Etude d'algorithmes pour la detection de signaux impulsifs d'ondes gravitationnellesControle de la cavite mode-cleaner de VIRGO

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Etude d’algorithmes pour la detection de signaux

impulsifs d’ondes gravitationnellesControle de la cavite

mode-cleaner de VIRGO

T. Pradier

To cite this version:

T. Pradier. Etude d’algorithmes pour la detection de signaux impulsifs d’ondes gravitationnellesCon-trole de la cavite mode-cleaner de VIRGO. Physique mathématique [math-ph]. Université Paris Sud - Paris XI, 2001. Français. �tel-00006567�

ORSAY

LAL 01-15

n d'ordre: Avril 2001

UNIVERSIT DE PARIS SUD

CENTRE D'ORSAY

THSE

pr sent e pour obtenir

Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES DE L'UNIVERSIT PARIS XI ORSAY Spcialit: Champs, Particules, Matires

par

Thierry

Pradier

tude d'algorithmes pour la dtection de signaux impulsifs

d'ondes gravitationnelles

Contrle de la cavit Mode-Cleaner de

Virgo

Soutenue le 24 Avril 2001 devant la Commission d'examen

MM. Franois Richard Prsident

Raaele Flaminio Rapporteur

Eric Gourgoulhon Rapporteur

Jacques Dumarchez Examinateur

Mme Catherine Nary Man Examinateur

Aux trois personnes qui ont su me guider,

me soutenir, tendrement :::

ma m
re, mon p
re...et Annek.

1

La culture est le joyau qui satisfait les d sirs et les besoins, c'est aussi le signe qu'un peuple est ind pendant.

Kinder berraschung

Voil . Bon. Ben ma thse elle est nie, tonnant, non? On a toujours l'impression que pour cette fameuse page de remerciements, on va faire un truc extraordinaire et inoubliable. Je crois maintenant plutt que cette page est l'image d'une thse, quelque chose qui rete un travail, une personne, un eort, une quipe, une poque dans une exprience, une priode de la vie, sans tre forcment gniale: elle existe, humblement, et son existence marque la n d'une vie particulire, celle d'un thsard (snif)...Si elle existe, c'est grce beaucoup, beaucoup de gens que je dois ici remercier...Je vais essayer de ne pas en faire un roman...

Tout a commenc lorsque j'avais 5 ans, et que...

On reprend. Un peu d'ordre dans tout a ne peut pas faire de mal.

Le laboratoire et le jury

Merci tout d'abord Franois Richard double titre, pour m'avoir accueilli au LAL, et pour avoir accepter la prsidence de ce jury de thse.

Un grand merci Michel Davier pour m'avoir accept comme thsard dans cette jeune quipe

Virgo::: J'ai beaucoup appris au contact de son stylo bleu dvastateur. Merci aussi pour, le

premier, avoir lanc les hostilits Rome sur les hectolitres degrappelocales.

Je dois vraiment ici remercier mes deux rapporteurs ric et Raaele pour leurs commentaires (toujours pertinents) et pour avoir fait de ce manuscrit quelque chose de lisible (??? ::: ). Merci pour tout ce temps consacr mes milliers de pages sans queue ni tte, en particulier Raaele qui a trouv (comment? ) du temps entre deux alignements de tours deVirgo. Merci ric pour

ses remarques sur la partie astrophysique de ce manuscrit.

Merci Nary pour avoir accept de faire partie de ce jury, et d'avoir su toujours rendre agrable ma collaboration avec le groupe de Nice. Merci enn Jacques Dumarchez d'avoir accept de lire ma prose, et de faire partie de ce mmorable jury.

Ceux qui m'ont attir
au LAL

:::

Je voudrais ici remercier Francois Lediberder, qui m'a fait dcouvrir et aimer la physique (rien que ca! ), et qui a permis mes premiers contacts avec le LAL. C'est en partie grce lui que je suis venu au LAL en licence pour un stage sur EROS.

Et c'est cette quipe EROS qui m'a fait dcouvrir et apprci le travail de recherche et la vie dans un laboratoire. Je veux donc ici remercier profondment Marc, Rza, Olivier et Franois. Vous tes responsables de mon retour au LAL pour une thse (sisi!! ). En outre, merci encore pour ce portable qui m'a bien dpann!!!

Et puis, nalement, merci Laurent Serin et Corinne Augier pour leur aide et leur soutien.

Le directeur de thse et l'
quipe

Rhhhhh Patrice (soupir). Enn, tu ne m'auras plus sur le dos, plus jamais toutes ces fautes corriger, plus jamais crier le matin parce que... Bref. Vraiment merci d'avoir su guider mes pas lors de cette thse, de m'avoir laiss libre d'explorer les chemins que je voulais dcouvrir, pour me remettre de temps en temps sur la bonne route ::: La libert, c'est pas si facile utiliser, il faut savoir quoi en faire!!

Merci pour toutes ces discussions sur la physique, l'enseignement, la mta ou la pataphysique. Merci enn de m'avoir montr qu'il pouvait y avoir plus rleur que moi, mme si tu n'arrives pas la cheville de J.-P. Bacri. Et encore dsol pour ma dyslexie du clavier ::: et tes weekends gchs. Le terme d'quipe prend tout son sens lorsque l'on voqueVirgo::: LAL. Une quipe soude

(aprs tout, on est tous dans la mme galre, souquez ferme! ) dynamique (peut-tre moins le vendredi soir) robuste, performante (par contre elle ne fait pas encore le caf). Ainsi, laissez moi ici (j'insiste) remercier Fabien Barry White Cavalier, Marie-Anne I'm'enerve Bizouard (ou J-en-ai-marre), pour leur relecture attentive et attentionne du manuscrit, et pour toutes les discussions de physique que nous avons pu avoir au cours de ces 3 ans. Je n'oublie pas Philippe Heusse!

Merci Matteo TIM Barsuglia (ou bien Matteo CiaaAAAaaao! Barsuglia) pour m'avoir guid Cascina, et pour avoir su, malgr son travail sur le site, toujours su me consacrer du temps pour les choses importantes.

Finalement, Merci aussi aux deux jeunes du groupe Philippe PisaPisa! Canitrot (jeune mais dj docteur et papa) pour sa ::: folie (? ) et son naturel (?? ...), et Nicolas C-est-pas-cr dible Arnaud. Laissez-moi tout de mme vous dire qu'un thsard qui ne boit pas de caf, c'est quelque part pas humain.

J'aimerais dans ce petit paragraphe remercier aussi Michel On-peut-pas-travailler-comme-ca Dehamme et Monique Petit-Assent-qui-chante Taurigna pour leur aide et leur travail pendant ces mois sur lesoft. Toujours disponibles et souriants, mme quand c'est un p'tit thsard qui vient vous poser des questions (stupides), je vous en remercie.

Le site

Ces p'tits (longs! ) moments Cascina resteront jamais dans ma mmoire, et pas uniquement cause de la mer pas loin. L'quipeMode-Cleanerfut pour moi une dcouverte, celle du travail en quipe, dans un laboratoire, rgler des oscillos (et c'est pas un TP, ca DOIT marcher!! ), ou tirer des cbles, et scier des parois!!!

Par qui commencer? Tout d'abord, l'quipe Optique de Nice, ex-Laser-Optics Orsay. Vous n'tes pas rest longtemps aprs mon arrive, juste le temps pour moi de m'habituer vous, et de vous regretter (snif). Depuis, on n'a plus jamais fait d'aussi longues tables au CESFO!! Alors en souvenir du temps o l'on cesfoyait gaiement ensemble, et puis des moments de travail ou d'anti-travail sur le site, laissez moi remercier Franois Porte-Avions Bondu, tout particulirement parce que c'est lui qui m'a initi aux secrets du Mode-Cleaner, qui m'a support et aid tout au long de ces mois, moi et mes cheveux trop longs sous la charlotte. Merci encore pour avoir toujours rpondu sans faille tous mes mails dsesprs dans les dernires semaines.

Ensuite, j'aimerais remercier Henrich Birkensctock Heitmann (d'autres diront Cahute-Scroun-tch) pour sa disponibilit sur le site et son enthousiasme ::: Merci aussi Magali Av -l'assent Loupias et Thierry I Muvrini Battistini, pour les soires autour d'une bire ou bien autour d'une bire + pizza...Sans toutes ces personnes, la face de Cascina en aurait t change.

Finalement, je ne veux surtout pas oublier Simon Killer Loop Mataguez (ou Mister Propre), pour m'avoir accueilli chez lui, m'avoir fait dcouvrir Pise, le Giardino Scotto, Big Ben...pour n'avoir jamais refus une pause caf sur le site (il est trop bon pour dire non). Pour tout quoi, ta prsence sur le site a toujours t un rconfort. Le seul problme, ce sont tes horaires. Quelle ide de partir du site 20h, alors qu'on vient juste de locker. Un merci aussi Frdric Mercury Richard :::

AAAaaaah le site (soupir)...une seule chose: les kangoos un peu trop fragile.

Last but not least

Les thsards du LAL!! Sophie G., Esther (souvenirs souvenirs), Sophie T. ou Sandrine et Mlissa, je mentirais si je disais que toutes ces prsences fminines ne sont pas agrables au cours d'une pause caf ::: Merci Sophinette, estherita, Elias, Jj et Armand pour toutes les fois o nous avons cesfoy ensemble, des bols d'air pur dans une vie de fou. Bonne route Sophie T. ::: Merci aussi Gianni!!

