De la simulation informatique
`a la mod ´elisation algorithmique :
dans quel langage d ´ecrire le monde ?
Gilles Dowek
Un probl `eme
Quelle est la fr ´equence des oscillations ?
Un probl `eme
Quelle est la fr ´equence des oscillations ?
m x ¨ = −mg − kx
Un probl `eme
Quelle est la fr ´equence des oscillations ?
m x ¨ = −mg − kx ν = 1
2π
r k
m
Une m ´ethode
Math ´ematiser le syst `eme ´etudi ´e
R ´esoudre le probl `eme math ´ematique
Il est possible de math ´ematiser le syst `eme ´etudi ´e
Une hypoth `ese r ´ecente
La philosophie est ´ecrite dans cet immense livre qui se tient
toujours ouvert devant nos yeux, je veux dire l’Univers, mais on ne peut le comprendre si l’on ne s’applique d’abord `a en comprendre la langue et `a connaˆıtre les caract `eres dans lequel il est ´ecrit. Il est ´ecrit dans la langue math ´ematique et ses caract `eres sont des triangles, des cercles et autres figures g ´eom ´etriques (Galil ´ee).
Une hypoth `ese controvers ´ee
Si ces subtilit ´es math ´ematiques sont vraies dans l’abstrait, elles ne correspondent pas `a la mati `ere physique et sensible quand on les y applique (Galil ´ee [Simplicio])
Une hypoth `ese encore controvers ´ee
Le but de l’esprit pragmatique est la r ´ealit ´e, et son chemin vers ce but est l’observation ad ´equate et pleine d’attention ; le but de
l’esprit dogmatique est la formule, et son chemin celui de la construction math ´ematique (Stark)
La linguistique th ´eorique [...] trop souvent d ´eguise son complexe de ≪ science humaine ≫ et donc fondamentalement inexacte, sous des formules math ´ematiques (Yaguello)
Une hypoth `ese intrigante
The eternal mystery of the world is its comprehensibility (Einstein).
The enormous usefulness of mathematics in the natural sciences is something bordering on the mysterious and that there is no
rational explanation for it (Wigner).
II. Une ´equation diff ´erentielle est-elle une hypoth `ese r ´efutable ?
En soi, l’ ´equation
m x ¨ = −mg
(m ˆeme avec les conditions aux limites
x(0) = 0, x(0) = 0 ˙
)n’est pas une pr ´ediction testable
Mais elle permet de faire des pr ´edictions testables :
x(t) = −1/2gt
2,x(1s) = −4.9m
Ce qui rend l’ ´equation diff ´erentielle r ´efutable
est que sa solution est un algorithme (
−1/2gt
2) qui permet de calculerx
quand on connaˆıtt
Un algorithme qui op `ere sur des nombres r ´eels
Un algorithme qui op `ere sur des nombres r ´eels
ε 1 2
η
3 q
4 algorithme qui calcule f r
f(x) avec la précision x avec la précision
Les solutions des ´equations diff ´erentielles sont-elles toujours algorithmiques ?
m x ¨ = −mg
: ouix(t) = −1/2gt
2En g ´en ´eral : non (Pour El et Richards, c. 1980)
Contre-exemple tr `es artificiel : cond. aux limites algorithmiques, mais non d ´eriv ´ee
Donc plut ˆot oui (Costa, Grac¸a, Campagnolo, ...)
Avant Pour El et Richards
Euler (m ´ethode de) El ´ements finis´
Calcul approch ´e donc exact
Equation diff.´
+
algorithme de r ´esolution des ´equations diff.=
solution algorithmique de cette ´equation
analytique ?
