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Submitted on 26 Sep 2011

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Méthodes acoustiques auto-calibrées en

émission-réception pour l’étude et le suivi des propriétés non linéaires des matériaux et l’imagerie

Robin Guillaume

To cite this version:

Robin Guillaume. Méthodes acoustiques auto-calibrées en émission-réception pour l’étude et le suivi

des propriétés non linéaires des matériaux et l’imagerie. Acoustique [physics.class-ph]. Université

François Rabelais - Tours, 2011. Français. �tel-00626417�

FRANÇOIS RABELAIS

DE TOURS

Éole DotoraleSST

Équipe 6du laboratoire: Imagerie et erveau

THÈSE présenté par :

Guillaume ROBIN

soutenue le :31 mai2011

pour obtenir legradede : Doteur del'université François- Rabelais

Disipline/ Spéialité : Sienesde l'Ingénieur /Ultrasons

Méthodes aoustiques auto-alibrées en émission-réeption pour

l'étude et le suivi des propriétés non linéaires des matériaux

et l'imagerie

Direteur de Thèse : FEUILLARD Guy

Co-enadrant :VANDER MEULEN François

RAPPORTEURS :

DUQUENNOY Mar Professeur,Université deValeniennes

EL GUERJOUMA Rahid Professeur,Université duMaine

JURY :

DUQUENNOY Mar Professeur,Universitéde Valeniennes

EL GUERJOUMA Rahid Professeur,Universitédu Maine

FEUILLARDGuy Professeur,ENIValde Loire

VANDERMEULEN François Maître deonférenes, Université deTours

WILKIE-CHANCELLIER Niolas Maître de onférenes, Université de Cergy-

Pontoise

àses erreurs.

OsarWilde

Ce travail de thèse s'est déroulé au sein de l'équipe Caratérisation Ultrasonore et

Piezoéletriité dulaboratoire Imagerieet Cerveau.

Je tiens à exprimermes sinères remeriements à messieurs Guy Feuillard et François

Vander Meulen pour avoir dirigé onjointement e travail. Un grand et haleureux meri

pour es moments de partageamiaux et sientiques.

Je remerie vivement monsieur Rahid El Guerjouma pour m'avoir fait l'honneur de

présiderlejuryainsiquemonsieurMarDuquennoypourleursremarquespertinentessure

mémoire.JeremerieégalementmonsieurNiolasWilkie-Chanellierpoursapartiipation

à la soutenane de thèse et à la ollaboration sur le travail portant sur le thème des

matériauxSol-Gel.

Je voudrais remerier les membres de l'équipe TIM du laboratoire SATIE pour leur

ollaborationsurleprojetsol-gel.Meripourleuraueilpontuelauseindeleursloaux,

lesolis despréieux mélanges,et leurs ritiquesautour dutravail présenté.

Meri à l'ensemble des ollègues de l'équipe pour nos élats de rire, nos disussions

sientiquesou politiques...

Meri àl'ensembledesollègues del'éole d'ingénieurspourlesoutienet noséhanges

autourde l'enseignement et desquestionspédagogiques.

Enn, meri à mes parents et mon frère pour le soutien, à mes amis pour avoir été

ompréhensifsetpourlesbonsmomentspassésensemble,àeuxquimesupportentparfois

au quotidien.