J'aimerais ici remercier pour nir ceux qui m'ont suivis depuis tout ce temps: mes amis, mes copains, mes poteaux... En vrac (et sans ordre de prfrence...), merci Arnaud (si j'ai pleur ce jour-l , c'est bien qu'il y a une raison), Franois, parce que ca fait si longtemps, Jean-Franois, Anne-Sophie. Dsol pour notre tlphone aux abonns absents ces derniers mois :::

Merci Sylvain Tabarnouche Grollau (ou El Grolo). Qui sait, sans lui, je ne serais peut-tre jamais monter Paris??? Et pis JBDVDR (qui a souhait garder l'anonymat) alias El Jibi ou la fouine, forcment, pour sa prsence et son amiti, mme des centaines de km. Remercier un ami pour son amiti, trange? Merci sincrement vous, Sylvain et Jean-Baptiste.

Et pis je vais tout de mme pas oublier la bande de Saclay, Seb. DaftPunk Biraud (ou encore Don-t-stop-crushin'-the-lemon), Cline AllyMcBeal Bonls, Gaelle hihihi Raalli et Mat-thias Alors! Cuntz!! Vieux Sudois!

Je souhaite remercier profondment mes bo-parents, Jip et Jaja, pour leur comprhension et leur soutien, particulirement ces derniers mois!

Enn, merci du fond du coeur mon pre et ma mre pour m'avoir amen jusqu'ici, et surtout, surtout, pour tre prsent ma soutenance. Je leur dois beaucoup, peut-tre n'en ai-je pris conscience que trop tard?

Anna, Daou-Lagad Lemm Levrizm 'vel Lano eul Lenn Mor ::: Ne Trugarekaater ket ar Mor, met ar Kontempla ha Cherissa, plaen. Ha te gouarn, Atao.

Merci tout de mme pour ta prsence, ta patience pendant ces trois ans, ::: j'ai toujours t incapable de faire une liste moi! Merci enn pour ta relecture de ce monticule de papier, tes conseils et ton aide, toujours prcieuse. Londres soit loue! Anne, ma douce, ma mie :::

Table des mati
res

Introduction

1

I Ondes Gravitationnelles, Sources Astrophysiques et D
tection

5

1 De la Relativit aux ondes de gravitation

9

1.1 Introduction la Relativit . . . 10

1.2 Quelques rsultats de la Relativit Restreinte . . . 10

1.3 Le Principe d'quivalence . . . 11

1.4 La courbure de l'Espace-Temps . . . 12

1.5 Les quations d'Einstein . . . 14

1.6 Conclusion . . . 17

2 Le Rayonnement Gravitationnel

19

2.1 Origine du rayonnement gravitationnel . . . 20

2.2 Gnration et mission d'Ondes Gravitationnelles . . . 22

2.3 PSR 19 13+16 . . . 25

2.4 Une exprience de Hertz pour la gravitation? . . . 27

2.5 Les sources potentielles . . . 27

2.6 Comment dtecter une onde de gravitation? . . . 28

3 Les sources continues

33

3.1 Coalescences de systmes binaires . . . 34

3.2 toiles neutrons . . . 35

3.3 Fond de rayonnement gravitationnel . . . 40

4 Les Sources Impulsives

43

4.1 Les Supernovae . . . 44

4.2 Un Catalogue de signaux impulsifs . . . 54

4.3 Instabilits dans les toiles neutrons . . . 60

4.4 Naissance d'un trou noir . . . 69

4.5 Fusion de deux objets compacts . . . 73

4.6 Neutrinos et sources impulsives . . . 77

4.7 Sursauts Gammas et sources impulsives . . . 78

4.8 Perspectives . . . 83

5 La dtection interfromtrique

87

5.1 Principe de la dtection: l'interfromtre de Michelson . . . 88

5.2 Les sources de bruit . . . 94

5.3 Les amliorations au principe de base . . . 96

5.4 L'extraction du signal gravitationnel . . . 100

TABLE DES MATI RES

6 Le Projet

Virgo

103

6.1 La Conguration Optique . . . 104

6.2 Virgodans le dtail . . . 105

6.3 Le contrle deVirgo . . . 111

6.4 La cha"ne d'acquisition des donnes . . . 111

6.5 La sensibilit attendue pourVirgo. . . 113

II L'analyse des donn
es dans les d
tecteurs interf
romtriques 115

1 Analyser et caractriser le bruit de

Virgo

119

1.1 Les bruits dansVirgo . . . 121

1.2 Caractrisation du Bruit . . . 123

1.3 Techniques de pr-traitement des donnes . . . 128

2 La dtection des sources continues

133

2.1 La dtection des Coalescences de systmes Binaires . . . 134

2.2 Le fond stochastique . . . 136

2.3 Les sources priodiques . . . 139

2.4 Conclusion . . . 142

3 tude de ltres de slection en ligne pour

Virgo

143

3.1 Hypothses et dnitions . . . 145

3.2 Un dtecteur bas sur la fonction d'autocorrlation (NA) . . . 149

3.3 Des corrlations avec des formes d'ondes connues . . . 152

3.4 Dtection d'une variation de pente . . . 153

3.5 Un dtecteur quadratique: ALF . . . 155

3.6 Distances de dtection (ltres de rgression) . . . 156

3.7 Implmentation pratique des ltres de rgression . . . 158

3.8 Rednition d'un vnement . . . 158

3.9 tudes des performances des ltres de rgression . . . 160

3.10 Rsultats avec des signaux physiques . . . 164

3.11 Caractrisation du bruit . . . 170

3.12 Robustesse par rapport au blanchiment des donnes . . . 180

3.13 Rsolution en temps . . . 183

3.14 Relation avec les modles de supernovae . . . 19 3 3.15 Un aperu de mthodes d'analyse hors ligne . . . 202

3.16 Rsum et conclusion . . . 203

III Le contrle du

ModeCleaner

de

Virgo

205

1 Rponse d'une cavit rsonnante: le

Mode-Cleaner

209

1.1 Pourquoi un Mode-Cleaner? . . . 210

1.2 Cavits rsonnantes . . . 211

1.3 Champs de propagation . . . 212

1.4 Champs gaussiens et cavits rsonnantes . . . 213

1.5 Proprits de ltrage d'une cavit . . . 214

1.6 Proprits optiques d'une cavit triangulaire . . . 221

1.7 Le Mode-Cleanersuspendu deVirgo . . . 222

2 Contrle d'une cavit suspendue

225

2.1 Spcications: Transmission, stabilit en frquence et en puissance . . . 226

2.2 Contrles locaux . . . 227

2.3 Alignement . . . 228

2.4 Le signal Pound-Drever . . . 228

2.5 La cha"ne du contrle global du Mode-Cleaner. . . 231

2.6 Contrle longitudinal: actuateurs . . . 233

2.7 Spcications sur la boucle d'asservissement . . . 234 ii

TABLE DES MATI RES

3 L'acquisition de la rsonance

237

3.1 L'acquisition de la rsonance avec le servo linaire . . . 239

3.2 Prsentation de la technique des impulsions . . . 249

3.3 Applications au Mode-Cleaner: Simulations . . . 250

3.4 Amliorations au principe de base . . . 259

3.5 Des simulations plus ralistes . . . 265

3.6 Applications au Mode-Cleaner: Implmentation . . . 268

3.7 Tests eectus in situ . . . 269

3.8 Simulations et exprience . . . 277

4 Premiers rsultats sur le

Mode-Cleaner

279

4.1 La stratgie de contrle . . . 280

4.2 Caractristiques optiques de la cavit . . . 280

4.3 Estimation des Fonctions de Transfert . . . 288

4.4 Contrle longitudinal de la cavitMode-Cleaner. . . 29 2 4.5 Une nouvelle topologie . . . 29 8 4.6 Discussion . . . 303

4.7 Rsum des rsultats importants . . . 304

Liste des gures

Ondes Gravitationnelles et Sources Astrophysiques

9

2.1 Eet du passage d'une onde gravitationnelle . . . 23

2.2 Eet de l'mission d'ondes gravitationnelles sur PSR 1913+16 . . . 27

2.3 Schma de principe d'une barre rsonnante . . . 29

3.1 mission gravitationnelle pendant la coalescence d'un systme binaire d'objets com-pacts . . . 35

3.2 Instabilits sculaires dans une toile neutrons en rotation . . . 38

3.3 Limites existantes sur og(f) . . . 42

4.1 Types basiques de supernovae (spectres) . . . 45

4.2 Classication des supernovae . . . 45

4.3 Taux de supernovae par an en fonction de la distance . . . 46

4.4 Spectres au maximum - SN Ia . . . 47

4.5 Spectres au maximum - SN Ib/c . . . 48

4.6 Spectres au maximum - SN II . . . 49

4.7 Exemples de signaux gravitationnels - eondrement en SN II (signal de type II) . . 52

4.8 Exemples de signaux gravitationnels - eondrement en SN II (signal de type I) . . 52

4.9 Formes d'ondes et spectre en nergie - eondrement en SN II . . . 52

4.10 Rsum des amplitudes attendues - eondrement en SN II . . . 54

4.11 Exemples de formes d'ondes - eondrement en SN II (type I, II, III) . . . 59

4.12 Spectre en nergie correspondant - eondrement en SN II (type I, II, III) . . . 59

4.13 Rsum des amplitudes attendues, en fonction de la frquence . . . 60

4.14 Formes d'ondes - Instabilits de rotation dans les toiles neutrons . . . 62

4.15 Spectre en nergie correspondant . . . 63

4.16 mission gravitationnelle - toile neutrons . . . 63

4.17 Instabilits continues et impulsionnelles -toile neutrons . . . 64

4.18 Instabilit Chandrasekhar-Friedman-Schutz . . . 65

4.19Fentre d'instabilits des r-modes . . . 66

4.20 Amplitude caractristique des r-modes en fonction de la frquence . . . 67

4.21 Amplitude de l'onde gravitationnelle pour une excitation de r-mode . . . 67

4.22 h
pour un eondrement en trou noir d'une toile sans rotation . . . 71

4.23 h+et nergie moyenne (toile en rotation) en fonction du moment angulaire . . . . 72

