Refroidissement à air des composants électroniques par convection mixte

MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI-CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

N° d’ordre :……/Mag/2007. Série :…………/GM/2007.

MEMOIRE

Présenté pour l’obtention du diplôme de Magister en Génie Mécanique

REFROIDISSEMENT A AIR DES COMPOSANTS

ELECTRONIQUES PAR CONVECTION MIXTE

OPTION :

Thermo-Fluides

Par :

HAMOUCHE Adel

Soutenu le: .… /.…. /………..

Devant le jury composé de :

Président : Mr. S.BENISSAAD M.C. Université Mentouri - Constantine Rapporteur : Mr. R. BESSAIH Professeur Université Mentouri - Constantine Examinateurs :

Mr. A. BELLAOUAR M.C. Université Mentouri - Constantine Mr. K.TALBI M.C. Université Mentouri - Constantine

Je remercie vivement et chaleureusement Monsieur R.BESSAIH, Professeur à l’Université Mentouri-Constantine, encadreur de ce mémoire, pour m’avoir soutenu et guidé tout au long de ce mémoire. Je le remercie particulièrement pour la confiance qu’il m’a accordée, pour sa rigueur scientifique, pour sa patience et pour ses conseils judicieux qui ont contribué à la réalisation et à l’accomplissement de ce travail.

Je tiens à exprimer mes remerciements à Monsieur S.BENISSAAD, Maître de Conférences à l’Université Mentouri-Constantine, qui m’a fait l’honneur d’accepter la présidence du jury. Qu’il trouve ici l’expression de ma profonde gratitude.

J’exprime mes vifs remerciements à Messieurs, A.BELLAOUR et K.TALBI tous deux Maîtres de Conférences à l’Université Mentouri-Constantine, pour avoir accepter de faire partie du jury, montrant ainsi l’intérêt qu’ils portent au sujet de ce travail.

D

EDICACE

A mes très chers parents

A mes frères et sœurs

A ma femme

A mes enfants

A toute la famille

A tous ceux qui me sont chers

Remerciement………i Dédicaces………ii Sommaire………...iii Nomenclature……….v

Chapitre I : Introduction

I.1. Généralités………...…….…..1 I.2.Bibliographie………..……….………..……....3

Chapitre II : Modèle mathématique

II.1.Introduction ……….………..…….…22

II.2.Géométrie du problème ……….….22

II.3.Eléments mathématiques de base (équations gouvernantes) ………...……….…...23

II.3.1.Equation de continuité …..……….……....23

II.3.2.Equations de la quantité de mouvement ……….24

II.3.3.Equation de l’énergie ………..………..24

II.4.Modèle mathématique et équations dimensionnelles ....………..….25

II.4.1.Hypothèses ……….25

II.5. Adimensionnalisation des équations………..…...27

Chapitre III : Méthode Numérique

III.1. Introduction………..………...30

III.2.Choix de la méthode numérique ………..30

III.3.Maillage.

.

……….………….………31

III.4.Intégration de l’équation générale de transport ………...33

III.4.1.Equation générale de transport ……….………....………..33

III.4.2 Intégration de l’équation générale de transport sur un volume de contrôle typique ……….. 34

III.4.3.Schémas numériques………...……….….35

III.4.4 Fonction A( P) pour différents schémas numériques ……….……...36

III.5.Discrétisation de l’équation de quantité de mouvement suivant X..……..…….……….….37

III.6. Discrétisation de l’équation de quantité de mouvement suivant Y.….…..…….……….…38

III.7. Discrétisation de l’équation de l’énergie ………...……….….39

III.8.Résolution du système d’équations- Algorithme SIMPLER ………..…40

III.9.Méthode itérative de résolution……….42

III.10.Critère de convergence ………...43

III.11 Structure du code de calcul ……….……43

IV.1. Présentation des résultats……….………...46

IV.2. Effet du maillage sur les solutions numériques………….……….…..50

IV.3 Validation du code de calcul……….………...53

IV.4.Effet du nombre de Richardson………..…...60

IV.5.Effet du nombre de Reynolds………..………..74

IV.6.Effet de l’espace entre les composants………..………84

IV.7.Effet la longueur de sortie du canal……….………..97

IV.8.Effet de la hauteur des composants……….…………...….108

IV.9.Effet de la longueur des composants………..………...…..121

IV.10.Effet du blocage partiel de l’écoulement………...133

IV.11.effet des dimensions de l’élément de blocage………..…….……144

IV.12.Effet de l’emplacement de l’élément de blocage………...155

Conclusion et recommandation

Conclusion et recommandation………...……….……165

Références

Références………...……….…167

Résumés

ﺺﺨﻠﻣ ………171 Résumé ………172 Abstract ………...………173

Ap ,A_E,A ,_W A ,_N A : Coefficients de l’équation algébrique de transport _S

discrétisée ………..[-]

) (P

A : Fonction d’un schéma numérique………...[-]

a : Elément de la matrice tri diagonale ………[-] b (i,j) : Terme source dans l’équation de transport discrétisée…….. [-] b : Elément de la matrice tri diagonale ………[-] c : Elément de la matrice tri diagonale ………[-] d : Elément de la matrice tri diagonale ………[-] dv : Volume infinitésimal ……….………[-]

Cp : Chaleur spécifique à pression constante……….[J/kg.K]

De,Dw,Dn,Ds : : Flux diffusifs aux interfaces e,w,n,s de l’équation de transport

discrétisée………..[-]

Fe ,Fw,Fn,Fs : Flux convectifs aux interfaces e,w,n,s de l’équation de transport

Discrétisée……….[-]

Fi : Force suivant la direction i par unité de volume……...[N.m-3]

g : Accélération de la pesanteur………..…………[m.s-2]

H : Hauteur du canal………..………..[m] h : Hauteur du composant électronique………..…...….[m] w : Longueur du composant électronique……….……..[m] i, j : Coordonnées logiques des points………...[-]

IL,JL : Nombre de volume de contrôle suivant la direction i et j.

K : Conductivité thermique………...[W.m-1.K-1]

K* : Conductivité thermique adimensionnelle………....[-]

d : espace entre les composants………...………....[m]

L : Longueur du canal………....[m] L1 : Longueur d’entrée avant ler composant………....[m] L2 : Longueur de sortie après le 2ème composant…………...[m]

Nu : Nombre de Nusselt moyen…= dA

n

A

P0 : Pression atmosphérique………[Pa]

P : Pression ………..…..[Pa] P* : Pression adimensionnelle……….…..[Pa]

Pe ,Pw ,Pn ,Ps: : Nombre de Peclet au interfaces e,w,n,s………...[-]

Pr : Nombre de Prandtl, Pr = air air α ν =0.71………... [-] Gr : Nombre de Grashof, Gr= ₂ 3 air H T g ν β ∆ ………...[-] Re : Nombre de Reynolds, air H U ν 0 Re= ………[-] Ri : Nombre de Richardson………..…….[-]

S : Terme source de l’équation de transport discrétisée………...[-] T0 : Température ambiante ……….….. ……….………[K]

Ts : Température de chaque composant………….………[K]

θ : Température adimensionnelle………....[-]

t : Temps dimensionnel……….……….…[s]

U, V : Composantes de la vitesse adimensionnelle.……….[-]

u,v : Composantes de la vitesse dimensionnelle.…..……..…….[m.s-1]

X ,Y : Coordonnées cartésiennes adimensionnelles………….……….[-] x, y : Coordonnées cartésiennes dimensionnelles……...……….[ m]

