes les 6quations d i o p h a n t i e n n e s de g e n r e o. P o i n e a r 6 8, sans eonnaltre, ~ ee qu'il semble, le tr~- vail de I-Iilbert et H u r w i t z , en r e t r o u v a les r6sultats, p a r m i b e a u c o u p d'autres, dans u n m6moire 6tendu, qui c o n s t i t u e au reste, c o m m e il le dit lui-m4me,
>>plut6t u n p r o g r a m m e d'6tude q u ' u n e v6ritable th6orie>>; la plus g r a n d e p a r t i e de ce m6moire est consacr6e g l'6tude des points r~tionnels sur les courbes de genre I, et p a r t i c u l i ~ r e m e n t sur les cubiques. Ce qui s'y t r o u v e de plus impor- t a n t , c'est la d6finition du ra,ng d ' u n e courbe de g e n r e I ~ coefficients ration- nels: a d m e t t 0 n s que la courbe c o n t i e n n e u n p o i n t r a t i o n n e l au moins, on p o u r r a la r a m e n e r , p a r une t r a n s f o r m a t i o n birationnelle £ coefficients rationnels, £ la f o r m e c a n o n i q u e y S = 4 x S - - g ~ x - - g ~ ; soit alors u l ' a r g m n e n t elliptique sur lu courbe, de sorte que x - ~ p u et y = ~ ' u : si u et v sont les a r g u m e n t s de deux points rationnels, les f o r m u l e s d ' a d d i t i o n des fonctions elliptiques m o n t r e n t que les points d ' a r g u m e n t s u + v, u - - v sont aussi r a t i o n n e l s (ce q u ' o n p e u t voir g 6 o m 6 t r i q u e m e n t , ear les droites qui j o i g n e n t le p o i n t - - u aux points - - v , + v, c o u p e n t r e s p e c t i v e m e n t la courbe aux points u + v, u - - v ) . E n d ' a u t r e s termes, les a r g u m e n t s des points r a t i o n n e l s f o r m e n t u n m o d u l e ; soit. q le p l u s - p e t i t e n t i e r (tim ou infini) tel qu'il y air dans ce m o d u l e q h o m b r e s u~, u_~, . . . , uq
Ueber die diovhantischen Gleichungen vom Geschlecht Null, Aeta m~th. ~. I4 (189o), p. 217.
3 Sur les propri~t~s arithmdliques des courbes algdbriques, J. de Liouville (V), t. 7 (I9OI), p. I61.
L'arithmdtique sur les courbes alg6briques. 283 f o r m a n t u n e base (ee qui veut dire que t o u t h o m b r e du m o d u l e sera de la f o r m e m l u l + m ~ u 2 + + m q u q , les me d t a n t entiers): q + I e s t appeld p a r P o i n c a r d le rang de la cubiqne et de la eourbe initiale; c'est u u i n v a r i a n t p a r les trans- f o r m a t i o n s b i r a t i o n n e l l e s ~ coefficients r a t i o n n e l s ; on p e u t dire, bri~vement, que c ' e s t le n o m b r e m i n i m u m de points r a t i o n n e l s sur la courbe ~ p.artir desquels tons les autres p u i s s e n t se ddduire p a r des opdrations r~tionnelles.
Duns le d e r n i e r p a r a g r a p h e de son mdmoire, off il a b o r d e les courbes de g e n r e 29 quelconque, P o i n c a r d m o n t r e que, p o u r gdn6raliser les rdsultats trouvds p o u r le g e n r e I, il f a u t consid~rer, n o n plus les points r a t i o n n e l s sur la courbe, m a i s les systbmes r a t i o n n e l s de p points: l~ encore, il ddfinit u n i n v a r i a n t de la courbe p a r les t r a n s f o r m a t i o n s b~rationnelles ~ coefficients r a t i o n n e l s , le rang, qui est le n o m b r e m i n i m u m des systSmes r a t i o n n e l s de p points ~ p a r t i r desquels tous les a u t r e s se ddduisent p a r des o p 6 r a t i o n s rationnelles.
D e p u i s Poincard, le progrSs le plus i m p o r t a n t a 6t6 fair p a r Mordell 4, qui d d m o n t r a que le r a n g des courbes de g e n r e I e s t n d c e s s a i r e m e n t fini lorsque le d o m a i n e de r a t i o n a l i t 4 se r~duit ~ l ' e n s e m b l e des h o m b r e s r a t i o n n e l s ; son ana- lyse, trSs ingSnieuse, est u n e a p p l i c a t i o n aux dquations de la f o r m e a y ~-~
~ x 4 - - 2 9 x S - - q x 2 - - r x - - s , de 1~ m~thode de descente infinie: cette m~thode, appliquge s y s t g m a t i q u e m e n t p o u r la p r e m i e r e fois p a r F e r m a t qui !ui d o n n a ce nora, consiste, c o m m e on suit, £ d o n n e r Un procdd~ p a r lequel, de t o u f e solution d ' u n e dquation ~ dtudier, on p e u t en ddduire u n e autre, et £ m o n t r e r que l'itdra- tion de ce procdd~ ne p e u t @tre poursuivie indSfiniment; c'est ainsi, p a r exemple, que F e r m a t d d m o n t r a l'impossibilitd de y"~--x ~ - z ~ en n o m b r e s entiers, en f a i s a n t voir que de r o u t e solution l'on p e u t en ddduire une a u t r e en n o m b r e s entiers plus petits.
Duns le p r e s e n t travail, je d g m o n t r e que le r a n g d ' u n e courbe C est fini quel que soit son g e n r e p e t quel que soit le corps de n o m b r e s (alg6brique et fini) q u e l'on choisit comme domuine de rationalitd. Cette d d m o n s t r a t i o n est expos~e au c h a p i t r e I I : comme celle de ~Vlordell, elle consiste en une a p p l i c a t i o n de la m d t h o d e de descente infinie, et se divise p a r suite en deux p~rties: duns l~ premiSre (§§ I I - - I 4 ) , l'~tude a r i t h m d t i q u e d e la courbe C f o u r n i t un procddd p~r lequel, de t o u t syst~me r ~ t i o n n e l de 29 points sur C, l'on en d~duit u n a u t r e ; 4 On the rational solutions of the indeterminate cquations of the third and fburth degrees, Proc. of the Cambridge Philos. Soc., t. 2I (I922), 1 ). I79. - - Sur l'ensemble de l~ question, on consultera T. bTagell, L'Analyse Inddterminde de degr5 su2~drieur (Paris, Gauthiers-Villars, Collection ,,Mdmorial des Sciences Mathdmatiques,) off se trouve anssi une bibliographie @tendue.
284 Andr6 Well.
de mSme que le proc6d6 de ~¢Iordell reposait sur la bissection des fonctions ellip-
%iques, le mien est tir6 de la bissection des fonctions ab61iennes; du reste on pourrait utiliser la division par n queleonque avec la m~me faeilit6. Duns les
§§ i 5 - - i 9 , je montre que l'it6rution du proc6d6 ainsi trouv6 ne peut 4tre pour- suivie ind6finiment, ou plutbt qu'elle conduit, £ partir d'un certain moment, "~
des syst~mes de p points faisunt partie d'un ensemble fini assignable u priori:
c'est ce qui rdsulte de l'6tude arithmdtique de la. varidtd alg6brique "£ p dimen- sions dont les 616ments sont les systbmes de 29 points sur C, et qu'on uppelle ordinairement la varidtd jacobienne de C; et l'on verra que la descente infinie fournit, duns ees conditions, le rdsultut ddsir6. Duns ce ehapitre I I se trouvent du reste quelques points qui ne sont peut-~tre pus suns int6r4t pour lu thdorie des fonetions ubdliennes, m6me inddpendamment des consdquences urithm6tiques qui en ddcoulent.
Pour pouvoir effectuer la descente infinie duns un cus aussi g6ndrul, off l'on ne dispose plus de l'appareil si commode des fonctions elliptiques, j'emploie des th6or~mes g6ndraux d'arithm6tique sur les vuri6~6s alg6briques, qne je nomme th4or~mes de d4composition: le chapitre I leur est eonsacr6. Une propri6t6 es- sentielle des courbes de genre o est que route fonetion rutionnelle d'un point de lu courbe peut 4tre d6compos6e en fueteurs dont chacun est relatif, soit '£ un seul p61e, soit £ un seul z6ro de la fonction. S i t est le para.m6tre sur lu courbe, on u en effet:
( t - ( t -
f ( M ) : 1~.
