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Cours 2 - Algorithmes Probabilistes

Coupe Minimum

Semestre Automne 2021-2022 - Universit´e Claude Bernard Lyon 1 Christophe Crespelle

[email protected]

*Merci a A. Parreau et E. Duchene pour le materiel pedagogique ayant servi de base a ces slides.

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• Algos probabilistes :

� font des choix de maniere aleatoire

Rq : algo deterministes font aussi des choix !

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� Aleatoire�= quelconque ! ! !

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� souvent : aleatoirementuniformement

� pas toujours, par ex. : choix aleatoire d’un sommet proportionnellement au degre

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• Qu’est-ce qu’on perd ?

→ on obtient pas toujours l’optimum

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• Qu’est-ce qu’on gagne ?

→ la complexite de l’algo baisse

� par exemple : exponentiel→polynomial

� ici :O(n³m²)→O(n⁴logn)

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• Qu’est-ce qu’on gagne ?

→ la complexite de l’algo baisse

� par exemple : exponentiel→polynomial

� ici :O(n³m²)→O(n⁴logn)

• Pourquoi ca marche ?

tout depend de la probabilite d’obtenir l’optimum → pas trop faible

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• Entr´ee :un multigraphe non oriente (aretes multiples possibles pour un couple de sommet)

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• Sortie :une coupe (U,U^�) deG (=bipartition de V(G)) ayant le nombre minimum d’aretes qui traversent

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Ex. 1 :

a

b c

d

e

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Diﬀerences avec precedemment :

• ni puits ni source

• graphe non oriente (cas particulier de graphe oriente)

• aretes multiples (equiv. capacites entieres)

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Ex. 2 :

5/23

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Ex. 3 :

a

b

c

d e

f g

h i

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• Solution ?

7/23

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• Solution ?

n(n−1)/2 fois l’algo d’EK, avec toutes les paires {source,puits} possibles

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• Solution ?

• Complexite ?

7/23

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• Solution ?

• Complexite ? O(n³m²)

(O(n³m) avec le meilleur algo connu pour le ﬂot max, qui est en O(nm))

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• Solution ?

• Algo probabiliste :

� On va faire un algo probabiliste enO(n⁴logn) (le meilleur algo proba est enO(n²log³n))

7/23

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• Solution ?

• Algo probabiliste :

� On va faire un algo probabiliste enO(n⁴logn) (le meilleur algo proba est enO(n²log³n))

� et en plus d’une simplicite deconcertante !

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• Algo probabiliste ⇒ deux executions ne donnent pas le meme resultat !

• On l’execute plusieurs (= beaucoup de) fois et on garde la meilleure solution

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• Deux questions :

� Quelle est la proba d’obtenir une solution optimale ?

� Il faut faire combien d’essais ?

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� On veut proba→1 lorsque la taille de l’entree→+∞ (Waouh !)

8/23

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� On veut proba→1 lorsque la taille de l’entree→+∞ (Waouh !)

� ... en fait, ca suﬃt que la proba soit une constante.

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D´eﬁnition (contraction d’arete)

SoitG = (V,E) un multigraphe sans boucle etuv une arete deG. Le raphe contracte deG selon l’arete uv, noteG/uv, est deﬁni par G/uv = (V\ {u},E\ {{ux |x ∈N(u)}}∪{{vx |ux ∈E et x�=v}}).

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Algorithme 1 :Algorithme Contraction Aleatoire

1 pourtout v ∈V faire

2 S(v)←{v}

3 ﬁn

4 tant que|V|>2 faire

5 choisir une areteuv de G uniformement aleatoirement;

6 G ←G/uv;

7 S(v)←S(v)∪S(u);

8 ﬁn

9 retournerla coupe (S(x),S(y)) ; (ou{x,y}=V)

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a

b

c

d

e f

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• l’algo fait toujoursn−2 contractions, pour ﬁnir avec un graphe a 2 sommets

• on note k la taille d’une coupe minimum deG

• onﬁxe une coupe minimum C = (X,Y) deG et on calcule la proba que l’algo retourne la coupeC

• Rq. : l’algo retourneC ssi il ne contracte aucune arete traversant C

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a

b c

d

e

f

g

h

C

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• A la premiere contraction, la proba p de choisir une arete ne traversant pas C est p= 1−_m^k.