Introdution 21

1 Équations de l'aoustique linéaire et non linéaire 27

1.1 Caratéristiques desondesultrasonores . . . 28

1.2 Appliationsau suivides propriétés par ultrasons . . . 29

1.2.1 Vitesse desondesultrasonores. . . 29

1.2.2 Atténuation desondesultrasonores . . . 31

1.2.3 Paramètre non linéaire . . . 32

1.3 Équationsde lapropagation d'ondeaoustiqueau deuxième ordre. . . 34

1.4 Dénitionet interprétation duparamètre non linéaire. . . 37

1.4.1 Dénitiondu paramètre nonlinéaire

𝐵/𝐴

^{. . . . . . . . . . . . . . . 37}

1.4.2 Interprétation physique du oeient nonlinéaire . . . 38

1.5 ÉquationKZK et sesapproximations . . . 40

1.5.1 Approximationparabolique . . . 40

1.5.2 Approximationquasi-linéaire . . . 41

1.6 Déompositionen sommede gaussiennes . . . 42

1.6.1 Distribution radialede lavitesse . . . 42

1.6.2 Pressionà lafréquenefondamentale . . . 45

1.6.3 Pressionà lafréqueneharmonique

2

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49}

2 Prinipe des mesures ultrasonores linéaire et non linéaire 53

2.1 Méthodeauto-alibréedemesureduparamètrenonlinéaire

𝐵/𝐴

^enémission-

réeption. . . 54

2.1.1 Prinipe . . . 54

2.1.2 Sensibilitésdu transduteur enontat . . . 55

2.1.3 Fontionsde transfert enémission et enréeption . . . 57

2.2 Détermination desparamètres linéaires . . . 60

2.2.1 Expressionde lapressionreçue . . . 60

2.2.2 Céléritédesondes ultrasonores . . . 61

2.2.3 Atténuation desondesultrasonores . . . 61

2.3 Détermination duoeient non linéaire . . . 64

2.3.1 Expressionde lapressionà lafréqueneharmonique

2

^{reçue . . . . . 64}

2.3.2 Inuenedu réeteur . . . 66

2.3.3 Expressiondu oeient nonlinéaire

𝛽

^{. . . . . . . . . . . . . . . . 67}

3 Présentation du dispositif expérimental et de sa validation 71 3.1 Montage expérimental . . . 72

3.1.1 Dimensionnement de laellule demesure . . . 73

3.1.1.1 Matériau onstituant laellule . . . 73

3.1.1.2 Géométriede laellule . . . 73

3.1.1.3 Dimensionnement de laparois delaellule . . . 75

3.1.2 Génération dessignauxultrasonores . . . 76

3.1.2.1 Génération életriqueharmonique . . . 76

3.1.2.2 Transduteur et sesfréquenes d'utilisations. . . 78

3.1.3 Aquisitiondes signauxultrasonores . . . 80

3.1.3.1 Sondesde mesures . . . 80

3.1.3.2 Systèmed'aquisition . . . 80

3.1.3.3 Température . . . 81

3.2 Traitement dessignauxultrasonores . . . 82

3.3 Validationdu dispositif expérimental . . . 85

3.3.1 Mesuresdesparamètres ultrasonores duméthanol . . . 86

3.3.2 Mesuresdesparamètres ultrasonoresde l'eau enfontion de latem- pérature . . . 90

4 Appliation aux milieux en évolution : les matériaux sol-gel 95 4.1 Caratéristiques dumatériau sol-gel . . . 96

4.1.1 Historiquedu proèdesol-gel . . . 96

4.1.2 Desriptiondu proédésol-gel . . . 97

4.1.3 Évolution de latempérature lorsdu proédésol-gel . . . 99

4.1.4 Cinétiquesdumatériau sol-gel . . . 100

4.2 Mesuresdesparamètresviso-élastiquesdanslesmatériauxsol-gel:Étatde l'art . . . 102

4.3 Mesuresdesparamètres aoustiques :Résultats expérimentaux . . . 106

4.3.1 Protoole expérimental. . . 106

4.3.2 Eetde laalibration . . . 109

4.3.3 Céléritédes ondesultrasonores . . . 111

4.3.4 Atténuation desondesultrasonores . . . 115

4.3.5 Paramètre non linéaire . . . 119

4.3.6 Temps aratéristiquesextraits desparamètres aoustiques . . . 124

5 Imagerie du paramètre B/A 129 5.1 Étude préliminaire: faisabilité de l'imagerie duparamètre non linéaire . . . 130

5.1.1 Prinipe delaméthode d'imagerie . . . 130

5.1.2 Fantmesultrasonores . . . 131

5.1.3 Expressionduhampde pression àlafréquene harmonique

2

^{reçu . 132} 5.1.4 Mesurespréliminaires ave un transduteur plan . . . 134

5.1.5 Modiation des expressions pour le alul des hamps de pression

d'un transduteur foalisé . . . 137

5.2 Dispositifexpérimentalmodié . . . 140

5.2.1 Choixde lafréquene . . . 140

5.2.2 Champsde pression àlafréquenefondamentale et harmonique

2

^{. . 141}

5.2.3 Validation expérimentale dudispositifmodié . . . 143

5.3 Imagerieduparamètre nonlinéaire

𝐵/𝐴

^{d'un fantmeontenant deuxuides145}

5.3.1 Sensibilité àl'épaisseur de lalame d'eau . . . 147

5.3.2 Sensibilité àl'épaisseur du fantme . . . 149

Conlusion générale 151

1.1 Les oeients

𝐴 𝑛

^et

𝐵 𝑛

^{de la} déomposition en somme de gaussiennes alulés àl'ordre

15

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44}

3.1 Comparaisondesdiérentesritèresdeperformanesdesfenêtresd'analyses

pour latransformé de Fourrierrapide. . . 83

3.2 Céléritéetatténuationdesondesultrasonoresdansl'eauetdansleméthanol

issuesdanslalittérature pourune température de

25 ^𝑜

^{C. . . . . . . . . . . . 85}

3.3 Céléritéet atténuation desondesultrasonoresdansleméthanolissuesde la

littérature et mesurées par laméthode auto-alibrée pour une température

de

25 ^𝑜

^{Cet une fréqueneentrale de} l'impulsionde

2, 05

^{MHz. . . . . . . . 87}

3.4 Comparatifdesparamètres et oeientsnon linéaire extraitsdelalittéra-

ture [Coppensetal., 1965 , Beyer,1974, Saito et al.,2006 ℄ ave eux mesu-

réspar laméthode auto-alibréedansdu méthanolà

25 ^𝑜

^{C. . . . . . . . . . 89}

3.5 Atténuation des ondes ultrasonores en Np/m dans l'eau pour trois tempé-

raturesmesuréeet elle issuedelalittérature [Selfridge, 1985 ℄. . . 91

4.1 Temps aratéristiquesissus de nosmesures ultrasonoresdansun matériau

sol-gel ave un taux d'hydrolyse (

ℎ = 4

^{) pour diérentes} températures de onsigne.. . . 124

1.1 Distorsionnonlinéairedel'ondeultrasonoreauoursdelapropagationdans

ledomaine temporelet sonimpat dansle domaine fréquentiel. . . 39

1.2 Amplitude normalisée du hamp de pression alulée à l'aide de la déom-

position en somme de gaussiennes : (a) suivant l'ensemble des dimensions

spatiales, (b)suivant l'axede propagation, ()à lasurfae du transduteur

et (d) surl'axe transversale à ladistane de la limite du hamp prohe du

transduteur. . . 46

1.3 Comparaisonde la fontion dediration aluléesur l'axede propagation

par l'expression exate de Lommel (vert) et elle par la déomposition en

sommede gaussiennes(bleu). . . 48

1.4 Amplitudenormaliséeduhampdepressiondelafréqueneharmoniquereçu

paruntransduteur(traitplein)etpar unréepteurpontuel(pointillé)sur

l'ensembledelapropagationaluléeàl'aidedeladéompositionensomme

degaussiennes. . . 49

2.1 Shéma életrique du transduteur aoustique dénissant sasoure de ten-

sion et son impédane életrique et dérivant le prinipe de la méthode

auto-alibrée ainsi que les ourants et tensions de l'entrée et de sortie aux

bornes dutransduteur. . . 55

2.2 Mesuredel'atténuationdansunmatériausol-gelave(noir) etsans(rouge)

laprise enompte de lafontion de transfertdu transduteur.. . . 62

2.3 Propagationdelapressionàlafréqueneharmonique

2

^généréeàl'intérieur dans un mélange eau/méthanol simulant l'état initial du matériau d'étude

aluléegrâe à ladéomposition en sommes degaussiennesave un rée-

teur(aluminium) dont l'impédaneaoustique estplus grandeque elledu

matériaud'étude. . . 65

2.4 Propagationdelapressionàlafréqueneharmonique

2

^généréeàl'intérieur du matériau d'étude alulé grâe à la déomposition en sommes de gaus-

siennes ave un réeteur (air) dont l'impédane aoustique est plus faible

queelledu matériaud'étude. . . 67

3.1 Shéma dudispositifexpérimental assurantlamesuredesparamètresultra-

sonoreslinéaires et non-linéairedu matériau plaé àl'intérieur de laellule

de mesure. . . 72

3.2 Calul des hamps de pression à la fréquene fondamentale normalisé se

propageant dansdeuxmatériauxd'étude ayant une vitessedesondesultra-

sonores diérentes reueillis à la surfae d'un réepteur pontuel (a) et de

dimension nie(b). . . 74

3.3 Vueenperspetivedelaelluledemesureparlaméthodeauto-alibréeave

sesdimensions géométriquesen millimètres. . . 75

3.4 Amplitudesduspetreduourantd'exitationendBémissentparlegénéra-

teurdefontionsarbitrairesoupléavel'ampliateurdepuissane(rouge)