( t - v) ( t - ( t - v("))
ou d'une mani~re plus symdtrique, en posant t = ~ et en rendant homog~ne:
Y
f( 1) =
i - - 1
Si de plus les coefficients de f et les coordolan6es de M sont des hombres alg6- briques, on pourra supposer que 4, u, ai, fl~', 7i, ~', x, y sont des entiers alg6- briques.
Pour une courbe quelconque, une telle ddcomposition en facteurs n'est 6videmment plus possible. I1 est vrai que la considdrution des id6uux duns le
L'arithm~tique sur les courbes algdbriques. 285 corps des f o n c t i o n s r u t i o n n e l l e s sur iu courbe f o u r n i t des d d c o m p o s i t i o n s qui, d ' u n p o i n t de vue p u r e m e n t algSbrique, s o n t susceptibles de r e n d r e des services unulogues: m a i s elles ne s o n t pus u r i t h m ~ t i q u e m e n t utilisubles. Or, si l ' o n se b o r n e uux c o u r b e s et f o n c t i o n s £ coefficients a l g d b r i q u e s et unx p o i n t s £ coor- donndes ulgdbriques, il existe, sur u n e courbe de g e n r e quelconque, n n e d~com- p o s i t i o n effective des f o n c t i o n s r u t i o n n e l l e s en f u c t e u r s d o n t c h a c u n est r e l u t i f u n seul pSle de lu f o n c t i o n s'il se t r o u v e uu d d n o m i n u t e u r ou ~ un seul zdro s'il se t r o u v e uu n u m d r u t e u r : c e t t e d d c o m p o s i t i o n est doric l ' a n a l o g u e e x a c t de la f o r m u l e ruppelde plus h a u t ; il est v r a i que l ' o n ne p e u t plus s u p p o s e r que les f u c t e u r s uccessoires, q u i r e m p l u c e n t les f u c t e u r s £ et # de cette f o r m u l e , soient c o n s t a n t s : m~is en t o u t cas ils sont bornds, c'est:£-dire qu'ils d i v i s e n t des e n t i e r s c o n s t a n t s . Ce r~sultut c o n s t i t u e le >)th~or~me de ddcomposition>>, et se t r o u v e d d m o n t r ~ d~ns les §~ I - - 3. L e reste du c h u p i t r e I (§§ 4 - - i o ) est con- sacr~ £ la gdndrulisation de ce t h d o r b m e uux vari4tds £ plusieurs d i m e n s i o n s sans p o i n t singulier: lu d d m o n s t r ~ t i o n donnde p o u r les c o u r b e s s ' 5 t e n d £ ce cas uvec des modifications convenubles. J e n e suis pus si le m ~ m e t h 5 o r ~ m e r e s t e vrui p o u r les varidtds les plus gdngrules.
L e s r d s u l t a t s expos6s uu c h u p i t r e I o n t n u t u r e l l e m e n t des r a p p o r t s ~troits uvec lu th~orie des idduux duns les corps de f o n c t i o n s alg5briques, qui p o u r r a i t du r e s t e servir £ en d d m o n t r e r uu m o i n s u n e p a r t i e . Mais l ' o n p e u t lire le prS- sent t r a v a i l sans r i e n conn~itre de cette thgorie, qui d'ailleurs, mulgrd l ' i m p o r - t a n c e des rdsultats d~,j'£ ucquis, a sans d o u t e encore bien des p r o g r ~ s "2 fuire:
je m e suis c o n t e n t d de r e n v o y e r en n o t e uux p r i n c i p u u x m d m o i r e s off elle se t r o u v e traitde. ~
D u n s l a c o n c l u s i o n (§ ~o) je d o n n e uu r d s u l t u t du c h u p i t r e I I su f o r m e d~finitive: on t r o u v e que tons les sylst~mes rationnels de p o i n t s s u r u n e c o u r b e d~rivent d ' u n h o m b r e fini d ' e n t r e eux p a r ~ddition et s o u s t r a c t i o n . On constute en m ~ m e t e m p s qu'~ r o u t e c o u r b e est uttuch~ n n g r o u p e ubdlien de base finie, qui ne ddpend que du d o m u i n e de rutionalitd, muis qui reste i n v u r i u n t p a r r o u t e s les t r a n s f o r m a t i o n s b i r u t i o n n e l l e s £ coefficients duns ce d o m u i n e de rutionulit~;
de 1£ on d~duit f u c i l e m e n t lu d5finition d ' u n e infinitd d ' i n v u r i u n t s n u m 6 r i q u e s des c o u r b e s £ coefficients ulgdbriques.
5 Je dois encore signaler tout particuli6rement de remarquables rdsultats de B. L. van der Waerden, qui paraitront duns les Math. Ann. sous le titre Zur Produktzerlegung der Ideale in ga~z-abgeschlossenen Rin.qen, et qui, entre autres applications importantes, semblent susceptibles d'6tre employds avec fruit '£ l'dtude des questions aborddes dans notre chapitre I.
286 Andr6 Well.
Enfin, uu § z I, je signule quelques-unes des questions les plus difficiles qui se p o s e n t ~ propos des r6sultats trouv4s, i1 y e n a encore bien d'uutres, car l ' a r i t h m 6 t i q u e sur les courbes ulg6briques est u n d o m a i n e presque inexplor6.
J ' u i re~u de M1V[. Garnier, Siegel, van der W a e r d e n , des avis pr6cieux uu cours de la r6duction de ce travail: qu'il me soil permis de les r e m e r c i e r ici.
C H A P I T R E I.
L e t h 6 o r ~ m e de d ~ c o m p o s i t i o n .
P a r corl)s nous e n t e n d r o n s t o u j o u r s u n corps de n o m b r e s alg6brique et fini.
Si k est un c o r p s , u n surcorps de k est u n corps c o n t e n a n t ~.
Dans ce travail, nous p r e n d r o n s p o u r domuine de rationulit6 un corps k, et le m o t >)rationnel>> devr~ s ' e n t e n d r e , sauf i n d i c a t i o n c o n t r a i r e , uu sens de ration,nel relativement ~t k. K d6signera t o u j o u r s un surcorps a r b i t r a i r e de k.
I. Un n o m b r e seru dit r a t i o n n e l r e l u t i v e m e n t '£ K s'il a p p u r t i e n t '£ K . U n 4tre g6om6trique est dit rationnel relatfveme~t ~ K s'il p e u t ~tre d6fini p a r des 6quations r a t i o n n e l l e s ~ coefficients r a t i o n n e l s r e l a t i v e m e n t ~ K , et il est dit s i m p l e m e n t ratio~mel s'il est r u t i o n n e l r e l a t i v e m e n t au domuine d e rationalit6 k.
E n purticulier: une courbe alg6brique plune sera r a t i o n n e l l e r e l a t i v e m e n t '£ K si les coefficients de son 6quation sont dans K ; une f o n c t i o n des points de lu courbe sera rutionnelle r e l a t i v e m e n t '£ K si c'est une f o n c t i o n r a t i o n n e l l e , '~ co- efficients dans K , des coordonn6es d ' u n p o i n t de lu courbe. U n point seru ra- t i o n n e l r e l u t i v e m e n t ~ K si ses coordonn6es sont dans K ; un syst~me de points l e seru si les f o n c t i o n s sym6triques rutionnelles, ~ coefficients duns K , des co- ordonn6es de ses points o n t des valeurs rationnelles r e l a t i v e m e n t '£ K . U n point sera dit ulgdbrique si ses coordonn6es sont des n o m b r e s alg6briques.
Soil S u n syst~me de points ~lg6briques; nous appellerons K(S) le -plus p e t i t surcorps de K r e l a t i v e m e n t uuquel S est r a t i o u n e l , c'esb~-dire le corps o b t e n u en a d j o i g n a n t ~ K les f o n c t i o n s sym6triques r a t i o n n e l l e s des coordonnSes des points de S. Si S se compose d ' u n seul p o i n t M, K(M) sera le corps ob- t e n u en a d j o i g n a n t ~ K les coordonn6es de M. K ( M i, M ~ , . . . , M~) d6signera te corps o b t e n u en a d j o i g n a n t ~ K les coordonn6es des points 3/1, M 2 . . . . , Mk.
