Sur la classification des réseaux parfaits de dimension $5$

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

ACQUES

M

ARTINET

Sur la classification des réseaux parfaits de dimension 5

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

11, n

o

_{1 (1999),}

p. 149-159

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1999__11_1_149_0>

© Université Bordeaux 1, 1999, tous droits réservés.

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Sur la classification des

réseaux

_parfaits

de

dimension

5

par

JACQUES

MARTINET

RÉSUMÉ. En utilisant des méthodes de

_Watson,

nous donnons une courte démonstration de la classification

_(due

à Korkine et

Zolotareff )

des réseaux

_parfaits

de dimension 5. Des considéra-tions d’indice nous conduisent à nous intéresser à trois classes de

réseaux, dont chacune contient précisément un réseau

_parfait.

ABSTRACT.

_English

title: On the

_{classification of}

5-dimensional

perfect

lattices.

_Using

methods of

Watson,

we

_give

a short

_proof

of Korkine and Zolotareff’s classification of 5-dimensional

_perfect

lattices.

_Using

a

_description

of sub-lattices of rank 5

_{generated by}

minimal _vectors, we are led to consider three classes of

_lattices,

each of which

_{containing exactly}

one

_perfect

lattice.

L’exposé

oral fait le 18

_septembre

1997,

sous le titre les réseaux des

espaces

euclidiens,

avait consisté en un tour d’horizon de diverses

_questions

liées à la

_propriété

d’extrémalité.

_(Korkine

et Zolotareff ont

_appelé

extrêmes

les réseaux sur

_lesquels

la densité de de

l’empilement

de

_sphères

asssocié

atteint un maximum

local.)

On avait

plus

particulièrement

fait le

point

sur

les

_questions

suivantes :

a Généralisations de la notion d’extrémalité et caractérisations à la

façon

de Voronoï _par des

_propriétés

de

_perfection

et d’euta,xie convenables.

e Cas des _réseaux isoduaux

(i.e.,

semblables _à leur

dual),

et en

particulier

des

réseaux

_{symplectiques, qui correspondent}

aux variétés abéliennes

_complexes

principalement

polarisées.

e

_{Décomposition}

en classes minimales de

l’espace

des

_réseaux,

et

interpré-tation comme

_{décomposition}

cellulaire de

l’espace

des formes

quadratiques

définies

_positives

de minimum donné sur Z’~.

e Réseaux modulaires au sens de

Quebbemann.

(Un

réseau A est dit

R-modulaire s’il est entier et

_pair,

et s’il existe une similitude de _rapport

vif

de 11 * sur

e Théorie de Venkov des réseaux fortement

parfaits,

et mise en évidence au

moyen de formes modulaires à coefhcients

sphériques.

En ce

qui

concerne le dernier

point, j’ai

écrit une rédaction

_provisoire

de

notes d’un cours intitulé "Réseaux et

_{designs sphériques"}

fait à Bordeaux

par Boris Venkov en

_1996-1997,

_que

_je

_peux

_communiquer

sur demande. Le

trosième

_point

est

_développé

dans le

_chapitre

IX de mon livre "Les réseaux

parfaits

des _espaces

_euclidiens",

_paru chez Masson

_(Paris)

en 1996.

Les autres

_points

ont fait

_l’objet

de deux

_{"surveys" :}

(1)

"Algebraic

Constructions

_{of Lattices;}

Isodual

_Lattices",

Actes du

col-loque

d’Eger

(Hongrie, 1996) ;

Number

_{Theory, Gyôry,}

_Pethô,

Sôs

_éd.,

Walter de

_{Gruyter GmbH &#x26; Co.,}

Berlin - New

_York,

_{1998 ;}

(2)

"Perfect and Eutactic Lattices: Extensions of Voronoi’s

_Theory",

in

Voronoi"’s

_impact

on modern

_science,

P.

Engel

et H.

_Syta

_éd.,

vol. 21 of Proc. Inst. Math. National Acad. Sc.

_Ukraine,

Book

_1,

_pages 186-198.

L’existence des références ci-dessus rend inutile la rédaction d’un

_compte

rendu de mon

_exposé.

Il m’a _paru

préférable

de _proposer aux

organisa-teurs de

_publier

une démonstration considérablement raccourcie

(grâce

à

l’utilisation de méthodes de

_Watson)

du théorème de classification des

ré-seaux

parfaits

de dimension

_5,

dû à Korkine et

_Zolotareff,

sous la forme

forte _que l’on

_peut

extraire de leur article

_[K-Z3].