et leSNAP (bleu). . . 77

3.5 Réponsesfréquentiellesnormaliséesdutransduteur(Tehnisoni,ISL-0303-

VHR)d'uneimpulsionpropagée dans

40

^mm d'épaisseurd'eau. . . 79

3.6 Spetre d'un signal arbitraire ayant une omposante harmonique d'ordre

deux par latransformé de Fourrierrapide utilisant une porte retangulaire

(ourbe enbleu), lafenêtrede Hann(ourbeenrouge) et lafenêtre at-top

(ourbe en noir). . . 84

3.7 Signauxtemporelsémisetreçusauxbornesdutransduteurdanslemétha-

nolà

25 ^𝑜 𝐶

^{pourunerampeentensionallantde}

30

^à

90

^{Volts:(a)leourant}

d'entrée, (b)latensiond'entrée, ()leourant desortieet (d)latensionde

sortie. . . 88

3.8 Pression à l'harmonique d'ordre deux reçue en fontion de la pression à la

fréquenefondamentale émise au arré dansdu méthanol àla température

de

25 ^𝑜

^{C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89}

3.9 Mesures de la élérité des ondes ultrasonores dans l'eau en fontion de la

température dansleuide (en point bleu) et la modélisation duomporte-

ment de laélérité par Lubbers [Lubberset Graa, 1998 ℄ (en point noir).. . 91

3.10 Mesuresdel'atténuationdesondesultrasonoresdansl'eauenfontionde la

température. . . 92

3.11 Mesuresultrasonoresduparamètre nonlinéairedansl'eau enfontionde la

température parlaméthodeauto-alibrée (enpointbleu)etpar laméthode

thermodynamiqueproposépar Yoshizumi (en trait pointillé noir). . . 93

4.1 Proessusde géliation. . . 98

4.2 Évolution delatempérature auours delaformation d'un gel(type

ℎ = 4

⁾

pour une température de onsignede

30 ^𝑜

^{C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99}

4.3 Cinétiquederéationenfontiondelatempératurepourunmatériausol-gel

àbasede silieave autaux d'hydrolyseégale à

4

^{[Ould Ehsseinetal., 2006℄.100}

4.4 Comparaisondestemps degéliation

𝑡 _𝑔

^{(rhéologie deouette)et}

𝑡 _𝑣𝑠

^(réso-

nateuràquartz)enfontiondutauxd'hydrolysepourdesmatériauxsol-gel

typeTMOSpourunetempératuredeonsignede

25 ^𝑜

^{C[OuldEhsseinet al.,2006℄.101}

4.5 Diagramme du protoole d'aquisition des signaux életriques d'entrées et

desortiesauxbornesdutransduteurainsiquedelatempérature dumilieu

d'étude. . . 107

4.6 Module de la fontion de transfert du transduteur en émission pour un

matériausol-gel type TMOS ave un tauxd'hydrolyse de

4

^{. . . . . . . . . . 110}

4.7 Céléritédesondesultrasonoresetsonajustementmesurésdansunmatériau

sol-gel typeTMOS ave un tauxd'hydrolysede

4

^{pour une} température de onsignede

23 ^𝑜

^{C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111}

4.8 Variations de la élérité ompenséesen température dans unmatériau sol-

gel type TMOS ave un taux d'hydrolyse égale à

4

^{pour une} température de onsignede

23 ^𝑜

^{C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112}

4.9 Deuxmesuresde laélérité desondesultrasonoresdansunmatériausol-gel

typeTMOS ave untaux d'hydrolysede

4

^{pour desonditionsde tempéra-}

turede onsigneidentique. . . 113

4.10 Mesuresde laélérité desondesultrasonores dansunmatériau sol-gel type

TMOS ave un taux d'hydrolyse de

4

^{pour diérentes} températures de onsigne.. . . 114

4.11 Variations de la élérité ompenséesen température dans unmatériau sol-

geltypeTMOSaveuntauxd'hydrolysede

4

^{pourdiérentes}températures de onsigne. . . 115

4.12 Mesurede l'atténuation dansun matériausol-gel type TMOSave untaux

d'hydrolyse égal à

4

^{au ours de sa formation pour une} température de onsignede

25 ^𝑜

^{C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117}

4.13 Mesuresde l'atténuation au ours du temps dansun matériau sol-gel type

TMOS ave un tauxd'hydrolyseégale à

4

^{pour diérentes} températuresde onsigne.. . . 119

4.14 Mesureduparamètrenonlinéairedansunmatériausol-geltypeTMOSave

untauxd'hydrolyseégalà

4

^{auoursdesaformationpourune}température de onsignede

23 ^𝑜

^{C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120}

4.15 Mesures du paramètre non linéaire dans un matériau sol-gel type TMOS

ave untauxd'hydrolyseégalà

4

^{danslesmêmesonditionsde}température de onsignesoit

23 ^𝑜

^{C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122}

4.16 Mesuresdu paramètre non linéaire

𝛽

^{un matériau sol-gel type TMOS ave}

untaux d'hydrolyseégal à

4

^{pour diérentes}températuresde onsigne.. . . 122

4.17 Temps aratéristiques issus des paramètres ultrasoniques omparés ave

eux issusde lalittérature pour desmatériaux sol-gel à basede silie ave

untaux d'hydrolysede

4

^{pour diérentes} températures de onsigne.. . . 125 4.18 Temps aratéristiques issus de la mesure de élérité omparés ave eux

issus de la littérature pour des matériaux sol-gel à base de silie ave un

tauxd'hydrolyse de

4

^{en fontion del'inverse de la}température deonsigne. 126

4.19 Temps aratéristiques issus de la mesure de l'atténuation omparés ave

eux issusde lalittérature pour desmatériaux sol-gel à basede silie ave

untauxd'hydrolysede

4

^{enfontiondel'inversedela}températuredeonsigne.127 4.20 Tempsaratéristiquesissusdelamesureduparamètrenonlinéaire ompa-

résaveeuxissusdelalittératurepourdesmatériauxsol-gelàbasedesilie

ave un tauxd'hydrolyse de

4

^{enfontion de l'inverse dela}température de onsigne.. . . 128

5.1 Shéma de prinipe permettant l'imagerie du paramètre non linéaire d'un

fantme ayantdespropriétés viso-élastiquesdiérentes suivantladiretion

𝑦

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130}

5.2 Pressionà lafréqueneharmonique

2

^{reçue enfontion duarré de lapres-}

sionémise àla fréquenefondamentale dans unfantme d'eau(bleu) et un

fantme de méthanol (rouge) alulée par la déomposition en somme de

gaussiennes (trait plein) et mesurée par un transduteur plan (plus) ave

unetempérature de

20 ^𝑜

^{C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135}

5.3 Simulation des hamps de pression normalisés à la fréquene harmonique

2

^{générés dansla lame d'eau (rouge) et dans le fantme (noir) dans leas}

d'un transduteurplan(pointillé) etd'un transduteur foalisé(traitplein)

suivant ladistanede propagation

𝑧

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136}

5.4 Fontion de diration alulée sur l'axe de propagation à partir de la dé-

omposition en sommede gaussiennesen bleu et par lemodèle de Shmerr

en rouge pour un transduteur faiblement foalisé ave une distanefoale

de

1, 2

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138}

5.5 Shéma dudispositifexpérimentalpermettant l'imagerie duparamètre non

linéaire

𝐵/𝐴

^{d'un fantme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140}

5.6 Amplitudesnormalisées duhamp de pression àla fréquenefondamentale

(bleu) etharmonique àl'ordre deux(rouge) dutransduteur foaliséà

1, 2

dansl'eau suivant l'axe

𝑧

^mesuréspar l'hydrophone (traitplein) et alulés par ladéomposition en sommede gaussiennes(tirets). . . 141

5.7 Cartographieduhampdepressionàlafréquenefondamentale émis(a)et

àlafréqueneharmonique

2

^{généré (b)dansl'eau suivant l'axe}transversal,

𝑦

^{, du} transduteur foalisé à

1, 2

^{alulée par la}déomposition en somme de gaussiennes. . . 142

5.8 Pressionà lafréqueneharmonique

2

^{reçue en fontiondu arréde lapres-}

sionàlafréquenefondamentaleémisemesuréedansunfantmed'eau(plus

bleu) et dans le fantme de méthanol (plus rouge); et alulée par ajuste-

ment de

𝛽 _𝑓

^{à partir de la} déomposition en somme de gaussiennes pour déterminer leparamètre non linéaire (traitplein). . . 144

5.9 Mesureduparamètrenonlinéaire

𝐵/𝐴

^{lorsdubalayagevertialdufantme}

ontenant deuxuides. . . 145

5.10 Photographiedu fantmeentrée surl'interfae en lesdeux uides. . . 146

5.11 Champs de pression à lafréquene harmonique

2

^{générés à travers la lame}

d'eauprès-fantme(rouge),danslefantmedeméthanol(noir),àtraversla

lamed'eaupost-fantme(magenta)ettotale(bleu)enfontiondel'épaisseur

de lalamed'eau. . . 147

5.12 Amplitudesnormalisées duhamp de pression àla fréquenefondamentale

(bleu) et harmonique d'ordre deux (rouge) dans l'eau sur l'axe

𝑧

^alulées

par la déomposition en somme de gaussiennes pour un transduteur en

émission-réeption. . . 148

5.13 Champs de pression à lafréquene harmonique

2

^{générés à travers la lame}

d'eauprès-fantme (rouge),danslefantmedeméthanol(noir),àtravers la

lamed'eaupost-fantme(magenta)ettotale(bleu)enfontiondel'épaisseur

dufantme. . . 149

Le Contrle Non Destrutif (CND) regroupe un ensemble de tehniques et proédés

aptes à fournir des informations sur la santé, le dimensionnement et la mesure des para-

mètresphysiquesd'unestruture.Ilassureunesurveillanedespropriétéssansaltérerl'in-

tégritédelastrutureoudumatériau.Conernantlesappliationsindustrielles,leontrle

s'eetue généralement sur des pièes en fontionnement et dans leur environnement ou

bien dans le suivi du proessus de fabriation. Il permet ainsi de surveiller la struture

avantqu'ellen'atteigneunniveaudedégradationritique.Parmi lesdiérentestehniques

de CND, les ultrasons oupent une plae importante en raison de leurs aratéristiques.

En eet, les ultrasons ne sont pas ionisant, ils ne présentent don auun risque pour les

utilisateurs. Deplusleur oûtest relativement modeste par rapportà d'autrestehniques

deCND omme lesrayonsX.Enn, lesultrasons sontfailes àmettreen oeuvre etne né-

essitentpasdelourdeinfrastruture.Certainsdispositifsregroupentseulementunapteur

oupléave un appareilde mesureportatifassurant unemobilité et unusagerapide.

An de mettre en oeuvre un ontrle non destrutif, il faut répondre, quelque soit la

tehniqueutilisée,auxobjetifsdeabilitéet dereprodutibilitéassurantlesperformanes

du ontrle. Le CND peut aussi permettre de loaliser, d'identier ou de aratériser les

défauts. Une démarhe universelle en quatre étapes est à employer quand une tehnique

CND est utilisée. Elle se dénie par la mise en oeuvre du proédé physique permettant

leontrle (exitation du milieu),l'altération despropriétés physiques par lesdéfauts par

exemple (réponse du milieu), la détetion de es modiations par un apteur assoié

(réeption et aquisition de la réponse) et enn le traitement des signaux et leurs inter-

prétations(interprétationde laréponse).Lespropriétés physiquesàontrlersontdénies

danslasuite de ehapitre onditionnant latehnique ultrasonore à utiliser.