Soil alors C une courbe alg6brique rationnellc. Consid6rons u n c f o n c t i o n des points alg6briques de C, qui ~ chaque p o i n t ulg6brique M sur C fasse
L'arithm~tique sur les eourbes alg~briques. 287 c o r r e s p o n d r e u n ideal e n t i e r du corps K ( M ) , de telle sorte qu'g des points con- jugu~s r e l a t i v e m e n t g K c o r r e s p o n d e n t des id~aux conjugu~s r e l a t i v e m e n t g K : u n e telle f o n c t i o n sera appel~e une
distribution 8ur
C, r a t i o n n e l l e r e l a t i v e m e n t g K . On p e u t f o r m e r le p r o d u i t et le pgcd (plus g r a n d c o m m u n diviseur) de deux ou plusieurs distributions.D e u x d i s t r i b u t i o n s d , d ' sont dites
gquivalentes, et
l ' o n 6eritd ~ d ' ,
s'il y a deux entiers fixes a, a', teis que les id~aux 6, 6' que d , d ' f o n t c o r r e s p o n d r e g M satisfassent, quel que soit le p o i n t alg~brique M , a u x relations6:6/a6', ~'/a' 6.
L a rela.tion d'~quivalence est sym~trique et transitive. Si
d ~ d ' , e~z e',
les pro- duitsd . e et d ' . e '
sont ~ q u i w l e n t s , les p g c d (d, e) et (d', e ' ) l e sont aussi.D e u x distributions
d , d '
sont dites premiSres e n t r e elles si( d , d ' ) ~ I . Con-
venons d ' a p p e l e rideal bor,ng
u n ideal qui divise u n e n t i e r fixe: alors deux distri- b u t i o n s sont p r e m i e r e s e n t r e elles si leur pged est un ideal born&Une d i s t r i b u t i o n d est dire divisible p a r une a u t r e a , et l'on ~crit
a/d,
s'il y e n a une troisi~me b telle que d ~ a . b . Si d e t a f o n t c o r r e s p 0 n d r e u n p o i n t M les idSaux 6, a, il y a u r a alors u n e n t i e r fixe a t e l que c~/a6; r~ci- p r o q u e m e n t , s'il e n e s t ainsi, on uur~a/d.
Si m~me l'on ~ trouv5 u n e n t i e r fixe a tel que l'on ~ita/a6
p a r t o u t sauf en u n n o m b r e fini de points d o n t a u c u n n ' e s t u n zSro de a , l'on aur~ encorea/d,
car il Suffira de p r e n d r e p o u r a~ u n multiple c o m m u n de a et des valeurs de a aux points exceptionnels p o u r que 1~ r e l a t i o na/a16
soit v~rifi~e p a r t o u t .Soit f ( M ) une f o n e t i o n des points de C, r a t i o n n e l l e r e l a t i v e m e n t g K . Si M est u n p o i n t ~|g~brique sur C,
f ( M )
sera un n o m b r e du corps K ( M ) , qui p o u r r a ~tre considerS, dans ee corps, c0mme le q u o t i e n t de deux id~aux premiers e n t r e eux:f ( M ) = ~ ;
en u n p61e de f , nous p r e n d r o n s ~ = I, a = o , et en un zSro de f , ~ - ~ o et a = ~. A t o u t p o i n t alg6brique M c o r r e s p o n d ainsi u n ideal a; la d i s t r i b u t i o n qui p r e n d lu w l e u r a en t o u t p o i n t M sera appel~e 1~distri- bution e,~gendrie ~ar f, et
sera n o t r e [ f ] ; elle est r a t i o n n e l l e r e l a t i v e m e n t g K .2. N o u s nous b o r n e r o n s d o r ~ n a v a n t g consid~rer les distributions engen- d r i e s p a r des f o n c t i o n s sur C, et les distributions d~duites de celles-lg p~r les operations du p r o d u i t et du p g c d ; appelons d i s t r i b u t i o n s n a t u r e l l e s celles q u ' o n
6 ~/# signifie que l'id~al .u est divisible par ~.
288 Andr~ Well.
p e u t obtenir ainsi. Nous allons m o n t r e r qu'£ t o u t point algdbrique sur C cor- respond une distribution nuturelle inddcomposuble, c'est-£-dire qui n'est divisible par uucune distribution naturelle n o n 6quivalente ~ elle ou ~ I ; et route distri- b u t i o n nuturelle est 5quivalente ~ un p r o d u i t bien d~termin6 de ces distributions ind6eomposables.
J u s q u ' a u § 4, nous ddsignerons par des minuscules latines les fonctions des points de C, rationnelles r e l a t i v e m e n t "2 u n corps K , ou bien la valeur en un point algObrique M d'une de ces fonctions; nous emploierons des minuscules grecques exclusivement pour ddsigner des iddaux entiers, valeurs en M de dis- tributions sur C, ou bien ces distributions elles-mSmes. Nous dcrirons des 6qua- tions c o n t e n a n t des id~aux, 05 figureru le signe + : ces ~quutions a u r o n t u n sens p u r e m e n t symbolique, et signifieront que chaque terme est divisible par le pgcd de t o u s l e s autres; de telles ~quations peuvent ~tre divisOes par t o u t idOal entier qui divise t o u s l e s termes. Duns ces gquations, u n ust~risque d~signera u n fae- t e u r ideal ind~termin~.
Soient x, y deux fonctions des points de C, r a t i o n n e l l e s relutivement '2 K .
S i y n'a d'autres poles que ee~tx de x,
~vec des multiplicit~s a u plus ~gules, [x]est divisible par
[y]. On u en effet:aye+ x P ( x , y ) +
Q ( y ) = o , a ~ o , P, Q ~tunt l( ~, #, a dtant des id~uux premiers entre de degr6 ~ k - - I . Si donex = - a , y : a ,
eux de K ( M ) , on aura: a t t ~ + - z - Z + ~ a ~ o , done
(~,a)/a.
L a distribution a, quiff
est multiple de [it/], est done dquivulente "~ [x]--(z~-a) "
i1 s'ensuit que
deux fonctions ayant m~mes poles
(avec les mSmes multiplici- t~s)engendrent des distributions dquivalentes:
car chacune de ces distributions est divisible par l'uutre.Deux fonctions x, y sans pole commun engendrent des distributions premiOres entre elles.
On a en effet:axkyZ+ P(x, y ) : o ,
a : ~ o , P 4rant de degr5 --</c+l--i en x et y, de degrd --<It en x et --~l e n y . S i x - - , y ~ F t , et (),, a) : (u, v ) : I(7 T
on u: a2~/tz+ ~-((7,~)~o, d'o5
((7, v)/a,
saul en un pole de x ou de y: mais ces poles sont en hombre fini, et en u n tel pole, par hypoth~se, ((7,,):#o, done 1~r e m a r q u e du § I s ' a p p l i q u e . .
S i f a parmi ses pbles tous les pbles communs de x et de y, [J] est divi- sible par le pgcd de [x], [y]. E n effet, ajoutons prdal~blement £ f u n e const~nte, de fuQon que f n ' a i t pour zgro uucun des poles de y: cela remplace [ f ] par une
L'arithm4tique sur les courbes alg4briques. 289 distribution 4quivulente. Celu fair, j: et y sont sans pble commun. Soient
°
x ~, y f--- ~ , ~vec (L ~) = (#, ~) = (~, ~) = ~. et [Y] sont prem, eres entre elles:
(., et
Si f a pour pSies tousles p61es communs ~ x et y e t eeux-l~t seule,~ent, [f]
diviseru [x] et [y] et ser~ divisible par le pged de [x] et [y], on uur~ done:
Ill (H, [yl).
Si les l)~les commu~s ~'~ f ct g so~t les ~n~mes que les p~les commu~s ~'~ x et y, [ f ] et [g] seront divisibles par le pgcd de
[xl
et [y], et de m~me [x] e~ [y]seront divisibles par le pgcd de [ f i e f [g], donc:
(If], [g]) ~ (Ix], [y]).
3. P a r suite, si A est u n point alg4brique, le pgcd des distributions en- gendr4es par deux fonctions dont A est le seul p61e c o m m u n est une distribu- tion p~rf~itement d6finie, ~t une 4quivalenee pros, par la. donn4e de A; nous la noterons d.4; si A et B sont distincts, d.~ et d~ sont premieres entre elles, car si x et y sont deux fonctions sans p61e commun, dont la premiere a d m e t le p51e A et 1~ seconde le pSle B , Ix] et [y] seront premieres entre elles, d~ diviser~
[x], et dB divisera [y].
Soit ulors f u n e fonction, r~tionnelle relativement & K , uyant pour pSles distincts les points A~, A e , . . . , A~ ~vec des multiplicit4s respectives r~, r ~ , . . . , rm.
