PartieI-´Etudedelafonction Pr´eliminaires PROBL`EME DEVOIRMAISONn 1
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Texte intégral
(2) DEVOIR MAISON n 1. Pour Vendredi 27 Septembre 2019. 4. D’apr`es les pr´eliminaires, @x P R, ex x 1 ¡ 0 (question 1.(a)) et ex x ¡ (question 1.(b)), donc le ligne de f 1 pxq est celui de x 1, soit :. 8. x. 0. f 1 px q. . 8. 1. . 0. 0. 8. 8. f. f p1q. 5. Dans un rep`ere orthonormale (unit´e : 3cm), on consid`ere la parabole pP q d’´equation y courbe repr´esentative de f not´ee pC q. Calculons, pour x P R, d’apr`es le 2.(a),. x2 2x et la. dpxq f pxq px2 2xq 2 lnp1 xex q. lnp1 xex q est du signe de xex donc dpxq lim lnp1 xex q 0. donc lim dpxq 0. x. Ñ 8. x. ¡ 0 sur R. et dpxq. 0 sur R et d’apr`es le 2.(b),. Ñ 8. On en d´eduit que la parabole pP q et la courbe pC q sont asymptotes en 8 et que la parabole pP q est en dessous de la courbe pC q sur R et au-dessus sur R . 6. Voici le graphique obtenu, on l´egende aussi les axes, les courbes et on note la pr´esence de deux tangentes horizontale en x 0 et x 1 ainsi que l’asymptote parabolique en 8. ´ Partie II - Etude d’une suite d’int´ egrales Soit n un entier naturel, on pose : un. . »n. 1. (a) Pour tout n P N, un. xex dx. et. In. 0. 1. un . »n 0. 1. 2. xex dx . »n 0. »n 0. lnp1 xex q dx. xex dx . »n. 1. xex dx. n. Or @x P rn, n 1s, xex ¥ 0 donc par croissance de l’int´egrale, un 1 un ¥ 0. On en d´eduit que la suite pun qnPN est croissante. (b) La fonction h : x ÞÑ px 1qex est d´erivable par compos´ee de fonctions d´erivables et : Ainsi, pour n P N,. @x P R, h1pxq 1ex px. un Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. . »n 0. xex dx rhpxqsn0 2. 1 qe x. pn. xex. 1qen. 1. PCSI - 2019-2020.
(3) DEVOIR MAISON n 1 (c) Pour n P N, un nen en 1. Or lim nen 0 par croissances compar´ees, lim en. Ñ 8. n. Ñ 8. n. »n. Pour Vendredi 27 Septembre 2019. 0 donc. »n. lim un. Ñ 8. n. 1. .. rf pxq px 2xqs dx 2 lnp1 xexq dx. 0 0 Or, d’apr`es la question 1. des pr´eliminaires, @x P R, lnp1 xex q ¤ xex donc par croissance. 2. (a) Pour tout n P N, In. 2. de l’int´egrale : »n 0. lnp1 xex q dx ¤. »n 0. xex dx soit. 2. »n 0. lnp1 xex q dx ¥ 2. »n. xex dx soit In. 0. ¥ 2un. (b) Il y avait une erreur d’´enonc´e, en rectifiant on peut prouver que la suite pIn q est croissante, en effet : ». @n P N,. In. Or @x P R , lnp1 xex q ¤ xex. 1. In 2. ¤ 0 donc. »n n. n 1. n 1. lnp1 xex q dx. lnp1 xex q dx ¥ 0 et In. 1. ¥ In. .. On peut prouver que la suite pIn q est mˆeme major´ee (ce qui est d´elicat).. (c) La suite pIn q serait alors croissante et major´ee donc convergente par le th´eor`eme de la limite monotone. Notons ` sa limite, alors l’in´egalit´e @n P N, In ¥ 2un implique en passant `a la limite que ` ¥ 2.. EXERCICE 1 - Une simplification pas si simple On pose pour tout x de R, f pxq arcsinpsin xq arccospcos xq. Rappelons que @x P r0, π s, arccospcos xq x et @x P r π2 , π2 s, arcsinpsin xq x. 1. @x P R, f px 2π q arcsinpsinpx 2π qq arccospcospx 2π qq arcsinpsin xq arccospcos xq f pxq Ainsi f est 2π-p´eriodique. 2.. Pour x P r0, π2 s, on a :. f px q x. x 2x. Pour x P r π2 , πs, sinpxq sinpπ xq donc arcsinpsin xq π x car π x P r0, π2 s et : f p xq x. p π xq π. Pour x P r π2 , 0s, cospxq cospxq donc arccospcos xq x car x P r0, π2 s et : f pxq x. pxq 0. Pour x P rπ, π2 s, cospxq cospxq donc arccospcos xq x car x P r π2 , πs. Et sinpxq sinpπ xq donc arcsinpsin xq arcsinpsin sinpπ xqq y arcsinpsinpπ car π x P r0, π2 s donc : f pxq x pπ xq π 2x. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 3. xqq π x. PCSI - 2019-2020.