Le lecteur pourra vérifier que le coeur de la démonstration de

[K-Z3]

(qualifiée

il est vrai de

_"prolixe"

par

Coxeter)

occupe 20 pages, contre _{9 pages} dans

_(M~,

ch.

_VI,

_§

_4,

_reposant

sur les mêmes

_principes,

et moins de _{3 pages}

_(§§

3 et

₄₎

ci-dessous. La

dé-monstration

_présentée,

du fait

_qu’elle

se suffit à

elle-même,

_occupe un _peu

plus

de

_{place ;}

dans les mêmes

_conditions,

il en serait de même des autres

démonstrations _que nous avons

_évoquées

(ainsi que

de

celles,

radicalement

différentes,

fondées sur

l’algorithme

de

Voronoï).

1.

_ÉNONCÉS,

NOTATIONS ET INÉGALITÉS CLASSIQUES.

1.1. Théorème. Un réseau de dimension 5

_possédant

une section

min-imale

_D4

et au moins 5

_couples

de vecteurs minimaux en-dehors de cette

section est semblable à

_{JI])5 .}

1.2. Théorème. Un réseaux de alimension n = 5 sans section minimale

avec -

n~’~+~~

=15 est semblable à

_A5

ou à

_A5

Ces résultats

_complètent

ceux

_qui

concernent les dimensions n 4 dont

nous

_rappelons

ci-dessous l’énoncé

(et

dont nous

_indiquerons

les

_grandes

lignes

d’une

_{démonstration) :}

1.3. Théorème. Un réseaux de dimension n - 4 avec s &#x3E; - 2 est

semblable à l’un des réseaux

_{Z, 2,}

_{3, D4}

on

A4

-Il

_s’agit

de montrer _que,

_{pour n}

3

_{(resp. n}

=

4 ;

_{resp. n} =

5)

il

y

a au

_plus

un

(resp.

deux ;

_resp.

trois)

réseaux vérifiant les

hypothèse

des

th. 1.1 à

_1.3,

des

_exemples

étant connus a

_{priori ;}

les démonstrations _que nous donnerons conduiront du reste à des constructions

_explicites.

Le but de Korkine et Zolotareff était de classer les réseaux

extrêmes,

c’est-à-dire ceux sur

_lesquel

l’invariant d’Hermite

(ou

la densité de

_{l’empilement}

de

_{sphère associé,}

cela revient au

même)

atteint un maximum local. Ils

montrent que les réseaux extrêmes sont en

_particulier

_parfaits,

une

pro-priété qui,

dans le

_{langage géométrique}

des

_réseaux,

_s’exprime

ainsi : les

projections

orthogonales

sur l’ensemble des vecteurs minimaux du réseau

engendrent

l’espace

End (E)

des

_{endomorphismes symétriques}

de

_l’espace

euclidien

_E,

et dans la traduction de celui

_{plus classique}

des formes

quadra-tiques :

un réseau est

_parfait

si et seulement s’il est déterminé à similitude

près

par la connaissance des

composantes

de ses vecteurs minimaux dans l’une de ses bases.

Les théorèmes 1.1 et 1.2 entraînent

_qu’il

_y a exactement 3 classes de similitude de réseaux

_parfaits

de dimension

_5,

vu

_qu’un

réseau

_parfait

de dimension n contient nécessairement n vecteurs minimaux

_{indépendants}

en-dehors de toute section

_hyperplane,

et au moins

couples

de vecteurs

2

minimaux

_(en

_{général, au moins}

r(r+1) ’

(n-r)(n+r+ 1)

_{couples de}

mInImaux en _{genera ,} au mOIns

2 2

=

2 coup es e

vecteurs minimaux en-dehors de toute section de dimension

_r).

Notations : la norme d’un vecteur x est son carré scalaire

_N(x)

=

x.x,

la norme d’un réseau A est

_{N(A) =}

_lV(x),

on _pose

S(A) =

~x

E A

_{1 N (x)}

=

N(11)~ (ensemble

des vecteurs minimaux de

A)

et

s(~) _

s La matrice de Gram d’une base ~3 =

(e1, ... , en )

de A est

(ej.ej),

et le déterminant

_det(A)

de A est le déterminant de

la matrice de Gram de l’une de ses bases.