Symboles grecs

α : Diffusivité thermique………... [m2 .s-1]

β : Coefficient d’expansion thermique à pression constante, T ∂ ∂ − = ρ ρ β 0 1 ……….[K-1]

ν : Viscosité cinématique………[ m2 .s-1]

ν * : Viscosité cinématique adimensionnelle…………..……...……[-]

ρ : Masse volumique…….……….[ kg.m-3]

0

ρ

: Masse volumique à T0………..[ kg.m-3]

τ : Temps adimensionnel………….………[-]

ψ : Fonction de courant adimensionnelle ………..[-] τ

∆ : Incrément du temps adimensionnel………..….………... [-]

T

∆ : Différence de température………..[K]

X

∆ : Dimension d’un volume de contrôle………….……….……..[-]

x

∆ : Dimension d’un volume de contrôle ………...[m]

Y

∆ : Dimension d’un volume de contrôle………….……….……..[-]

y

∆ : Dimension d’un volume de contrôle ………...[m]

Γ : Coefficient de diffusivité……….………. [-]

Indices et exposants

air Air

n compteur d’itération correspondant au temps τ n+1 compteur d’itération correspondant au temps τ+1

nb Nœuds adjacents : Est, West, Nord et Sud (E, W, N, S) s Solide, 0 Valeur initiale. * Valeur adimensionnelle max maximal(e) min minimal(e)

Chapitre I

Introduction

I.1. Généralités

Il est bien connu depuis plus d’un siècle, que les scientifiques se penchent sur l’étude des écoulements avec transfert de chaleur par différents modes de convection (naturelle, forcée et mixte). Celles-ci, s’impliquant dans de nombreux phénomènes naturels ou processus industriels trouve son application dans différents domaines industriels tels que, par exemple, les processus de dépôt de vapeurs chimiques, ainsi que le refroidissement des réacteurs nucléaires et des systèmes électroniques (Icoz et Jaluria, 2005 [1]), etc.

Comme nous le savons tous aujourd’hui, l’une des exigences sérieuses dans le design (conception) et le traitement des technologies électroniques de haute puissance est le transfert thermique effectif d’un système donné. Ainsi, l’étude des processus de refroidissement suscite un très grand intérêt, plus particulièrement dans l’industrie électronique où la génération excessive de chaleur peut être la cause d’endommagement et de perte de matériel ou de système électronique utilisé.

Les principaux éléments dans ces systèmes électroniques sophistiqués sont les composants électroniques montés dans des cartes de circuits imprimés. Ces derniers convertissent l’énergie électrique en énergie thermique par effet de Joule. L’enlèvement de la chaleur de ces composants, par exemple, pour les micros – ordinateurs fonctionnant avec des processeurs de grande vitesse ayant pour but le traitement de données, est critique. De plus qu’il y a une tendance à assembler un plus grand nombre de ces composants et donc un apport important de chaleur. Par conséquent, le processus de refroidissement est d’un intérêt essentiel et primordial, puisque son but principal est le contrôle de la température de ces composants.

Les effets thermiques peuvent se manifester de manières différentes, par une dérive en température des composants, entraînant des variations importantes des performances électriques, ou par une rupture de soudure reliant le composant au substrat en raison des variations dimensionnelles différentes pour chacun d’eux, engendrant soit une défaillance partielle, soit une défaillance totale.

I.2. Bibliographie

Les problèmes de dissipation thermique revêtent une grande importance dans l’emboîtement des circuits intégrés. Ne pas les considérer et ne pas les maîtriser revient à fabriquer des modules n’offrant pas toutes les garanties de fonctionnement et de fiabilité. Une mauvaise ou insuffisante évacuation de chaleur a des effets néfastes sur le bon fonctionnement du circuit et sur sa durée de vie (Bouttout, 2006 [2]).

Dans cette même perspective, nombreux, sont les travaux effectués par les chercheurs et les scientifiques concernant la convection sous ses trois formes, qu’ils soient des travaux numériques ou expérimentaux, tels que Icoz et Jaluria (2005) [1], qui ont fait une simulation numérique de la

convection naturelle en deux dimensions, dans un canal rectangulaire ouvert et contenant des sources de chaleur identiques (figure (I.1)). L’intérêt particulier de cette étude est la simulation exacte des conditions aux limites proches de la réalité dans un tel canal. Les effets de la température des sources, des dimensions du canal, de l’emplacement des sources ainsi que le début de l’instabilité ont étét étudiés. Les résultats indiquent que les dimensions du canal et la présence des ouvertures ont des effets considérables sur l’écoulement du fluide. Cependant, leurs effets sur le transfert de chaleur sont relativement petits, et l’augmentation de la hauteur du canal, conduit à un écoulement moins stable et par conséquent à une diminution du nombre de Grashof critique. Da

Silva et al. (2004)[3] ont étudié

Figure (I.1) : Canal horizontal contenant deux composants

électroniques [1].

la distribution optimale d’un ensemble de sources de chaleur refroidies par convection naturelle. Leur objectif global était de maximiser la conductance entre la paroi et le fluide, lorsque le taux de génération de chaleur transmise par les sources et les dimensions du système sont connus. Deux configurations ont été abordées :

(b) - Une enceinte bidimensionnelle contenant un petit nombre de sources de chaleur montées sur la paroi latérale (figure I.2b).

Les résultats montrent que la distribution n’est pas uniforme du fait que les sources ne sont pas équidistantes et la conductance augmente lorsqu’on ajoute les sources de chaleur.

Pour avoir un bon refroidissement, les sources de chaleur prés de la région du début de la couche limite thermique doivent être placées l’un au voisinage de l’autre lorsque le nombre de Rayleigh augmente.

Figure (I.2a) : Distribution non uniforme

des sources de chaleur de dimensions finies sur une paroi verticale [3].

Flow : Ecoulement Adiabatic : Adiabatique

Figure (I.2b) : Enceinte bidimensionnelle avec des sources de chaleur sur la paroi

verticale [3].

Une étude expérimentale de l’effet sur la convection de la distance entre une plaque chauffée discrètement et une autre placée parallèlement à la première était faite par Manca et al. (2002)[4]. Trois bandes de sources chaudes étaient localisées en différentes positions, et plusieurs paramètres sont mis en jeu. La distance b variant de 4 à7 mm, entre les parois, deux différentes valeurs du flux de chaleur dissipée par les sources chaudes et plusieurs angles d’inclinaison des deux plaques ont été pris. L’analyse a montré que pour des angles un peu plus grands que 85°, l’augmentation de b ne réduit pas la température de la paroi ; par contre, pour des angles très supérieurs à 85°, le résultat

Bazylak et al. (2006)[5] ont fait une analyse numérique estimative du transfert de chaleur dû à un ensemble de sources disposées sur la paroi inférieure d’une enceinte horizontale. Ils ont trouvé que les taux optimums de transfert de chaleur et le début de l’instabilité thermique dépendent de la longueur et de l’espacement des sources et du rapport d’aspect de l’enceinte. La transition du régime conductif au régime convectif est caractérisée par une gamme de valeurs du nombre de Rayleigh ; et cette dernière diminue en augmentant la longueur de la source. Seulement, pour de petites longueurs de la source la structure de la cellule de Rayleigh –Bénard se transforme en de petites cellules larges, ce qui veut dire que nous sommes en présence d’un important transfert de chaleur à la suite duquel, une bifurcation caractérisée par l’existence d’instabilités dans le système physique a été obtenue.