4.24 Exemples de formes d'ondes, collision de deux toiles neutrons . . . 74

4.25 Exemples de formes d'ondes, collision de deux toiles neutrons . . . 75

4.26 Allures de l'onde gravitationnelle correspondante . . . 75

4.27 Simulations de la coalescence de deux toiles neutrons . . . 76

4.28 Formation de jets durant la fusion d'un systme binaire et rsum des scnarios envisags pour la production de sursauts gammas . . . 79

4.29Exemples de scnarios possibles - sursauts gammas originaires de systmes binaires 80 4.30 Exemples de scnarios possibles - sursauts gammas originaires de systmes binaires (naine blanche) . . . 80

4.31 Exemples de scnarios possibles - sursauts gammas originaires de systmes binaires (colllapsar) . . . 80

LISTE DES FIGURES

La d
tection des ondes de gravitation

83

5.1 Un interfromtre de Michelson avec miroirs suspendus. . . 89

5.2 Schma de principe d'un interfromtre de Michelson. . . 89

5.3 
(t)=h(t)en fonction de la frquence pour un interfromtre de 3 km . . . 92

5.4 Rponse angulaire d'un interfromtre . . . 92

5.5 Fonction d'Airy, nesse F=210100 . . . 98

5.6 Principe d'un interfromtre de Michelson avec recyclage de puissance . . . 99

5.7 Les dtecteurs interfromtriques dans le monde. . . 101

6.1 Virgovu du ciel au dbut 2001 . . . 105

6.2 La source Laser deVirgo . . . 107

6.3 Le dispositif complet deVirgo . . . 108

6.4 Fonctions de transfert pour le superattnuateur de Virgo . . . 109

6.5 Le superattnuateur de Virgo . . . 110

6.6 Virgoet ses tubes vide . . . 110

6.7 Schma gnral de l'acquisition des donnes dansVirgo . . . 112

6.8 Prslection en ligne . . . 112

6.9 La courbe de sensibilit attendue pour Virgo. . . 113

Analyse des donn
es

114

1.1 Densit spectrale de donnes simules et densit spectrale prvue pourVirgo. . . 126

1.2 Lien entre un ltre de blanchiment et un processus Auto-Rgressif . . . 126

1.3 Schma du principe de fonctionnement d'un ltre adaptatif $232]. . . 127

1.4 Bruit simul deVirgo, et rsultat du blanchiment des donnes . . . 128

3.1 Courbe de sensibilit attendue pourVirgo . . . 145

3.2 Fonction d'autocorrlation avec ou sans signal . . . 150

3.3 Autocorrlation: Seuil de dtection en fonction du nombre de simulations . . . 151

3.4 Autocorrlation: performance pour les signaux du catalogue de rfrence . . . 152

3.5 SNR associ SD pour un pic de type gaussien, en fonction de la fentre d'analyse 154 3.6 SNR associ SSD pour un pic de type gaussien, N =0:5ms et N=5ms . . . . 155

3.7 Coe&cient de corrlation linaire correspondant, pour N =10et N =100. . . 155

3.8 Distribution de ALF pour N =1:5ms . . . 157

3.9 Rednition d'un vnement: un amas de dclenchements conscutifs . . . 159

3.10 Seuil de dtection pour ALF en fonction de la taille de la fentre d'analyse, en fonction du nombre de fentres utilis en parallle . . . 160

3.11 Gain sur le taux de fausses alarmes en tenant compte de la rednition d'un vnement161 3.12 Limite de dtection, signal de type I . . . 163

3.13 Performance maximale pour chacun des signaux ZM - Cas de SD et de OD. . . 164

3.14 Performance maximale pour chacun des signaux ZM - Cas de ALF . . . 165

3.15 Tailles optimales des fentres d'analyse pour SD et OD (catalogue ZM) . . . 165

3.16 Tailles optimales de fentres d'analyse pour ALF (catalogue ZM) . . . 166

3.17 Performance des ltres en fonction de la taille de la fentre utilise . . . 166

3.18 E&cacits de dtection pour les dirents ltres de rgression linaire . . . 168

3.19Performance de ALF en fonction du taux de fausses alarmes . . . 169

3.20 Taille des amas de dclenchements, pour deux taux de fausses alarmes . . . 170

3.21 Intervalle de temps entre dclenchements (fausses alarmes) de X+ et X; . . . 171

3.22 Intervalle de temps entre dclenchements (de fausses alarmes) de X+et X;: t 0.5, 1.5, 2.5, 5, 10 et 50 ms . . . 171

3.23 Distributions de t entre dclenchements de X: signal de type I et bruit . . . . 174

3.24 Distributions de t entre dclenchements de X: signal de type II et bruit . . . 174

3.25 Distributions de t entre dclenchements de X: signal de type III et bruit . . . 175

3.26 Fraction d'vnements de bruit limins en fonction du nombre de dclenchements conscutifs de ALF . . . 176 3.27 Signal de type I, SNR faible et fort: fraction des vnements dtects non rejets

par une coupure sur le nombre n de dclenchements conscutifs, en fonction de n . 179 vi

LISTE DES FIGURES

3.28 Signal de type II, SNR faible et fort: fraction des vnements dtects non rejets par une coupure sur le nombre n de dclenchements conscutifs, en fonction de n . 179 3.29Signal de type III, SNR faible et fort: fraction des vnements dtects non rejets

par une coupure sur le nombre n de dclenchements conscutifs, en fonction de n . 180

3.30 Excs de fausses alarmes: composante 0.6 Hz . . . 181

3.31 volution du paramtre de blancheur du spectre en fonction de l'amplitude de la composante 0.6 Hz . . . 182

3.32 Exemple de signal de type ZM . . . 184

3.33 Dirence entre le temps de premier dclenchement de ALF et le temps du maximum de ALF - Exemple . . . 186

3.34 Dirence entre le temps de premier dclenchement de ALF et le temps du maximum de ALF - Distribution . . . 187

3.35 Probabilit de trouver le maximum physique du signal t du premier dclenche-ment de ALF - Signal de faible SNR ou de fort SNR, et en fonction du type du signal . . . 189

3.36 Rsolution en temps - Signal de type I utilis . . . 190

3.37 Temps de premier dclenchement et temps du maximum de ALF - signal de type I 190 3.38 Rsolution en temps - Signal de type II utilis . . . 191

3.39Temps de premier dclenchement et temps du maximum de ALF - signal de type II 191 3.40 Rsolution en temps - Signal de type III utilis . . . 192

3.41 Temps de premier dclenchement et temps du maximum de ALF - signal de type III192 3.42 Intervalle de temps entre rebond et maximum du signal gravitationnelt . . . 19 3 3.43 Formes des signaux avec t
0:5ms . . . 19 4 3.44 Caractristiques des Signaux ZM, selon la valeur det . . . 19 7 3.45 Caractristiques des Signaux ZM, selon la valeur det (suite) . . . 19 7 3.46 Caractristiques des Signaux ZM, selon la valeur det (suite) . . . 19 8 3.47 Caractristiques des Signaux ZM, selon la valeur det (n) . . . 198

3.48 E&cacit de dtection de ALF en fonction du taux de fausses alarmes, pour di-rents SNR . . . 200

Le

Mode-Cleaner

204

1.1 Gnration de bruit de phase par le couplage entre les uctuations de position du faisceau laser et le les dsalignements des miroirs. On a nglig les changements d'orientation des faisceaux engendrs. . . 210

1.2 Schma d'une cavit plan-sphrique. . . 212

1.3 Prol d'un faisceau gaussien . . . 213

1.4 Un faisceau gaussien dans une cavit plan-sphrique. . . 214

1.5 Schma simpli d'une cavit en anneau . . . 215

1.6 Spectre thorique des modes d'une cavit triangulaire . . . 217

1.7 Attnuation en amplitude et en puissance des modes symtriques (m pair) . . . 218

1.8 Attnuation en amplitude et en puissance des modes antisymtriques (m pair) . . 218

1.9 Le Mode-CleanerdeVirgo . . . 223

1.10 Le dispositif exprimental de la source laser . . . 224

2.1 Module et phase du champ rchi pour une cavit Fabry-Perot simple . . . 229

2.2 Transmission, rexion en phase et en quadrature pour un Fabry-Perot simple de 144m, et de nesse 1000 . . . 230

2.3 Transmission et signal d'erreur linaris pour une cavit Fabry-Perot simple de 144m, et de nesse 1000 . . . 231

2.4 Description de la cha"ne de contrle du Mode-CleanerdeVirgo. . . 232

2.5 Serveurs mis en jeu dans le contrle duMode-CleanerdeVirgo . . . 233

2.6 Diagramme de contrle duMode-Cleaner . . . 234

3.1 Schma d'un cavit triangulaire (haut), et celui d'une cavit Fabry-Perot simple qui a servi modliser leMode-CleanerdeVirgo. . . 240