Le développement des tehniques ultrasonores doit dans une large mesure son essor

dans les années 60 à l'imagerie médiale répondant aux besoins d'images pour mieux as-

surerle bienêtredespatients. Lesultrasons onstituent une bonne alternative auxrayons

X du fait qu'ils sont non invasifs. L'éhographie est la méthode la plus utilisée assurant

la mise en image des éhos suessifs des interfaes. Le ontraste informe sur les ara-

téristiques des milieux sondés. L'eet Doppler ouplé à l'éhographie permet d'explorer

les ux sanguins. Ainsi ladiretion et le débit des uxsont déduits des mesures Doppler

ultrasonores. Les tehniques s'avèrent être également performantes pour des appliations

industrielles(matériauxdégradés,détetiondemirostrutures).Apartirdel'éhogramme

d'unestruturesesdimensionspeuventêtredéterminées,seséventuelsdéfautsdestruture

oudefatigue êtreidentiés.Desmesurestemporellesrendent possibleslesuividesdéfauts

dansletemps.

La métrologie ultrasonore reposesur la mise en oeuvre d'outils permettant la mesure

desgrandeurs : vitesse, atténuation et paramètre nonlinéaire. Destransduteursassurent

l'émissionetlaréeptiondusignalaoustiquesondantlemilieud'étude.Dansetteétude,

l'instrumentation ultrasonore hoisie est ditée par la volonté d'aéder aux grandeurs

absoluesduparamètre non linéaire.La alibrationdutransduteur,permettant lamesure

du hampde pression absolu,estdon néessaire.

Deux grands prinipes de méthode peuvent assurer lamesure absolue des paramètres

aoustiques : laméthode à deuxépaisseurs et elled'insertion-substitution. Une première

méthode onsiste à mesurer le niveau de la génération harmonique sur des éhantillons

d'épaisseurs diérentes. La variablede l'étudedans e asest ladistaneentrel'émetteur

etleréepteur.Laseondeméthodereposesurlamesureultrasonoreàépaisseuronstante

ave un milieu de référene. La distane entre émetteur et le réepteur est déterminé et

xé pour l'ensemble des mesures. Le milieu de référene est onnu. Cependant, saharge

aoustiquedoitêtre trèsprohede elleétudiée pour s'assurerqueles aratéristiquesdes

transduteurssoient inhangées [Bou Mataretal., 2001 ℄.Ces deuxprinipespeuvent être

délinésentransmissionouenémission-réeption.Danslepremieras,deuxtransduteurs

sontplaés departetd'autre dumilieud'étude pour émettreetreevoirles ondesultraso-

nores.Dansledeuxième,untransduteurgarantit lesdeuxfontionsémissionet réeption

après réetiondesondessur unréeteur aoustique.

Laméthoded'insertionsubstitutionave auto-alibrationdutransduteurenémission-

réeption est privilégiée dans notre étude [VanderMeulen etHaumesser, 2008 ℄. Ce hoix

s'eetuesuivant les appliationsvisés.En eet,ette méthode a pour but de suivretem-

porellement les propriétésaoustiques dematériauxen évolution. Leprinipe de mesureà

deuxdistanes s'avèrediile à mettreen oeuvre danse aspartiulier. La ombinaison

duprinipe d'insertion-substitution et del'émission-réeption permet de diviserlevolume

demesuresansrédutiondeladistanedepropagationdesondes.Dansnotreétude,lemi-

lieuderéféreneestlemilieud'étudeàsoninstantinitial(

𝑡 = 0

^{).Ilestdénietbienonnu}

par une étude préliminaire. Ainsi, l'évolution de lahargeaoustique dutransduteur est

pris enompte.

An dedéterminerles hampsde pressionsàlafréquenefondamentaleet harmonique

deux, une proédure de alibration du transduteur est réalisée aux deux fréquenes. La

réponsed'un transduteurdépend delataillede l'élément atif,delafréqueneutiliséeet

de la harge aoustique en surfae. La proédure de alibration assure la aratérisation

desfontionsdetransfertsdu transduteurémetteur etréepteurauxdeuxdiérentes fré-

quenes. Le niveau absolu de la pression émis dans le milieu et reçu par le transduteur

après propagation sont déduits. Lesproessus de formation dumatériau en question pro-

duitobligatoirement uneévolutiondelahargeaoustiquedondesfontionsdetransferts

dutransduteur. Ilest donimportant de prendreen ompte lesfontionsde transfert du

transduteur àhaque instantar lemilieuest en formation.

Dansette étude,lesultrasonssonthoisispoursuivrel'évolutiondespropriétésviso-

élastiquesdematériau. Suivreauoursdutempsdespropriétésméaniquesaideàlaom-

préhension de la formation du matériau ainsi que sonvieillissement. La onnaissane des

méanismesdeformationdumatériaupermetdurantlafabriationd'agirsurlesproessus

defabriationenlesontrlant.L'instrumentationultrasonoreenvisagéedansl'étudeaété

justiéean de onsidérer lesdiérents ontraintes lié à unsuivi desparamètres linéaires

et nonlinéaired'un milieudontlespropriétés viso-élastiquesévoluent auours dutemps.

Un dispositif expérimental a été onçu an de répondre à l'ensemble des ontraintes

liéàl'instrumentationultrasonore utilisée.Leshypothèsesthéoriques,omme parexemple

l'hypothèsed'ondeplane,de générationeetuéedanslerégimequadratique, ontétéprise

enompte dansetteétude. Ceshypothèsesimposent unertainnombre deontrainteset

de préautions expérimentales seréperutant sur les hoix tehnologiques de laellule de

mesure, les dimensions doivent permettre la génération umulative de la pression harmo-

nique deux après unaller et retour dansle milieu d'étude. Pour ela, lefond de la ellule

de mesure onstitue d'un réeteur dont l'impédane aoustique est plus élevé que elle

que le matériau d'étude [Breazeale et Lester, 1961℄. La dimension des parois de la ellule

de mesure permet de déoupler temporellement les signaux aoustiques s'étant propagés

uniquement dans le matériau d'étude, de eux propagés dans le matériau d'étude et le

réeteur. L'étude se foalise sur la mesure du paramètre non linéaire d'un matériau en

évolution. Le niveau de nonlinéarité parasite doit être très faible devant la nonlinéarité

provenant du milieu d'étude qu'elle provienne de la génération életrique. An d'évaluer

leniveau d'harmoniqueparasite,ilestdémontréommeplusfaible quel'harmonique deux

généré dansle milieu.Le hoix tehnologique de lasoure de tension impliqueune soure

faiblement nonlinéaireonçuepouregenred'étude.Untraitementdesdonnéesapproprié

permet deréduire le rapportsignalà bruit.

La première appliation onsiste à suivre l'évolution de matériaux sol-gel à base de

silie. Le proédé sol-gel aratérise les matériaux entre les solutions et les solides. Ces

matériauxseformentpardesproessushimiquespermettantleurpassagedel'étatliquide

àl'étatsolide.Ensebasantsurl'étatdel'artdusuividespropriétés desmatériauxsol-gel,

les aratéristiquesdu matériaupeuvent êtreextrait an de respeter les onditionsde sa

formation.Enprenantenompteleseetsdelaalibrationdutransduteur,lesparamètres

ultrasonores linéaires(éléritéet atténuation) et non linéaire peuvent être déterminés. De

esparamètressont extraitslestemps aratéristiquesàlaformationdumatériau. Ilssont

omparésles temps de aratéristique lié àlaformation ave elle delalittérature.

La deuxième appliation onsiste à mettre en oeuvre un système d'imagerie du pa-

ramètre non linéaire à partir de la méthode auto-alibré préédemment mise en oeuvre.