Une étude analytique de la convection naturelle dans un canal vertical contenant des sources de chaleur a été faite par Gunes (2003) [6]. Ce dernier a tiré des expressions analytiques décrivant

les variations des champs de variables en régime stationnaire, en deux et en trois dimensions. Il a trouvé que pour de petits nombres de Grashof, ces expressions sont en en excellent accord avec les solutions numériques dans tout le domaine de calcul. L’expression analytique du débit volumique à travers le canal et la variation du nombre de Nusselt a été obtenue par l’auteur.

Calgani et al. (2005)[7] ont étudié expérimentalement et numériquement le transfert de

chaleur en convection naturelle dans des enceintes carrées chauffées par le bas et refroidies à partir des parois latérales. Leur étude est concentrée sur l’effet de l’augmentation de la longueur de la source sur le développement de l’échange de chaleur. Les deux études numérique et expérimentale

montrent un transfert conductif pour Ra≤104(nombre de Rayleigh), alors que le phénomène convectif se développe complètement pour Ra≈105, et le nombre de Nusselt local Nu est évalué à la surface de la source de chaleur et présente une allure symétrique près des sources de chaleur.

D’Orazio et al. (2003)[8] ont étudié numériquement la convection naturelle dans une enceinte rectangulaire bidimensionnelle, remplie d’air, chauffée par le bas et refroidie par le haut. Les simulations numériques réalisées pour différents rapports d’aspect et pour une gamme du

nombre de Rayleigh (103 ≤ Ra≤105). Les résultats montrent qu’en augmentant le nombre de Rayleigh pas à pas, la nature de l’écoulement évolue comme suit :

-une cellule stable, deux cellules stables, deux cellules périodiques, une à deux cellules périodiques et trois cellules périodiques.

-chaque bifurcation se caractérise par une symétrie/asymétrie et plus important encore, chaque bifurcation est accompagnée par une différence qui est plus ou moins grande du nombre de Nusselt.

Une étude numérique de la convection naturelle laminaire à l’état stationnaire dans une enceinte cubique, avec une paroi verticale froide opposée à l’autre contenant une zone carrée

en une seule cellule symétrique. Les résultats montrent que la transition du régime conductif au régime convectif prend fin à Ra=105, caractérisée par la suppression de la conduction et un

développement lent de la convection. Dans la gamme du nombre de Rayleigh variant de 105 à 107, les vitesses latérales deviennent très grandes, produisant un écoulement tridimensionnel

thermiquement stratifié.

Figure (I.3) : Enceinte cubique chauffée différentiellement aux parois verticales[8].

Furukawa et Yang (2003) [10] ont développé une méthode numérique pour connaître le comportement d’un fluide thermique dans deux plans parallèles où se trouvent des blocs générateurs de chaleur (sources de chaleur). Le système simule les passages de l’air de refroidissement à ces blocs dans un ensemble de circuits électroniques. Les résultats révèlent qu’à des valeurs basses du nombre de Reynolds, l’écoulement atteindra un état d’écoulement complètement développé en un certain bloc à l’entrée et que la conductivité thermique de la plaque et la résistance thermique de contact entre l’élément générateur de chaleur et cette plaque a un impact considérable sur les performances thermiques.

Un ensemble d’expériences a été effectué par Bhowmik et Tou (2005) [11] dans le but d’étudier le transfert de chaleur en régime transitoire monophasé en convection forcée. Le dispositif expérimental comporte quatre (4) sources de chaleur montées dans un canal vertical rectangulaire. L’eau est utilisée comme fluide de refroidissement et l’écoulement comprend une large gamme du nombre de Reynolds basé sur la longueur de la source de chaleur, en régime laminaire, variant de 800 à 2625. Les résultats expérimentaux indiquent que le transfert de chaleur est fortement lié au nombre de sources et au nombre de Reynolds. Les résultats montrent aussi que plus la hauteur du

Shung et Tonc (2004) [12] ont fait une simulation numérique de la convection forcée, en étudiant l’influence d’un cylindre oscillant sur le transfert de chaleur au niveau d’un nombre de sources de chaleur soumises à un écoulement dans un canal horizontal. La méthode de Lagrange - Euler de description cinématique a été adoptée pour décrire les champs d’écoulement et de température, et la méthode des éléments finis a été appliquée pour résoudre les équations gouvernantes. Les résultats montrent que le transfert de chaleur augmente avec l’augmentation du nombre de Reynolds et s’améliore remarquablement pour des oscillations importantes du cylindre.

Young et al. (1998)[13] ont fait une investigation détaillée sur le refroidissement par convection forcée d’un ensemble de sources de chaleur montées sur la paroi inférieure d’un canal. L’étude emploie les variations de la hauteur, de la largeur de la source, également sa conductivité

thermique normalisée

Kf

Ks _{, où Ksest la conductivité thermique de la source et Kf du fluide, et}

aussi l’influence du nombre de Reynolds. Les résultats de cette investigation montrent que la forme et le matériau de la source ont des effets considérables sur les caractéristiques de l’écoulement et du transfert thermique.

Kim et al. (1998) [14] ont effectué une investigation numérique dans un canal contenant deux blocs chauffés d’un écoulement pulsatoire et des caractéristiques du transfert de chaleur qui l’accompagnent (figure (I.4)). A l’entrée du canal, l’écoulement est maintenu à une température uniforme Tc, animé d’une vitesse Ui=U0(1+Asinω τ ), (où U0 est la vitesse moyenne d’un cycle de l’écoulement à l’entrée, A est l’amplitude d’oscillations de la vitesse d’entrée axiale, ω la vitesse angulaire et τ est le temps). Les surfaces des blocs sont maintenues à une température constante Th. Les résultats obtenus indiquent que la recirculation des écoulements derrière les blocs situés en aval et entre les blocs est affectée substantiellement par le nombre de Reynolds, par le nombre de

Strouhal (

0

U fH

St = )*, par l’amplitude de la pulsation et enfin par l’espace entre les blocs. * f : Fréquence des oscillations.

Young et al. (1998)[15] ont fait une investigation numérique de la convection forcée pour un fluide compressible dans un canal contenant une rangée d’obstacles chauffés et attachés à sa paroi inférieure (figure I.5). Ils ont étudié les effets du nombre de Reynolds, de la hauteur, de la largeur et de l’espacement des obstacles ainsi que de leur conductivité thermique. Les résultats montrent que tous ces paramètres ont des influences remarquables sur la variation du nombre de Nusselt moyen, des composantes de la vitesse et de la distribution de la température au sein du fluide.

Figure (I. 5). Canal contenant un seul obstacle Chauffé [15].

Mohamed (2005) [16] a fait une investigation expérimentale dans le but de connaître les caractéristiques du refroidissement à air dans un dispositif de refroidissement. Quatre dispositifs de 9, 16, 25 et 36 modules carrés placés dans la même région et mis en saillie. Les résultats indiquent que le coefficient de transfert de chaleur moyen augmente légèrement avec l’augmentation de la température du dispositif du module, mais l’augmentation est considérablement plus élevée avec l’augmentation des vitesses d’écoulement de l’air et de la hauteur du module.

Korichi et al. (2005)[17] ont fait une étude numérique de la convection forcée laminaire transitoire, dans un canal en présence d’un cylindre de section carrée. Les calculs ont été effectués pour le cas de l’air (Pr=0.71) et pour un rapport de blocage (H/D)=0.1. Les résultats permettent de conclure que l’écoulement est permanent pour Re≤ Re_cr et donne naissance à des tourbillons alternés pourRe≤Re_cr. La valeur de Recr dépend du rapport H/D. Pour Recr =60, le transfert de

chaleur est maximal le long de la face frontale et faible le long de la face arrière située dans la zone du sillage. Le nombre de Nusselt moyen augmente avec l’augmentation du nombre de Reynolds.