LISTE DES FIGURES

3.3 Mouvement relatif des deux masses duMode-Cleanersimul et vitesse du banc . . 241

3.4 Mouvement relatif des deux masses du Mode-Cleaner mesur en asservissant la longueur d'onde du laser deVirgosur la longueur de la cavit . . . 242

3.5 La cha"ne de contrle complte duMode-Cleaner . . . 242

3.6 Transmission et corrections appliques au banc suspendu pour une nesse 1000, et un systme analogique sanstrigger . . . 243

3.7 Longueur relative du Mode-Cleaner et vitesse d'expansion de la cavit pour une nesse 1000, et un systme analogique sans trigger . . . 244

3.8 Signal d'erreur et Puissance Transmise, dans le cas d'un lockanalogique sans seuil sur la puissance transmise . . . 244

3.9 Puissance Transmise et Correction appliques au banc suspendu pour une nesse 1000, et un systme analogique avectrigger . . . 245

3.10 Longueur relative du Mode-Cleaner et vitesse d'expansion de la cavit pour une nesse 1000, et un systme analogique avectrigger . . . 245

3.11 volution du nombre de points dans la zone linaire en fonction de la frquence d'chantillonnage du systme numrique . . . 247

3.12 Fraction de passages la rsonance pour lesquels le nombre de points chantillonns 5 kHz est suprieur n0 . . . 247

3.13 Application d'une impulsion rectangulaire sur un miroir . . . 249

3.14 Allure d'une impulsion triangulaire par rapport une impulsion rectangulaire . . . 252

3.15 Nombres de points 10 kHz pendant une traverse de la rsonance, sous l'eet des impulsions . . . 253

3.16 Variation relative de la vitesse dans la zone linaire . . . 255

3.17 Erreur sur la reconstruction de la vitesse . . . 256

3.18 Nombre de points 5 kHz utiliss pour reconstruire la vitesse d'expansion de la cavit, pendant une traverse de la rsonance, sous l'eet des impulsions. . . 256

3.19Distribution de vapr s=vavant . . . 257

3.20 vapr s=vavant en fonction de la vitesse juste avant l'application de l'impulsion et vitesse de sortie de la zone linaire en fonction du rapport as=vs . . . 258

3.21 Rapport Vitesse Seuil/Vitesse Reconstruite au moment de la mise en fonctionne-ment du servo linaire . . . 259

3.22 Rapport Vitesse Seuil/Vitesse Relle de la cavit au moment de la mise en fonc-tionnement du servo linaire -locksperdus ou robustes . . . 260

3.23 Vitesse Seuil/Vitesse Reconstruite en fonction de l'intervalle de temps entre le dbut dulock et la perte dulock . . . 260

3.24 Compensation de la saturation de l'amplitude de l'impulsion . . . 262

3.25 Eet des bobines sur une impulsion de forme triangulaire. . . 266

3.26 Forme de l'impulsion avec compensation de l'eet des bobines . . . 268

3.27 La partie utilisateur du client contrlant lelock duMode-CleanerdeVirgo. . . 269

3.28 Testsin situ - Vitesses mal recontruites . . . 270

3.29Testsin situ - Vitesses mal recontruites . . . 271

3.30 Testsin situ - Signal d'erreur triangulaire . . . 272

3.31 Testsin situ - Impulsions rectangulaires et triangulaires . . . 273

3.32 Testsin situ - Impulsions triangulaires avec et sans compensation de la saturation 273 3.33 Testsin situ - Impulsions rectangulaires, compensation de la saturation . . . 274

3.34 Testsin situ- Transition entre des impulsions rectangulaires et triangulaires et entre les impulsions et le servo linaire . . . 274

3.35 Phase de la fonction de Transfert du correcteur numrique . . . 275

3.36 Module de la fonction de Transfert du correcteur numrique . . . 276

3.37 Dure de la squence lecture/calcul/criture du correcteur numrique . . . 277

3.38 Niveaux de bruits en sortie des ADC dans la salle d'acquisition (o la correction est calcule) et dans le btimentMode-Cleaner(o la correction est applique aux bobines contrlant le banc suspendu). . . 277

4.1 Mesure du Signal d'erreur et signal en transmission . . . 281

4.2 Idem, sur un Intervalle Spectral Libre . . . 282

4.3 Spectre des modes du Mode-CleanerdeVirgo. . . 283

4.4 Spectre des modes thoriques du Mode-CleanerdeVirgo . . . 284 viii

LISTE DES FIGURES

4.5 Mesure du rayon de courbure du miroirMode-Cleaner . . . 285 4.6 Dveloppement des eets transitoires pour une cavit Fabry-Perot de longueur

L = 144m et de nesse F = 120(simulations) . . . 286

4.7 Apparition et dveloppement des eets transitoires pour une cavit Fabry-Perot de longueur L = 144m et de nesseF = 120(simulations) . . . 287

4.8 Apparition des eets transitoires pour une cavit Fabry-Perot de longueur L = 144m

et de nesse F = 120(simulations) . . . 287

4.9 Fonction de transfert selon l'axe x pour le bancMode-Cleaner, avec et sansdamping inertiel. . . 289 4.10 Fonctions de transfert pour les 6 degrs de libert pour le bancMode-Cleaner . . . 289 4.11 Lockdu laser sur la cavitMode-Cleaner . . . 29 0 4.12 Bruit de longueur et vitesse selon z mesur en asservissant le laser sur la cavit

Mode-Cleaner . . . 29 1 4.13 Idem, Dtail pour les basses frquences . . . 29 1 4.14 Fonction de transfert des bobines contrlant le bancMode-Cleaner . . . 29 2 4.15 Fonction de transfert des actuateurs pizolectriques contrlant le miroir courbe . 29 3 4.16 Fonction de transfert optique de la cavit . . . 29 5 4.17 Fonction de transfert des bobines + amplicateurs . . . 295 4.18 Fonction de transfert du systme actuateurs + signal de PDH . . . 29 6 4.19Fonction de transfert du systme en boucle ouverte . . . 29 7 4.20 Fonction de transfert du systme correcteur . . . 297 4.21 Longueur de la cavit et signal de correction envoy aux bobines contrlant le banc

suspenduMode-Cleaner- Amortissement des mouvements rsiduels . . . 298 4.22 Bruit de longueur duMode-Cleaner- Amortissement des mouvements rsiduels . . 299 4.23 Schma de principe de la nouvelle topologie de contrle . . . 300 4.24 Premierlock duMode-Cleanersur la cavit de rfrence . . . 301 4.25 Fonction de Transfert mesure du correcteur numrique . . . 301 4.26 Mlange des forces entre les deux bobines contrlant l'axe z du bancMode-Cleaner 302 4.27 Fonction de transfert mesure entre z et y (autour de 1 Hz) - Diagonalisation de

Liste des tableaux

Ondes Gravitationnelles, Sources Astrophysiques

9

1.1 Analogies entre Relativit Gnrale et physique Newtonienne. . . 17

3.1 Taux d'occurence de formation et de coalescence de systmes binaires . . . 36

4.1 Taux de supernovae . . . 45

4.2 mission gravitationnelle pour des instabilits de rotation . . . 62

4.3 Croissance des instabilits dynamiques . . . 64

La d
tection des ondes de gravitation

83

6.1 Spcications optiques pour le CITF et Virgo . . . 106

Analyse des donn
es

114

1.1 Amplitudes quivalentes: perturbations lectromagntiques . . . 121

1.2 Spectre en sortie d'un ltre de blanchiment:  . . . 127

3.1 Performances de SD, OD, ALF pour direntes largeurs d'un signal gaussien . . . 161

3.2 Performances des ltres SD, OD et ALF pour direntes paramtres d'un signal sinuso'dal amorti . . . 162

3.3 SNR optimal limite de dtection pour ALF, pour des signaux gaussiens . . . 163

3.4 SNR optimal limite de dtection pour ALF, pour des signaux du catalogue ZM . . 163

3.5 Performances des dirents ltres de rgression linaire . . . 167

3.6 Probabilit d'occurence d'une conguration de co'ncidence entre X+ et X; . . . . 172

3.7 E&cacit de dtection d'un signal de type I pour un processus de co'ncidences . . 172

3.8 E&cacit de dtection d'un signal de type II pour un processus de co'ncidences . . 172

3.9 E&cacit de dtection d'un signal de type III pour un processus de co'ncidences . 173 3.10 Rsum de la fraction de signal ou de bruit remplissant une condition de co'ncidence donne . . . 174

3.11 E&cacit de dtection pour ALF et ALFtrigqui tient compte du nombre de dclen-chements conscutifs de ALF - N =1:5ms, signal de type I . . . 176

3.12 E&cacit de dtection pour ALF et ALFtrigqui tient compte du nombre de dclen-chements conscutifs de ALF - N =5ms, signal de type I . . . 177

3.13 Nombre moyen de dclenchements conscutifs pour ALF, en fonction du type du signal . . . 178

3.14 Perte de signal pour une rduction de 90 % des fausses alarmes . . . 178

3.15 Eet d'un mauvais blanchiment sur le nombre de fausses alarmes . . . 180

3.16 Paramtre  obtenu dans le cas d'une amplitude d'une composante 0.6 Hz pour un excs de fausses alarmes de 10 % . . . 183