Lespropriétés du milieu d'étude nevarient plusdans letemps maissuivant ses diretions

géométriques.Cehoix estmotivépour mettreenoeuvreune imageriedu paramètre

𝐵/𝐴

prohe des onditions présentées dans la première appliation. Bien que le prinipe reste

identique,desévolutionsdudispositifexpérimentalsontnéessaires.Lematériaun'estplus

diretementenontataveletransduteur:unelamed'eauestinteraléentreletransdu-

teuretlefantmepermettantundéplaementdutransduteurdansleplanperpendiulaire

à lapropagation (en mode C-san).Ce déplaement assurela formation de l'image.Pour

avoiruneimageloaleduparamètrenonlinéaireetminimiserl'impatdelalamed'eausur

ladétermination duparamètre, untransduteur foaliséest utilisé.Une étudede latâhe

foaledutransduteurassuresesdimensionsainsiquelehoixdeladistaned'exploration.

Un fantme formé de deux milieux homogènes est exploré. Une image du paramètre non

linéaire B/Aest ainsiformée.

Équations de l'aoustique linéaire et

non linéaire

Ce premier hapitre permet, après un état de l'art des appliations au suii des pro-

priétés par ultrasons, d'exposer les équations de la propagation d'une onde aoustique à

l'ordre deux dans un milieu uide. A partir de l'équation de propagation non linéaire, le

paramètre non linéaire est déni. L'équation KZK déni par Zabolotskaya, Khokhlov et

Kuznetsovpermetdeprendreenomptelesdiérentseetsliésàlapropagationd'uneonde

aoustiquedansunuide. Ces eetssont ladiration, l'atténuation et lanonlinéarité du

milieu.Lasolutionestdéritedanslabasedesgaussiennes.Ladéompositiondeettebase

permet l'expression deshampsde pression àlafréquene fondamentale et harmonique.

1.1 Caratéristiques des ondes ultrasonores

Les ultrasons sont des ondes méaniques qui se propagent ave des vitesses dépen-

dantesdesaratéristiquesdumilieu.Ces ondesméaniquessontgénéréespar unesurfae

vibrante, typiquement untransduteur életro-aoustique [Royer et Dieulesaint, 1999 ℄ qui

assurent l'émission et la réeption des ondes aoustiques. Le CND ultrasonore utilise le

plus souvent des transduteurs onstituésde éramiques piézoéletriques. Cet eet piézo-

életrique,déouverten

1880

^{, estlapropriétépourertainsmatériauxdesedéformersous}

l'ation d'un hampéletriqueet inversement.

Lesondesultrasonoresgénéréesonttypiquementdesfréquenesallantdelaentainesde

kilohertzàladizainedemégahertz. Ensepropageant,l'ondeméanique ainsiengendréese

modieenfontiondelanaturedumilieurenontré.Envolumedeuxtypesdepolarisation

existent:lesondeslongitudinalessepropageantdanslamêmediretionqueledéplaement

despartiules;etlesondestransversalesaveunediretiondevibrationperpendiulaireàla

propagation.Lesaratéristiquesdeesondesdépendentdutypedeliaisonsexistantentre

lesmoléules. Ainsi,dansun solidelesdeuxondessontprésentesquelquesoit lanaturede

l'exitation mais dans un uide, seule la vibration longitudinale prédomine. Conernant,

l'onde transversale, la propagation est assimilable à un isaillement de prohe en prohe.

Lapropagationde l'ondelongitudinale estomparableàdesdéplaementsde ompression

et de déompressionde lamatière.

La propagationdel'onde aoustiquedépenddelanature dumilieu.L'ondeaoustique

se propage à une vitesse dépendante les propriétés intrinsèques du matériau : ladensité,

leoeient depoisonet lemoduled'élastiité(solide) ou leoeient de ompressibilité

(uide).Dans unemajorité desétudes, ladensitédumatériauest onsidéréeonstante. A

densité onstante, le Module de Young s'évalue à partir de la onnaissane de la vitesse

desondesultrasonores danslematériau.

Lesvibrationsdel'ondeaoustiques'amortissentauoursdelapropagationdanslema-

tériau.Cettediminutiond'amplitudeetd'intensitéaoustiqueestplusgénéralementonnue

sousle termed'atténuation desondes aoustiques.Pour une milieuhomogène, elle résulte

de proessus d'absorption liés à la visosité, la ondution thermique et éventuellement

la relaxationmoléulaire. Un autre phénomène à prendre en ompte dans la propagation

aoustique est la diration setraduisant par une répartition spatiale de l'énergie aous-

tiquenonuniforme.La générationdesondesaoustiquess'eetuepar untransduteurde

dimensionnie. Letransduteurestsouventonsidéréomme assimilableàunpiston plan

quirayonne danslemilieu suivant une diretivitéliée àesaratéristiques dediration.

L'investigation non linéaire regroupe de nombreuses méthodes qui ont montré leurs

apaités notamment à la détetion de phénomènes préoes liés au vieillissement des

matériaux.Cesméthodesreposentsurlagénérationetl'analyseharmonique.Biensouvent,

l'hypothèse des faibles perturbations est faite en aoustiquenon linéaire. La déformation

del'onde ultrasonore estfaible nevapasjusqu'àl'apparition d'unedisontinuité(ondede

ho).

Les ultrasons sont lairement sensibles aux propriétés viso-élastiques des matériaux.

L'investigation des paramètres aoustiques linéaires et non linéaire permet d'obtenir des

informationssur l'évolution struturelle au oursdu temps,du milieu ontrlé.

1.2 Appliations au suivi des propriétés par ultrasons

Lesuiviultrasonoredespropriétésviso-élastiquesd'unmatériauonsisteenleontrle

spatialettemporeldesgrandeursphysiques(vitesse,atténuationetparamètrenonlinéaire).

Dans e paragraphe, un état de l'art des mesures ultrasonores assurant la détermination

de grandeurs physiques esteetué.

1.2.1 Vitesse des ondes ultrasonores

La vitesse des ultrasons est l'un des paramètres les plus utilisés dans le domaine de

l'aoustique ar failement mesurable. Généralement, elle se détermine par une simple

mesure de temps de vol en émission-réeption ou en transmission. Citons Slefridge qui a

mesurélesvitessesdesondesultrasonoresdansungrand nombre dematériauxà partirde

trainsd'ondes ultrasonoresen émission-réeption [Selfridge,1985 ℄.

L'analyse des éhos suessifs permet de déterminer la vitesse des ondes ultrasonores

dans les matériaux. Une lassiation des matériaux a été établi à partir de la mesure

leurvitesse. Eneet,lavitesseétant l'image delaompressibilitédumilieu,lelassement

s'eetuesurl'image du moduled'élastiité.

Le hangement de propriété de liquide à solide peut-être déterminé par des mesures

ultrasonores.Unemesuredetempsdevolgrâeàuneméthodeenmodeémission-réeption

est utilisée dans le suivi de l'évolution de la ongélation [Sigfusson etal., 2004℄. L'onde

ultrasonoresepropageenparourant lesdiérentesouhesdelamatière ongeléeounon.

Ainsi, une interfae née d'une ouhe dont le milieu est ongelé et elle dont l'état est

liquide.Aetteinterfae,lesondesultrasonoresserééhissentproduisantdiérentséhos

d'aller-retour. L'analyse de es éhos suessifs détermine l'évolution de laongélation de

lastruture.Ce suivide laongélation trouve uneappliation dansl'hygiènealimentaire.

Denombreusesappliationsissuesdel'industrieassurentlesuividespropriétésauours

delaformationd'unmatériau.Lafabriationdematériaunéessitelaonnaissanedel'état

du proessus à tout moment. Les résines epoxy sont un exemple du suivi de la polymé-

risation par des mesuresde vitesses ultrasonores [Rokhlin etal., 1986℄[Sidebottom, 1993℄

[Nguyen etal., 1996 ℄.L'analysede la vitesseau ours de la polymérisation permet de dé-

rire le omportement de larésine. Le systèmeest exitéà diérentes fréquenes,l'ampli-

tudedelavitesseapparaîtdépendantedelafréquenepourunomportement omparable.

La détermination de la vitesse ultrasonore permet de revenir aux propriétés rhéologique

dansleiment [Labouret et al.,1998 ,Reinhardt et al., 2000 ℄.

