Analyse du refroidissement par convection mixte d’un écoulement d’eau dans une conduite cylindrique horizontale

Analyse du refroidissement par convection mixte d’un écoulement d’eau dans une conduite cylindrique horizontale

Chahrazed ABDELLAHOUM¹, Amina MATAOUI^2*, Cherifa ABID³

1 Faculté des sciences, Université M’hamed Bouguerra – Boumerdes, Algérie

2 Laboratoire de Mécanique des Fluides Théorique et Appliquée, Faculté de Physique, USTHB, Alger, Algérie.

3 AixMarseille Université, IUSTI-CNRS UMR 7343, 13453 Marseille 13, France

*(auteur correspondant : amataoui@gmail.com)

Résumé - Le travail que nous développons dans cet article porte sur l’étude numérique de la convection mixte, d’un écoulement d’eau en régime laminaire, développée dans un cylindre chauffé par un flux de chaleur constant et uniforme. Une brève revue des travaux récents sur les écoulements et le transfert de chaleur en convection mixte est exposée. Une description du problème est présentée à travers les équations de conservation (masse, quantité de mouvement et énergie). Les caractéristiques dynamiques et thermiques des grandeurs physiques de cet écoulement sont déterminées numériquement en utilisant le code CFD ANSYS 14.0. Dans le cas stationnaire, les simulations ont été effectuées par la méthode des volumes finis en utilisant l’approximation de Boussinesq. Les résultats obtenus ont confirmé que les forces de gravité génèrent deux rouleaux thermo-convectifs le long de la conduite, ainsi que la dissymétrie des profils de température et de vitesse. Le coefficient de transfert convectif pour ce type de configuration d'écoulement en fonction du nombre de Reynolds et du flux de chaleur, a été évalué et comparé aux valeurs expérimentales disponibles.

Nomenclature

Cp Chaleur spécifique du fluide, kJ.kg^-1.K^-1 D Diamètre intérieur du tube, m

g Accélération de gravité m.s^-2 Nu Nombre de Nusselt

P Pression, Pa

Q Flux de chaleur surfacique, W.m^-2 q Terme source

Ф Variable généralisée R Rayon, m

Re Nombre de Reynolds T Température, K S_Ф Terme source

W Vitesse axiale, m.s^-1

UM Module du vecteur vitesse, m.s^-1 y Coordonnée verticale

z Coordonnée axiale Symboles grecs

 Masse volumique du fluide, Kg.m^-3 θ angle polaire

 Coefficient d’expansion thermique, K^-1 Indices et exposants

p paroi

0 condition de référence inf inferieur

sup supérieur

1. Introduction

Depuis plusieurs décennies, les échanges de chaleur par convection mixte ont fait l'objet de nombreuses études expérimentales, théoriques et numériques. Ces phénomènes ont lieu dans diverses installations industrielles comme les échangeurs de chaleur, le refroidissement des réacteurs nucléaires, les chaudières à énergie solaire etc.… L’écoulement en convection mixte

à travers une conduite résulte de la différence de la pression entre l’entrée et la sortie et les forces visqueuses. Parmi les premiers travaux traitant le problème de la convection mixte dans une conduite verticale on cite le travail de Hallman [1] qui en 1956 a étudié analytiquement le problème de convection mixte dans un tube vertical avec flux de chaleur thermique à la paroi.

II a proposé une solution analytique des équations différentielles modélisant les profils de températures et de vitesses en termes de fonctions de Bessel. Cette solution est valable pour les deux types d'écoulement; ascendant ou descendant. Dix ans plus tard, Iqbal et Stachiewicz [2] ont repris le même problème et en tenant compte de la dissipation visqueuse. Ils ont choisi trois différentes méthodes pour la résolution du système d'équations gouvernantes. Leurs résultats ont montré que la dissipation visqueuse diminue, le nombre de Nusselt pariétal augmente en fonction de la vitesse axiale du tube. Une étude expérimentale a été réalisée par Bernier et Baliga [3] à l'intérieur d'un tube vertical chauffé uniformément. Ils ont observé une recirculation pour un écoulement ascendant pour des nombres adimensionnels caractéristiques particuliers. Le problème devient plus complexe lorsqu'on considère l'écoulement en convection mixte dans une conduite horizontale. En effet, la force de gravité suivant la direction d'écoulement et le plan normal à l'axe de conduite induit des tourbillons hélicoïdaux qui caractérisent l'écoulement secondaire.