Choisissons zm fonctions xi, y~ de telle sorte que xi, y~. soient rationnelles rela- tivement £ K(Ai), uient A~ pour senl p51e commun, et que deux fonctions d'in- dices diff4rents soient sans pSle commun. On aura: dA~.~([x~], [yi]). Or f a -pour pSles les pSles c o m m u n s '~ H x ~ i et £ ~ [ y ~ ; [ f ] est done 4quivalente au
i ~ l t ~ 1
pgcd de x~ et y~.i , et divise par suite le pged de I [ [x~] ri et [ [ [y~]~ ;
i i
muis pour i~.)' [x/] et [yj] sont premieres entre elles, on ~ donc:
3 7 - - 2822. Acta mathematica. 52. I m p r i m ~ le 4 n o v e m b r e 1928.
290 Andrd Well.
D'autre est donc divisible puisque d ~ et d<~
part f a parmi ses pSles tous les pbles communs ~ x~'~' et y~, [jr]
par e ~i quel que soit i, et par consequent uussi par ] I
~ri
d:i~ ii
sont premieres entre elles pour i ~ j . Donc enfin:
m
i = 1
FMsons ulors correspondre "£ tout point alg6brique A de C, par une r~gle univoque rams arbitrMre, deux fonctions xa, y..t rationnelles relativement £ k(A) et ayan~ A pour seul p61e commun; supposons seulement que la r~gle choisie soit telle qu"£ des points A conjugu6s relativement ~ k correspondent des fonc- tions xA, y:l relativement conjugu6es. Prenons pour d~ le pgcd des distributions [xA] et [yA]; et soit co(A, M) l'id~al que dA fair correspondre au point M.
Soi~ f une fonction rationnelle relativement £ K, de p61es (distincts ou non) A1, A s , . . . , A ~ , et de z6ros B 1,B,_,,...,B,,. On aura:
I f ] oz dA,. d ~ . : . . . , d.%., ood~,, ds..,..., ds,,.
En d'autres termes, nous avons d6montr6 le th6or~me suivant:
Th~or~me de d~composition. - - C grant une courbe alg~brique ration,helle rela- tivement ~t k, l'on peut faire correspondre t't tout couple de poi,nts algdbriques A, M sur C un ideal ~o (A, M) du corps k (A, M) de telle sorte q:ue l'on air, si f est une fonction rationnelle, arbitrairement choisie, d'u~ point de C, si Ai, As, . . . , A~ sont
les pfles de f , B~, Bo_, . . . , B , ses zdros et M u n poi~.t alg~brique quelconque:
I co (B~, M ) . w (B.2, M ) . . . . co ( B . , M ) f ( M ) = ~ ( ( A - ~ Mj_~o(A-~[ M) . . . . oJ(A,,, M)
~, tt et le pgcd du uum~rateur et du d~nominateur ~tant des id~aux bor,~s, c'est-5- dire divisant des entiers ind~pendants de M.
I1 importe de remarquer que si un syst~me de points A1, A s , . . . , A,~ est rationnel, la distribution dA~. d A 2 . . . , dA n est rationnelle, c'esg-~-dire que l'id6al
~o(A~,M).co(A~,M) . . . . o ( A n , M ) est un id6al du corps k(M): ce produit est en
L ' a r i t h m 6 t i q u e sur les courbes algdbriques. 291 effet une n o r m e ou un p r o d u i t de normes r e l a t i v e m e n t ~ ~:(M). P o u r u n e raison analogue, s i d est une d i s t r i b u t i o n r~tionnelle, f a i s a n t c o r r e s p o n d r e £ t o u t p o i n t alg6brique M u n id6al 3(M), et si M1, M , ~ , . . . , M~, f o r m e n t u n syst~me ration-
nel, l'id6al d(M~).d(M~) . . . . 3(~L,) est u n id6al du corps k. 7
Observons encore, sans d6mons~ratlon, que l ' o n p e u t (aprbs a.voir au besoin 6tendu le d o m a i n e de ration~lit6) a d m e t t r e q u e ~o(A, M ) d6pend s y m 6 t r i q u e m e n t de A et de M , c'est-~-dire que w(A, M ) ~ o~(M, A).
4. J/[ultiplicitgs ~ plusieurs dime~sio~,'. - - Les rdsultats pr6cddents p e u v e n t 5tre 6tendus aux f o n c t i o n s alg6briques de plusieurs variables; une 6rude compi6~e de ce cus serait c e p e n d a n t difficile, e~ exiger~it sans d o u t e u n e thgorie prdulable des id6aux duns les corps de f o n c t i o n s que l ' o n a u r a i t £ consid6rer, s iXous nous o c c u p e r o n s seulemen~ des vari6t6s sans p o i n t singulier, en nous a t t a c h a n t aux rdsultats les plus simples et ~ ceux d o n t nous a u r o n s besoin duns le c h a p i t r e suiv~nt.
Soit donc V u n e vari6t6 alg6brique ~ ~ dimensions, plong6e duns un espace projec~if ~ 1 dimensions, d 6 p o u r v u e de p o i n t singulier, et rationnelle, c'est ~-dire ddfinie p a r des 6quations ~ c o e f f c i e n t s r~tionnels r e l a t i v e m e n t £ k. P o u r abr6ger, nous appellerons s~t~faces les vari6t6s alg6briques irr6ductibles £ ~ - - ~ dimensions, situ6es sur V, et rationnelles r e l a t i v e m e n t ~ u n s u r c o r p s K de k (c'est-~-dire d6finies p a r des 6quations £ coefficients duns K ) . U 6rant une surface, ~:(U) d6signera le plus petit surcorps de )i: rela~ivemen~ auquel U est rationnelle.
N o u s a u r o n s £ consid6rer des f o n c t i o n s s u r V, rationnelles r e l a t i v e m e n t u n surcorps K de k; u n e telle f o n c t i o n est le q u o t i e n t de d e u x formes de m4me degr6 p a r r a p p o r t aux coordonn6es h o m o g 6 h e s d ' u n p o i n t de V, les coefficients de ces formes 6 t a n t dans K . Les infinis d ' u n e f o n c t i o n rationne]le r e l a t i v e m e n t
•
2 K f o r m e n t u n syst4me de surfaces (off chaque surface poss6de une mul~iplicit6
r Ln d6fiuition des distributions r~tionnelles et lu r4gle f~isant correspondre /~ tout A des fonctions XA, YA ont 6td formuldes justement de telle sorte qu'il en soit bien ~insi.
s Une telle thdorie serait 6galement indispensable pour asseoir sur des bases solides la thdo- tie des fonctions alg6briques de plusieurs variables et ]a gdom6trie alg6brique (cf. pour les courbes alg6briques le mgmoire bien connu de Dedekind et Weber, Theorie def" algebraisc]~e~t Fu~ktio~e~t einer Verdnderlichen, J. de Crelle, t. 92 (I882), p. I8I). Elle rentre naturellement duns ]e cadre des travaux g6n6raux de E. Noether (v. p. ex. Absh'akler Aufba~t der Ietealtheo~'ie i~t algebraise]ten Zahl- und F'unktionenkbrper, Math. Ann. t. 96 (i926)~ p. 26) eb de W. Krull (Theorie der all,qe- meinen Zahlri~tge, Math. Ann. t. 99 (~9z8), P. 5I); elle prdsente cependant encore des difficult6s consid6rables, Dans cet ordre d'id6es, on consultera avee grand profit les travaux de B. L. van der Waerden, particuli6rement Zur Nullstellentheorie der l)olynomideale, M~th. Ann. t. 96 (t926), p. I83, ainsi que le m6moire cit6 note 5.