De la vitesse et de l'atténuation, le module omplexe de isaillement est déterminé

assurantlelienentrelastrutureetlesméanismesdeformation.L'étudedelainétiquede

laoagulation dulait estun exemple d'appliation diret [Ohenduszko et Bukin,2010℄.

Lemoduledeisaillementomplexeestextraitdusuividel'impédaneméaniquemesurée

par unrésonateurà quartz[Ould-Ehsseinet al.,2006 ℄.Lemoduleviso-élastiqueassurent

lesuivi par exemplede laformation duyaourt.

LestehniquesDopplerultrasonoressontutilisées pour mesurerlesgrandeurs dansdes

systèmesdeprodutionsenux.Grâeàdessériesd'émetteurset deréepteursplaéesde

partetd'autreduuideenirulation,lavitesseduuideestdéduiteainsiqueladiretion

duux[Luque de Castro et Capote, 2007 ℄.Delaonnaissanedelavitessedesuides,une

régulation desdébit desuidesde prodution s'eetue[Wiklundet al.,2010 ℄.

Des mesures devitesse permettent non seulement de omprendre l'évolution du maté-

riau mais aussi d'appréhender l'apparition de ssures dégradant es performanes. Il est

possible defatiguer unmatériau pardesbansde solliitation méanique reproduisant un

vieillissementaéléré.Dansleasd'uneplaqued'aluminium,laroissanedessuresaété

suivi par desondes de surfae [Rokhlinet Kim,2003 ℄. Lassure estsurveillée à partir de

laréexionaoustique.Lesuividelavitessedanslebétonassureleontrle del'altération

de lastrutureau oursdu temps [Breysse et Abraham,2005 ℄.

1.2.2 Atténuation des ondes ultrasonores

Lesmesuresdel'atténuationdesondesultrasonoressontgénéralementoupléesàelles

delavitesse.Cependant,l'atténuation faitl'objetdemoinsd'appliations.Eneet,l'atté-

nuationdesondesultrasonoresestparfoisdiileàmesureretàrelieràlanaturephysique

des phénomènes en jeu. La diulté de mesure s'explique par deux raisons. La première

est lafaible atténuation desondes ultrasonores dansles milieuxontrlés. La seonde est

ladépendanedel'atténuationàlafréquened'observation.Eneet,l'atténuationultraso-

noredesuideshomogènesestsouventproportionnelleauarrédelafréquened'exitation

quand elle des solides est à la fréquene et elle des matériaux diusants au ube de la

fréquene [Selfridge,1985 ℄. Ladiulté de lamesure réside àla fois pour lesfaibles atté-

nuations maisaussipour les fortes atténuations. Pour lesfaibles atténuations, les signaux

ultrasonoresvarientpeupouvantintroduireunbiaisdansladétetiondesamplitudes.Dans

le as des atténuations fortes, la diulté n'est plus de mesurer la variation d'amplitude

entredeux signaux mais ladétetion du signal lui-même. Un ompromissur la fréquene

d'utilisation doit être réalisé pour assurer une atténuation détetable et une propagation

ultrasonore.

Le suivi des variations de l'atténuation ultrasonore lors de la formation de gels ary-

liques a été mise en oeuvre par Bari [Bari et al.,1980 ℄. Dans ette étude, la fréquene

d'exitationestdel'ordredelaentainedemégahertzassurantuneréponsediérenteentre

laphasesolet laphasegel.Ainsi,unhangement d'état delatransitionsol-gelestétablie.

Dansleasderésineépoxy,lesuividelapolymérisations'eetueaussipardesmesures

d'atténuation desondesultrasonores [Rokhlinet al.,1986 ℄.

L'étude de hangement de propriétés viso-élastiques intéresse aussi le domaine mé-

dial dans le adre de l'imagerie. Le suivi s'eetue par exemple sur la oagulation du

sang[Calor-Filho et Mahado,2006 ℄. Lesauteurs sefoalisent surla mesurel'atténuation

du plasma sanguin durant laoagulation. Le système expérimental est basé surdes teh-

niquesdemesuresenémission-réeption.D'autrestehniquesommel'élastographiepermet

de omprendre les eets de la variation d'hématorite ou de l'addition d'héparine sur la

oagulation dusang[Gennisson et al.,2006℄.

1.2.3 Paramètre non linéaire

L'investigationnonlinéairesedélinesousplusieurs formes.L'objetdel'étudeseporte

sur les phénomènes harmoniques umulatifs suivant la distane de propagation de l'onde

ultrasonore. Une onde ultrasonore monohromatique estpropagée dans unmilieu d'étude

étant non linéaire.Il perturbe l'onde àsonpassage produisant une génération desompo-

santes harmoniquesdanslespetre de l'onde ultrasonore.

Dans les uides, le paramètre non linéaire

𝐵/𝐴

^{est le rapport entre les oeients}

quadratique et linéaire des termes de la série de Taylor utilisé dans l'équation d'état du

milieuonsidéré. Ainsi, lesondesultrasonorestraversant lemilieu subissent unedistortion

produisantunegénérationd'harmoniquessepropageantauseindumilieu.Cettegénération

seumule auours dela distanede propagation.

Les premières mesures du paramètre non linéaire par des méthodes d'amplitudes -

nies ont été eetuées dansdesmilieux biologiques[Law et al.,1981 ℄.A lamême époque,

desméthodes alternatives, omme par exemple desméthodes thermodynamiques,ont été

mises en ÷uvre [Zhu etal., 1983 ℄. Ces prinipes ont montrés que la pression est dépen-

dante de la vitesse ultrasonore e qui permet une investigation du matériau et assure sa

aratérisation.Leparamètrenonlinéaireaétémesurédansdesuidespard'uneméthode

en émission-réeption[Saito etal., 2006 ℄.Ladétermination du paramètre nonlinéaire im-

poseuneonnaissane delavitesseet del'atténuation dumilieu d'étudediretement lié à

l'expressiondes équationsde propagationau seond ordre.

L'investigation non linéaire ultrasonore a montré qu'il était possible de déteter de

façon préoe des hangements de propriétés au sein d'un milieu omme une évolution

struturelle dutype vieillissement oussure.

Cette évolution du paramètre non linéaire en fontion de la struture du milieu a été

miseenévidenepar exemple danslasédimentation [Hovem, 1979 ,Kimet Yoon,2009 ℄.Il

a été estimé dans l'eau saturée en sédiment montrant que l'évolution du paramètre non

linéaire estorrélée àla densitédesédiment présent dans l'eau.

Le suividuproessusdel'hydratation dubétonaétéeetuépardesméthodelinéaire

et non linéaire [Van DenAbeele etal., 2009 ℄. Ils montrent que l'évolution du paramètre

nonlinéaire peut êtrelogiquement orréléeà l'évolution de lastrutureméanique lié aux

réations himiques et auxproessusméaniques.

Au sein de l'équipe, des études non linéaire ont été menées sur la reprise d'hydrique

derésinesphénoliques[Fortineau etal., 2006 ,Fortineau et al.,2008 ℄.Lamesurefaitappa-

raîtreune sensibilitédu paramètrenon linéaire à l'évolution de laquantité d'eau.

Leparamètrenonlinéaireaétéestimédansdestissusbiologiques(foiedepor)enfon-

tionde l'évolution de latempérature [Liu etal., 2008 ℄.Lesauteurs montrent lapossibilité

defaireuneimageenmodeC-sanduparamètrenonlinéaireparuneméthoded'insertion-

substitutionà amplitude nie. Laalibration s'eetueàl'aide d'un hydrophone.

DEUXIÈMEORDRE

1.3 Équationsdela propagationd'ondeaoustiqueaudeuxième

ordre

Dans un milieu homogène et ompressible, les ondes aoustiques exerent une défor-

mation d'un volume élémentaire autour deson point d'équilibre qui sepropage de prohe

en prohe. Cette déformation est onsidérée innitésimale. L'équation de propagation du

hamps aoustique dans un milieu uide thermo-visqueux est dérite en exprimant les

quatre équations : onservation de la masse, onservation de la quantité de mouvement,

onservationdel'énergie et l'équationd'état.Undéveloppement deeséquations àl'ordre

deuxpermet de dérirelagénération d'harmoniquedansl'équation depropagation.