_Enfin,

l’invariant d’Hermite de

A est _{" ’} et la constante d Hermite _pour la dimension n est

det(A)

"

Yn =

On utilisera

_{l’inégalité}

de Mordell :

qui

contient comme cas

_{particulier l’inégalité}

d’Hermite

ainsi _que la caractérisation suivante du réseau

~ :

1.6. Théorème

_(Korkine

et

_Zolotareff).

Un réseaux de dimension _n,

conte-nant n vecteurs minimaux.

_{indépendants,}

_engendre

_par

_{n’importe quelle}

fa-mille de n vecteurs mznimaux

2ndépendants,

et

vérifiant

l’znégalzté

s &#x3E;

est semblable à

_An

_et

l’on a alors s =

2 ( 2

dont la démonstration

_jusqu’à

la dimension 5 est un exercice de

Un des

_ingrédients

de la démonstration de ce théorème est la notion de déterminant

_{caractéristique,}

_que nous allons aussi utiliser dans la suite.

Considérons un réseau L de dimension n muni d’une baste 6 =

(el,... , en)

de vecteurs

_minimaux,

et notons

_±xl,

... ,

+xs

les

couples

de vecteurs

mini-maux de

L,

en convenant de

_{prendre xi}

= ei pour 1 i n.

1.7. Définition. On

_appelle

déterminant

_{caractéristique}

du

_couple

_{(L, B)}

tout déterminant extrait de la matrice des

_composantes

dans des vecteurs

x~+1, ... , xs.

1.8. Lemme

_(Korkine

et

_Zolotareff).

0 est un determinant

carac-téristique

de

_{(L, B),}

L

_possède

un sous-réseau L’

_engendré

_par des vecteurs

minimaux de L et d’indice dans L.

En

_{effet, quitte}

à

_permuter

les ei et les _xj, on _{peut supposer}

_qu’il

_s’agit

du déterminant de la matrice M des

_composantes

sur _{el, ... , ek} du

_système

T =

(xn+1, ... , xn+k).

En

_complétant

T _par

_adjonction

_{de ek+ 1, ... ,} on

obtient un

_système

T’, engendrant

un Z-module N C L tel _que les diviseurs élémentaires de

_{(N, L)}

sont ceux de la matrice M.

Démonstration de 1.3. Par récurrence à

_partir

de la dimension

_1,

on voit

de

_proche

en

_proche

_qu’un

réseau A de dimension n 4 vérifiant

_{l’inégalité}

s 1 &#x3E;

_{( )-}

₂

possède

_p n vecteurs minimaux

_{indépendants.}

_P Vu la

_majora-

_J

tion

_1:11’

1’/2

_{s’appliquant}

à tout

_couple

d’un réseau A de dimension

n et d’un sous-réseau A’ de A contenant n vecteurs minimaux de A

_(qui

s’obtient tout de suite en minorant

_{det(A) par (1.5)}

et en

majorant

par

l’inégalité

de

Hadamard,

cf.

[M],

ch.

II,

§

1 et prop. 2.7), on constate

en utilisant

(1.8)

et

_(1.6)

_que la minoration

_{s (A) &#x3E;}

_{entraîne que}

A est semblable à

_An

_pour tout n 3. On a donc _q3 =

ly(A3)

=

21/3,

d’où

_y4

_V2,

ce

_qui

_entraîne,

_pour dimA = 4 et

s(1) &#x3E;

n’+1 -

10,

- 2

l’alternative A N

_Â4,

ou, si

[A : A’] =

2 est

_possible,

A N

_{D4, puisque}

l’inégalité

de Hadamard étant alors une

_égalité,

il

_n’y

a _pas d’autre choix

pour A’ et A

qu’un

réseau

cubique

et le réseau

cubique

centré

correspondant,

lequel

est semblable au réseau de racines

D4.

1.9.

_Proposition.

Un réseau de dimension 5 avec s &#x3E; 15

_possède

5

vecteurs minimaux

_{indépendants.}

En

_effet,

un réseau de dimension r~ 4

possède

au

_plus

s(D4)

= 12

couples

de vecteurs minimaux.

Les démonstrations des théorèmes 1.1 et 1.2

_occupent

les

_§§

2 à

_{5, qui}

sont suivis _par un

paragraphe

de commentaires

justifiant

en

_particulier

_que nous n’avons _pas triché en

employant

de

_façon

cachée des résultats difficiles.