Une approche analytique et numérique de la convection mixte laminaire dans une conduite cylindrique horizontale a été menée par Abid et al. [4]. Ils montrent l’existence de deux zones de régimes : établissement hydrodynamique d’un écoulement secondaire caractérisé par la présence de deux rouleaux transversaux contrarotatifs, et l'établissement thermique caractérisé par une montée de la température moyenne de la paroi en conservant une distribution de température non uniforme dans une section droite.

Petukohv et Polyakov [5] ont étudié expérimentalement la convection mixte dans une conduite horizontale soumise à un flux de chaleur uniforme. Ils ont mis en évidence l'effet de la force d'Archimède sur le comportement thermique du fluide. Les résultats obtenus montrent que la température pariétale varie considérablement le long du périmètre, elle peut être plus faible que celle dans sa partie inferieure. Rustum et Soliman [6] ont examiné expérimentalement le comportement thermique d’un écoulement laminaire en convection mixte dans un tube horizontal avec ou sans ailettes longitudinales. Les résultats ont montré qu’un accroissement de nombre de Rayleigh entraine une augmentation du coefficient de transfert de chaleur et une diminution de la longueur de développement thermique. En se basant sur les prédictions expérimentales, ils ont proposé des corrélations pour quantifier le nombre de Nusselt de la paroi en fonction du nombre de Rayleigh.

L’objectif de ce présent travail est de simuler numériquement l'écoulement résultant de la convection mixte, laminaire et tridimensionnelle dans une conduite cylindrique horizontale soumise à un flux thermique constant et uniforme afin d’évaluer les transferts de chaleur.

2. Modèle physique et formulation

Ce travail consiste à étudier le transfert de chaleur par convection mixte d'un écoulement monophasique laminaire dans une conduite cylindrique chauffée à flux constant. La conduite est composée de trois régions. La partie centrale, de longueur de 1m, est chauffée à flux constant et les deux autres parties qui délimitent la partie centrale sont adiabatiques (Abid et al. [4]), (Figure1). Le fluide utilisé dans les simulations est l'eau. Ce fluide entre dans la conduite avec une vitesse axiale et une température uniformes.

Partie Chauffée Partie

Adiabatique

Partie Adiabatique

(a) Vue 3D

y

z

z

g

Cylindre adiabatique Cylindre chauffé

Cylindre adiabatique

e

Q

50 cm 10 0 cm 50 cm 0

W ₀ R

(b) Vue 2D

Figure 1 : Configuration et paramètres du problème

3. Formulation mathématique

Dans le cadre de cette étude, on considère un écoulement monophasique, à faible nombre de Reynolds qui correspond à une vitesse axiale comprise entre 3 ≤ W0 ≤ 7,2 cm/s. En première approximation, notre problème repose sur les hypothèses suivantes :

 Le fluide est incompressible et newtonien avec des propriétés physiques constantes à l'exception de la masse volumique dans l'expression de la poussée d'Archimède pour laquelle on applique 1'approximation de Boussinesq :

 

 

0 1 T T0

    

 L’écoulement est stationnaire en moyenne

 L’écoulement est tridimensionnel.

