Équations - Inéquations - Systèmes

(1)

Équations - Inéquations - Systèmes

I Premier degré

Propriétés

Soit f définie sur IR par f(x) = ax + b avec a ≠ 0 .

f est une fonction affine, elle est représentée graphiquement par une droite.

a est le coefficient directeur ; b est l'ordonnée à l'origine.

Équation ax + b = 0

Inéquation ax + b > 0

Inéquation

ax + b < 0 Graphique

Lorsque a > 0

L'équation ax + b = 0 a pour solution

- b a

L'inéquation ax + b > 0 a pour ensemble

de solutions

 

 

- b a ; +∞

L'inéquation ax + b < 0 a pour ensemble

de solutions

 

 

-∞ ; - b a

Lorsque a < 0

L'équation ax + b = 0 a pour solution

- b a

L'inéquation ax + b > 0 a pour ensemble

de solutions

 

 

-∞ ; - b a

L'inéquation ax + b < 0 a pour ensemble

de solutions

 

 

- b a ; +∞

Le signe de ax + b est donné par le tableau :

x -∞ - b

a +∞

signe de

ax + b signe de - a 0 signe de a

Exemple 1

Résolution graphique de l'inéquation 2x + 3 > 0 .

On trace la droite représentant la fonction f définie par f(x) = 2x + 3 L'ordonnée à l'origine est 3, le coefficient directeur 2.

La droite est au-dessus de l'axe Ox lorsque ∈

 

 

- 3 2 ; +∞ . On en déduit que l'inéquation 2x + 3 > 0 a pour ensemble de solutions

 

 

- 3 2 ; +∞ .

b - b

a

b - b

a

- 32

-3 -2 -1 O 1 2 3

-2 -1 1 2 3 4 5

(2)

Exemple 2

Résolution de l'inéquation 3x - 5 > 0 . On peut écrire :

3x - 5 > 0 ⇔ 3x > 5 ⇔ x > 5

3 ⇔ x ∈

 

 

53 ; +∞

L'inéquation 3x - 5 > 0 a pour ensemble de solutions

 

 

53 ; +∞ .

Exemple 3

Résolution de l'inéquation -2x - 7 £ 0 . On peut écrire :

-2x - 7 £ 0 ⇔ -2x £ 7 ⇔ x ³ 7

-2 (lorsqu'on divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité) ⇔ x ∈

 

- 72 ; +∞

L'inéquation -2x - 7 £ 0 a pour ensemble de solutions

 

- 72 ; +∞ .

Exercice 01

(voir réponses et correction) Résoudre les équations :

a) 3x + 1 = 0 b) -2x - 3 = 0

c) 5x + 3 = 8 d) -x + 4 = 2x - 7

Exercice 02

(voir réponses et correction) Résoudre les inéquations :

a) 3x + 1 > 0 b) -2x - 3 £ 0

c) 5x + 3 < 8 d) -x + 4 ³ 2x - 7

Exercice 03

(voir réponses et correction)

Représenter graphiquement les fonctions f et g définies sur IR par : f(x) = 3 - x et g(x) = 1 2 x + 3

2 En déduire les solutions de :

a) 3 - x ³ 0 b) 1

2 x + 3 2 < 0 c) 3 - x = 1

2 x + 3

2 d) 3 - x £ 1

2 x + 3 2

Exercice 04

En utilisant un tableau de signes, déterminer le signe de f(x) = x - 1 (3 + x)(3 - x)

37

35 ; f(π)

Exercice 06

Déterminer suivant les valeurs de x, le signe de x³ - 4x .

(3)

II Second degré

Propriétés

Soit définie sur IR par f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 .

f est une fonction trinôme du second degré, elle est représentée graphiquement par une parabole.