2. PRÉLIMINAIRES.

On utilisera le résultat suivant de Watson _{tant pour} étudier des

_questions

d’indices _{que pour}

_préciser

certaines

_proprétés

des vecteurs minimaux des

réseaux.

2.1.

_Proposition

_(Watson,

_[W]).

Si _{el, ... , en sont n vecteurs}

mini-maux

_{indépendants}

d’un réseau A contenant

_également

un vecteur e =

ajej)

avec avec d d &#x3E; &#x3E; 1 1 et

_d,

_{ai , ... , an}

_.

_{premzers entre} entre euz eux dans leur dans leur en-

en-d

(EZ=l

n Prem

semble,

on a

(¿i

&#x3E; 2d.

Cette

_inégalité

est une

_conséquence

immédiate de l’identité

_ci-dessous,

que nous écrivons dans le cas

_particulier

(auquel

on se ramène

_facilement)

des

_{coefficients ai}

&#x3E; 0 :

qui

montre en _{outre que,} en cas

d’égalité,

le vecteur e - ei est minimal

chaque

fois que ai est non nul.

On considère

_uniquement

des réseaux A de dimension n vérifiant la condition

_(WR)

ci-dessous

_(pour

well

_{rounded) :}

et l’on note alors 11’ un sous-réseau de A

_engendré

_{par n vecteurs} minimaux

indépendants

de

_{A ;}

autrement

_dit,

A’ est un réseau de même norme _que A

vérifiant

_également

la condition

_(WR).

En

_outre,

les calculs

_explicites

de

_produits

scalaires seront

_faits

en

sup-posant

que A

(et

donc aussi

n.’)

est de norme 1. Cette

hypothèse

entraîne en

particulier l’inégalité

lx.yi

2

quels

_que soient _{x, y}

minimaux,

comme on le voit en considérant les minorations

(x 1: y). (x :f: y)

&#x3E; 1.

2.3. Définition. On dit _que A est d’indice au

plus

d si l’on a

[A : A’~

_d,

et d’indice d si cette valeur est atteinte.

Lorsque

d =

2,

on

_peut

écrire A =

(A’,

e)

avec e =

el + + et

pour un

2 entier t convenable.

2.4. Définition. Soit A un réseau d’indice 2. La

_2-longueur

de A est le minimum m des entiers t comme ci-dessus.

On a 4 Ç m _n, la minoration m &#x3E; 4 _provenant du fait _que seul

l’indice 1 est

_possible

en dimension n 3. En _outre, si m =

4,

le _réseau

2.5. Lemme. Avec les notations des

_définitions

2.3 et

_,~.l~,

on a :

(1)

Les vecteurs minimaux de A’ sont des sommes

_ei,

(2)

Il

_n’y

a _pas dans

,5’(~1’)

de doublets contenant ei + _ej et ei - _ej, ni de

triplets

contenant ei + _{ej, ei} + ek et _ej -f- ek.

(3)

Il

_n’y

a _pas dans

S(A’)

de vecteurs avec 1~ &#x3E; 2 à

_support

contenu

_{dans ~ l, ... , ?~}.}

(4)

Les vecteurs de n

_(e

+

_A)

sont de la

_forme

x = _{e -~-}

L

aiei avec

ai E

{0, -1 ~ si i

m _{et ai} e

_{~0, ~ 1 ~}

sinon.

Démonstration.

_{( 1 )}

Un sous-réseau d’indice d de A’ étant d’indice 2d dans

A,

A’ est un réseau d’indice 1. Si x =

Li

aiei est

minimal, chaque

ai est un

déterminant

_{caractéristique.}

On a donc 1 _{pour tout} i .

(2)

De la même

_façon,

la

_présence

dans

_S(A’)

d’un doublet

_(ei

+ _ei +

... ,

+ ... )

ou d’un

triplet

(ei+ej

+ 0, 0_0 ~ ~i + ek

+ ... , e~

+

... )

est _{interdite par les}

_égalités

(3)

Quitte

à _permuter et à

_changer

les

_signes

_{de certains vecteurs e2,} on

peut

supposer que x = 61 -f- + ek est minimal. On _peut alors écrire

e = _ce

qui

contredit la définition de _m.

e =

2

_ce

qui

contredit la définition de _m.