Conservation de lamasse:

𝐷𝜌

𝐷𝑡 + 𝜌 ∇ ⋅ 𝜐 = 0,

^(1.1)

où

𝜐

^{est le veteur vitesse du uide,}

𝜌

^{la densité du uide et}

^𝐷𝜌 _𝐷𝑡 = _∂𝑡 ^∂ + 𝜐 ⋅ ∇

^{la dérivée}

temporellematérielle.

Conservation de laquantité demouvement :

𝜌 𝐷𝜐

𝐷𝑡 = ∇ ⋅

^T

.

^(1.2)

T estletenseur deontraintes et s'exprime par:

∇ ⋅

^T

= −∇ 𝑃 + ( ₁

3 𝜂 + 𝜉 )

∇ ( ∇ ⋅ 𝜐) + 𝜂 ∇ ² 𝜐

^où

𝜂

^et

𝜉

^{sont les oeientsde visosité de} isaillement et devolume.

Conservation de l'énergie :

𝜌𝑇 𝐷𝑠

𝐷𝑡 = 𝜅 ∇ ² 𝑇 + 𝜉 ( ∇ ⋅ 𝜐) ² + 1 2 𝜂

( ∂𝜐 _𝑖

∂𝑥 _𝑗 + ∂𝜐 _𝑗

∂𝑥 _𝑖 − 2 3 𝛿 _𝑖𝑗 ∂𝜐 _𝑘

∂𝑥 _𝑘 ) 2

,

^(1.3)

où

𝑠

^estl'entropie,

𝑇

^latempérature et

𝜅

^{laondutivité thermique.}

Équationd'état :

Dans le as général, la utuation de pression n'intervient pas dans les éhanges ther-

miques.Dansleasdesproessusultrasonores,latransformationestsupposéeadiabatique

et l'équationd'état s'érit :

𝑃 = 𝑃 (𝜌, 𝑠) .

^(1.4)

DEUXIÈMEORDRE

L'équation depropagationdérivantles hamps aoustiquesd'amplitudenieà l'ordre

deux peut-être alulée en onsidérant l'onde ultrasonore omme une petite perturbation

autour des valeurs au repos (notée ave un indie 0) des grandeurs aratéristiques du

milieu,

𝑃 = 𝑃 ₀ + 𝑝

^,

𝜌 = 𝜌 ₀ + 𝜌 ^′

^,

𝑇 = 𝑇 ₀ + 𝑇 ^′

^,

𝑠 = 𝑠 ₀ + 𝑠 ^′

^,

𝜐 = 𝜐 + 𝜐 ^′

^{, où les variables}

𝑝

^,

𝜌 ^′

^,

𝑇 ^′

^,

𝑠 ^′

^et

𝜐 ^′

représentent respetivement les utuations de pression, de densité, de température, d'entropie et de vitesse. En substituant es relations dans les équations de

onservationde lamasseet delaquantité demouvement,nousobtenons respetivementà

l'ordredeux :

∂𝜌 ^′

∂𝑡 + 𝜌 ₀ ∇ ⋅ 𝜐 ^′ = − 𝜌 ∇ ⋅ 𝜐 ^′ − 𝜐 ^′ ⋅ ∇ 𝜌 ^′ ,

^(1.5)

𝜌 ₀ ∂𝜐 ^′

∂𝑡 + ∇ 𝑝 = ( 4

3 𝜂 + 𝜉 )

∇ ² 𝜐 ^′ + ( 1

3 𝜂 + 𝜉 )

∇×∇× 𝜐 ^′ − 1

2 𝜌 ₀ ∇ ² 𝜐 ^′ − 𝜌 ^′ ∂𝜐 ^′

∂𝑡 +𝜌 ₀ 𝜐 ^′ ×∇× 𝜐 ^′ .

^(1.6)

Enabsenedetourbillons

∇× 𝜐 ^′ = 0

^.Ainsi,lapropagationestsupposéeirrotationnelle.

La deuxièmeéquation sesimplie:

𝜌 ₀ ∂𝜐 ^′

∂𝑡 + ∇ 𝑝 = ( 4

3 𝜂 + 𝜉 )

∇ ² 𝜐 ^′ − 1

2 𝜌 ₀ ∇ ² 𝜐 ^′ − 𝜌 ^′ ∂𝜐 ^′

∂𝑡 .

^(1.7)

Loindessurfaessolides,l'équationdeonservationdel'énergie devientàl'ordredeux:

𝜌 ₀ 𝑇 ₀ ∂𝑠

∂𝑡 = 𝜅 ∇ ² 𝑇 ^′ .

^(1.8)

Enn, l'équation d'état du uide autour de son état d'équilibre (

𝜌 ₀

^,

𝑠 ₀

^{) devient par}

développement de lasériede Taylorennégligeant lestermes d'ordre trois:

𝑝 = 𝑐 ² ₀ 𝜌 ^′ + 𝑐 ² ₀ 𝜌 ₀

𝐵 2𝐴 𝜌 ^{′ 2} +

( ∂𝑃

∂𝑠 )

𝜌,0

𝑠 ^′ .

^(1.9)

Le paramètrenonlinéaire,

𝐵/𝐴

^{,représenteleterme} quadratiquedudéveloppementde lasériede Taylor.Ce terme seradisuté dansleparagraphe suivant.

Ces équations développées à l'ordre deuxsont introduites dansles membres de droite

deséquations (1.5) et (1.6).

∂𝜌 ^′

∂𝑡 + 𝜌 ₀ ∇ ⋅ 𝜐 ^′ = 1 𝜌 ₀ 𝑐 ⁴ ₀

∂𝑝 ²

∂𝑡 + 1 𝑐 ² ₀

∂𝐿

∂𝑡 ,

^(1.10)

DEUXIÈMEORDRE

𝜌 ₀ ∂𝜐 ^′

∂𝑡 + ∇ 𝑝 = − 1 𝜌 ₀ 𝑐 ² ₀

( 4 3 𝜂 + 𝜉

)

∇ ∂𝑝

∂𝑡 − ∇ 𝐿,

^(1.11)

ave

𝐿

^{, ladensité}Lagrangienne, dénie par :

𝐿 = 1

2 𝜌 ₀ 𝜐 ^{′ 2} − 𝑝 ²

2𝜌 ₀ 𝑐 ² ₀ .

^(1.12)

En soustrayant legradient de l'équation(1.10) de ladérivée par rapport au temps de

l'équation(1.11), nousobtenons l'expressionsuivante :

∂ ² 𝜌 ^′

∂𝑡 ² − ∇ ² 𝑝 = 1 𝜌 ₀ 𝑐 ⁴ ₀

∂ ² 𝑝 ²

∂𝑡 ² + (

∇ ² + 1 𝑐 ² ₀

∂ ²

∂𝑡 ² )

𝐿 + 1 𝜌 ₀ 𝑐 ⁴ ₀

( 4 3 𝜂 + 𝜉

) ∂ ³ 𝑝

∂𝑡 ³ .

^(1.13)

D'autre part, en ombinant les équations d'état (1.9) et de onservation de l'énergie

(1.8),nouspouvonsen déduire l'expressionreliant lavariationde densité

𝜌 ^′

^{à lavariation}

de pression

𝑝

^.

𝜌 ^′ = 𝑝 𝑐 ² ₀ − 1

𝜌 0 𝑐 ⁴ ₀ 𝐵

2𝐴 𝑝 ² − 𝜅 𝜌 0 𝑐 ⁴ ₀

( 1 𝐶 _𝜐 − 1

𝐶 _𝑝 ) ∂𝑝

∂𝑡 ,

^(1.14)

ave

𝐶 _𝜐

^et

𝐶 _𝑝

^sontrespetivementlesapaitésaloriquesàvolumeetpressiononstante.

En substituant ettedernièreexpressiondansl'équationpréédente,l'équationde pro-

pagationnonlinéaires'exprimesouslaformedéterminéeparAanonsen[Aanonsenet al.,1984 ℄.