292 Andr4 Weil.
d6termin6e), qui sera uppel6 le s y s t 6 m e d'infinis de la f o n c t i o n et sera dit r a t i o n - nel r e l a t i v e m e n t ~ K . Soient d e u x ou p l u s i e u r s syst6mes de surfaces, r ~ t i o n n e l s r e l a t i v e m e n t £ K : s'il n ' y a a u c u n e s u r f a c e qui figure "2 la lois duns t o n s ces syst6mes, ils s e r o n t dits p r e m i e r s e n t r e eux; duns le cas c o n t r a i r e , a t t r i b u o n s c h a q u e s u r f a c e f i g u r a n t ~ la lois duns t0us ces syst6mes la plus p e t i t e des multi- plicit6s qu'elle y poss~de: on a ains~ u n n o u v e a u syst~me, qui s e r a dit, lui aussi, r a t i o n n e l r e l a t i v e m e n t "2 K , et que n o u s n o m m e r o n s le p g c d des syst~mes ini- t i a u x . Soient de m 4 m e d e u x ou plusieurs syst6mes; et '~ c h a q u e s u r f a c e figur~nt a u m o i n s duns l ' u n d ' e n t r e e u x a t t r i b u o n s u n e m u l t i p l i c i t 6 6gale '~ la s o m m e des multiplicit6s qu'elle poss6de duns tous ces s y s ~ m e s : le n o u v e a u s y s t h m e ainsi f o r m 6 sera appel6 le p r o d u i t des systhmes initiaux. Si u n s y s t ~ m e S est le pro- d u i t d ' u n a u t r e T p a r u n troisi6me, ce d e r n i e r est appel6 le q u o t i e n t de S p a r T et se n 0 t e r a
S:T;
on d i r a duns ce c~s que S est m u l t i p l e de T et I ' divi- seur de S. L e p p c m (plus p e t i t c o m m u n multiple) de p l u s i e u r s syst6mes est le p g c d de tous les m u l t i p l e s c o m m u n s de ees syst6mes. 9 S o i e n t x~, x 2 , . . . , x~des f o n c t i o n s r a t i o n n e l l e s r e l a t i v e m e n t K K , et soi~ S l e p p c m des syst6mes d'infinis de ces f o n c t i o n s : S est m u l t i p l e du s y s t g m e d'infinis de ~ aixi, quelles
1
que soient les const~ntes a~, et est i d e n t i q u e '~ ce syst~me si les a~ s o n t pris a n h a s a r d ; on n o m m e r ~ S le s y s t ~ m e d'infinis de la f a m i l l e x~, x2, . . . , x,~.
5. C o m m e p o u r les courbes, u n e d i s t r i b u t i o n d sur V s e r a u n e f o n e t i o n qui, '~ t o u t p o i n t algdbrique M de V, fern e o r r e s p o n d r e u n iddal ff du corps K ( M ) , de s o r t e qu'~ des p o i n t s con.]ugu6s r e l a t i v e m e n t '~ K c o r r e s p o n d e n t des i d 6 a u x c o n j u g u 6 s r e l u t i v e m e n t ?~ K . Soit
f(M)
u n e f o n c t i o n r a t i o n n e l l e relative- m e n t ?~ K ; s o i t , en t o u t p o i n t algdbrique M o~ f n ' e s t pus i n d g t e r m i n d e , f =£ et a g r a n t des iddaux p r e m i e r s e n t r e e u x de
K(M),
de s o r t e que ~ o i a = I en un z6ro de f , et ~ I , a = o en u n infiui de f ; soit g - - a = o a u x p o i n t s d'in- d 6 t e r m i n a t i o n de f , qui s o n t les p o i n t s c o m m u n s a u x syst~mes d'infinis de f e t1
de j.; on ~ d i r a que a e t 2 s o n t les v a l e u r s respectives, en M , des d i s t r i b u t i o n s
Ces d6nomin~tions de pgcd, de produit, etc., rec~oivent leur sens plein p~r 1~ eonsiddr~tion des id~ux d~ns le corps des fonetions r~tionnelles sur V. Nos ,,surfaces,, e~ nos ,syst~mes de surfaces,~ ne sont autres, en effet, que les
,Primdivisoren,
et les,Divisoren,
de B. L. van der Waerden (loe. cir. note 5, § 8), au tr~v,~il duquel on pourr~ doric se reporter pour des d~monstra- tions purement ~lg~briques de nos ~ffirm~tions.L'arithm~tique sur ]es courbes ~lg~briques. 293 [~| et engendr~es par f e t ~. Si xl, x~, . . . , xm sont des fonctions ration- nelles relativement ~ K , le p p c m des distributions qu'elles engendrent est une distribution qni est multiple de aixi qnelles qne soient les eonstantes ai, et qui sera dire e~ge~2drde ~ar la famille xl, x~, . . . , x,~: on la notera [xl, x~, . . . , x~].
Nous nous bornerons b~ considgrer les distributions >>naturelles>>, c'est-k-dire les distri- butions engendr~es par des fonctions ou des familles de fonctions et les distri- butions qui se d~duisent de celles-l£ par les op6rations du produit et du pgcd.
Soient d, d' deux distributions, faisant correspondre £ un point M les idg- aux ~,6'; d sera dire divisible par d ' si l'on a ~'/a6, a 5rant un entier indg- pendant de 3I; si 6'/a6 en tout M sauf en cert~ins points M exceptionnels, d sera dire divisible par d' sauf en ces points; s i ces points exceptionnels appar- tiennent tous £ un syst~me de surfaces dStermin~, d sera dire divisible par d ' presque partout. Deux distributions d, d ' seront dites ~quivalentes, gquivalentes saul e n c e r t a i n s points, 5quivalentes presque partout, suivant que chacune est divisible par l'autre, divisible par l'autre saul en certains points, divisible par l'autre presque partout. Deux ou plusieurs distributions seront dites premiSres entre elles, premieres entre elles satff en eertains points, premieres entre elles presque partout, suivant que leur pgcd est 5quivMent h I, 5quivalent £ I sauf e n c e r t a i n s points, ~quivalent £ I presque partout. P a r exemple, si la fonction
est rationnelle relativement ~ K , I f ] et /7"[ sont premieres entre elles
f
presquep~rtout (partont sauf aux points d'ind~termination de f).
6. Soient xl, x 2, . . . , x,~ des fonctions rationnelles relativement £ K; soient S, et T, les syst6mes d'infinis respectifs de x, et de i et soft S le syst~me
X~
d'infinis de la famille x~, xe, . . . , x,~. On dira que x~, x~, . . . , xm forment une f a m i l l e r6guli~re si, £ tout point A de V, l'on peut faire correspondre nn indice tel que A ne soft ni sur S : S , . ni sur T~,. S'il e n e s t ainsi, m combinaisons lingaires indSpendantes des x,., £ coefficients constants, forment ~galement une famille rSguliSre.
Soft x~, x e , . . . , x,~ une famille r~guli6re, soft S son systSme d'infinis, et soft y une fonction dont le systSme d'infinis soft diviseur de S: da~,s ces condi- tions, [y] divise [x~, x e , . . . , xm]. ConsidSrons en effet, darts nn espace projectif m + ~ dimensions, la vari~tg algSbrique irr~ductible dScrite par le point de
294 Andr6 Well.
coordonn~es homog~nes x l , x o , . . . , x~, y, I q u a n d le p o i n t a r g u m e n t d6erit V:
eette vari~t6 ne passe pas p a r le p o i n t (0, o , . . . , o, I,O), ear en t o u t p o i n t de V on p e u t d 6 t e r m i n e r v de f a g o n que y~ x~ y reste fini; elle est donc c o n t e n u e dans u n e vari6tg ~ m dimensions qui ne passe pas non plus p a r le p o i n t (o, o . . . . , o, I, o);
a u t r e m e n t dit, l'on a: a y k + ~ x ~ P ¢ ( x l , x ~, . . . , x m , y ) + Q ( y ) = o , a # o , les PC et
i
Z~ tt
Q d t a n t de degr6 ~ k - - I . Soient, en un point n o n situs sur S, x i = , y = ,
q ~7
et (ZI, Z s . . . . ,Zm,tt, a ) = I ; o n a u r a al~k+~-~Z~+~a-~o, d ' o f l ( Z ~ , Z , , . . . , Z , ~ , a ) / a : a, multiple de [y], est donc 6quivalente ~ [xl, x s . . . . , xm].
I1 s'ensuit que deux familles rgguli~res, aya~t m~me syst~me d'i,nfinis, en- gendrent des distributions gquivale~#es.