Les équations de conservation de la masse, de la quantité du mouvement et de l’énergie sont :

Continuité: U V W 0

x y z

   

   Quantité de mouvement:

2 2 2

2 2 2

U U U P U U U

U V W

x y z x x y z

^ ^  ^  ^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^

 

2 2 2

0 0

2 2 2

V V V P V V V

U V W g T T

x y z y x y z

^ ^  ^  ^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^  

2 2 2

2 2 2

W W W P W W W

U V W

x y z z x y z

^ ^  ^  ^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^

Énergie: C_P U ^T V ^T W ^{T T T T}

x y z x x y y z z

             

Toutes les simulations sont menées avec le code de calcul Ansys14.0 qui utilise la méthode des volumes finis. Les équations de conservation de la masse, de la quantité du mouvement et (2)

(3) (4) (5)

(6) (1)

de l’énergie sont transformées sous la forme générale conservative suivante pour pouvoir utiliser la méthode des volumes finis (Patankar [7]) :



  





V div grad S

div  

) (





 

 



x  y  z  x _ x y^ _ y ^ z _ z _

                 

              

Avec =U, V, W ou T

La discrétisation de ces équations a été effectuée en variables primitives à l'aide de la méthode des volumes finis. Toutes les grandeurs physiques sont localisées au centre de la cellule du maillage correspondant. Le schéma d’interpolation pour la pression est un schéma du deuxième ordre (SECOND ORDER), et la loi de puissance (POWER LAW) est utilisée pour les termes diffusifs des autres variables.

Le couplage vitesse pression est résolu grâce à l'algorithme SIMPLER qui permet à la convergence la satisfaction de l'équation de continuité.

Du fait du couplage et de la non linéarité des équations, la stabilité du processus itératif n'est assurée que par l'utilisation de coefficient de sous relaxation et par une linéarisation adéquate des termes source. La convergence de la méthode est contrôlée par l'examen de l'évolution des résidus relatifs à chacune des équations et du défaut de masse intervenant comme terme source de l'équation de correction de pression ainsi que l'examen de l'évolution au cours des itérations de toutes les variables calculées à certains nœuds présélectionnés du maillage.

4.

Description des grilles

x / R

y/R

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

z/R

x/R

-100 0 100 200 300

-1 -0.5 0 0.5 1

Figure 2 : Maillage de la configuration

La qualité du maillage joue un rôle très important dans la précision et la stabilité de toute étude numérique. Plusieurs tests sont effectués afin de valider une méthode numérique choisie. On a généré un maillage quadratique et non uniforme, serré au voisinage des régions (7)

(8)

où il existe un gradient très élevé des variables (parois, entrée et extrémités du cylindre chauffé) (figure. 2). A titre d'exemple nous illustrons un test type pour la dépendance de la vitesse moyenne en fonction du maillage pour une valeur de la vitesse d’entrée W0= 0.03m/s.

Après avoir effectué un test approfondi du maillage, la figure 3, illustre un exemple de test de maillage sur l’évolution axiale du nombre de Nusselt Nuinf et Nusup respectivement dans le bas et le haut d’une section droite. Les grilles de 1951200 nœuds et 2398860 donnent pratiquement les mêmes résultats. Par conséquent, le choix s'est porté sur le la grille de 1951200 nœuds pour économiser en temps de calcul. Sachant que les paramètres géométriques de cette configuration n’ont pas été modifiés dans la présente étude; seule la grille de 1951200 nœuds a été utilisée par la suite pour les simulations numériques.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0,5

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Nu

inf

z / R

2398860 Cellules 1951200 Cellules 1933000 Cellules 1902800 Cellules 1898200 Cellules 1722200 Cellules 1698600 Cellules

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Nu

sup

z / R

2398860 Cellules 1951200 Cellules 1913000 Cellules 1902800 Cellules 1898200 Cellules 1742200 Cellules 1698600 Cellules

Figure 3: Test du maillage sur le nombre de Nusselt le long des lignes inferieure Nuinf et supérieure Nusup de la conduite

Plusieurs types de frontières sont considérés dans la présente configuration (Figure. 1).

- Entrée de la conduite: on impose un profil de vitesse uniforme et température ambiante:

0 0

0, 0, W=W , U V  T T

- Pour les parois des trois zones du cylindre, on applique la condition d'adhérence pour toutes les grandeurs : ^{0 ,} ^{U V, , W}. Pour la température on impose un flux nul (adiabatique) pour les zones d’entrée et de sortie et un flux constant pour la zone centrale.