3.17 SNR optimal de dtection pour ALF pour des signaux de type ZM . . . 184

3.18 Erreurs systmatiques et statistiques - Temps de premier dclenchement - Signal gaussien . . . 185

3.19Erreurs systmatiques et statistiques - Temps du maximum - Signaux gaussiens . . 185

LISTE DES TABLEAUX

3.21 Rsolution en temps signaux de type ZM - Temps du maximum . . . 188 3.22 Rsolution en temps pour des signaux ZM des 3 types - Temps de premier

dclen-chement . . . 188 3.23 Rsolution en temps pour des signaux ZM des 3 types - Temps du maximum . . . 188 3.24 Rsolution temporelle de ALF pour les 3 signaux tudis, en fonction du SNR . . . 189 3.25 Caractristiques des dirents signaux du catalogue ZM . . . 195

Le

Mode-Cleaner

204

2.1 Rsum des spcications pour le Mode-CleanerdeVirgo . . . 227

3.1 Performances obtenues pour une nesseF= 1000, avec le servo linaire utilis avec

ou sanstrigger sur la puissance transmise . . . 248 3.2 Paramtres d'acquisition de la rsonance avec la technique des impulsions(F = 1000,

fs = 10kHz) . . . 253

3.3 Paramtres d'acquisition de la rsonance avec la technique des impulsions(F = 1000,

fs = 5kHz) . . . 254

3.4 Paramtres d'acquisition de la rsonance avec la technique des impulsions(F = 1000,

fs = 5kHz), et rduction graduelle de la vitesse du miroir . . . 264

3.5 Paramtres d'acquisition de la rsonance avec la technique des impulsions(F = 1000,

fs = 5kHz) - Force applique mise zro lors de la traverse d'une rsonance . . 265

3.6 Paramtres d'acquisition de la rsonance avec la technique des impulsions(F = 1000,

fs = 5kHz) - Eet de ltrage passe-bas induit par les bobines . . . 266

4.1 Zros et ples de la fonction de transfert des bobines, basse frquence. . . 292

Introduction

E

n physique des particules

, le Modle Standard fait l'objet d'ac-tives recherches dans le but d'en vrier les fondements et/ou prdictions. Dans le domaine de la Gravitation, la thorie de la Relativit Gnrale d'Einstein dcrit des phnomnes qui pour la plupart sont observs au niveau macroscopique, et qui se manifestent avec de faibles amplitudes l'chelle atomique. Apparemment, aucune relation entre ces deux domaines de physique.

Certaines prdictions ont pu tre vries exprimentalement, au dbut du sicle essentiel-lement (avance du prihlie de Mercure par exemple). L'exprience EROS (Exprience de Re-cherches d'Objets Sombres) recherche depuis une dizaine d'annes la Matire Noire dans l'Univers en utilisant une autre de ces prdictions, la dviation des rayons lumineux par un astre massif, et, par extension, l'eet de lentille gravitationnelle.

Pourtant, une prdiction de la thorie d'Einstein attend conrmation depuis prs d'un sicle: les Ondes Gravitationnelles. Selon la thorie, l'acclration de corps massifs cre une perturbation de la mtrique de l'espace-temps (autrement dit, un changement dans la distance lumire entre deux points) se propageant dans l'Univers la vitesse de la lumire, et porte par une particule lmentaire, le graviton. Jusqu' prsent, ce phnomne n'a jamais tdirectementobserv. Russel Hulse et Joseph Taylor (prix Nobel 1993) ont cependant mis en vidence leur existence en mesurant trs prcisment les temps d'arrives des signaux mis par un pulsar en orbite avec un compagnon (PSR 1913+16) et en parvenant la conclusion que la dcroissance du rayon orbital de ce systme tait due une perte d'nergie sous forme de rayonnement gravitationnel. Ces rsultats taient en accord avec la thorie mieux que0:5%prs.

La cration sur Terre d'ondes gravitationnelles d'amplitudes su&santes pour tre dtectes tant pour le moment impossible, les chercheurs se sont donc logiquement tourns vers le Cosmos, thtre des phnomnes les plus violents (explosion d'toiles, collisions de Trous Noirs...). Au vu de la faiblesse des ondes mises, personne jusque dans les annes 60 (technique oblige) n'avait envisag pouvoir un jour les dtecter directement. Joseph Weber fut alors le premier imaginer la technique des Barres Rsonnantes, o l'nergie dpose par l'onde gravitationnelle est mesure la frquence de rsonance de la barre. Longtemps limites technologiquement, elles continuent tre oprationelles aujourd'hui, sans rsultats probants jusqu' prsent.

Une autre technique fut ensuite envisage: les dtecteurs interfromtriques, qui visent non pas dtecter le graviton, mais l'eet du passage d'une onde gravitationnelle. C'est dans le contexte d'une de ces antennes, le projet Virgo, en construction Cascina prs de Pise en Italie, que

s'inscrit cette thse. La possibilit d'une telle dtection devrait ouvrir la voie une toute nouvelle astronomie qui nous donnera les clefs d'une meilleure (en tout cas plus complte) comprhension de l'Univers. La France et l'Italie au sein de l'exprience Virgo, les Etats-Unis avecLigo, les

Japonais (Tama) ainsi que le Royaume-Uni et l'Allemagne (Geo) contribuent la naissance de

ce nouveau domaine d'observation.

Les sources principales ventuelles d'Ondes Gravitationnelles peuvent tre divises en trois ca-tgories distinctes: fond de rayonnement gravitationnel (d'origine cosmologique ou superposition de sources astrophysiques), sources continues (coalescence d'un systme binaire d'objets massifs et compacts, toiles neutrons ou trous noirs, ainsi que l'mission priodique d'un pulsar essen-tiellement) et sources transitoires (explosion d'une toile en Supernova de type II par exemple). La prparation l'analyse des donnes pour les instruments du type de Virgoa commenc

INTRODUCTION

plus prometteuses dans l'tat actuel de nos connaissances, ainsi que pour les sources priodiques. D'un autre ct, peu d'outils existent en ce qui concerne les sources de signaux impulsifs d'ondes gravitationnelles, pour lesquelles peu de modles de formes d'ondes prcises existent. La premire partie de cette thse est donc ddie l'tude d'une famille de ltres dvelopps dans le but de dtecter de telles sources, pour tre ensuite utiliss comme algorithmes de prselection en ligne des donnes deVirgo.

Les Supernovae furent historiquement les premires sources d'ondes de gravitation envisages. Les simulations d'eondrement d'toiles massives isoles en toiles neutrons (Supernovae de type II) suggrent de faibles dviations par rapport la symtrie sphrique, et, par consquent, une puissance mise sous forme d'ondes gravitationnelles durant les quelques millisecondes de l'ef-fondrement qui resterait assez faible: l'amplitude typique pour une telle source situe 10 Mpc ne devrait pas excder 10;22. Les simulations s'avrent de plus incapables de prdire l'exacte forme

de ces signaux, puisque des changements inmes dans les paramtres de dpart peuvent compl-tement changer les signaux obtenus. Cette situation appellent donc des mthodes de recherches d'une grande e&cacit et d'une grande robustesse. Au mieux, ces simulations nous donnent une ide des bandes de frquences utilises par de tels signaux. Leltrage adapt , intensivement uti-lis dans le cas des coalescences de binaires, n'est donc pas utilisable pour de telles sources. Les mthodes Temps-Frquence sont bien s*r pertinentes pour dtecter des sources mal modlises mais les ressources informatiques qu'elles supposent ne permettent pas de les utiliser en temps rel (en ligne). Les quelques mthodes dveloppes dans cette thse permettront aussi de dtecter toutes sortes de signaux transitoires ou non stationnaires dans les donnes de Virgo. De tels

vnements pourront tre liminsa posteriori s'ils co'ncident avec des signaux obtenus avec des capteurs ddis direntes sortes de bruits environnementaux (bruit sismique ou acoustique par exemple). D'autre part, ces vnements pourront tre valids par des co'ncidences avec d'autres dtecteurs d'ondes gravitationnelles.

Le but de cette thse est donc dans un premier temps de dvelopper et de tester des ltres ddis la recherche d'Ondes Gravitationnelles, qui soient e&caces, mais en mme temps simples et assez rapides pour tre utiliss en ligne. La performance et l'e&cacit de tels ltres ont t values en prenant comme base de comparaison un catalogue de signaux impulsifs de supernovae. Une telle tude se situe en aval d'un dtecteur interfromtrique. En amont se situe la source Laser. La dtection d'ondes gravitationnelles repose sur la mesure du mouvement de masses libres disposes plusieurs kilomtres l'une de l'autre, grce un interfromtre de Michelson. Pour pouvoir fonctionner optimalement, le laser utilis traverse une cavit triangulaire appele Mode-Cleanerqui a pour but de ltrer les dfauts spatiaux du laser, ainsi que son bruit de puissance et de frquence. Les miroirs tant en permanence soumis l'agitation sismique, cette cavit a besoin d'tre amene la rsonance, son point de fonctionnement: c'est l'acquisition de la rsonance. Le contrle longitudinal (i.e.suivant l'axe du faisceau laser) peut alors prendre le relais et conserver la cavit la rsonance. La di&cult d'une telle acquisition provient la fois de la haute nesse duMode-Cleaner(qui est inversement proportionnelle la largeur de la raie de rsonance) et de l'utilisation d'un systme numrique pour son contrle (d'o une frquence d'chantillonnage nie, contrairement un systme analogique, et un nombre de points autour de la rsonance faible).