Son discriminant ∆ est : ∆ = b² - 4ac Équation

ax² + bx + c = 0 Factorisation

Inéquation ax² + bx + c > 0

Inéquation

ax² + bx + c < 0 Graphique

Si a > 0 L'inéquation ax² + bx + c > 0 a pour ensemble

de solutions l'ensemble IR.

Si a > 0 L'inéquation ax² + bx + c < 0 n'a pas de solutions

dans IR.

Lorsque

∆ < 0

L'équation ax² + bx + c = 0

n'a pas de solution dans IR.

Le trinôme ax² + bx + c ne se factorise

pas.

Si a < 0 L'inéquation ax² + bx + c > 0 n'a pas de solutions

dans IR.

Si a < 0 L'inéquation ax² + bx + c < 0 a pour ensemble

de solutions l'ensemble IR.

de solutions l'ensemble IR

privé de x₀ .

Si a > 0 L'inéquation ax² + bx + c < 0 n'a pas de solutions

dans IR.

Lorsque

∆ = 0

L'équation ax² + bx + c = 0

a une solution (double) dans IR.

Cette solution est x₀ = - b

2a Le trinôme ax² + bx + c se factorise : a(x - x₀)²

Si a < 0 L'inéquation ax² + bx + c > 0 n'a pas de solutions

dans IR.

de solutions l'ensemble IR

privé de x₀ .

de solutions ]-∞;x₁[∪]x₂;+∞[

Si a > 0 L'inéquation ax² + bx + c < 0 a pour ensemble

de solutions ]x₁ ; x₂[ Lorsque

∆ > 0

L'équation ax² + bx + c = 0 a deux solutions

distinctes dans IR.

Ces solutions sont x₁ = -b - ∆

2a et x₂ = -b + ∆

2a Le trinôme ax² + bx + c se factorise : a(x - x₁)(x - x₂)

Si a < 0 L'inéquation ax² + bx + c > 0 a pour ensemble

de solutions ]x₂ ; x₁[

de solutions ]-∞;x₂[∪]x₁;+∞[

x₀

x₁ x₂

x₂ x₁

∆ < 0 a > 0

∆ < 0 a < 0

∆ = 0 a > 0

∆ = 0 a < 0

∆ > 0 a > 0

∆ > 0 a < 0

(4)

Remarque

Le signe du trinôme est donné par :

x -∞ +∞

signe de

ax² + bx + c signe de a

x -∞ x₀ +∞

signe de

ax² + bx + c signe de a 0 signe de a

x -∞ x₁ x₂ +∞

signe de

ax² + bx + c signe de a signe de -a signe de a

Remarque

Le sommet de la parabole représentant la fonction f(x) = ax² + bx + c avec ≠ 0 a pour abscisse x₀ = - b

2a (c'est la valeur pour laquelle la dérivée de f s'annule) et pour ordonnée y = f(x₀) .

Exemple

Résolution de l'inéquation x² - 6x + 6 ³ 0

x² - 6x + 6 étant un trinôme du second degré, on peut chercher son discriminant :

∆ = 36 - 4 ^x 1 x 6 = 12 , on a ∆ > 0, donc le trinôme x² - 6x + 6 a deux racines : x₁ = 6 - 12

2 = 6 - 2 3

2 = 3 - 3 et x₂ = 3 + 3

On peut alors donner donner le signe du trinôme dans le tableau :

x -∞ 3 - 3 3 + 3 +∞

signe de

x² - 6x + 6 + 0 - 0 +

On en déduit que l'inéquation x² - 6x + 6 ³ 0 a pour ensemble de solution : ]-∞ ; 3- 3] ∪ [3+ 3 ; +∞[

Ce résultat est confirmé par le graphique représentant la fonction f définie sur IR par f(x) = x² - 6x + 6 On constate que la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses pour x ∈ ]-∞;x₁]∪[x₂;+∞[

Lorsque ∆ < 0

Lorsque ∆ = 0

Lorsque ∆ > 0

x₁ x₂

(5)