Papanicolaou et Jaluria (1992)[18] ont fait une simulation numérique de la convection mixte transitoire du régime stationnaire laminaire au régime périodique dans une cavité

nombre de Grashof critique Gr est dépassé, une situation instable surgit. Les résultats montrent cr

que les effets thermiques affectent essentiellement les paramètres de l’écoulement comme la fréquence des oscillations qui est proportionnelle au nombre de Grashof et inversement au nombre de Reynolds. Les résultats montrent aussi que la fréquence et l’amplitude des oscillations ne dépendent pas des conditions initiales ni de l’incrément de temps, mais un grand maillage donnera des fréquences et des amplitudes très grandes.

Dogan et al. (2005)[19] ont étudié expérimentalement le transfert de chaleur par convection mixte dans un canal contenant des sources de chaleur en bas et en haut (figure (I.7)). Pour des dimensions expérimentales, la température de surface et la distribution du nombre de Nusselt moyen des sources de chaleur discrètes ont été obtenues pour différents nombres de Grashof. En outre, les résultats montrent que la force de buoyancy (de pesanteur) , le début de l’instabilité et l’amélioration du transfert de chaleur, notamment, dans les dernières rangées des sources sont directement liés aux nombre de Grashof et au nombre de Reynolds.

Figure (I.6) : Dispositif expérimental [19]

Nomenclature de la figure I.6 :

Flow straightener : redresseur d’écoulement Test section : section de test

Filter : filtre Variac : variateur de courant électrique

Nozzle : tuyère Parallel Connection board : plaque de connection Data acquisition system : système d’acquisition parallèle.

des données Control valve : valve de contrôle Blower : soufflerie

Bhowmik et al. (2005) [20] ont effectué des expériences à l’état stationnaire pour étudier le transfert de chaleur en convection mixte de quatre éléments électroniques chauffants placés en ligne dans un canal rectangulaire vertical, utilisant l’eau comme fluide caloporteur. Les effets du flux de chaleur, du débit, des paramètres géométriques et du nombre d’éléments chauffants ont été examinés. Les résultats expérimentaux indiquent que le transfert de chaleur est fortement lié au nombre de Reynolds. Des corrélations empirique ont été développées pour des relations utilisant les nombres de Nusselt, de Reynolds et de Grashof basés sur le diamètre hydraulique du canal.

Icoz et Jaluria (2004) [21] ont élaboré une méthodologie pour la conception et l’optimisation des systèmes de refroidissement des équipements électroniques. Dans cette approche, les données expérimentales ou de modélisation numérique, notamment, le nombre de Reynolds et la dimension des composants ont été utilisés pour obtenir une conception acceptable et optimale. Deux configurations simples ont été utilisées pour démontrer cette approche (figures (I.8a) et (I.8 b)). Cette investigation montre qu’on peut utiliser les résultats qui permettent de réaliser des géométries adéquates et optimales dans le but d’avoir le meilleur dispositif de refroidissement des composants électroniques.

Figure (I. 7a) : Canaux horizontal et vertical contenant des composants électroniques [21]

Figure (I.7 b) : Cavité carrée contenant des sources de chaleur [21]

Wang et Jaluria (2004) [22] ont étudié numériquement le transfert de chaleur conjugué dans une conduite rectangulaire tridimensionelle avec deux sources de chaleur dans le cadre du refroidissement des équipements électroniques (figure I.8). Le nombre de Grashof est fixé à 106, et le fluide utilisé est de l’air. Les résultats montrent que le nombre de Reynolds, l’arrangement spatial des sources de chaleur et le rapport des conductivités thermiques, K=Ks/Kair, ont des effets considérables sur l’amélioration du transfert de chaleur. Les magnitudes de la conduction et le transport de la convection ont été comparés pour différentes combinaisons paramétriques.

H : hauteur de la conduite wb : largeur de la source s : espace entre les sources parallèlement.

L : longueur de la conduite wd : largeur de la conduite Le : longueur de la conduite à l’entrée.

Sh : espace entre les sources Transversalement.

Wang et Jaluria (2002) [23] ont étudié par une simulation numérique la stabilité en convection mixte tridimensionnelle dans une conduite horizontale rectangulaire à faibles nombres de Reynolds. Des rangées de sources de chaleur sont montées sur la surface d’en bas, modélisant les éléments du circuit intégré. Le fluide considéré est de l’air. Les résultats montrent qu’il y a quatre types d’écoulements, c'est-à-dire, en rouleaux longitudinaux, en rouleaux transversaux, en mixture et en écoulement chaotique. Les rouleaux longitudinaux et rouleaux transversaux coexistent pour des nombres de Reynolds supérieurs à 3 et des nombres de Grashof de l’ordre de 104. L’écoulement devient chaotique pour des Re < 3 et des nombres de Grashof très élevés.

Le transfert de chaleur par convection mixte a été étudié numériquement par Moukalled et

al. (2000) [24] dans deux canaux verticaux, ayant des parois courbées considérées comme étant des sources de chaleur. La première a une forme concave et l’autre une forme convexe (figure (I.9)). Les résultat ont été obtenus pour plusieurs rapports de courbure (R/L) (concave et/ou convexe) et

pour certaines valeurs du nombre de Richardson ₂ Re

Gr

Ri = , et ont été comparés avec ceux des canaux droits. Ils montrent que le transfert global dans la surface convexe est toujours plus grand que celui dans un canal droit à égale hauteur pour de faibles rapports (R/L) et des Ri élevés. Cependant, au dessous d’une valeur critique,Ri , l’amélioration du transfert de chaleur est obtenue _cr

avec les surfaces concaves.

(a) Canal avec une entrée convexe; (b) canal avec une entrée concave

Figure (I.9) [24]

Horng et al. (1999) [25] ont étudié numériquement l’effet d’une plaque oblique sur l’amélioration du transfert de chaleur en convection mixte, au dessus de blocks chauffés dans un

Section de sortie

Section de sortie

l’écoulement à l’intérieur du canal en produisant un tourbillon. Les résultats indiquent que l’installation d’une plaque oblique et l’association de l’effet de flottabilité au tourbillon a des influences profondes sur l’amélioration des caractéristiques du transfert de chaleur et l’instabilité du champ d’écoulement.

Figure (I.10) : Canal contenant des composants électroniques avec une plaque oblique [25]

Une étude numérique a été présentée par Islam et al. (2001)[26] sur le transfert de chaleur par convection mixte en régime stationnaire laminaire, et ce particulièrement, à l’entrée de la partie annulaire horizontale de deux cylindres coaxiaux, utilisant l’air et l’eau comme fluides caloporteurs. Les conditions aux limites choisies essentiellement sont que le flux de chaleur soit uniforme à la paroi interne et que la paroi externe soit adiabatique. Les investigations révèlent que l’augmentation du nombre de Rayleigh améliore le transfert de chaleur, que le nombre de Nusselt moyen augmente avec le rapport d’aspect et avec le nombre de Prandtl lorsque la longueur axiale Z est au dessus d’une certaine valeur, et que l’effet du nombre de Reynolds est très minime sur le nombre de Nusselt moyen aussi bien que sur le coefficient de frottement.