(4)

On écrit x = _avec

b2

= 1 ₊

2ai

ou bi

= Si

bl

(pour

fixer les

_idées)

est non

nul,

on a el = _ce

qui

fait

apparaître

un indice

1 bi

On a donc

1 bi 1 ::;

2 pour tout i . 2.6. Corollaire. Si m =

n,

,S’(1~’)

est réduit à

~en~.

2.7.

_Proposition.

Un réseau de dimension 5 est d’indice 1 ou 2.

Démonstration. On a _q4 = =

21/2

(Section 1),

donc -y5

2 2/3

par

1.4,

d’où

_{[A : l~’J}

_{[2/ J}

=

3,

et

l’inégalité

de Watson

(2.1)

montre que

l’indice 3 est

_impossible.

Dans la

_suite,

on considère un réseau A de dimension 5 et d’indice

_2,

et l’on note el, e2, e3, e4, e5 des vecteurs minimaux

_{indépendants}

de A

en-gendrant

un sous-réseau ~1’ d’indice 2 dans A.

À

similitude

près,

on

_peut

supposer que A de norme 1.

3. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 1.1.

Quitte

à

permuter

les ei, on _{suppose que} A contient le vecteur e

-ei -e2-e3-e4

Les réseaux L’ =

_{(61,62,63,64)}

et L =

(L’, e)

_sont

isométriques

2 ’

respectivement

à

Z4

et au réseau

_cubique

centré

_{correspondant.}

Soit x E L’. On a ::l:x =

e5 + ~ avec y e L’. Par

_permutation

et

_changements

de

_signes

des _ei, on _{peut supposer que x} =

e5 + y et que y est l’un des vecteurs _{el, el} + e2, 61 + e2 + e3, el + e2 + e3 + e4. On doit

ce

_qui

ferait

_apparaître

un indice 2 en dimension 3 ou 2. Si _y =

el + e2, on

peut écrire

ce

_qui

_{entraîne que e3 et e4} sont

_orthogonaux

_{à e5, et que} =

0,

donc =

-1,

d’où,

_vu les

majorations

2 ,

el .e5 =

e2.e5 =

2013~.

Ainsi,

tous les

_produits

_{scalaires ei.ej} sont

_fixés,

ce

_qui

_{prouve que} A

est

_unique

à similitude

_près,

et donc

_parfait.

Comme

_B/2A

est

_engendré

_par

des vecteurs de norme

_2,

c’est un réseau de

_{racines, qui}

ne

_peut

_{être que}

_D5

(et

son identification est immédiate sur les matrices de Gram

_ci-dessous).

Si A n’est _pas semblable à

_D5,

les vecteurs minimaux de

_{S’(l1’) ~}

L’

doivent être de la forme

_~e5

ou

_{±ei ±}

_e5. Mais _ei + e5 et e2 - e5 ne _{sont pas}

minimaux en même

_temps

_{(lemme 2.5),}

non

plus

_{que el} + e5 et e2 + e5, car on aurait alors _{el. e,5 = e2.e5}

= - 2

et _{el + e2 + e5} serait minimal. Il _y a donc

alors au

plus

2

couples

de vecteurs minimaux dans

_{S(A’) ~}

_L’,

et donc au

moins 3 dans

_S(A)

n

_(e

+

_A’).

Mais ce dernier cas se ramène au

_précédent

en considérant le réseau

_Li

=

(e, e2, e3, e4)

et _en écrivant L =

3.1.

_Remarque.

La démonstration

_précédente

fournit 4

_couples

de

vec-teurs minimaux en-dehors de L dans chacune des classes 11’ et e +

A’,

représentés

par e5, el + e5, e2 + e5, el + e2 + e5, e + e5, e - e3 + e5,

e - _e4 + e5 et e - e3 - e4 + e5, et les matrices de Gram suivantes de A’ et

A

_{respectivement}

_après

_remplacement

de e5 par -e5 :

4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 1.2.

Nous considérons maintenant un réseau A de dimension n =

5,

d’indice

_2,

de

_2-longueur

_5,

avec s &#x3E; 15. En

_changeant

éventuellement les

_signes

des

e2, on _{peut supposer que} e lui-même est minimal. Il résulte du corollaire 2.6

que les vecteurs minimaux de A autres que les sont à chercher

parmi

les 16

_couples

_{ei )}

_ek),

_{1 j I~}

5.