Exercice 07

(voir réponses et correction) Résoudre les équations suivantes :

x² + 2x - 3 = 0 3x² + 21x + 30 = 0 2x² - x + 1 = 0

-x² + 5x - 6 = 0 -3x² + x = - 5 x² - 5x = 0

Exercice 08

(voir réponses et correction) Résoudre les inéquations suivantes :

12x² - 12x + 3 > 0 2x² + 3x + 1 ³ 0 x² - 3x - 7 < 0

-2x² + 3x - 5

3 £ 0 3x² + 1

2 x < 4 -x² < 2x - 3 2

Exercice 09

Soit fdéfinie sur IR par f(x) = 2x² + 3x - 5

Tracer, en la justifiant, la représentation graphique de f.

Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) ³ 0 , puis retrouver les résultats par le calcul.

Exercice 10

Une petite entreprise assemble des ordinateurs. Pour des raisons de matériel et de personnel l'entreprise ne peut pas assembler plus de 350 ordinateurs par mois.

On suppose que l'entreprise, lorsqu'elle assemble et vend x ordinateurs réalise un bénéfice exprimé en euros par : B(x) = -x² + 300x - 12500 (Lorsque B(x) est négatif, il s'agit d'une perte)

Déterminer pour quelles fabrications l'entreprise travaillera à perte.

Déterminer le nombre d'ordinateurs qui procurera un bénéfice maximal et calculer ce bénéfice.

Exercice 11

On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = (x - 1)(x² + 3x + 3)

Résoudre l'équation f(x) = 0. Donner suivant les valeurs de x, le signe de f(x).

Exercice 12

On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = (2 - x)(2x² - 5x + 1) Résoudre l'équation f(x) = 0. Donner suivant les valeurs de x, le signe de f(x).

Exercice 13

On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = -x³ + 8x² -13x + 2

1°) En utilisant une calculatrice graphique ou un g rapheur, représenter la courbe de f .

2°) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 et donner un encadrement d'amplitude 0,1 de chacune des solutions.

3°) Montrer que pour tout réel x : f(x) = (x - 2)(-x² + 6x - 1)

4°) En déduire les valeurs exactes des solutions de l'équation f(x) = 0.

Exercice 14

1°) Représenter graphiquement les fonctions f et g définies sur IR par : f(x) = x² + 3x + 1 et g(x) = -2x² - 4x + 3

On justifiera le tracé des représentations graphiques.

En déduire graphiquement les solutions de l'inéquation f(x) £ g(x) 2°) Résoudre l'inéquation f(x) £ g(x)

Exercice 15

On donne ci-contre la courbe représentative de la fonction f définie sur [-1 ; 1] par f(x) = x³

Tracer sur le même dessin la représentation graphique de la fonction g définie sur [-1 ; 1] par g(x) = 1

3 x - 1 6 x²

Trouver graphiquement les solutions de l'équation f(x) = g(x) Retrouver ces solutions par le calcul.

(6)

III Systèmes de deux équations à deux inconnues

Remarque

Une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a;b) ≠ (0;0) correspond toujours à une équation de droite.

• Si b ≠ 0, on peut écrire y = - a b x - c

b . Il s'agit d'une droite oblique ou horizontale (parallèle à Ox).

• Si b = 0, alors on a a ≠ 0 et on peut écrire x = - c

a . Il s'agit d'une droite verticale (parallèle à Oy).

Propriété

On considère le système _^^ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0

Soit D la droite d'équation ax + by + c = 0 et D' la droite d'équation a'x + b'y + c' = 0 . On appelle déterminant du système le nombre : ∆ = ab' - ba' .

Ensemble des solutions du

système Graphique

Lorsque

∆ ≠ 0

Le système a un couple de solutions unique

(x₀ ; y₀)

Les droites D et D' sont sécantes

Le système n'a pas de solution.