Fang (2003) [27] a fait une investigation numérique dans laquelle il a étudié l’effet de la convection mixte sur l’enlèvement hydrodynamique transitoire d’un contaminant contenu dans une cavité (figure ((I.11)). Le fluide utilisé est l’eau. Le processus de renouvellement du fluide dans la cavité a été modélisé par une solution numérique des équations de Navier – Stokes. Les résultats montrent que le processus de nettoyage est amélioré en augmentant le nombre de Grashof et que pour des valeurs du nombre de Grashof supérieures à 4000, un comportement oscillatoire de l’écoulement est observé.

Figure (I.11) : Conduit horizontal avec cavité rectangulaire ayant une source de chaleur [27].

Chen et al. (2004) [28] ont fait une combinaison qui consiste en la visualisation expérimentale et la mesure de la température, afin de pouvoir étudier la stabilisation possible et l’élimination de l’instabilité due à la force de flottabilité, en convection mixte, dans une conduite horizontale. Ceci est fait en plaçant une plaque chauffée en haut de cette conduite. Les résultats montrent que pour des nombres de Reynolds variant entre 1 et 50 et des nombres de Rayleigh fixé à 8000, 6000 et 4000, la plaque chauffée produit un grand effet de stabilisation et d’élimination du vortex des écoulements en augmentant la température de cette plaque, l’écoulement tourbillonnaire pourra être régulariser et devenir périodique et même stationnaire.

Oztop et al. (2004) [29] ont étudié numériquement la convection mixte bidimensionnelle stationnaire dans une cavité carrée portant deux parois mobiles verticales et chauffées différentiellement. Les parois supérieure et inférieure sont adiabatiques. Trois cas étaient considérés dépendant de la direction du mouvement des parois (figure I.12). Les paramètres gouvernant l’écoulement sont le nombre de Richardson (0.01 < Ri < 100) et le nombre de Prandtl (0.7). Les résultats montrent que l’écoulement du fluide et le transfert thermique dans la cavité sont tous les deux affectés par le nombre de Richardson et la direction du mouvement des parois et pourRi>1, le transfert de chaleur est assez meilleur.

Une étude numérique de l’instabilité thermique dans un écoulement en convection mixte sur des plaques horizontales et inclinées a été faite par Lin et al. (2002) [30]. Les résultats montrent que l’augmentation de l’inclinaison stabilise l’instabilité thermique et n’a pas d’effets prononcés sur le nombre de Nusselt et fait augmenter la valeur du nombre de Grashof critique. Seulement, cette valeur diminue en augmentant le nombre de Prandtl.

Santen et al. (2000) [31] ont étudié numériquement un écoulement radialement force en présence de la convection secondaire de flottabilité dans une géométrie axisymétrique, qui consiste en deux plaques circulaires coaxiales et horizontales (figure I.13). Les résultats montrent que l’effet de l’axisymétrie de l’écoulement forcé augmente avec l’augmentation du nombre de Prandtl. Par contre, l’effet de cette axisymétrie diminue en augmentant le nombre de Rayleigh. Elle varie aussi en fonction du nombre de Reynolds qui varie avec les paramètres géométriques, tel que la distance radiale et l’espacement H. Ils ont montré aussi que le début de l’instabilité thermique dépend des nombres de Prandtl, de Rayleigh et de Reynolds.

Figure (I.13) : Plaques circulaires coaxiales [31]

Bousedra et al. (2000) [32] ont étudié expérimentalement la convection mixte dans un écoulement laminaire de l’eau dans la région d’entrée d’une conduite semi circulaire avec des inclinaisons ascendante et descendante, d’un angle variant entre -20° et +20°, en imposant un flux de chaleur constant et axial. L’expérience a été conçue pour déterminer l’effet de l’inclinaison, en

pour trois valeurs du nombre de Reynolds (500, 1000 et 1500) et pour une large gamme du nombre de Grashof. Les résultats révélent que pour les inclinaisons ascendantes, le nombre de Nusselt et la température de la paroi augmentent avec le nombre de Grashof. Pour les inclinaisons descendantes, le nombre de Reynolds a un effet très important sur le nombre de Nusselt moyen.

.

Barletta (1998)[33] a fait une étude d’analyse de la convection mixte dans un canal vertical, en tenant compte de l’effet de la dissipation visqueuse. Les deux parois verticales ont été considérées isothermes ou différentiellement chauffées. Les champs de vitesses et de températures adimensionnels et le nombre de Nusselt ont étét évalués dans les deux cas. Les résultats montrent que l’effet de la dissipation visqueuse peut être important, spécialement, dans le cas de l’écoulement ascendant. L’une des conséquences des termes de la dissipation visqueuse est que le transfert de chaleur n’est pas dû simplement à la conduction pure comme dans le cas où on néglige la dissipation visqueuse.

YOO (1998) [34] a présenté une étude numérique de la convection mixte de l’écoulement de l’air, entre deux cylindres concentriques maintenus à des températures constantes puis différentes. L’écoulement forcé est induit par le cylindre extérieur froid qui tourne lentement avec une vitesse angulaire constante. Les investigations ont été faites pour différentes combinaisons de Ra, Re et du rapport du diamètre du cylindre intérieur sur l’écart des diamètres intérieur et extérieur σ, pour Ra < 105, Re < 1500 et 0.5 <σ <5. Les résultats montrent qu’il y a trois types d’écoulements : écoulements à deux tourbillons, écoulements à un tourbillon et à aucun tourbillon. La circulation du fluide dans la direction de rotation des cylindres diminue en augmentant le nombre de Rayleigh. Le transfert de chaleur global à la paroi est rapidement réduit lorsqu’on atteint la valeur critique du nombre de Reynolds à la transition.

Barletta et al. (2001) [35] ont étudié analytiquement la convection mixte laminaire avec dissipation visqueuse dans un canal incliné, dont les parois sont maintenues respectivement aux températures T1 et T2. Deux cas sont considérés : en premier lieu, la convection forcée avec

dissipation visqueuse et les effets des forces de buoyancy pour des valeurs fixes du nombre de

Brinkman, 1 2 T T T Br − ∆

= , avec ∆T=µ Uo2/k est la différence de température de référence, Uo est la

vitesse à l’entrée, µ est la viscosité dynamique du fluide et k est la conductivité thermique. . En second lieu, la convection mixte sans dissipation visqueuse et les effets du nombre de Brinkman pour des valeurs fixes du nombre de Grashof ont été analysés. Les résultats montrent que la dissipation visqueuse améliore les effets des forces de buoyancy et vice versa.

Kim et al. (1992) [36] ont étudié numériquement les caractéristiques de l’écoulement et du transfert de chaleur en convection mixte dans un canal avec des sources de chaleur attachées à une paroi du canal. La géométrie de l’écoulement modélise le processus de refroidissement des microplaquettes intégrées, de hautes densité de puissances montées sur un système de circuits imprimés multi - couche (figure (I.14)). Les résultats trouvés et traduits par la détermination du nombre de Nusselt local le long des surfaces des sources, par la distribution de la température et la densité du flux de chaleur sur la surface des plaques, indiquent qu’on peut affirmer que les hypothèses trop simplificatrices ne sont pas appropriées pour simuler le refroidissement des équipements électroniques.