Une mthode (dj envisage pour l'interfromtre central deVirgoouCitf) visant amortir

les mouvements relatifs de la cavit et faciliter le fonctionnement de l'asservissement linaire a donc t teste en simulations dans le cadre du Mode-Cleaner. Une telle mthode a aussi pour but essentiel de rduire les temps morts en cas de perte du contrle longitudinal de la cavit, qui seraient autant de temps de perte du faisceau pour le reste de Virgo. Une architecture

client-serveur pour le contrle longitudinal a ensuite t dveloppe, incorporant aussi cette technique d'acquisition de la rsonance. Des tests de cette architecture ont par la suite t mens sur le site de l'exprience, pour dmontrer son bon fonctionnement et sa robustesse.

L'activit exprimentale sur la cavitMode-Cleanera commenc peu aprs la n de ces tests, au printemps 2000, jusqu' ce que des mesures dmontrent que le miroir install un des sommets de cette cavit triangulaire ne remplissait pas les spcications demandes. Malgr ces imperfections, la cavitMode-Cleaner a tout de mme t amen la rsonance grce une nouvelle topologie de contrle au cours de l'automne 2000. Le nouveau miroir devrait tre install dans le courant du printemps 2001.

INTRODUCTION

Ce manuscrit comporte trois parties. Dans une premire partie, nous exposerons les quelques dveloppements thoriques utiles la comprhension du phnomne des ondes gravitationnelles. Ensuite, les sources astrophysiques principales seront prsentes, avec l'accent mis sur les di-rentes sources transitoires (impulsives), et les signaux gravitationnels qui en rsultent. Enn, les principes de la dtection interfromtrique seront exposs, ainsi que le projetVirgoen particulier. Une deuxime partie commencera par prsenter des lments d'analyse des donnes spciques aux dtecteurs interfromtriques en cours de construction. On verra que l'analyse des donnes ddie aux sources continues est particulirement bien dnie, et repose essentiellement sur des mthodes drives du ltrage adapt, qui suppose une connaissance prcise du signal attendu.

Le troisime et dernier chapitre de cette partie exposera les quelques techniques dveloppes ici pour la dtection de signaux transitoires dans les donnes deVirgo, destines servir d'algorithme

de prslection en ligne. Nous prsenterons en particulier les performances (e&cacits de dtection) obtenues sur un catalogue de signaux physiques (issus de simulations), ainsi que les tudes menes en vue de distinguer un vnement de bruit d'un vnement de signal. D'autres tudes que nous avons conduites ont permis de donner des spcications de performances prcises aux algorithmes de blanchiment des donnes de Virgo. Finalement, la rsolution en temps de tels ltres (erreurs

systmatiques et statistiques) sera prsente, ainsi que les implicationsquant d'ventuelles futures co'ncidences avec des dtecteurs de neutrinos.

La troisime et dernire partie de ce manuscrit dcrira dans un premier temps les caractris-tiques opcaractris-tiques et les proprits de ltrage spatial essentielles d'une cavit triangulaire telle que leMode-CleanerdeVirgo, ainsi que les moyens dont on dispose pour la contrler.

L'tude en simulation d'une technique d'acquisition de la rsonance, ainsi que son implmen-tation pratique et les tests eectus sur le site, constitue le troisime chapitre de cette partie. Enn, le quatrime et dernier chapitre prsentera les premiers rsultats obtenus sur le contrle du

Ondes Gravitationnelles

et

Pr ambule

Cette partie dcrira dans un premier temps les lments thoriques ncessaires  la

comprhension du phnomne des ondes gravitationnelles. Puis les direntes classes

de sources astrophysiques d'ondes gravitationnelles ainsi que les formes des signaux

mis seront prsentes: sources continues, et surtout sources transitoires (ou

impul-sives), puisque ce sont elles que les mthodes dveloppes dans la partie II cherchent

 dtecter. En n, on dtaillera les principes de la dtection interfromtrique, ainsi

que le projet

Virgo

dans son ensemble.

Chapitre 1

De la Relativit aux

ondes de gravitation

Contenu du chapitre

1.1 Introduction  la Relativit . . . 10 1.2 Quelques rsultats de la Relativit Restreinte . . . 10 1.3 Le Principe d'quivalence . . . 11 1.4 La courbure de l'Espace-Temps . . . 12

1.4.1 Courbure et godsique . . . 12 1.4.2 Drive Covariante . . . 13 1.4.3 Calcul de la Connection Ane . . . 13 1.4.4 Notion de Covariance Gnralise . . . 13 1.4.5 Equation d'une Godsique . . . 13

1.5 Les quations d'Einstein . . . 14

1.5.1 Forme du Tenseur de Riemann . . . 14 1.5.2 Dviation d'une Godsique . . . 14 1.5.3 Tenseur Energie-Impulsion . . . 15 1.5.4 Les quations d'Einstein . . . 16 1.5.5 La limite Newtonienne . . . 16

CHAPITRE 1. DE LA RELATIVIT AUX ONDES DE GRAVITATION

L

a th orie de la Relativit G n rale

propose par Ein-stein en 1916 nous a oert une toute nouvelle vision de l'

Espace-Temps

dans lequel nous vivons. La matire n'volue plus dans un continuum espace-temps pas-sif, mais, bien au contraire, la prsence de matire modie ce continuum. Cette distorsion provoque la dviation de la trajectoire de particules de matire

et

de lu-mire dirente de celle attendue pour leur chemin classique. Ainsi, Einstein prdit que la lulu-mire des toiles qui passe au voisinage du soleil devrait tre dvie de 1:75 arcsec, une quantit faible

mais qui fut cependant mesure avec succs en 1919 par Eddington, l'occasion d'une clipse de soleil. Cette conrmation relana l'intrt des scientiques pour la thorie d'Einstein.

La gravitation domine notre Univers grande chelle, liant la matire en toiles, les toiles en galaxies, et les galaxies en amas de galaxies. La thorie classique qui la dcrit est base sur la loi de Newton qui tablit que deux masses m1 et m2 spares d'une distance r subissent une attraction

gravitationnelle mutuelle F d'expression: F =

Gm1m2

r2

o G est la constante de gravitation universelle. Des calculs bass sur cette quation ont pu prdire le mouvement des plantes avec une grande prcision. Nanmoins, une petite partie (43 arcsec) de la prcession du prihlie de l'orbite de Mercure (532 arcsec par sicle) n'a pu tre explique. En dpit de ses succs, la loi de la Gravitation de Newton a par ailleurs un gros dfaut: elle est indpendante du temps, ce qui signie que la force gravitationnelle pourrait agir instantanment toute distance. Un tel comportement est en contradiction avec la Relativit Restreinte qui impose qu'aucun signal ne peut tre transmis une vitesse suprieure celle de la lumire. La ncessit d'une nouvelle thorie tait donc devenue clairement vidente.

1.1 Introduction  la Relativit

Le

principe de relativit

stipule l'existence d'une classe particulire de systmes de rfrences (ou rfrentiels) par rapport auxquels les lois de la physique locale prennent exactement la mme forme1_.

Les

thories de la relativit

dsignent l'ensemble des lois cinmatiques (transformation entre repres inertiels) et dynamiques (physique locale) qui satisfont au principe de relativit. On peut montrer qu'il n'existe que deux groupes de transformations entre repres d'inertie ayant cette pro-prit. Le premier est le groupe de Galile, qui est caractris par l'existence d'un

temps absolu

. La thorie correspondante est la thorie de Newton, avec des lois du mouvement dterminant les acclrations des corps en fonction de la conguration gomtrique (relative)

instantane

du systme en interaction.

La seconde solution est le groupe des transformations de Lorentz-Poincar: x0

=
x
+a (1.1)

avec 
=
, et ij =diag(1;1;1;1)qui reprsente la mtrique de

Minkowski

(voir

le paragraphe suivant pour les notations). Ce groupe est caractrise par l'existence d'une

vitesse

absolue c

, indpendante du rfrentiel. La limite c!1nous redonne alors les transformations

de Galile.

1.2 Quelques rsultats de la Relativit Restreinte

Les postulats de base de la Relativit Restreinte sont au nombre de deux. Le premier stipule que les lois de la Physique prennent des formes identiques dans tout repre inertiel,i.e.dans tout repre qui se dplace avec une vitesse constante par rapport un repre li des galaxies loignes. Le deuxime nous dit que la vitesse de propagation de la lumire est une constante. Un point dans

1Il constate aussi, mais sans l'expliquer, l'existence de repres privilgis (en outre non acclrs par rapport 

des toiles lointaines xes) o les lois de la physique rev tent une forme simplie. Une dtermination thorique satisfaisante des repres inertiels (o le principe d'inertie est valable), en fonction par exemple de la distribution de matire dans l'Univers (principe de Mach) n'existe pas.