S o i e n t Xl, x ~ , . . . , x~ des f o n c t i o n s d o n t les systbmes d'infinis sont sans p o i n t c o m m u n : elles e~gesdre~t des distributions prenzi~res e~tre elles presque 19artout, ou, plus prdcis6ment, p a r t o u t sauf aux p o i n t s d ' i n d 6 t e r m i n a t i o n de l'une de ces fonc- tions. Cousid~rons en effet, dans u n espace £ m dimensions, la vari6td alg6-
I I I
brique irr6ductible dgcrite p a r le point , , -.., q u a n d le p o i n t a r g u m e n t
X 1 X~ Xm
d6crit V: cette vari6t6 ne passe pas p a r l'origine, elle est done c o n t e n u e dans une vari6t6 £ m - - I dimensions qui n ' y passe pas n o n plus; a u t r e m e n t dit, l ' o n a : , - - , ..., = o , F a y a n t u n t e r m e c o n s t a n t a = # o . Si l'on pose, en u n
Z 2
p o i n t 0fi tous les x, ont des valeurs d6termin6es (finies ou infinies), x,. = , avee
o n - a u r a : . . . . + a ' o a
1
7. Consid~rons m a i n t e n a n t des f o n e t i o n s Xl, x.~, . . . , xm a y a n t r e s p e e t i v e m e n t S~, S ~ , . . . , Sm p o u r systgmes d'infinis, et ~elles que, si S est le pged des S,, les m quotients S , : S soient sans p o i n t eommun. Soit d ' a u t r e p a r t f~,f~_,...,f~ une famille r~guli~re d o n t le syst~me d'infinis 2 soit multiple de S: la distribution [ f ~ , f ~ , . . . , f ~ ] sera divisible par ([x~], [x~] . . . . , [ X m ] ) presque 19artout, ou, plus pr6- cis6ment, p a r t o u t sauf en un p o i n t d ' i n d ~ t e r m i u a t i o n de l ' u n des x , . E n effet, d'aprSs la d6finition des familles r6guli6res, les systSmes d'infinis des mp fonc-
, ~ .
tions ~-y~ sour sans p o i n t commun. P o s o n s donc, en u n p o i n t oli les :~2i sont
L'arithm~tique sur les courbes Mg~briques. ~95
d~termin~es, x v = - avee ( ~ . , . , ~ ) - - I et [ f l , f ~ . . . , f p ] ~ 8 , 2 ~ = ~ . On a u r a :
i-a~.~:f~i]/a,
le p r e m i e r m e m b r e d g s i g n a n t le p g e d des d i s t r i b u t i o n s engendr~es p~r les m~v f o n c t i o n s ~ , Xv d'o1"1 (zl, z.2, . . . ,a~)/a~:
cette r e l a t i o n est du reste v~ri- fige d'elle-mSme en u n zgro de x~, car alors a ~ = I, et en un p o i n t de :~, car a l o r s a ~ o : elle est donc bien v~rifi~e p a r t o u t sauf aux points d ' i n d ~ t e r m i n a t i o ndes x~.
S o i e n t alors m familles r~guli~res x(~ ~), x9 ') x (~) (~ = I 2, m) a y a n t les syst~mes S~ p o u r syst~mes d'infinis respeetifs, et relies que, si S est le pgcd des S~, les Sv : S soient sans p o i n t e o m m u n ; et soit de n o u v e a u f l , f~, • •., fp u n e famille r~guli~re d o n t le syst~me d'infinis soit multiple de S:
[ f t , f 2 , . . . , f p ] sera divisible Ear le pgcd des m distributions
[x(~ ~), x~) " x(v)l P o s o n s e n effet, en u a p o i n t ~1,[ f l , f 2 , . . . , f p ] = 8 et
[x~ *)] : o ~ ) ; d'apr~s ce qui precede, o n p o u r r a ehoisir l ' e n t i e r a de maniSre '~ avoir ,(a( 1)~ , a('~)~,, . . . ,a~))/a~
quels que soient les indices i~ et le p o i n tM ,
sauf peut-~tre si M est u n p o i n t d ' i n d ~ t e r m i n a t i o n de l'un des x (~)" mais si x 0) p a r exemple, est ind~termin~ en M , M sera sur S~, et il y a u r a j~ tel que x (1) soit d~termin~ et infini en M ; rempla~ons de m~me 3~c h a c u n des
x(: ~}
qui sont ind~termin~s en M p a r u n x}~ ) d ~ t e r m i n ~ e t i n f i n i e n M , et soit jv ~ i v q u a n d x(. ~) est d~terming en M : on aura, en M , , ~, , ~ , . . . , ~vet a(v)=-a!v)~v ~v
quel que soit ~. L a r e l a t i o n,(a(. ~)~, , a(? , . . . , al.:))/a~
est donc v~rifi~e en t o u t p o i n t quels que soienk les i,; si donc, enM , [x~),x(~'),...,xj[~]=v,.,
on a bien (~, ~ , . . . ,~,~)/a~
quel que soit M . Si l'on considSre alors p familles rgguli~res telles que leurs syst~mes d'infinis respectifs aienk S p o u r pged e~ que les q u o t i e n t s d'e ces syst~mes p a r S soienk sans p o i n t c o m m u n , elles e n g e n d r e n t des d i s t r i b u t i o n s d o n t le pged est ~q~ivalent au p g c d des [x(~ ~), x(~'), . . . , x(~], car e h a c u n de ces pged, d'apr~s ee qui precede, est divisible p a r l ' a u t r e ;si done, S dta~t don~d, on 2eut choisir de telles familles
d ' u n e maui~re au moins,le pgcd des distributions qu'elles enge~dre,nt est parfaitement ddtermind (~
u n e ~quivalenee pros)2 a t la do,n~e de S;
on le n o m m e r ala distribution apparte,nant ~ S, et
on le n o t e r a dz.Soient Xl, x e , . . . , x~ et y~, y ~ , . . . , y~ deux familles rgguli~res, a y a n t p o u r syst~mes d'infinis S et T , et consid~rons la famille eonstituge p a r les
mp
fonc- tionsxiy~: c'est une famille rdguli~re aya~t S. T pour syst~me d'infi.nis,
que nous296 Andr6 Weil.
nommerons le produit des familles x~ et ~; et la distribution qu'elle e~gen&'e est
~q,uivalente au produit des disb'ibutions engendr~es par les familles x~ et yj: c~r elle est 6quivulente £ 1~ distribution engendr6e p~r la f~mille r6guli~re, de systSme d'infinis S T , qui est constitute par les 3rap fonctions xiyj, (xi+ I)yj et x~(y;+ I);
m~is cette derni~re fumille engendre l~ distribution [x~, xe, . . . , xm]. [y~, y~, . . . , yp], cur cela r6sulte du fair qu'en g6n6rul le ppcm de [xy], [(x+ I)y] et [x(y+ I)]
est Ix]. [y]. Consid6rons ~lors m f~milles r~guli~res, ~y~nt respectivement pour syst~mes d'infinis S~, S ~ , . . . , S~ et engendrant des distributions a~, a g , . . . , a,~, et p autres fumilles r~guli~xes, uy~nt pour systbmes d'infinis I'~, T g , . . . , T~
et engendrunt des distributions b~, b~ . . . . , b~); formons le produit de ch~cune des familles du premier groupe p~r ch~cune des familles du second: nous obtenons mp familles r6guli~res, ay~nt pour syst~mes d'infinis respectifs les syst~mes S~T~., et engendrant respectivement les distributions a~b~. Soient S le pgcd des Sty, T celui des T,, et supposons qu'il n'y air uucun point com- mun aux syst~mes S~ : S, ni aux syst~mes T~ : T: alors le pgcd des a~, est lu distribution ds appartenant "2 S, et de m~me le pgcd des b~ est tiT. Duns ce cas il qq'y a ~wn plus aucun point commun aux mp s.yst~mes (S I, I'~) :(S I'), de sorte que le pgcd d s . dT des mp distributions al, b, est ~quivalent ~t la dish'ibutiou d~,. T appartenant ~'~ S . T: ds T ~ ds. tiT.
8. Or, la vari6t6 V 6t~ut s~ns point singulier, l'on peut faire correspondre,
£ tout syst~me S, des families r6guli6res telles que leurs syst~mes d'infinis ~tient S pour pgcd et que les quotients de ces syst~mes p~r S soient s~ns point com- mune0: tout syst~me 6t~nt un produit de ~)surfaces,>, il suffit de montrer qu'il en est ainsi pour route surfuce U. Soient en effet X o, X~ . . . . , Xt les coordon- ndes homog~nes d'un point de V, soit U une surfuce rationnelle rel~tivement £ K , et consid6rons l'ensemble des polyn6mes en Xo, Xj . . . Xt, ~ c0effcients r~- tionnels rel~tivement ~ K , qui s'annulent chuque fois que le point (X o, X 1,'.. ., X~) se trouve sur U. D'apr~s un th6or~me c61~bre de Hilbert ~, on peut choisir duns cet ensemble des polyn6mes P~, P ~ , . . . , P~: en hombre fini, tels que tout
10 I1 est essentiel, p o u r q u ' i l en soit ainsi, que V soit s a n s s i n g u l a r i t 6 ou d u m o i n s trans- f o r m a b l e en u n e vari6td s a n s singularitd p a r u n e t r a n s f o r m a t i o n b i r a t i o n n e l l e et b i u n i v o q u e s a n s e x c e p t i o n ; et il n ' e n serait p a s ainsi, p a r exenlple, s u r u n c6ne du second degr6. J e dois cette r e m a r q u e et cet e x e m p l e '~ B. L. v a n der W a e r d e n .