(4) DEVOIR MAISON n 1. Pour Vendredi 27 Septembre 2019. 3. On trouve donc le graphe ci-dessous d’une fonction affine par morceaux :. EXERCICE 2 - Deux fonctions ´egales ? (Facultatif ) On d´ efinit les fonctions f par : f pxq arctan. . 1 2x2. et. g pxq arctan. 1. (a) D´ eterminer leur ensemble de d´ efinition. La fonction arctan ´etant d´efinie sur R, il est trivial de voir que Df. . x x. 1. arctan. . x1 x. R et Dg Rzt1, 0u.. ´ (b) Etudier la parit´ e de f et g. Peut-on r´ eduire l’ensemble d’´ etude pour f ? pour g ? Dg n’est pas centr´ee en 0 donc g n’est ni paire si impaire. En revanche Df est centr´e en 0 et @x P R , f pxq f pxq donc f est paire.. 2. Dresser le tableau de variation complet de f . f est d´efinie et d´erivable sur R par compos´ee de x ÞÑ. @x 0, f 1pxq f 1 pxq est donc du signe de. . 1. 2 1 2 . 2x3 1 2 2x2. 1 d´erivable sur R et arctan d´erivable sur R : 2x2 1 1 2x 1 1 4x 4x4 3. 4x4. 4x et cela donne le tableau de variation suivant : x. 8. 8. 0. f 1 px q. π 2. π 2. f 0. 0. N’oublions pas de justifier les limites ! 1 π π xlim 8 et Xlim arctan X donc lim f pxq . Ñ0 2x2 xÑ 0 Ñ 8 2 2 1 xÑ8 lim 0 et Xlim arctan X 0 donc lim f pxq 0 et de mˆeme par parit´e lim f pxq 0. xÑ8 xÑ 8 Ñ0 2x2. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 4. PCSI - 2019-2020.
(5) DEVOIR MAISON n 1. Pour Vendredi 27 Septembre 2019. 3. (a) Calculer, lorsque c’est possible, la d´ eriv´ ee de g. Pour tout x 1 et x 0, g est d´erivable par somme et compos´ee de fonctions d´erivables et : g 1 px q. . 1. px 1q2 . 1. x x 1. 2. . px1q. 2. 1. x 1 2 x. . px 11q2 x2 px 11q2 x2 p2x2 11q 2x p2x2 11q 2x 2 2 p2x 1pq2x2 2x 1q2pp2xp2xq21q 2xq p2x2 14x q2 4x2 4x 4x4 1 f 1 px q (b) En d´ eduire le tableau de variation complet de g. On en d´eduit que g a les mˆemes variation que f mais pas sur le mˆeme ensemble de d´efinition. x. 8. 1. 8. 0. f 1 p xq. π 2. arctan 2. π2. f. π 2. π2 arctan 2. 0. 0. Voici quelques limites en particulier (non exigibles mais utiles par la suite). . x x π x π xÑ8 lim lim 1 et lim arctan X , donc lim arctan . x Ñ8 x Ñ8 X Ñ1 x 1 x 4 4 x 1. x1 x π x1 lim xÑ8 lim 1 et Xlim arctan X , donc lim arctan π4 . xÑ8 x xÑ8 Ñ1 x 4 x π π π lim g pxq Finalement lim g pxq 0 et de mˆeme on prouve que xÑ 8 xÑ8 4 4 4. xlim Ñ0 x. x. 1 x1 lim xÑ0 x. Finalement. 0 et Xlim arctan X 0, donc lim arctan Ñ0 xÑ1. 8 et Xlim arctan X Ñ 8 π lim g pxq 2 xÑ0. . π4 0. 0. x 1. π x1 π , donc lim arctan . 2 x 2 xÑ 0. et de mˆeme on prouve que. x. lim g pxq 0. x. Ñ0. (c) Que peut-on en d´ eduire concernant f et g ? Sur chaque intervalle I1 s 8, 1r, I2 s 1, 0r et I3 s0, 8r, comme f et g ont la mˆeme d´eriv´ee alors f et g diff`erent d’une constante. Il existe trois constantes r´eelles k1 , k2 et k3 telles que :. s 8, 1r, gpxq f pxq k1. En ´egalant les limites en 8 on trouve k1 0. Sur I2 s 1, 0r, g pxq f pxq k2 . En ´egalant les limites en 0 on trouve k2 π. Sur I3 s0, 8r, g pxq f pxq k3 . En ´egalant les limites en 8 on trouve k3 0.. — Sur I1 — —. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 5. PCSI - 2019-2020.
(6) DEVOIR MAISON n 1. Pour Vendredi 27 Septembre 2019. Le graphique ci-dessous explique clairement ce qui se passe :. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 6. PCSI - 2019-2020.
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