A la sortie de la conduite, la pression statique et la température sont maintenues respectivement à la pression atmosphérique et à la température ambiante.

5. Résultats et discussion 5.1 Structure de l'écoulement

La structure de l’écoulement moyen est illustrée par les lignes de courant des sections transversales du cylindre, qui sont déduites à partir des composantes normales de la vitesse (U et V). Les calculs on confirmé la présence de deux rouleaux convectifs le long du cylindre chauffé (Figure 4) qui sont produits par l'effet des forces de poussée d’Archimède. Ce résultat est en bon accord avec Abid et al. [4], Petukohv et Polyakov [5], Rustum et Soliman [6].

x / R

y/R

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

Z / R = 6 w = 7 . 2 c m / s

x / R

y/R

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

Z / R = 1 4 W = 7 . 2 c m /s

x / R

y/R

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

Z / R = 3 0 W = 7 .2 c m / s

x / R

y/R

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

Z / R = 1 0 0 W = 7 . 2 c m / s

Figure 4: Évolution des lignes de courant pour différentes positions z/R du conduit (Les couleurs représentent le module du vecteur vitesse en cm/s)

x/ R

y/R

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14

Z= 40cm W = 7.2 cm/s

5.2 Champ thermique

Les isothermes obtenues par les calculs sont en bon accord avec Abid et al. [4] (Figure 5).

Dans ce cas, nous observons bien une accumulation du fluide chaud avec une stratification dans la partie haute d’une section droite quand la cote Z croit alors que le bas de la section droite reste pratiquement à température constante. La figure 6 montre l'évolution gaussienne de la température circonférentielle. Les résultats obtenus confirment que la température pariétale varie considérablement le long du périmètre, elle est minimale dans sa partie inférieure. Ces résultats sont en bon accord avec Rustum et Soliman [6] et Abid et al. [4].

x / R

y/R

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

2 9 3 2 9 3 2 9 6 3 0 2 3 0 8 3 1 4 3 2 0

Z / R = 6 w = 7 . 2 c m / s

x / R

y/R

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

2 9 3 2 9 3 2 9 3 3 0 0 3 1 0 3 2 0 3 3 0 3 4 0

Z / R = 1 8 W = 7 . 2 c m / s

x / R

y/R

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

- 1 - 0 .5 0 0 .5

12 9 3 2 9 3 2 9 5 3 0 0 3 1 0 3 1 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 Z / R = 2 6

W = 7 . 2 c m / s

x / R

y/R

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

- 1 - 0 .5 0 0 .5 1

2 9 4 2 9 6 3 0 0 3 0 6 3 1 5 3 4 0 3 8 0

Z / R = 1 0 0 W = 7 . 2 c m / s

Figure 5: Isothermes (en Kelvin) dans le fluide pour différentes sections droites

0 40 80 120 160

40 60 80 100 120 140

Wo=7,02cm/s Wo=5cm/s Wo=3cm/s

T (°C)





Figure 6: Évolution de la température circonférentielle pour différentes vitesses (z/R=100)

5.3 Calcul du coefficient de transfert

Les champs thermiques obtenus numériquement nous permettent de déterminer le nombre de Nusselt. La dissymétrie du champ de température dans une section droite résulte du fait que le coefficient d’échange paroi fluide n’est pas homogène dans une section droite. Ceci nous conduit à déterminer un coefficient de transfert en haut et en bas de la section droite.

La distribution du nombre de Nusselt local caractérise l'échange thermique entre le fluide et la paroi. La figure 7 illustre l'évolution longitudinale du nombre de Nusselt le long de deux lignes de la conduite. Il s'agit de la ligne la plus haute (x=0, y=R) et la ligne la plus basse (x=0, y=-R) de la conduite. L'effet de la force d'Archimède sur le comportement thermique du fluide est bien mis en évidence. Le transfert de chaleur est beaucoup plus efficace dans la couche limite du bas d’une section droite que dans sa partie haute ; en effet, les écoulements secondaires contribuent à un rafraichissement permanent de la paroi alors que dans la partie haute la stratification du fluide rend l’échange plus proche d’un mode diffusif.