H H i l b e r t , Ueber die Theorie der algebraischen I~ormen, Math. Ann. t. 36 (189o), p. 473 (v. § I, Th. I). Cf. s u r ce t h d o r e m e les m ~ m o i r e s de E. N o e t h e r et B. L. van der W a e r d e n ddjh cites.
L'arithm~tique sur ies courbes alg~briques. 297
N
autre polynbme de l'ensemble soit de la forme ~] Pi Q/, les
Qi
dtant des poly- 1nSmes quelconques; duns le cas prdsent, on peut m~me supposer que les
Pi
sont homoggnes, de degrds respectifs d~. SoientP1, P2,..., Pe
ceux des Pi qui ne s'annulent pas e n tout poin~ de V: ils ne s'annulent simultandment en aucunct o t~ 1
Xo X1 . . . X~t, point de V non situ6 sur U; si t)4 est l'un d'eux, l e s fonctions p~ , off l'on donne aux a tous les syst~mes de valeurs enti~res ~ o de somme da, forment une famille r6guli6re don t le syst6me d'infinis est l'intersection :~ de V avec la vari6t6 g 111 dimensions
Pa(Xo, X1,... , X~)=o.
Et les syst6mes ~ : U sont sans point commun. Car supposons un instant qu'ils passent tous par A:alors, en ddsignant par P ua quelconque des polyngmes qui s'annulent sur U et par :~ rinterseetion de g avec
P = o ,
on auraitP=~PiQi,
et :~: Upasserait par A. ~ a i s , A 6taut un point simple de V, V a en A une vari6t6 lin6aire tangente g n dimensions: soient Y0-~ Y~ . . . I G = o les 6quations d'une vari6t6 lin6aire L ~ l - - n - - I dimensions qui ne coupe pas cette vari6t6 tangente, les :Y 6rant des combinaisons lin6aires des X g coefficients duns K; et soit F ( Y o , Yl . . . . , :I~) le polynSme irr6dnctible enYo, Y1,..., Y,
qui s'annule sur U, de sorte que F = o sera l'6quation de la vari6t6 projetant U ~ partir de L . Si nous prenons P = F ( ] z 0 , Y 1 , . . . , l~n), le pointA,
6taut simple sur V, aura sur U et sur ~ le m4me ordre de multiplicit6, et par suite ~ : U ne passera pus par A.Faisons alors correspondre g route surface U, par une r~gle univoque mais arbitraire, des familles r6guli6res telles que leurs syst6mes d'infinis respectifs aleut U pour pgcd et que les quotients de ces syst6mes par U soient sans point commun: supposons seulement que ces familles soient form6es de fonctionsration- nelles relativement g k(U), et que les fonctions des familles correspondant ~ des surfaces conjugu6es relativement g /c soient respectivement conjugu6es relative- ment ~ It. La r~gle adopt6e permet de calculer en tout point alg6brique la distri- bution d v appurtenant g une surface U, distribution qui n'6tait d6finie jusqu'£
pr6sent (en supposant qu'elle e x i s t g t ) q u ' g une 6quivalence pros; soit
~o(U,M)
la valeur de d v e n M, fournie par cette r6gle: c'est un id6al du corps /c(U, M) (c'est-g-dire du plus petit surcorps de ]c relativement auquel U et M sont ra- tionnels).
9. Convenons de dire qu'un syst~me de surfaces est constitu6 par les sur- 3 8 - 2822. .Acta mathematica. 52. I m p r i m 4 le 5 n o v e m b r e 1928.
298 Andr~ Weil.
faces U1, U ~ , . . . , U~ s'il se compose de eelles des Ui qui sont distinctes, c h a e u n e 4 t a n t prise a u t a n t d e lois qu'elle f i g u r e darts la suite U~, ~ , . . . , U~. 5loss avons ddmontr~ le thSorSme suivant:
Th6orbne. - - Soit S un systems de smfaces rationnel relativement h K , con- stitud par les smfaces U~, U~ . . . . , U~: & S appartient une distribution d s ration-
~elle relativement ~ K , et l'on a:
d s ~ dg, . Clu~. . . . du~.
S o i t x une f o n c t i o n r a t i o n n e l l e r e l a t i v e m e n t '£ K ; soient S e t T l e s sys- t~mes d'infinis respectifs de x et de I Consid4rons m familles rdguli~res
x
f(~),f(2 ~), f(~) ( v = I, 2, m) telles que leurs syst~mes d'infinis respectifs soient des multiples R , T de T , et que les quotients R~ soient sans p o i n t c o m m u n : pgcd des m d i s t r i b u t i o n s [f~),f!7 ) . . . . , f ~ 2 ] , qui est nmltiple de [ ~ ] , alors le
est ~quivalent ?~ dT; soit donc a une d i s t r i b u t i o n tells que d r . ~ a l I I . Les
.. r e g u h e r e de systeme d'infinis
f0nctions xf(~ ~), xf(~ "), ., xf([~ f o r m e n t u n e famille " ""
R , S ; donc le pgcd des m d i s t r i b u t i o n s [xf~ ~'), xf(2 ~) .. . . , x f ~ ] est 4 q u i v a l e n t £ e/s:
mais il est ~quivalent £ a Ix], puisque x est ~gal en t o u t p o i n t au q u o t i e n t des valeurs de et de [xl. Nous avons ainsi le th~orgme suivant:
Theorems de d ~ c o m p o s i t i o n . - V dtant une varidt~ alg6brique sans singular'ill, et rationnelle relativement de k, l'on p e s t f a i r s corresTondre ~ touts >>surface>> algd- brique U et h tout point alg~brique M sur V un ideal w( U, M ) du co~Ts k(U, M ) , ayant la propridtd suivante: soit f une fonction arbitraire d'un point de V, ration-
! f
helle relativement ~ K , et soient respectivement U1, U~, . . . , Up et U ~, U ~, . . . , U'q les surfaces constituant les syst~mes d'infinis de f et de ~ ; on aura, en tout point I
alg~brique M sur V:
Z~o(U',, i ) . o,(U'~, M) . . . . o,(t:'~, 3/)
et tt ~tant des idgaux bornds, c' est-~-dire divisant des entiers inddpendants de M . 1~
~ Ici, contrairement au cas off V 6tait ~ une dimension, le pgcd du numdrateur et du dd- nominateur n'est plus n~cessairement un iddal born6.
L'arithm4tique sur les courbes alg~briques. 299 Observons que routes les notions que nous avons ddfinies jouissent, comme on dit, de
l'invariauce relative,
c'est-£-dire qu'elles sont invariantes par route transformation birationnelle et biunivoque s a n s exception. En particulier, nos rdsultats sont valables, non seulement pour les vari~t~s sans singularitds, mais encore pour celles q u i sont en correspondance birationnelle et biunivoque sans exception avec une vari~t~ sans singularit6s.IO. Ddmontrons encore un r~sultat dont nous aurons besoin au chapitre II.
Soit de nouveau V sans singularitds, et soit t u n e transformation de V en elle- m~me qui, £ t o u t p o i n t M de V, fasse correspondre sans exception un point bien ddtermind
t M
de V d@endant rationnellement de M, de telle sorte que tout point P de V, sans exception, corresponde h. r points bien ddterminds, dis- tinets ou eonfondus, qui seront appel~st-lP:
une telle transformation sera ap- pel~e une transformation (I,r) sans exception de V en elle-m~me. U dtant une surface sur V, et P u n point qui ddcrit U, nous appellerons t - i U le syst~me de surfaces composd des surfaces d~crites par les pointst - l P ,
chacune de ees surfaces dtant affectde d'une multiplicit4 dgale au nombre de pointst - l p
qui co~'ncident avec un point pris gdu~riquement sur elle; et, ~si S est un syst5me de surfaces constitud par les surfaces Ui, U ~ , . . . ,Urn,
nous appclleronst-~S
le pro- duit des m syst~mest-iUi.