Figure (I.14) : Géométries des écoulements [36] (a) - canal horizontal

Nomenclature de la figure (I.I4):

Lt : Longueur totale du canal L1 : Longueur de l’entrée du canal jusqu’à la première source L : Longueur de la source L2 : Longueur de la deuxième source jusqu’à la sortie du canal H : Hauteur de la source H1 : Hauteur de la source à la paroi

S : Espace entre les sources B : Epaisseur de la paroi C : Espace entre les parois du canal Heat source : Source de chaleur

Saldana (2005) [37] a fait une étude numérique de la convection mixte dans un canal tridimensionnel chauffé par sa paroi inférieure (marche) à une température constante, tandis que la paroi supérieure est maintenue à une température plus inférieure. La marche est conductrice de la chaleur et les deux autres faces sont adiabatiques. Les effets des forces de buoyancy sur la distribution de la vitesse et de la température ont été étudiés pour trois différents nombres de Richardson (Ri=0, Ri=2, Ri=3) et le nombre de Reynolds Re est fixé à 200. Les résultats montrent que les champs de vitesse et de température pour la convection forcée sont très différents de ceux de la convection mixte et lorsque les forces de buoyancy deviennent prédominantes, une importante couche limite est localisée au niveau de la paroi supérieure, les rouleaux convectifs deviennent plus bouclés et les composantes de la vitesse deviennent plus grandes.

Abid et al. (1993) [38] ont fait une étude expérimentale sur l’intermittence spatio-temporelle d’un écoulement cylindrique dans un conduit horizontal en convection mixte laminaire, en mesurant le gradient de la température sur la paroi. Les résultats montrent que pour de fortes valeurs du débit, apparaît un phénomène d’intermittence pour lequel le gradient de température varie au cours du temps avec de grandes amplitudes dépendant de la position de la section étudiée et de la vitesse du fluide. C’est le phénomène que les auteurs ont tenté de caractériser, en l’examinant comme une transition du régime laminaire au régime turbulent.

Leong et al. (2005) [39] ont étudié numériquement le transfert de chaleur résultant de la convection mixte d’un fond d’une cavité ouverte (figure (I.15)) chauffée et soumise à un courant d’air externe pour 1 ≤ Re ≤ 2000 et 0 ≤ Gr ≤ 106, et pour différents rapports d’aspect (A=0.5, 1, 2 et 4). Les résultats montrent que les nombres de Reynolds et de Grashof contrôlent l’aspect des cellules formées, alors que le rapport d’aspect a une influence notable sur leurs orientations. Les auteurs ont montré aussi que le transfert de chaleur est approximé d’une part par la convection naturelle (à faibles nombres de Reynolds), et par la convection forcée (pour des nombres de

Reynolds plus élevés) d’autre part, mais il est réduit en convection mixte où l’écoulement peut devenir instable.

Figure (I.15) : Canal bidimensionnel avec une cavité ouverte sur la paroi inférieure [39].

Chang et Shian (2005) [40]ont fait une investigation numérique dans l’intention d’étudier les effets d’une cloison horizontale sur les caractéristiques du transfert de chaleur en convection mixte avec écoulement pulsatoire, dans un canal ouvert figure (I.16). Les influences des fréquences de pulsation, de la magnitude du nombre de Prandtl et de la position de la cloison pour différents

nombres de Richardson (Ri= ₂ Re

Gr

) sont explorées. Les résultats obtenus montrent que le transfert de

chaleur est meilleur lorsqu’on utilise une cloison et l’écoulement pulsatoire. Le nombre de Nusselt moyen augmente pour de grandes valeurs du nombre de Reynolds, de la magnitude des pulsations et du nombre de prandtl.

Figure (I.16) : Canal vertical ouvert avec cloison soumise à un écoulement avec pulsations Bafle : cloison

Thermally insulated: thermiquement isolé

Habchi et Acharya (1986) [41] ont fait une investigation numérique de la convection mixte de l’air dans un canal vertical (figure (I.17)), contenant un obstacle sur l’une de ses parois supposée chauffée, alors que l’autre est considérée comme adiabatique ou chauffée aussi (deux cas étudiés). Les résultats indiquent qu’à de faibles valeurs du nombre de Richardson, le maximum de la vitesse se trouve à proximité de la paroi adiabatique et de la paroi chaude lorsque Ri augmente. Un écoulement inverse est prédit derrière l’obstacle, où les variations de la température sont faibles. Le

Derrière cet obstacle, le nombre de Nusselt diminue lorsque le nombre de Grashof augmente. Pour les deux cas, les nombres de Nusselt moyens sont plus petits que ceux dans un conduit lisse.

L’objectif de notre travail consiste en la détermination de l’effet de certains paramètres dans le but d’améliorer le transfert de chaleur à l’intérieur d’un canal horizontal, où sont montés deux composants électroniques. En d’autres termes, trouver la manière adéquate pour assurer un bon refroidissement de ces composants. Ainsi, nous avons analysé l’effet du nombres de Richardson (c’est à dire l’effet de l’augmentation de la température des composants) et l’effet du nombre de Reynolds pour lequel nous avons pris des valeurs faibles dans le but d’essayer d’obtenir une amélioration du transfert de chaleur au sein des composants, en consommant le minimum d’énergie. Dans le but d’obtenir la meilleure manière d’emboîter les composants électroniques au sein d’un canal en vue d’un bon refroidissement de ces derniers, nous avons examiné les effets de certains paramètres géométriques tels que l’espace entre les composants, la longueur de sortie du canal et les dimensions des composants (hauteur et longueur). En outre, les effets du blocage partiel de l’écoulement, de la variation des dimensions de l’élément de blocage ainsi que de l’emplacement de ce dernier, ont été aussi étudiés pour promouvoir d’avantage le transfert de chaleur au sein des composants électroniques.

Cette étude permettra de donner des informations aux expérimentateurs et industriels sur les b L1 L L2 Y X Paroi chaude ou adiabatique Paroi chaude obstacle

Figure (I.17) : Canal vertical contenant un obstacle rectangulaire sur sa paroi

derniers sont soumis, ainsi que de la géométrie considérée afin d’optimiser leur refroidissement et prolonger de leur durée de vie.

Le mémoire est divisé en quatre chapitres. Le premier décrit au dessus est consacré à la présentation d’une recherche bibliographique. Le second détaille la géométrie, le modèle mathématique ainsi que les conditions initiales et aux limites du problème étudié. Le troisième chapitre concerne la discrétisation des équations gouvernantes et la méthode numérique utilisée pour les résoudre. Dans le dernier chapitre, nous présentons nos résultats et leurs discussions, suivis d’une conclusion et recommandation.

Chapitre II

Modèle mathématique

II.1. Introduction :

Le terme convection est habituellement connu sous le nom de transport d’énergie par gradients potentiels et mouvements du fluide. La convection est un mode de transfert de chaleur qui est le mécanisme le plus important de transfert d’énergie entre une surface solide et un liquide ou un gaz. La caractéristique essentielle du transfert de chaleur par convection est le transport de l’énergie par mouvement moléculaire, ce que l’on appelle par “diffusion“ ; et par mouvement macroscopique du fluide, ce que l’on appelle par “ advection “. Ce phénomène est formulé mathématiquement par les équations aux dérivées partielles et se passe dans la configuration considérée dans notre présente étude.

II.2.Géométrie du problème :

L

a géométrie du problème considéré est schématisée par la figure (II.1). Elle consiste en deux composants électroniques (sources de chaleur), montés dans un canal horizontal de longueur (L) et de hauteur (H). Les deux parois supérieure et inférieure sont supposées adiabatiques. A l’entrée du canal, l’air forcé pénètre avec une vitesse adimensionnelle U0 à l’intérieur du canal pour refroidir

les composants électroniques. Ces derniers sont localisés sur la paroi inférieure du canal. Chacun a une longueur (w) et une hauteur (h) et sont séparés par une distance (d). La distance entre l’entrée du canal et le premier composant est (L1). Par contre, entre le deuxième composant et la sortie du

canal elle est égale à (L2). Chaque composant électronique est maintenu à une température constante

Figure (II.1) : Géométrie du problème considéré.