0 50 100 150 200

0 1 2 3 4

Nu inf

Nu

Z / R

x=0 , y=- R x=0 , y=+R Wo = 5cm/s

Nu sup

Figure 7: Évolution du nombre de Nusselt le long des lignes supérieure et inferieure de la conduite L’effet du nombre de Reynolds sur la distribution local du nombre de Nusselt est représenté sur la figure 8. Pour tous les nombres de Reynolds de la gamme d’étude considéré, les profils des nombres de Nusselt locaux sont similaires. Leurs valeurs optimales augmentent avec le nombre de Reynolds même si nous observons que l’effet de la vitesse d’écoulement est plus important en bas de la section droite qu’en haut de cette dernière.

0 50 100 150 200

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

Nu

inf

z / R

x=0 , y= - R W0=7.2 cm/s W0=5 cm/s W0=3 cm/s

0 50 100 150 200

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Nu

sup

z / R

x=0 , y=+ R W0=7.2 cm/s W0=5 cm/s W0=3 cm/s

Figure 8: Effet du nombre de Reynolds sur la distribution locale du nombre de Nusselt

6. Conclusion

En se basant sur la méthode des volumes finis, on a d’abord décrit et validé la méthode numérique en se référant aux résultats expérimentaux d'Abid et al. [4].

Ensuite, l'accent est mis sur l’étude des champs thermique et dynamique de l’écoulement laminaire en convection mixte. En particulier, on a étudié notamment les effets de différents paramètres sur l’écoulement et le transfert de chaleur local induits par convection mixte tridimensionnelle au sein d’une conduite horizontale chauffée uniformément à la paroi. Des comparaisons ont été effectuées selon différents critères en se servant des résultats expérimentaux antérieurs.

En conclusion les résultats ont clairement montré que :

 La température pariétale varie considérablement le long de la circonférence d’une section droite et elle est minimale dans sa partie inferieure

 Cette température tend à s'uniformiser quand la côte z/R croit.

 Une accumulation du fluide chaud avec une stratification dans la partie supérieure de la conduite alors que la région inférieure de la conduite reste pratiquement à température constante

L'augmentation du nombre de Nusselt local se traduit par une accélération de 1'écoulement prés de la paroi accompagnée d'un ralentissement dans la zone centrale. Leurs valeurs optimales augmentent avec le nombre de Reynolds.

La perspective de ce travail préliminaire consiste à examiner l’effet des instabilités thermo convectives et de la turbulence sur d’une part la structure de l’écoulement et d’autre part l’intensification du transfert.

Références

[1] Hallman, T., M, Combined forced and free laminar heat transfer in vertical tubes with uniform internal heat generation. Tans, of the ASME (1956), p 1831-1841.

[2] Iqbal et Stachiewicz, Influence on the tube orientation on combined free and forced laminar convective heat transfer, Trans , ASME, J. Heat transfer, vol 88, (1966)., p. 109-116.

[3] Bernier M.A. & Baliga B.R, Visualization of upward mixed convection flows in vertical pipes using a thin semitransparent gold-film heater and dye injection, Int J Heat and Fluid Flow, (1992),vol. 13, pp. 241-249.

[4] Abid.C, Papini. F, Ropke. A et Veyret, D, Etude de la convection mixte dans un conduit cylindrique. Approches analytique/numerique et détermination experimentale de la température de paroi par thermographie infrarouge. Int. .J. Heat Mass Transfer, (1994),Vol.37;, pp.91-101.

[5] Petukhov, B. S and Polyakov, A. F,Effect of free convection on heat transfer during forced flow in a horizontal pipe. High Temp. (1966), Res Ins,5, 348-351

[6] Rustum I. M. and Soliman, H. M, Experimental investigation of laminar Mixed convection in tubes with Longitudinal Internal find, journal of heat transfer . Trans, of ASME, (1988), vol. 110 p. 336-372.

[7] Patankar S.V, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere Inc, McGraw-Hill, New York(1980) , NY, USA.