4.1. Lemme. Soit s’ le nombre de

_couples

de vecteurs minimaux de A de

la

_forme

e - _{ej -}

ek, i

k. On a s’

6,

et,

si s’ =

6,

_à

permutation

près

des _e2, il

_s’agit

des vecteurs e - _{ej -}

e-k, l, 2, 3,

k =

4, 5.

Démonstration. Pour

_{1 j 5,}

soit

_p(j)

le nombre d’indices k tels que

e - _ek soit minimal

(on

a s’

- ’

soit _{p = ]} on

suppose p =

p(5).

Si

p =

4,

le lemme

2.5, (2) majore s’

par 4. Si p = 2

(resp. 1),

on a évidemment s’

2

(2) -

5

(resp.

s’

2).

Si _p =

3,

_on

_peut

entraîne que les autres vecteurs minimaux de la forme e - ek sont à

chercher

_parmi

les e - _{e4 - e~ .}

4.2. Lemme. A

_possède

exactement trois vecteurs minzrrzaux de la

_forme

e - e2.

Démonstration. Soit s" le nombre de tels vecteurs minimaux. On a s" &#x3E;

N(e - ei)

= 6 -

s",

et entraîne que l’on a s" 4.

Si s"

_{= 4,}

on

_peut

_{supposer que e - el, e - e2, e - e3, e - e4} sont

minimaux,

et que e - _e5 ne l’est _pas, et

_{l’égalité}

_précédente

se réduit à

_{N(e -}

_{e5 )}

_{= 2,}

i.e. e.e5 = o.

Alors,

pour 1 i

4,

on a

N(e -

_{ei -}

e5)

= 2 ₊

2e.e5

_&#x3E;

1,

ce

qui

entraîne tout de suite s’

_4,

et donc s 6 + 4 -f- 4 15.

4.3. Lemme. Le réseau A

_possède

15

_couples

de vecteurs minimaux

_qui,

à

permutation

et

_changements

de

_signes

_près

des ei, peuvent être

_{représentés}

par les

15 _{vecteurs e,}

_{ei (i}

_{5), e - ei (i}

₃₎

=

1, 2, 3, I~

=

4, 5 ) .

Démonstration. Par

_hypothèse,

les ei sont

minimaux,

et l’on a vu

(lemmes

4.2 et

_4.3)

que l’on

peut

faire en sorte que e, e - _e1, e - _e2, e - e3 le soient

aussi.

_Alors,

e - _e4 et e - _e5 ne le _{sont pas,} ce

_{qui impose}

(avec

les notations

du lemme

_{4.1 )}

_que l’on ait s’ &#x3E;

_6,

donc s’ = 6 _{et s} =

15,

et aussi

p -

3,

valeur atteinte sur deux

_{indices j}

dont il reste _{à montrer que} ce

_{sont j =}

4 et

j =

5.

_Sinon,

on aurait _par

_exemple

p( 1 )

=

_3,

_et donc 3 _vecteurs minimaux

e - el - ei, Posons e’ - e - el. On voit alors que les vecteurs

_e’,

e’ -f- el, e’ -

ei, e’ - e’ -

ek sont

_minimaux,

ce

qui

contredit

le lemme 4.2.

L’énoncé suivant achève la démonstration du théorème 1.2 :

4.4. Théorème. Un réseau de dimension

_5,

d’indice

_2,

de

_2-longueur

_5,

avec s &#x3E; 15 est

_parfait

et

_possède

exactement 15-

_couples

de vecteurs

mini-maux. Il est entier et de déterminant lfi2

_lorsqu’on

le normalise au mini-mum 4.

Démonstration.

À

similitude

_près,

on

_peut

_{supposer que} A

possède

_parmi

ses vecteurs minimaux ceux dont la liste

figure

dans le lemme 4.3. On va

montrer que ces conditions fixent les

produits

scalaires ce

_qui

_prouvera

à la fois l’unicité de A à similitude

_près

et sa

_perfection.