De toute fonction f ( M ) , a y a n t S pour syst~me d'infinis, l'on dgduit au moyen de t u n e fonctionf ( t M)
ayantt-~S
pour syst~me d'infinis; et si les fonctions f i , f~, ...,fi~ forment une famille rdguli~re de syst~me d'infinis S, les fonetions f~ (tM), f ~ ( t M ) , . . . , fh(t M) formeront une famille rSguli~re de syst~me d'infinist-~S.
Soit alors S u n syst~me queleonque, et considdrons m f a m i l l e s rdguli~res f(~') f(~') f(~) ( ~ = I , 2 , m) telles que leurs syst~mes d'infinis aient S pour pgcd et que les m quotients soient sans point commun. Le pgcd des m distri- butions [f(,'),f~), • " ' ,f(~')] est ~quivalent £ h ~ ,
ds:
soit w(S, M) sa valeur en u n point M. Alors les m famillesf(~)(tM),f(~')(tM),...,f):)(tM)
seront rgguli~res, et telles que leurs systgmes d'infinis aientt - I S
pour pgcd et que les quotients soient sans point commun. P a r consequent le pged des distribut~ions qu'elles engendrent est~quivalent £ tit-is: mais ce pgcd a pour valeur en M l'id6al
w(S, tM).
Donela distribution qui a pour valeur ~o(S, tM) en tout poi~t algdbrique M est gquivalente la distribution appartena~t ~t t - i S .
Si l'on conna~t la distribution appurtenant S, on en d6duit ainsi eelle qui appartient ~t-~S.
Ce r~sultat peut aussi s'4- erire, en d6signant parw(t-aS,
M) la valeur en M d'une distribution appurtenantt - i S : w(S, t ~ ) = w(t-lS, I f ) .
300 Andr4 Weft.
C H A P I T R E II.
Les syst~mes rationnels de p points sur les eourbes de genre p . I I. Soit C une courbe alg~brique de genre p, rationnelle relativement ~t k.
Soient w~ ( u - - I , 2 , . . . , p ) les p int~grales normges de premiere esp~ce sur C.
Prenons un syst~me fixe F de p points
A~,A~,..., Ap
sur C: £ tout syst~me de p points M~, M . ~ , . . . , M~ nous ferons correspondre le point de l'espace (u~, u~, . . . , uv) qui a pour coordonn~es:i~
A~
Convenons de consid~rer des points de l'espace (u) comme identiques si les differences de leurs coordonn~es forment un systgme de p~riodes des int~grales w~. A tout syst~me S de p points correspond, alors un point u et un seul; e t nn point u correspond en g~n6ral £ un syst~me S bien d~termln~ (on en tout cas g une s~rie lin~aire complgte de systgmes ~quivalents). En raison de cette correspondance, nous parlerons indiff~remment du systgme S o u du point u qui lui correspond; cela conduit £ ne
pas distinguer entre des syst~mes dquivalests, et
aussi, par exemple, £ dire qu'un point u e s t rationnel relativement g K s'il cor- respond £ un systgme rationnel relativement g K . Si les systgmes S,S,, T
cor- respondent aux points u, u', v, nous noteronsS + S ' - - T
le systgme correspondantu+u'--v,
c'est-£-dire au point dont les coordonnges sont les combinaisonsu~+u'~--v~
des coordonn~es deu,u',v:
ce n'est 1~, du reste, que la notation courante en ggomgtrie alg~brique.Dans ce qui suit, et jusqu'g la fin de ce chapitre, le mot de systgme dg- signera, sauf indication contraire, un syst~me de p points s u r C.
I2. F ~tant le systgme fixe choisi plus haut, solt
f~(M)
une fonetion de degr~ 2p ayant chacun des points de F pour pSle double, et ayant des z~ros doubles e n p points formant un systgme 7. Si s est un systgme quelconque form6 des points Mx, M o , . . . ,Mp,
nous posons:h 5rant une constante que nous fixerons plus loin.
L'arithm6tique sur les courbes alg6briques. 301 Consid6rons deux syst6mes variables g, g' et deux systSmes fixes go, g~o, ainsi que les syst6mes
G - - g 4 g ' - - F et Go-~go+g'o--F;
soit ~ la fonction de degr6 21o qui a pour p61es les points de G e t F et pour z6ros ceux de g e t g'; soit de mSme 9% la fonction ayant pour p61es do et F et pour z6ros go et g'o. Sup- posons que F et 7 n'~ient aucun point commun avec g,g', G, go, g'o,
Go, e~ tra~9ons sur la surface de Riemann de C un contour ferm6 £ divisant cette surface en deux morceaux, dont Pun ~ contienne F et 7 et l'autre $ contienne g,
g', G,
! #
go,go, Go.
La fonction ~p=~-- aura p o u r p61es'G, go,go et
pour z6rosGo,g,g'.
~o0 Consid6rons l'int6grale:
if
2-zi logf~.d(log~p).
Dans $, l o g f z est r6gulier, cette int6grale aura donc pour valeur:
[F,,(G)
F~(qo) F~(.q'o) ]
log ~ - - ~ v •
L/'~CGo) ~(g) F~(g ) ]
D'autre part, q u a n d on d6crit £, log fz et log ~p reviennent ~ leurs valeurs ini- tiales, on peut donc int6grer par parties et 6crire notre int6grale:
i f log ~p. d (logf~).
£
Posons, s grant un syst~me de points 3/1, M ~ , . . . ,
Mp:
o n
• (8) = VJ(M1). ~(M~) . . . . W(M~)
q)(r)
trouve, pour valeur de l'int6grale, log ~0 6tan~ r6gulier dans ~: 2log ~(7) Choisissons alors h de
fagon
queG(go)G(g'0)=G(Go);
nous aurons:Y~(g) F~(g') -- [_ O(y) J ' G = g + g ' - - r
(A) et en particulier, pourg-~g':
G ( G ) = G ( g ) , G = 2 g - r .
(B)
k
(7)
J302 Andr6 Weil.
I3. Supposons m M n t e n a n t qu'il existe sur C des syst6mes r a t i o n n e l s de p points, et que /', go, g'o soient de tels syst6mes. Si les points u, v de l'espaee (u) sont rationnels, les points u + v le seront aussi: les p o i n t s r a t i o n n e l s f o r m e n t u n module (ou, en d ' a u t r e s termes, u n groupe ab41ien p a r r a p p o r t £ l'addition).
Nous nous proposons, au conrs de ce e h a p i t r e , de d 4 m o n t r e r le th4or6me s u i v a n t :
Th~or~me de la base finle. - - L e module des points ratio,nnels de l'espaee (u) 2)oss~de une base fortune d'un hombre f i n i de points.
E n d ' a u t r e s termes, il suffit de c o n n a l t r e sur C un n o m b r e fini de syst~mes r a t i o n n e l s p o u r t r o u v e r r a t i o n n e l l e m e n t t o u s l e s autres.
S i c e th4orgme est vrai p o u r un sureorps K de k, il sera aussi vrai p o u r k.
Car le m o d u l e des points u r a t i o n n e l s r e l a t i v e m e n t ~ k est e o n t e n u dans le mo- dule des points r a t i o n n e l s r e l a t i v e m e n t £ K et est de base finie si c'est le eas p o u r ce dernier. Cette r e m a r q u e nous autorise £ remplacer, au eours de la d4- m o n s t r a t i o n , /c p a r tel sureorps que nous voudrons, sans que eela diminue en r i e n la g4n4ralit4 du r4sultat. N o u s supposerons en partieulier que les 22P--I systOmes 7 (qui se d4duisent de F p a r l'addition, a u p o i n t e o r r e s p o n d a n t £ F dans l'espaee (u), des e2P--I demi-p4riodes n o n nulles) sont tous ration~wls: ear il en est ainsi si l'on a remplae4 /c p a r u n sureorps eonvenable.
Appliquons le th4orgme de d4eomposition £ la f o n e t i o n f~(M); nous o b t e n o n s : A,(M) =
v ( M ) et H ( M ) 6rant les vMeurs en M de d i s t r i b u t i o n s r a t i o n n e l l e s et ;~ et tt divisant des entiers fixes. On a donc, si S est u n syst~me r a t i o n n e l form6 des points M 1, M.~ . . . . ', Mp:
= h. : [ v ( M 1 ) . . , v(M,) ]"
Soit h =-Q, @ et a 4rant des id4aux entiers, et posons
ff
i v(M,,)
a . # , . ..tt~ H(M1) .. . H(Mp)
Y2 est u n id4aI de k. P r e n o n s , dans chaque classe d'id6aux de k, u n id6al fixe;
si a est celui qui est de la classe de t~, l'on a u r a :