Les droites D et D' sont strictement parallèles

Lorsque

∆ = 0

Le système a une infinité de solutions :

Tous les couples (x ; y) de coordonnées des points de D

(et de D') sont solutions.

Les droites D et D' sont confondues x₀

x x

y

y y₀

(7)

Résolution par la méthode de substitution

On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans l'autre équation.

Exemple



x + 3y - 17 = 0

7x - 2y - 4 = 0 ⇔ _^^x = - 3y + 17

7(- 3y + 17) - 2y - 4 = 0 ⇔ _^^x = - 3y + 17

- 21y + 119 - 2y - 4 = 0 ⇔ _^^x = - 3y + 17

- 23y + 115 = 0 ⇔

 



x = - 3y + 17 y = 115

23 ⇔ _^^x = - 3y + 17

y = 5 ⇔ _^^x = - 3 x 5 + 17

y = 5 ⇔ _^^x = 2 y = 5 Le système a pour solution unique le couple (2 ; 5)

Résolution par la méthode de combinaison linéaire

On multiplie les équations par des constantes, puis en faisant la somme ou la différence, on fait disparaître une inconnue.

Exemple



x + 3y - 17 = 0

7x - 2y - 4 = 0 ⇔

(7L₁→ L₁) _^^7x + 21y - 119 = 0 7x - 2y - 4 = 0 ⇔

(L₁ - L₂→ L₂) _^^7x + 21y - 119 = 0 23y - 115 = 0

⇔

 



x + 3y - 17 = 0 y = 115

23 ⇔ _^^x + 3y - 17 = 0

y = 5 ⇔ _^^x + 15 - 17 = 0

y = 5 ⇔ _^^x = 2 y = 5 Le système a pour solution unique le couple (2 ; 5)

Exercice 16

(voir réponses et correction) Résoudre chacun des systèmes :



x + y = 0

2x - y + 21 = 0 ^^

4x - y - 1 = 0

2x + 3y - 11 = 0 ^^

2y + 5z = -9 y + 7z = -12



 3 x + y - 2 = 0

3x + 3 y + 1 = 0 ^^

2x - 3y - 11 = 0

x + y + 2 = 0

  

¹

2 x + 1

3 y - 1 = 0 3x + 2y - 6 = 0

Exercice 17

Pour chacun des sytèmes, indiquer s'il a une solution unique, puis le résoudre.



x + y = 2790

3x + 4y = 0 ;

 



2x - y = 426 3

4 x - y = 1 ; y - x = 19

12x + 8y = 852 ; _^^8x + 5y = 5580 5x + 5y = 4260

Exercice 18

(voir réponses et correction) On considère le système : _^^3x - 2y = 8

5x + 3y = 7

Représenter graphiquement ce système et déterminer à partir de ce graphique l'ensemble de ses solutions.

Exercice 19

Un jardinier a dépensé 42,60 euros pour des jacinthes à 0,60 euro l'une et des tulipes à 0,40 euro l'une.

Il y a 19 tulipes de plus que de jacinthes..

Déterminer le nombre de jacinthes et le nombre de tulipes achetées.

Exercice 20

Lors d'un spectacle on a vendu des places à 16 euros (tarif plein) et des places à 10 euros (tarif réduit).

Il y a eu 852 spectateurs pour une recette de 11160 euros.

Déterminer le nombre de places à tarif plein et le nombre de places à tarif réduit.

(7L₁→ L₁)

signifie que la ligne 1 a été multipliée par 7 (L₁ - L₂→ L₂)

signifie que la ligne 2 a été remplacée par la différence entre

la ligne 1 et la ligne 2

(8)

IV Systèmes d'ordre supérieur à 2

Résolution par la méthode de Gauss

En multipliant les équations par des constantes, puis en faisant la somme ou la différence, on fait disparaître une inconnue à chaque ligne.

Exemple

Résolution du système

 



2x + y - z = 0 x + y - 2z = -8 x - 3y - z = 1

L'équation de la première ligne est notée L₁, celle de la deuxième ligne est notée L₂ etc....