Posons x-

=

e.ei. On

a x1 - x2 = ~3 = 2

(car

e, ei et e-e2 sont minimaux

pour i =

1, 2, 3),

et les 6 conditions

_{N(e -}

_{ej -}

_{ek) =}

1

_{pour 1}

=

l, 2, 3

et

k =

4, 5

_entraînent les relations On obtient

X4 + x5 =

1 par

la relation

_{N(e) -}

_1,

_d’où,

_pour i =

l, 2, 3,

ei.e4 -E- eZ.eS X4

-~- x5 -1

21

puis,

par le calcul de les relations e 1. e2 + e 1. e3 =

e2 . e 1 + e2 . e3 = e3-el ~-- e3.e2 =

2 ,

d’où enfin e1.e2 =

e1.e3 =

e2.e3 =

de e . e4 et de e.e5, on obtient e4.e5

= 2 - x4 - 2 -

d’ où finalement

En

_changeant

e4 en _-e4 et _e5 en _-e5, et en

_posant

e’ =

GG2G3 G4 G5 ,

2 1

on obtient

_après

_{multiplication}

_{par 2} les matrices de Gram suivantes de

Le

_système

des valeurs _propres de A est

_{(81, 34).}

On a donc

det(A2) _

23.34

et

_det(B2)

_{= (}

_det(A2)

=

2.3~

= 162.

5. COMMENTAIRES.

Deux

_parties

des travaux de Korkine et Zolotareff consacrés à la classi-fication des réseaux extrêmes de dimension n 5

_comportent

des

démons-trations très

_{longues :}

(1)

L’obtention dans

_[K-Z2]

de

_{l’inégalité}

stricte

~~/2

_{3 ;}

(2)

La classification

_proprement

dite des réseaux de dimension 5 vérifiant les

_hypothèses

du théorème

_{1.1, qui}

_occupe une

_grande

_partie

de

[K-Z3].

Les démonstrations

_simplifiées

des résultats de Korkine et Zolotareff

_qui

sont

_présentés

dans

_[MI,

ch.

_{II, §}

8 et ch.

_VI,

_§§

_2,4

sont dans

_l’esprit

de

celles de

_[K-Z2]

et

_[K-Z3],

et

_occupent

encore

_beaucoup

de

_place.

Watson

_suggère

dans

_[W]

_que ses méthodes devraient

_permettre

de

sim-plifier

les travaux de Korkine -

_Zolotareff,

de Blichfeldt

_([BI],

sur la

con-stante d’Hermite dans les dimensions

_6,

7 et

₈₎

et de Barnes

_([Bar],

sur la

classification des réseaux

_parfaits

de dimension

_6).

La démonstration du théorème _{1.1 que} nous avons donnée ici est

compa-rable _par la taille à celles de

_[K-Z3]

₍₁₉₎

et de

_[M]

_(ch.

_VI,

th.

_4.1).

Il en

est de même de celle du théorème

_1.3,

dont une variante _pour la

dimen-sion 4 consiste _{à remarquer que} l’identité 2.2 de Watson est encore valable

si l’on

_remplace

_{ei par -ei}

_{lorsque ai}

=

2.

On voit alors directement _que

les vecteurs sont minimaux et l’on identifie 1 e réseau

les vecteurs

2

sont minimaux et 1 on identifie le réseau

cubique

centré sans utiliser

l’inégalité

de Hadamard. C’est le

point

de vue

de

_{[C-SI], §}

4.

La

_partie

₍₁₎

est très raccourcie

_grâce

aux

_majorations

d’indices de

Watson,

dont nous avons donné des démonstrations

complètes.

L’inéga-lité de Mordell

_(qui

_figure

du reste dans

_[K-Zl]

pour n =

3)

se démontre

de

_façon

très courte

_(cf.

_[Cas],

Ch.

_{X, §}

_{3 ;}

la démonstration de

_[M],

ch.

_II,

§

3, qui

analyse

les cas

d’égalité,

est de ce fait

_plus

longue).

On aurait pu

aussi se contenter de

_{l’inégalité d’Hermite,}

à condition de modifier en

consé-quence la

proposition

2.7 de

façon

à prouver

l’impossibilité

de l’indice

4,

ce

qui

ne

_présente

_pas non

_plus

de difficulté.

Il est

_surprenant

_que la

_partie

₍₂₎

_puisse

être

_simplifiée

dans de telles

proportions.

On _peut

_invoquer

le fait

_qu’elle

conduit à une

séparation

natu-relle en deux classes

_(celle

de A’ et celle de e +

_A’)

des vecteurs de

_A,

ainsi que la mise en évidence de

_symétries

dans les calculs. De toute

_façon,

ce

procédé

conduit à une caractérisation très

_agréable

des trois réseaux

_parfaits

de dimension 5 :

(1)

~

comme réseau d’indice

_{1 ;}

(2)

D5

comme réseaux d’indice 2 et de

_2-longueur

_{4 ;}

(3)

A5

comme réseaux d’indice 2 et de

_2-longueur

5.