II.3.Eléments mathématiques de base (équations gouvernantes) :

La formulation mathématique des phénomènes de convection repose sur les équations liant les différents paramètres à savoir : la vitesse, la pression et la température. Ces équations sont obtenues à partir de :

-la loi de conservation de masse (équation de continuité).

-la loi de conservation de la quantité de mouvement (équations de Navier - Stokes). -la loi de conservation d’énergie (équation de l’énergie).

II.3.1.Equation de continuité :

Cette équation est déduite du principe de conservation de masse. Elle s’exprime sous forme tensorielle comme suit (Bejan, 1993 [44]) :

0 ) ( = ∂ ∂ + ∂ ∂ j j u x t ρ ρ (II.1)

(Où j=1, 2, 3 : indice de sommation)

L’air est considéré comme étant un fluide incompressible (ρ=constante), l’équation (II.1) devient alors : L1 L2 H w d h Uo Composants électroniques Air x y Parois adiabatiques L Entrée du canal Sortie du canal

0 = ∂ ∂ j j x u (II.2)

II.3.2.Equations de la quantité de mouvement

Cette équation est déduite de la deuxième loi de la dynamique, qui stipule que la variation de la quantité de mouvement d’une particule fluide est égale à la somme des forces extérieures sur cette particule. Elle s’écrit sous forme tensorielle comme suit (Bejan, 1993 [44]) :

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ i j j i j i i j i j i x u u u x x p F x u u u t µ ρ ρ ) ( ) ( (II.3) Où : ) ( u_i t ρ ∂ ∂

: Représente le taux de variation de la quantité de mouvement.

) ( _{j i} j u u x ρ ∂ ∂

: Représente le taux net de transport de quantité de mouvement suivant la direction i,

par mouvement du fluide.

i

F : Représente les force de volume suivant la direction i.

i

x p

∂ ∂

: Représente les forces dûes à la pression.

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ i j j i j x u u u

x µ : Représente les forces nettes de viscosité.

Les équations (II.3) ne sont autre que les équations de Navier - Stokes, qui représentent la conservation de la quantité de mouvement d’un fluide visqueux incompressible pour le régime transitoire.

II.3.3.Equation de l’énergie

L’équation de l’énergie est obtenue en appliquant le premier principe de la thermodynamique pour un fluide Newtonien incompressible, elle s’écrit comme suit (Bejan, 1993 [44]) :

Φ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ _µ ρ q x T K x T u x t T C j j j j P ( ) (II.4) Où : K : La conductivité thermique. P

C : La chaleur spécifique à pression constante.

ρ : La masse volumique.

Φ : La dissipation visqueuse.

II.4.Modèle mathématique et équations dimensionnelles

II.4.1.Hypothèses :

1-Fluide Newtonien et visqueux. 2-Milieu continu.

3-Ecoulement bidimensionnel (suivant les coordonnées cartésiennes x et y). 4-Régime laminaire.

5-La dissipation visqueuse est négligeable (µΦ=0) et pas de source de chaleur (q = 0).

6-L’approximation de Boussinesq est valide, elle consiste à considérer que les variations de la masse volumique sont négligeables aux niveau de tous les termes des équations de quantité de mouvement (ρ =ρ₀), sauf au niveau du terme de gravité. La variation de ρ en fonction de la température est donnée comme suit (Bejan, (1993) [44]) :

)] ( 1 [ ₀ 0 − T −T = ρ β ρ (II.5) T0 : Température de référence.

β : Le coefficient d’expansion thermique à pression constante.

0

ρ : Masse volumique du fluide à T0

7- Les propriétés physiques du fluide et des composants électroniques (ρ,ν ,CP, K) sont supposées

constantes.

En prenant compte de toutes ces hypothèses, les équations dimensionnelles peuvent s’écrirent comme suit :

à t=0, u=v=0, T=0 pour t>0, on a :

i)-

Equation de continuité

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y v x u (II.6)

ii) – Equation de la quantité de mouvement suivant x

) ( ) ( ) ( ) ( 0 y u y x u x x p vu y uu x t u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ _{µ µ} ρ (II.7)

Suivant x :

A x=0 0<y<H ; u=U0 (à l’entrée du canal)

A x=L 0<y<H ;

x u

∂ ∂

=0 (à la sortie du canal, régime établi)

Suivant y :

A y=0 et y=H 0<x<L ; u=0 (Parois solides)

iii) – Equation de la quantité de mouvement suivant y

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{0 0} 0 g T T y v y x v x y p vv y uv x t v _{+ −} ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ _{µ µ ρ β} ρ (II.8)

Avec les conditions aux limites : Suivant x :

A x=0 0<y<H ; v=0 (à l’entrée du canal)

A x=L 0<y<H ; x v

∂ ∂

=0 (à la sortie du canal, régime établi)

Suivant y :

A y=0 et y=H 0<x<L ; v=0 (parois solides)

iiii) -Equation de l’énergie

) ( ) ( ) ( ) ( 0 y T K y x T K x vT y uT x t T Cp ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ (II.9)

Les sources sont maintenues à une température constante TS. Les deux parois horizontales inférieure et supérieure du canal sont adiabatiques et l’intérieur du canal est à la température ambiante T0 , alors on a :

Suivant x :

A x=0 0<y<H ; T=T0 (à l’entrée du canal)

A x=L 0<y<H ; =0 ∂ ∂

y T

(à la sortie du canal, régime établi)

Suivant y : A y=0 et y=H , 0<x<L ; =0 ∂ ∂ y T (parois adiabatiques)

II.5. Adimensionnalisation des équations

La forme adimensionnelle est utilisée afin de trouver des solutions générales aux problèmes physiques indépendamment des systèmes de mesure. Elle permet aussi la simplification de la résolution des systèmes d’équations et la réduction des paramètres physiques. Pour faire apparaître les paramètres de contrôle du problème étudié, il est nécessaire d’introduire des grandeurs de référence.

™ Grandeurs caractéristiques Elles sont définies comme suit :

* H : hauteur caractéristique * H/U0 : temps caractéristique

* ρU02 : pression caractéristique

* TS-T0 : température caractéristique

* U0 : vitesse caractéristique

* Kair : conductivité thermique de l’air

* ν air : viscosité cinématique de l’air

™ Variables caractéristiques air air K K K T Ts T T U P P P U v V U u U U H t H y Y H x X = = − − = − = = = = = = * * 0 0 2 0 0 * 0 0 0 , , , , / , , ν ν ν θ ρ τ

Après substitution des variables adimensionnelles dans les équations du modèle mathématique et dans les conditions aux limites on obtient le système d’équations adimensionnelles suivant :

A τ=0, U=V=θ=0 dans la région fluide Pour τ > 0, on a : *) Equation de continuité =0 ∂ ∂ + ∂ ∂ Y V X U (II.10)

**) Equation de la quantité de mouvement suivant X ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ) ( ) ( Re 1 * * Y U Y X U X X P Y U V X U U U _{ν ν} τ (II.11)

***) Equation de la quantité de mouvement suivant Y

θ ν ν τ 2 * * Re ) ( ) ( Re 1 Gr Y V Y X V X Y P Y V V X V U V + ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (II.12) = * ν ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ fluide région la dans 1 solides) (régions chaleur de sources les dans 1020 *

ν est la viscosité cinématique adimensionnelle de l’air.