 



^{x = 3}

y = -1 z = 5 Le système a donc pour solution unique le triplet ( 3 ; -1 ; 5).

Remarque

Cette méthode peut être utilisée à la condition suivante :

À chaque étape une ligne doit être remplacée par une combinaison de lignes la faisant intervenir.

Par exemple on ne peut remplacer L₁ que par une combinaison faisant intervenir L₁. On peut donc remplacer L₁ par 2L₁ - L₂ , mais on ne peut pas remplacer L₁ par 2L₂ - L₃.

Exercice 21

Exercice 22

En utilisant la méthode de Gauss, résoudre chacun des systèmes suivants :



 

x + y + z + t = 10 x - y + z - t = -2

-x - y + z + t = 4 ;



 

2x + y - z = 3 x - z = 1 y + 2t = -11

(L₃+ 7L₂→ L₃)

signifie que la ligne 3 a été remplacée par la somme de la ligne 3 et de la ligne 2

multipliée par 7

(9)

V Systèmes d'inéquations - Programmation linéaire

Exemple : Système d'inéquations

On considère le système d'inéquations :

 



y £ -2x - 1 y ³ 1

2 x - 2

• On trace la droite d₁ d'équation y = -2x - 1

Les solutions de l'inéquation y £ -2x - 1 sont les coordonnées (x ; y) des points M se trouvant au- dessous de la droite d₁. On hachure sur le dessin le demi-plan qui ne convient pas.

• On trace la droite d₂ d'équation y = 1 2 x - 2 Les solutions de l'inéquation y ³ 1

2 x - 2 sont les coordonnées (x ; y) des points M se trouvant au-dessus de la droite d₂. On hachure sur le dessin le demi-plan qui ne convient pas.

L'ensemble S des solutions du sytème est alors l'ensemble des couples (x ; y) correspondant aux coordonnées des points M se trouvant dans la partie non hachurée.

Exercice 23

Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de chacun des systèmes suivants :



 

^{y £ 1}₂^{x + 1}

y ³ - 2

3 x + 2 ; _^^x - 2y + 2 ³ 0

2x + 3y - 6³ 0 ;

 



x + y - 1 £ 0 2x + 2y + 3 ³ 0 -2 £ x £ 2

Exercice 24

On considère le système

 



x + y - 1 £ 0 x - 2y - 3 < 0 2x + y + 2 ³ 0

Les couples (1 ; -1) ; (1 ; 1) ; (-1 ; 1) sont-ils des solutions du système ? Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de ce système.

d₁

d₂

(10)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

P

Q Exemple : Programmation linéaire

Un artisan fabrique deux types de jouets en bois notés A et B.

Un jouet A nécessite 1

2 heure de travail et 3 kg de bois.

Un jouet B nécessite 1 heure de travail et 2 kg de bois.

L'artisan dispose quotidiennement de 22 kg de bois, il travaille au plus 8 heures par jour et limite sa production quotidienne de jouets A à 7 unités.

On désigne par x et y les nombres respectifs de jouets A et B fabriqués par jour.

Les contraintes peuvent s'écrire sous la forme d'un système (S) d'inéquations portant sur x et sur y.

• Contrainte sur la production :

L'artisan limite sa production quotidienne de jouets A à 7 unités, on doit donc avoir : x £ 7 . De plus les nombres x et y sont des entiers positifs.

• Contrainte sur le bois

L'artisan dispose quotidiennement de 22 kg de bois.

Pour chaque jouet A, il utilise 3 kg de bois. Lorsqu'il fabrique x jouets A, il utilise 3x kg de bois.

Pour chaque jouet B, il utilise 2 kg de bois. Lorsqu'il fabrique y jouets B, il utilise 2y kg de bois.

La fabrication de x jouets A et y jouets B utilise donc 3x + 2y kg de bois.