Appelons

rang de

perfection

d’un réseau A la dimension r du

sous-espace de

engendré

par les pz, x E

_{,5’(A) .}

On _{a s &#x3E; r, et} r

"~~ ,

l’égalité

caractérisant les réseaux

_parfaits.

Voronoï

_(cf.

_[M],

ch.

_VII,

&#x3E;

prop.

2.6)

a montré comment on

_peut

déformer un réseau de

façon

à aug-menter l’ensemble S’

_jusqu’à

ce _{que l’on} obtienne un réseau

_parfait.

Un résultat

_{plus précis}

_([M],

ch.

_IX,

th.

_1.9,

₍₄₎₎

est _que l’on

_peut

_{n’augmenter}

r _que d’une unité à

_chaque

_étape,

la différence s - r croissant au sens

_large

avec r.

Il résulte donc du th. 1.3 _que l’on a s = _r

pour n _Ç

_4,

sauf dans le cas

du réseau

D4

pour

lequel

s - r =

2,

et du th. 1.2

_qu’il

en est de _{même pour}

n =

5,

sauf dans le _cas des réseaux

ayant

une section

_hyperplane

de même

norme semblable à

D4 ;

il résulte alors du th. 1.1 que l’on a encore s - r =

_2,

sauf dans le cas du réseau

_D,5,

_pour

_lequel

s - r = 5.

Ainsi,

les "relations de

_perfections"

en dimension n 5

proviennent

toutes

de l’existence des réseaux

_parfaits

D4

et

_D5.

Cette

_propriété

ne subsiste _pas

au-delà : on montre en effet _que, en dimension

_6,

il existe des réseaux

avec s = 12 _{et r} =

11,

évidemment _non

parfaits,

_que l’on

_peut

construire

par le

procédé

de Watson décrit

au §

1 : pour des choix convenables des

produits

scalaires le réseau

_engendré

_{par e 1, ... ,} e6 et e =

possède

les 12

_couples

_{±e~±(e 2013}

de vecteurs

_minimaux,

et on a alors r = 11 _s = 12

([Ml],

_prop.. 3.2 et

appendice).

Signalons

pour terminer une erreur

qui

s’est

glissée

dans

[W]

à propos

de la dimension 6. En

_{appliquant l’inégalité}

de Mordell à la valeur de _q5

déduite de la classification des réseaux

_parfaits

de dimension

_5,

on obtient

[A : A’]

4 _pour n =

6,

et l’on montre facilement

(Watson)

_que

l’égalité

n’a

lieu _{que pour}

_(A,

_{A’) ~}

_(avec

_A/A’

de type

(2, 2) ) .

Pour l’indice

3,

l’affirmation de Watson

_([W],

_p.

_63,

1 could

_{show ...)}

selon

_laquelle

il existe deux classes d’isométrie de réseaux

_parfaits

de dimension 6 et d’indice 3 n’est _{pas correcte :} il y en a

_trois,

à

_savoir,

dans la

_terminologie

de

_[C-Sl],

P6 -

E6,

6 -

1E6

et

_{p6 -}

Cela

_peut

être vérifié

_{informatiquement}

_(Batut)

en utilisant la classification de Barnes des réseaux

_parfaits

de dimension 6.

J’ai écrit

_(respectant

en cela la

"philosophie

de

Watson")

une démonstration

directe et "self-contained" de la classification des réseaux

_parfaits

d’indice 3

ou

_{4, qui}

_occupe environ _{9 pages,}

_trop

_longue

_{pour être}

_{publiée ici,}

et

_qui

demanderait à être

_complétée

_par l’étude de l’indice 2 afin de conduire au

théorème de classification de Barnes sans utiliser ses difficiles calculs fondés sur

_{l’algorithme}

de Voronoï.

BIBLIOGRAPHIE

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[W] G.L. Watson, On the minimum _points of a _{positive quadratic form.} Mathematika 18

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Jacques MARTINET Laboratoire A2X C.N.R.S. - UPRES A5465 Institut _{Mathématiques} Bordeaux 351 cours de la Libération F-33405 Talence Cedex