• on note Ej l’evenement suivant : ”a la j^eme iteration de la boucle principale, l’arete uv selectionnee ne traverse pas C”

• on calcule la proba pj =Pr[Ej|^j−1�

i=1

Ei]

• Gj le graphe avant l’iteration j, dans l’evenement

j�−1 i=1

Ei

15/23

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• Gj a exactementn−j + 1 sommets et la coupe minimum de Gj a taillek

a

b c

d

e

f

g

h

C

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• ainsi, le degre minimum dans Gj est au moins k, et donc Gj a au moinsk(n−j+ 1)/2 aretes.

17/23

(33)

• on obtient 1−pj =Pr[Ej|

j�−1 i=1

Ei]≤k/(k(n−j+ 1)/2) = 2/(n−j + 1)

(34)

• on obtient 1−pj =Pr[Ej|

j�−1 i=1

Ei]≤k/(k(n−j+ 1)/2) = 2/(n−j + 1)

• d’oupj ≥1−2/(n−j + 1) = (n−j−1)/(n−j+ 1)

17/23

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• commePr[A∩B] =Pr[A|B]×Pr[B], on obtient p =Pr[ⁿ⁻²�

j=1

Ej] =ⁿ⁻²�

j=1

pj

(36)

j=1

Ej] =ⁿ⁻²�

j=1

pj

• ainsi la proba d’obtenir la coupe minimum C par l’algo est p ≥ n−2

n ×n−3

n−1 ×n−4

n−2× · · · ×3 5 ×2

4 ×1

3 = 2

n(n−1)

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j=1

Ej] =ⁿ⁻²�

j=1

pj

n ×n−3

n−1 ×n−4

n−2× · · · ×3 5 ×2

4 ×1

3 = 2

n(n−1)

• on fait maintenant t iterations de l’algo de contraction, chacune ayant une proba de succes p

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j=1

Ej] =ⁿ⁻²�

j=1

pj

n ×n−3

n−1 ×n−4

n−2× · · · ×3 5 ×2

4 ×1

3 = 2

n(n−1)

• on fait maintenant t iterations de l’algo de contraction, chacune ayant une proba de succes p

• Comment choisir t pour avoir une proba constante de trouver la coupe C dans au moins une des t iterations ?

18/23

(39)

• la proba de ne trouverC dans aucune dest executions est pechec = (1−p)^t

(40)

• maths ⇒ (1−p)¹^p ≤1/e

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(41)

• maths ⇒ (1−p)¹^p ≤1/e

• en faisant t = ¹_p executions de l’algo, on obtient pechec ≤1/e =cte

(42)

• maths ⇒ (1−p)¹^p ≤1/e

• pour avoirpechec →0, on peut faire par exemple t= ^log_pⁿ executions de l’algo et on obtient pechec ≤(1/e)^logⁿ= 1/n

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• maths ⇒ (1−p)¹^p ≤1/e

• pour avoirpechec →0, on peut faire par exemple t= ^log_pⁿ executions de l’algo et on obtient pechec ≤(1/e)^logⁿ= 1/n

• c’est a dire que la proba de trouver une coupe minimum C ﬁxee apres ⁿ⁽ⁿ⁻^{1) log}₂ ⁿ executions de l’algo contraction est au moins 1−_n¹ →1 quandn →+∞

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• soit f(n) la complexite de l’algo de contraction, la complexite totale de l’algo proba pour coupe minimum est

O(f(n)·n²logn)

• Complexite de Contraction ?

� boucle principale :O(n) fois

� ligne 5 :O(1)

� ligne 6 :O(n)

� ligne 7 :O(n)

complexite totale : O(n²)

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• Algo avec proba de succesp ≥1−¹_n et complexiteO(n⁴logn)

• rien n’empeche de :

� ne faire quet = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ executions :p≥1−¹e et complexite O(n⁴)

� fairet = log 1000ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ executions :p≥1−₁₀₀₀¹ et complexiteO(n⁴) (la cte=log 1000 est cachee dans leO(.))

� fairet=n·ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ executions :p≥1−_e¹ⁿ et complexiteO(n⁵)

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Questions subsidiaires :

• Mq il y a au plusO(n²) coupe minimum dans un graphe

• Mq il peut y avoirΩ(2ⁿ) s,t-coupe minimum dans un graphe

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⇒C’est celle qu’on adoptera pour le TP.