∇ ² 𝑝 − 1 𝑐 ² ₀

∂ ² 𝑝

∂𝑡 ² + 𝛿 𝑐 ⁴ ₀

∂ ³ 𝑝

∂𝑡 ³ = − 𝛽 𝜌 ₀ 𝑐 ⁴ ₀

∂ ² 𝑝 ²

∂𝑡 ² − (

∇ ² + 1 𝑐 ² ₀

∂ ²

∂𝑡 ² )

𝐿,

^(1.15)

où

𝛿

^{estladiusivité duson:}

𝛿 = 1

𝜌 ₀ ( 4

3 𝜂 + 𝜉 )

+ 𝜅 𝜌 ₀

( 1 𝐶 _𝜐 − 1

𝐶 _𝑝 )

.

^(1.16)

L'évolution tridimensionnelle du hamp de pression dans un uide est dérite par

l'équation (1.15). Les termes de ette équation représentent respetivement l'atténua-

tion (

𝛿/𝑐 ⁴ ₀ ⋅ ∂ ³ 𝑝/∂𝑡 ³

^{), les eets non linéaires umulatifs (}

− 𝛽/𝜌 ₀ 𝑐 ⁴ ₀ ⋅ ∂ ² 𝑝 ² /∂𝑡 ²

^{) ou loaux}

(

(

∇ ² + _𝑐 ¹ 2 0

∂ ²

∂𝑡 ²

)

𝐿

^).

𝛽

^{est leoeient non linéaire.}

1.4 Dénition et interprétation du paramètre non linéaire

1.4.1 Dénition du paramètre non linéaire

𝐵/𝐴

Le paramètre non linéaire aoustique

𝐵/𝐴

^{est le rapport des termes} quadratiques et destermeslinéairesdansledéveloppementensériesdeTaylordel'équationd'état liant les

variationsde pressionauxvariations demassevolumique orrespondant àlaréponsedela

solliitation dumilieu par une onde aoustique.

Le proessusde propagationd'uneonde hautefréquene(pression

𝑝

^{, massevolumique}

𝜌

^{ou vitesse} partiulaire

𝑣

^{) est onsidéré omme un phénomène} isentropique. Le dévelop- pement en série de Taylor de l'équation d'état

𝑃 = 𝑃 (𝜌, 𝑠)

^{, à entropie}

𝑠

^{et à densité}

onstantes, s'érit :

𝑝 = 𝑃 − 𝑃 ₀ = ( ∂𝑝

∂𝜌 )

𝜌 0 ,𝑠 0

(𝜌 − 𝜌 ₀ ) + 1 2!

( ∂ ² 𝑝

∂𝜌 ² )

𝜌 0 ,𝑠 0

(𝜌 − 𝜌 ₀ ) ² + ... ,

^(1.17)

𝑃 ₀

^et

𝜌 ₀

^sont respetivement les valeurs de la pression et de la densité à l'équilibre. Les dérivéespartiellesdel'équation(1.17)sontévaluéespourl'étatnonperturbé(

𝜌 ₀ , 𝑠 ₀

^).Cette

équationdevient :

𝑝 = 𝑃 − 𝑃 ₀ = 𝐴 ( 𝜌 ^′

𝜌 ₀ )

+ 𝐵 2!

( 𝜌 ^′ 𝜌 ₀

) 2

+ ... ,

^(1.18)

où

𝜌 ^′ = 𝜌 − 𝜌 ₀

^{est lavariationde massevolumique et}

𝐴 = 𝜌 ₀

( ∂𝑝

∂𝜌 )

𝑠,0

= 𝜌 ₀ 𝑐 ² ₀ ,

^(1.19)

et

𝐵 = 𝜌 ² ₀ ( ∂ ² 𝑝

∂𝜌 ² )

𝑠,0

.

^(1.20)

Ainsi, leparamètre nonlinéaire

𝐵/𝐴

^{s'érit souslaforme :}

𝐵

𝐴 = 𝜌 ₀ 𝑐 ² ₀

( ∂ ² 𝑝

∂𝜌 ² )

𝑠,0

.

^(1.21)

Le élérité de l'onde

𝑐

^{sedénie par :}

𝑐 ² =

( ∂𝑝

∂𝜌 )

𝑠

,

^(1.22)

nouspouvonsérire:

( ∂ ² 𝑝

∂𝜌 ² )

𝑠

= ( ∂𝑐 ²

∂𝜌 )

𝑠

= ( ∂𝑐 ²

∂𝑝 )

𝑠

( ∂𝑝

∂𝜌 )

𝑠

= 𝑐 ² ( ∂𝑐 ²

∂𝑝 )

𝑠

= 2𝑐 ³ ( ∂𝑐

∂𝑝 )

𝑠

.

^(1.23)

En introduisant ette équation 1.23, la dénitiondu paramètre non linéaire (équation

1.21) devient :

𝐵

𝐴 = 2𝜌 ₀ 𝑐 ₀ ( ∂𝑐

∂𝑝 )

𝑠,0

.

^(1.24)

Ainsi, la dérivée partielle de lavitesse par rapport à la pression à entropie onstante

s'exprime en fontion des variations isothermes de lavitesse par rapport à la pression et

en fontion delatempérature à pressiononstante.

1.4.2 Interprétation physique du oeient non linéaire

Le paramètre non linéaire

𝐵/𝐴

^{est déni par les équations (1.24) et (1.18) relatif au}

développement en sériede Taylorde l'équationd'état.Ainsi, nouspouvonsérire:

𝑐 ²

𝑐 ² ₀ = 1 + 𝐵 𝐴

( 𝜌 ^′ 𝜌 ₀

)

+ ... .

^(1.25)

En eetuant undéveloppement limité pour

𝑐 ²

𝑐 ² ₀ ≈ 1

^{, le rapport}

_𝑐 ^𝑐

0

devient :

𝑐

𝑐 ₀ = 1 + 𝐵 2𝐴

( 𝜌 ^′ 𝜌 ₀

)

+ ... .

^(1.26)

Pouruneondeplaneprogressiveoù

𝑣 = _𝜌 ^𝑝

0 𝑐 0

estlavitessepartiulaire,larelation

𝜌 ^′ /𝜌 ₀

estégale à

𝑣/𝑐 0

^{.Ainsi, lavitessedu sons'érit :}

𝑐 = 𝑐 ₀ + 𝐵

2𝐴 𝑣.

^(1.27)

La variation de élérité

Δ𝑐 = 𝑐 − 𝑐 ₀

^{peut être reliée à la variation de pression}

Δ𝑝

(équation 1.24)par :

Δ𝑐 = 1 2𝜌 ₀ 𝑐 ₀

𝐵

𝐴 Δ𝑝,

^(1.28)

soit :

𝑐 = 𝑐 ₀ + 1 2𝜌 ₀ 𝑐 ₀

𝐵

𝐴 Δ𝑝.

^(1.29)

L'expression (1.29) montre que la élérité du son

𝑐

^{dière de}

𝑐 ₀

^{par un terme qui}

est proportionnel à l'exès loal de pression et au paramètre non linéaire

𝐵/𝐴

^{du milieu.}

Par exemple, dans une phase de ompression,

𝛿𝑝

^{est positif don}

𝑐 > 𝑐 ₀

^, inversement,

𝛿𝑝

est négatif et don

𝑐 < 𝑐 ₀

^{. Ainsi, ertaines parties de l'onde se propagent plus ou moins}

rapidement quel'onde danssonensembleproduisant immédiate unedéformation dufront

Figure1.1Distorsionnonlinéairedel'ondeultrasonoreauoursdelapropagationdans

ledomaine temporelet sonimpat dansledomaine fréquentiel.

d'onde.Nousonstatonsalorsàunraidissementdufrontd'onde(gure1.1).Ladéformation

d'une onde de forme sinusoïdale dansle domaine temporel se traduit diretement dans le

domainefréquentielparl'apparitiondeomposantesharmoniquesmultiplesdelafréquene

fondamentale de l'onde émise.

Le oeient non linéaire est dénie omme

𝛽 = 1 + 𝐵/(2𝐴)

aratérisant la non- linéaritéglobale du milieu.