****) Equation de l’énergie ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ) ( ) ( Pr Re 1 * * Y K Y X K X Y V X U θ θ θ θ θ θ τ θ (II.13) K*= ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ fluide région la dans 1 chaleur de sources les dans air k ks

ks peut prendre les valeurs suivantes : ks=148 w/m.k (Silicone) , ks=204 w/m.k (Aluminium) kair=0,0296 ™ Nombres adimensionnels 9 Nombre de Prandtl : Pr = air air α ν 9 Nombre de Reynolds : Re = air H U ν . 0 9 Nombre de Grashof : Gr = air H T Ts g 2 3 0) ( ν β − 9 Nombre de Richardson : Ri = ₂ Re Gr 9

Figure (II.2): Conditions aux limites sous forme adimensionnelle.

Limites Conditions hydrodynamiques Conditions thermiques

X = 0 (à l’entrée) U=1 V=0 θ = 0 X = L/H (à la sortie) X U ∂ ∂ = X V ∂ ∂ = 0 X ∂ ∂θ =0 Y = 0 Paroi inférieure U=0 V=0 ∂Y ∂θ =0 Y = H/H=1 Paroi supérieure U=0 V=0 ∂Y ∂θ =0

Tableau (II.1) : Conditions aux limites hydrodynamiques et thermiques sous forme adimensionnelle

θ = 0 U = 1 V = 0 Y ∂ ∂θ = 0, U = 0, V = 0 X ∂ ∂U = 0 X V ∂ ∂ = 0 Y ∂ ∂θ = 0 Y ∂ ∂θ = 0, U = 0, V=0

Chapitre III

Méthode Numérique

III.1.Introduction :

Les écoulements de fluides en régimes laminaire ou turbulent, sont décrits par le système d’équations aux dérivées partielles. Ainsi, tous les phénomènes physiques sont régis par ce système formé par les équations de continuité, de quantité de mouvement et d’énergie, qu’il convient de résoudre pour connaître les caractéristiques du champ thermique et du champ d’écoulement. Malheureusement, il est pratiquement impossible de trouver une solution analytique et exacte à de tel système du fait que les équations citées précédemment soient très complexes, c’est à dire non - linéaires d’une part et couplées d’une autre part comme dans le cas de la convection mixte. Dans ce cas, le recours à la résolution numérique s’impose et nous incite à choisir la méthode numérique adéquate pour obtenir les meilleures approximations.

III.2.Choix de la méthode numérique :

Pour obtenir une solution numérique du problème étudié, on doit transformer les équations différentielles du modèle mathématique au moyen d’un processus de discrétisation en un format facile pour le processus numérique. Ce format n’est autre que le système d’équations algébriques obtenu après la discrétisation.

Parmi les techniques et/ou les méthodes de discrétisation les plus fréquemment utilisées dans les problèmes d’écoulements et de transferts thermiques, on peut citer la méthode des différences finies, la méthode des volumes finis et la méthode des éléments finis.

Pour notre présente étude, nous avons choisi la méthode des volumes finis, car elle présente des avantages considérables du fait qu’elle soit simple, qu’elle garantisse la conservation de masse et de quantité de mouvement dans chaque volume de contrôle et dans tout le domaine de calcul et qu’elle soit applicable pour les géométries complexes. Elle est aussi avantageuse, parce qu’elle facilite la linéarisation des termes sources s’ils ne le sont pas et permet un traitement plus facile des milieux hétérogènes (Patankar, 1980 [42]).

E W S N e w s n P

Figure (III.1) : Volume de contrôle typique bidimensionnel

Le principe de la méthode des volumes finis consiste à intégrer les équations de transport sur un ensemble discret de volumes finis jointifs, appelés volumes de contrôle, couvrant le domaine physique. Le résultat de la discrétisation en un point est une équation algébrique liant la valeur d’une variable aux valeurs des variables des points voisins.

III.3. Maillage :

Chaque point du domaine physique stockant une grandeur scalaire ou vectorielle vérifie les équations différentielles du modèle mathématique, gouvernant notre phénomène physique. Pour projeter ces équations sur ce domaine, on subdivise ce dernier en un certain nombre de volumes finis, localisés à l’aide d’indices i et j, et en chaque milieu de chaque volume on considère les points

P, appelés centres des volumes de contrôle. E, W, N et S sont les centres des volumes de contrôle

adjacents, situés respectivement à l’est, à l’ouest, au nord et au sud du centre P (figure.III.1). Les

faces d’un volume de contrôle typique sont localisées aux points e, w, n et s . Chaque volume de

contrôle a une dimension ∆X x ∆Y x 1. Au centre du chaque volume de contrôle sont stockées les variables scalaires (p et θ), par contre pour les quantités vectorielles (les vitesses U et V), elles sont localisées sur les faces du volume de contrôle (figures.III.2 et III.3).

Ue _E P

Figure III.2 : Volume de contrôle décalé vers la droite.

W N S Vn E P

Figure III.3 : Volume de contrôle décalé vers le haut.

W

N

III.4.Intégration de l’équation générale de transport :

III.4.1. Equation générale de transport :

L’équation générale de transport d’une variable φpour un écoulement bidimensionnel et incompressible, s’écrit dans le système cartésien comme suit :

φ φ φ τ φ S X X U X_j j _{j j} ⎟+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Γ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ) ( (III.1)

(j : indice de sommation ; j=1, 2 dans le cas bidimensionnel). Avec : τ φ ∂ ∂ : Terme transitoire ) ( _jφ j U X ∂ ∂

: Terme convectif (transport par convection deφ).

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Γ ∂ ∂ J j X X φ

: Terme diffusif (transport par diffusion deφ).

φ

S : Terme source.

Les définitions deφ,Γ et S_φsont données dans la tableau (II.1) comme suit :

Equation φ Γ S_φ

Continuité 1 0 0

Quantité de mouvement suivant X U

Re * ν X P ∂ ∂ − Quantité de mouvement suivant Y

V _Re * ν _θ 2 Re Gr Y P + ∂ ∂ − Energie θ Pr Re * K 0

III.4.2.

Intégration de l’équation générale de transport sur un volume de contrôle typique : En intégrant l’équation générale de transport sur un volume de contrôle typique (figureIII.4), on obtient l’équation de discrétisation de la variable φ dans un domaine cartésien bidimensionnel : τ τ τ τ τ φ τ τ τ φ τ τ τ τ τ τ τ τ τ dXdYd S dXdYd Y J dXdYd X J dXdYd n s e w n s e w y n s e w x n s e w

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∆ +∆ +∆ +∆ + = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (III.2) En posant par : X U J_x ∂ ∂ Γ − = φ φ et Y V Jy ∂ ∂ Γ − = φ φ

Le résultat de l’intégration de l’équation (III.2) divisé par ∆τ donne :

Y X S J J J J Y X _en _wn _nn _sn n P n P ∆ ∆ + − + − = ∆ ∆ ∆ − _{+ + + +} + φ τ φ φ 1 1 1 1 1 (III.3)

Où : n et n+1 correspondant aux incréments du temps τ etτ +∆τrespectivement. Y X Y U J e e e e ∆ ∂ ∂ Γ − ∆ = φ φ Y X Y U J w w w w ∆ ∂ ∂ Γ − ∆ = φ φ (III.4) X Y X V J n n n n ∆ ∂ ∂ Γ − ∆ = φ φ X Y X V J s s s s ∆ ∂ ∂ Γ − ∆ = φ φ

Les quantitésJ_e,J_w,J_netJ_s sont les flux aux interfaces (e,w,n,s). Le terme S_φ est supposé être constant dans le volume de contrôle. S_φ est évalué au centre du volume de contrôle.