1.3. LE PRINCIPE D'QUIVALENCE

l'espace-temps, que l'on appellera un

vnement

, est de plus caractris par des coordonnes xyz par rapport un systme Cartsien d'axes un instant t. Ces quatre coordonnes d'espace-temps forment un quadri-vecteur de composantes:

x0 =ct , x 1 =x , x 2 =y , x 3 =z:

Dans un autre repre inertiel se dplaant avec une vitesse relative v=c parallle l'axe x

(axe x0), les nouvelles coordonnes pour le mme vnement sont donnes par la transformation

de Lorentz: 8 > < > : x0 0 = (x 0 ;x 1 ) x1 0 = (x 1 ;x 0 ) x2 0 =x 2, x3 0 =x 3 (1.2) o =1=(1; 2 ) 1 2, avec

0  <1et
1. L'intervalle entre deux vnements P

1 et P2 spars par(x 0 x 1 x 2 x 3

)est dni comme tant: s 2 =(x 0 ) 2 ;(x 1 ) 2 ;(x 2 ) 2 ;(x 3 ) 2 =(x 0 ) 2 ;r 2

Il est par construction invariant par transformation de Lorentz. Si une horloge voyage de P1 P2,

alors l'intervalle de temps qu'elle mesure entre ces deux vnements est appel le

temps propre

c =s.

Pour simplier l'criture des calculs, on utilisera souvent la convention de sommation suivante dite sommation d'Einstein:

ds2 = 3 X ij=0 ijdxidxj=ijdxidxj=dxjdxj

avec xi =ijxj et ij =diag(1;1;1;1)qui reprsente la mtrique de

Minkowski

(espace-temps plat). L'intervalle s

2 peut tre positif, ngatif ou nul. Dans ce dernier cas, on a c

t = r et

l'intervalle P1P2 sera dit du type

lumire

puisqu'un rayon lumineux pourra voyager entre P1 et

P2. Quand c

t >r alorss

2est positif et P

2peut tre atteint depuis P1en voyageant avec une

vitesse infrieure celle de la lumire: l'intervalle est de type

temps

, et il est possible de choisir un repre inertiel dans lequel ~r1

= ~r

2. Finalement, si s

2est ngatif, c

t <r et aucune information

ne pourra passer de P1 P2 puisque cela ncessiterait de voyager une vitesse suprieure celle

de la lumire. Un intervalle de ce type est dit du type

espace

: on peut en eet choisir un repre inertiel dans lequel t1

=t

2. Ce qui se passe alors en P1 n'a aucune inuence sur P2, etvice versa.

Un autre vecteur important est le quadri-vecteur Energie-Impulsion donn par: p0 =E=c , p 1 =px, p 2 =py , p 3 =pz

o E est l'nergie totale du systme et ~p reprsente l'impulsion relativiste. Dans ce cas, l'invariant de Lorentz est la quantit (p

0 ) 2 ;(~p) 2 =E 2=c2 ;(~p) 2 =m

2c2 avec m la masse de la particule

considre.

1.3 Le Principe d'quivalence

Quand Galile comparait les chutes de corps constitus de dirents matriaux, il essayait de rpondre une question fondamentale: l'attraction gravitationnelle dpend-elle de la composition des corps sur laquelle elle agit? Encore aujourd'hui la rponse cette question n'est pas triviale. On sait que la masse nuclaire est infrieure la somme des masses de ses nuclons cause de l'nergie de liaison due la force nuclaire qui agit entre eux. Cette nergie de liaison est nulle dans le cas de l'Hydrogne (un seul et unique proton) mais atteint 0:7% de la masse (c

2) des

nuclons dans le cas du Fer. Par consquent si la force gravitationnelle devait dpendre, comme dans le cas de l'interaction forte, du nombre de nuclons (donc de la composition) plutt que de la masse, une dirence de0:7%entre l'acclration gravitationnelle de l'Hydrogne et du Fer devrait

CHAPITRE 1. DE LA RELATIVIT AUX ONDES DE GRAVITATION

L'analyse d'expriences du type de celles menes par Galile se fait de la manire suivante. La force agissant sur une masse mgplonge dans un champ gravitationnel est F =mgg, o mg est la

masse gravitationnelle

. Selon la deuxime loi de Newton, l'acclration a de cette masse peut s'crire F =mia o mi est la

masse inertielle

. On en dduit que a=

m_mg

ig. Or, jusqu' prsent,

aucune exprience n'a rvl de variation dans cette acclration gravitationnelle entre dirents matriaux. Le rapport m_mg

i peut donc tre choisi gal l'unit, ce qu'Einstein a interprt en disant

que le mouvement d'un corps neutre en un point donn de l'espace-temps est indpendant de sa composition. C'est le

Principe d'Equivalence Faible

.

Einstein considra ensuite les implications d'un tel principe pour un mouvement de chute libre,

i.e.le mouvement d'un corps soumis l'action des seules forces gravitationnelles. Alors localement (dans une rgion de l'espace su&samment petite pour que le champ gravitationnel puisse tre considr comme constant et uniforme), les rsultats d'expriences physiques dans un repre en chute libre sont indpendants du mouvement. Le

Principe d'Equivalence Fort

rajoute que ces rsultats seront les mmes quelque soit le repre et tout instant, et que ces rsultats locaux doivent tre cohrents avec la Relativit Restreinte. Un de ces consquences est que l'nergie gravitationnelle se comporte comme de la masse inerte ordinaire,i.e.elle ne se distingue pas des autres formes de masse.

1.4 La courbure de l'Espace-Temps

Une description Minkowskienne de l'Univers est valable dans le cas d'un espace-temps plat. Or, des observations telles que la dviation des rayons lumineux par des astres massifs nous indiquent clairement que l'espace-temps rel qui nous entoure est courbe. On peut donc rcrire l'intervalle de temps propre ds entre deux vnements de l'espace-temps spars par dx comme tant:

ds2 =c

2d2

=g
dx dx

o g
est fonction de la position et du temps. A ce niveau, le principe d'quivalence dans sa version

forte requiert que dans un repre en chute libre toute mesure exprimentale locale doit tre en accord avec la Relativit Restreinte. Cela signie que localement un repre de Minkowski dcrit parfaitement la structure de l'espace-temps rel,i.e.pour un vnement donn de l'espace-temps, on peut toujours trouver un systme de coordonnes tel que:

8 < : g
(y)=
 @g_@x
 y=0 (1.3) La dnition d'un tel repre nous permet d'obtenir une mtrique d'espace quadratique mais loca-lement plat.

1.4.1 Courbure et g
od
sique

La dnition la plus gnrale d'une

godsique

consiste dire que c'est le plus court (ou le plus long) chemin suivi par une particule sur une surface. Une manire de dterminer la courbure d'une surface deux dimensions est de mesurer la dviation entre deux godsiques voisines. Dans un espace de dimension suprieure, une telle mesure nous donnerait la courbure de Gauss (courbure traditionnelle) de la surface deux dimensions contenant ces godsiques. Cette technique est toujours valable en espace-temps courbe, la condition que nous puissions dans un premier temps dterminer la nature d'une godsique dans l'espace-temps.

Une godsique en espace-temps plat est une ligne droite+ c'est aussi le chemin suivi par un corps libre tel qu'il est dcrit par la premire loi du mouvement de Newton. De la mme manire, une godsique du type temps dans un espace-temps de Minkowski est le chemin suivi par un corps libre. Le principe d'quivalence nous indique alors une faon de transfrer cette dnition d'une godsique un espace-temps courbe.

Si une godsique du type temps dans un espace de Minkowski est le chemin suivi par un corps libre, alors pour tre cohrent, une godsique du type temps dans un espace-temps courbe doit tre le chemin suivi par un corps en chute libre. Cela constitue l'interprtation d'une godsique en espace-temps courbe: le chemin suivi par un corps en chute libre.

1.4. LA COURBURE DE L'ESPACE-TEMPS

1.4.2 D
riv
e Covariante

Notre but ici est de vouloir obtenir des lois physiques toujours valides aprs passage un repre acclr (par une transformation de Lorentz). Selon le Principe d'Equivalence, ces lois exprimes dans un repre en chute libre doivent tre cohrentes avec la Relativit Restreinte. D'autre part, on peut montrer que des lois exprimes comme des

quations tensorielles

sont automatiquement invariantes de Lorentz (on dit

covariantes

). Ces deux ides vont tre runis dans les Principe de Covariance Gnralise, introduit par Einstein. Il nonce que les lois physiques peuvent tre exprimes sous forme d'quations tensorielles qui se rduisent des lois cohrentes avec la Relati-vit Restreinte dans un repre en chute libre. Une loi valable en RelatiRelati-vit Restreinte pourra donc tre gnralise pour s'appliquer tout repre acclr en l'exprimant sous forme tensorielle. Or, beaucoup de lois physiques font intervenir des drives spatio-temporelles et ne sont donc pas des quantits tensorielles. C'est l que se rvle ncessaire la notion de

drive covariante

, tenseur qui co'ncide avec la drive traditionnelle dans un repre en chute libre.

La dnition d'un tel tenseur fait appel la notion de

transport parallle

.Elle fait appara"tre des quantits appeles

Connections Anes

de la mtrique, notes;. Elle s'crit:

Dq Ds = dq ds +;q  dx ds 

qui est la composante  de la drive covariante du vecteur de composante q . Les connections a&nes ne sont pas des tenseurs et s'annulent dans un repre en chute libre.

1.4.3 Calcul de la Connection Ane

Toute l'information sur la structure de l'espace-temps tant contenue dans l'quation de la m-trique, il est naturel de vouloir exprimer les connections a&nes en fonction de la mtrique g
.