Solution algorithmique
=
algorithme de pr ´ediction du r ´esultat des exp ´eriences
pr ´edictions testables, donc r ´efutabilit ´e
III. Un myst `ere de plus en plus ´epais
La th `ese de Galil ´ee
Une exp ´erience : on pr ´epare un syst `eme en choisissant des param `etres
a = a
1, ..., a
n, on mesure des valeursb = b
1, ..., b
pLa relation entre
a
etb
peut ˆetre exprim ´ee par une proposition math ´ematique (par exemple, par une ´equation diff ´erentielle)Sans doute, une partie seulement de la d ´eraisonnable efficacit ´e des math ´ematiques dans les sciences de la nature
Et maintenant ... une nouvelle th `ese
Il existe un algorithme qui permet de calculer
b
connaissanta
Plus forte : tous les algorithmes exprimables par des propositions, mais toutes les propositions n’expriment pas des algorithmes
Le monde est encore plus compr ´ehensible qu’Einstein le pensait, c’est encore plus incompr ´ehensible
Mais cette th `ese existe d ´ej `a
C’est la forme physique de la th `ese de Church-Turing
Si on fabrique une machine alors cette machine ne calcule que des fonctions algorithmiques
Mais qu’est-ce qu’une machine ?
Une machine : on pr ´epare un syst `eme en choisissant des param `etres
a
, on mesure des valeursb
La forme physique de la th `ese de Church-Turing et la th `ese de Galil ´ee parlent de la m ˆeme chose
La forme physique de la th `ese de Church-Turing implique la th `ese de Galil ´ee
Explication de la raison pour laquelle la th `ese de Galil ´ee est vraie Quoique ... explication d’un myst `ere par un autre plus ´epais
Sauf que ...
La forme physique de la th `ese de Church-Turing a d ´ej `a rec¸u une explication
Th ´eor `eme de Gandy (1980) Elle est cons ´equence de
– l’homog ´en ´eit ´e de l’espace et du temps
– la finitude de la vitesse de transmission de l’information – la finitude de la densit ´e de l’information
Avec Arrighi : extension au cas quantique
Sur le plan philosophique :
explication de la th `ese de Galil ´ee ne suppose que des propri ´et ´es objectives de le la nature
Sur un plan plus pratique :
le monde peut ˆetre mod ´elis ´e non seulement avec des ´equations diff ´erentielles mais aussi avec des algorithmes
IV. La mod ´elisation algorithmique
Mettre un probl `eme en ´equation ?
R1 : Un avion sur la piste peut la quitter, en direction d’un garage R2 : Un avion en vol peut atterrir sur la piste, si celle-ci est libre (Deux avions n’atterrissent jamais exactement au m ˆeme moment) Combien peut-il y avoir d’avions simultan ´ement sur la piste ?
Mettre un probl `eme en ´equation ?
R1 : Un avion sur la piste peut la quitter, en direction d’un garage R2 : Un avion en vol peut atterrir sur la piste, si celle-ci est libre (Deux avions n’atterrissent jamais exactement au m ˆeme moment) Combien peut-il y avoir d’avions simultan ´ement sur la piste ?
Comment mettre ce probl `eme en ´equation ?
Une autre mani `ere de math ´ematiser
Semble difficile
Mais le probl `eme se laisse math ´ematiser Par un automate
0 avion
1 avion 2 avions 3 avions ...
Un exemple un peu plus complexe (avec Mu ˜noz et Carre ˜no)
base
piste
approche finale en attente 3000 pieds
en attente 2000 pieds
récupération
2000 ´etats accessibles
Un a ´eroport n’est pas une masselotte au bout d’un ressort
L’une se mod ´elise par une ´equation diff ´erentielle (dont la solution est algorithmique)
L’autre se mod ´elise directement par un algorithme
L’extension du domaine de la mod ´elisation
La biologie, la linguistique, l’urbanisme, la climatologie, ...
Le caract `ere pr ´ecurseur de la chimie
+y −→ y
|x + y −→ x + |y
Rien `a voir avec la
7→
des fonctions2 H
2+ O
2−→ 2 H
2O
Le caract `ere pr ´ecurseur de la chimie
+y −→ y
|x + y −→ x + |y
Rien `a voir avec la
7→
des fonctions2 H
2+ O
2−→ 2 H
2O
La science est ce que l’on comprend suffisamment pour
l’expliquer `a un ordinateur, l’art est tout ce que l’on fait d’autre.