La contrainte sur le bois se traduit donc par : 3x + 2y £ 22

• Contrainte sur le temps de travail

L'artisan travaille au plus 8 heures par jour.

Pour chaque jouet A, il travaille 1

2 heure . Lorsqu'il fabrique x jouets A, il travaille 1

2 x heures.

Pour chaque jouet B, il travaille 1 heure. Lorsqu'il fabrique y jouets B, il travaille y heures.

La fabrication de x jouets A et y jouets B utilise donc 1

2 x + y heures de travail.

La contrainte sur le temps de travail se traduit donc par : 1

2 x + y £ 8

L'ensemble des contraintes se traduit alors par le système



 

^{x ³ 0}^{x £ 7}

y ³ 0

3x + 2y £ 22 1

2 x + y £ 8 La représentation graphique

de l'ensemble des solutions de ce système est la partie S non hachurée sur le dessin ci-contre.

Remarque :

Le point P de coordonnées (4 ; 3) se trouve dans l'ensemble des solutions.

Cela signifie que la fabrication de 4 jouets A et de 3 jouets B est une fabrication qui respecte les contraintes.

Le point Q de coordonnées (6 ; 4) ne se trouve pas dans

l'ensemble des solutions.

Cela signifie que la fabrication de 6 jouets A et de 4 jouets B est une fabrication qui ne respecte pas les contraintes.

(11)

Exercice 25

Donner un système d'inéquations caractérisant l'ensemble non hachuré sur le dessin ci-contre.

Exercice 26

Une entreprise embauche des commerciaux, les uns sous contrat A travaillant 35h et payés 550 euros par semaine, les autres sous contrat B travaillant 20h et payés 220 euros par semaine.

Le chef d'entreprise peut embaucher au plus 8 personnes sous contrat A et 15 personnes sous contrat B.

Chaque semaine il dispose d'un budget de 5060 euros et 370h de travail, au moins, doivent être effectuées.

On note x le nombre de personnes embauchées sous contrat A et y le nombre de personnes embauchées sous contrat B. Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations.

Pour satisfaire ses besoins, l'entreprise peut-elle embaucher :

• 7 personnes en contrat A et 7 personnes en contrat B ?

Exercice 27

L'office du tourisme d'une ville décide de renouveler le mobilier d'un jardin public. Pour cela, il est nécessaire d'acheter au moins 39 tables de pique-nique, 40 bancs publics et 108 poubelles.

Les deux fournisseurs contactés proposent chacun un type de lot :

Lot Tables Bancs Poubelles Coût d'un lot

(en euros)

Lot A 1 3 4 350

Lot B 3 2 6 600

On cherche à déterminer le nombre x de lots A et le nombre y de lots B à acheter pour que la dépense soit minimale.

1°) Traduire les contraintes sous la forme d'un sys tème d'inéquations portant sur x et y .

2°) A tout couple (x ; y) de nombres réels, on associe le point M de coordonnées (x ; y) dans un repère orthonormal (O;^→i,^→j) . On prendra 0,5cm pour unité graphique.

Déterminer graphiquement l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système obtenu à la question précédente.

Hachurer la partie du plan qui ne convient pas.

3°) a) Exprimer en fonction de x et y la dépense d occasionnée par l'achat de x lots A et de y lots B.

b) Les couples (x ; y) correspondant à une dépense d donnée sont les coordonnées des points d'une droite ∆_d dont on donnera l'équation sous la forme y = ax + b.

c) Représenter graphiquement la droite ∆_d dans le cas particulier où d = 15000.

4°) a) Déterminer à l'aide du graphique le nombre d e lots de chaque type à acheter pour obtenir une dépense minimale d_m ; calculer cette dépense d_m .

b) L'office du tourisme dispose d'une somme de 11000 euros. Peut-il réaliser cet achat ? Déterminer graphiquement un couple (x ; y) correspondant à une dépense de 11000 euros.