Avec la notation g
=@g@x
, on peut montrer que: ; =

1 2

g (@g +@ g)

ce qui nous donnera alors une expression de la drive covariante sous la forme: Dq

Dx
=q
+;
q

1.4.4 Notion de Covariance G
n
ralis
e

Ce principe implique que les lois physiques doivent tre exprimes sous forme d'quations tenso-rielles et que dans un repre en chute libre, elles co'ncident avec la Relativit Restreinte. Voyons ceci dans le cas de la deuxime loi de Newton:

F =

dp d o F est le quadri-vecteur Force

dE_cdt dp_dti

, expression qui devient:

F =

Dp D

qui satisfait le Principe de Covariance Gnralise. C'est bien une quation tensorielle qui co'ncide avec la Relativit Restreinte en chute libre.

1.4.5 Equation d'une G
od
sique

Sous l'action de la gravitation seule (chute libre), on a: Dp

D =0

puisque la force est due la mtrique. Cette quation constitue

l'quation d'une godsique

. Avec p =mdxd , on peut rcrire cette quation sous la forme:

CHAPITRE 1. DE LA RELATIVIT AUX ONDES DE GRAVITATION d2x d2 +;
 dx
d dxd =0

1.5 Les quations d'Einstein

La technique gnrale qui consiste remplacer les drives traditionnelles par des drives co-variantes ne peut pas s'appliquer dans le cas de la gravitation de Newton, puisqu'elle n'est pas cohrente avec la Relativit Restreinte. La Relativit Restreinte s'applique en eet un espace-temps plat alors que les forces gravitationnelles sont une manifestation de sa courbure. Einstein perut qu'il devait y avoir un lien direct entre la distribution en masse/nergie et la courbure de l'espace-temps et que ce lien devait tre exprim en termes de tenseurs. C'est l l'essence mme des quations d'Einstein.

1.5.1 Forme du Tenseur de Riemann

La courbure d'une surface dans un espace deux dimensions est quantie par la donne de la Courbure (dite de Gauss) en chaque point, ce qui n'a plus de sens dans le cas d'un espace trois ou quatre dimensions. La description complte de la courbure en un point donn dans un tel espace est contenue dans un tenseur de rang 4 appel

Tenseur de Riemann

ou Tenseur de Courbure. Pour un vnement x, passer dans un repre en chute libre rend l'espace-temps localement plat et par consquent:

(

g
=

g
=0

(1.4) au point x. La courbure ne peut donc pas tre dcrite par les coe&cients de la mtrique ou par leurs drives premires. En fait, un repre en chute libre au point x dire de celui au point x+x, ce qui implique, en procdant un dveloppement de Taylor:

( g
(x+x)=
+ 1 2g
 xx g
(x+x)=g
x (1.5) La variation de g
dpend donc uniquement des drives secondes g
au point x: ces drives

doivent logiquement contenir l'information sur la courbure de l'espace-temps. Le tenseur imagin par Riemann prend alors la forme suivante:

R_ =;;;+;;;;;

qui s'annule bien quand l'espace-temps est plat et qui contient les drives secondes de la mtrique g
.

1.5.2 D
viation d'une G
od
sique

Un changement de coordonnes peut toujours annuler l'acclration et les connections a&nes. Ce n'est pas le cas pour le tenseur de Riemann: il s'annule uniquement si l'espace-temps est plat, quelque soit le systme de coordonnes choisi.

D'autre part, on peut montrer que deux godsiques initialement voisines et parallles ne restent pas parallles indniment, mais convergent ou divergent en fonction de la courbure locale. De mme deux mridiens sont parallles l'quateur mais convergent aux ples. Ainsi, pour un vecteur  de l'espace-temps courbe reliant des points sur deux godsiques voisines x et x+,

on peut dmontrer l'

quation de dviation de la godsique

qui prend la forme: D2

D2

+R


dx

d dxd =0 (1.6)

Cette quation exprime sous forme tensorielle est valable dans tout systme de coordonnes. Elle nous sera utile pour tudier l'eet du rayonnement gravitationnel sur la matire.

1.5. LES QUATIONS D'EINSTEIN

1.5.3 Tenseur Energie-Impulsion

En Relativit Restreinte, l'nergie et l'impulsion sont deux aspects de la mme entit, le quadri -vecteur Energie-Impulsion. Ils sont connects la masse par le biais de la relation E2

;c 2p2

=m 2c4.

Cela suggre que la masse, l'nergie et l'impulsionseront intimementlies dans une thorie gnrale de la gravitation.

Pour clarier les choses, mettons la premire loi de Newton sous forme direntielle. La force d'attraction d'un corps de masse M sur une masse unit une distance r peut s'crire:

F =

GM r2

Intgrer le ux de la force F sur une sphre centre sur la masse nous donne:

Z

~F: ~dS=;4r 2GM

r2

=;4GM:

Le thorme de Stokes nous permet alors d'crire: ~

r:~F =;4G (1.7)

o  est la densit de matire l'intrieur du volume. Le potentiel gravitationnel
donn par ~F =;r~
permet de mettre (1.7) sous la forme:

r 2

=4G

o  et
sont des quantitslocales. Prenons un nuage de poussires dans un repre au repos S, avec une densit d'nergie 0c

2 =m

0n0c

2, avec m

0la masse moyenne d'un grain de poussire et n0

le nombre de grains par unit de volume. Dans un repre S0se dplaant une vitesse v

=c par

rapport au nuage, chaque grain a une impulsion plus grande, et le volume contenant un nombre donn de grains subit une contraction de Lorentz selon la direction du mouvement. La quantit m0 devient donc m

=m

0 et n0devient n

=no . Par consquent, la densit 

0 se transforme en

= 0c

2 2.

On peut voir par ailleurs que  se comporte exactement comme la composante00d'un tenseur

de rang 2 not T
_:

T
= 0v v

;

o v est le quadri-vecteur vlocit du nuage et 
_{le tenseur de travail. Ce tenseur est appel}

Tenseur Energie-Impulsion

. T
_{est en fait le ux de la ime composante de l'impulsion le}

long de la direction . Ainsi:

 T

00 est la densit d'nergie,  cT

0i est le ux d'nergie par unit de surface parallle la direction i (ux de chaleur),  Tiiest le ux de la composante i de l'impulsion par unit de surface parallle la direction

i (pression travers le plan i),

 Tij est le ux de la composante i de l'impulsion par unit de surface parallle la direction

j (tra"ne visqueuse travers le plan j),

 cTi

0 est la densit de composante i de l'impulsion.

On peut montrer que les lois de conservations habituelles peuvent s'crire sous la forme: T



=0 soit encore @T



@x +;T +;T =0

C'est un tenseur symtrique de rang deux, qui s'annule en l'absence de matire et qui est de divergence nulle.

CHAPITRE 1. DE LA RELATIVIT AUX ONDES DE GRAVITATION

1.5.4 Les
quations d'Einstein

Einstein identia ensuite le tenseur Energie-Impulsion comme tant la source de la courbure de l'espace-temps et suggra donc la relation la plus simple possible entre ces deux quantits sous la forme:

KT
=G

o G
est un tenseur dcrivant la courbure et K une constante scalaire, dont la valeur dcrit

l'e&cacit avec laquelle la densit d'nergie modie l'espace-temps. Par consquent, G
doit

tre un tenseur de rang 2, symtrique et de divergence nulle. Le tenseur de Riemann de rang 4 quantiant la courbure, il est naturel d'imaginer que G
soit une

contraction

du tenseur R,

c'est dire un tenseur de la forme R=R=gR, que l'on appelle

Tenseur de Ricci

,

et qui est en fait l'unique contraction du tenseur de Riemann. Sa divergence n'est pas nulle mais la quantit:

G=R;gR=2

o le deuxime terme du second membre est la divergence de R, avec R=gR(

scalaire de

Ricci

), est bien de divergence nulle. Ce tenseur d'Einstein s'annule eectivement en l'absence de matire et la limite Newtonienne dcrite dans la suite nous impose que:

G= 8G

c4 T

avec G la constante de la gravitation universelle classique.

On notera que ces quations peuvent s'tendre au cas o l'on peut crire: G;g=

8G

c4 T (1.8)

avec  la constante cosmologique. Initialement, Einstein n'avait pas introduit cette constante.

Or, il s'est aperu que son absence favorisait un univers en expansion, concept en contradiction avec sa vision d'un univers statique. Cette constante ad hocrajoute par Einstein semblerait tre non-nulle, comme l'indiquent des donnes rcentes sur les supernovae de type Ia.

1.5.5 La limite Newtonienne

Il peut tre instructif de vrier que dans la limite des champs gravitationnels faibles et lentement variables, les quations d'Einstein se rduisent bien la loi de la gravitation de Newton. On pourra alors relier les nouvelles variables de la thorie d'Einstein celles plus familires, utilises en gravitation classique. Dans la limite classique, on peut crire:

g
'
+h
(1.9)

avec toutes les composantes de h  1. Dans des coordonnes cartsiennes, on a  00 = +1, 11 =  22 =  33

= ;1. Dans la limite o les vitesses sont  c, et o les impulsions sont

ngligeables devant les nergies, le terme dominant du tenseur nergie-impulsion est donc la den-sit d'nergie T00. Les quations d'Einstein deviennent alors:

R00 = 8G(T 00 ;T 0 0g 00= 2) c4 ;g 00 (1.10)

On voit que les connections a&nes sont linaires en h. On peut montrer qu'on peut alors crire une approximation du tenseur de Ricci sous la forme:

R00 = h00 ;h 00 +h 00 ;h 00 2 (1.11) 16