CycledeBraytondansunecentrale THERMODYNAMIQUE

PCSI 1 - Stanislas Devoir Maison N ^◦ 8 - 14/05/14 A. MARTIN

THERMODYNAMIQUE

Cycle de Brayton dans une centrale

Les centrales nucléaires de la génération 6 prévues vers les années 2030 devront être sûres et présenter un rendement important. Une option étudiée est le réacteur à très haute température refroidi à l’hélium.

Ce type de réacteur offrirait l’avantage d’améliorer l’efficacité de la conversion énergétique, compte tenu de la température élevée de la source chaude et de permettre en sus la production d’hydrogène. Dans ces installations de forte puissance, on utilise le cycle de Brayton pour extraire le travail et produire de l’électricité.

Le gaz utilisé dans la centrale est l’hélium. Dans l’ensemble du problème, il sera considéré comme un gaz parfait monoatomique.

On donne la constante des gaz parfaits R = 8, 314 J.K ⁻¹ .mol ⁻¹ .

L’indice m sera utilisé pour désigner les grandeurs molaires des grandeurs extensives associées.

L’hélium circule dans l’installation ci-dessus. Il échange du travail avec l’extérieur dans le compresseur et la turbine. Le travail fourni par le passage du gaz dans la turbine sert d’une part à faire fonctionner le compresseur (turbine et compresseur montés sur le même axe) et d’autre part à fabriquer de l’électricité.

Les transferts thermiques ont lieu dans des échangeurs. L’hélium y décrit le cycle de Brayton , constitué de deux transformations isobares et de deux transformations isentropiques :

— compression adiabatique réversible du point 1 avec une température T ₁ = 300 K et une pression p ₁ = 20.10 ⁵ Pa vers le point 2 à la pression p ₂ = 80.10 ⁵ Pa,

— détente isobare quasistatique du point 2 vers le point 3 à la température T 3 = 1300 K,

— détente adiabatique réversible de 3 vers 4 (des pressions p ₃ = p ₂ à p ₄ = p ₁ ),

— compression isobare quasistatique de 4 vers 1.

Préliminaires.

1. Rappeler l’expression de l’énergie interne pour l’hélium (considéré ici comme un gaz parfait mono- atomique). En déduire les expressions des capacités thermiques molaires à volume constant (C _V,m ) et à pression constante C _p,m .

2. Montrer que pour les transformations adiabatiques réversibles de l’hélium, la relation entre tem- pérature T et pression p peut se mettre sous la forme :

T

p ^β = constante Exprimer β en fonction de γ = _C ^C

V,m

puis faire l’application numérique.

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Étude du cycle.

On notera r _p le rapport de pressions entre la sortie et l’entrée du compresseur : r _p = p ₂

p ₁

3. Déterminer les températures T 2 et T 4 . Effectuer l’application numérique.

4. Tracer le cycle de Brayton dans un diagramme de Clapeyron p = f (V m ), où V m désigne le volume molaire. Préciser l’équation des courbes correspondant aux différentes transformations.

Déterminer l’expression du rapport des volumes molaires dans les états 3 et 1 : ^V _V

m1

. Faire l’appli- cation numérique.

Rendement.

5. Lors des transformations 1 → 2 et 3 → 4, une quantité de n moles d’hélium qui s’écoule dans le circuit échange du travail avec l’intérieur du circuit et avec l’extérieur. En effet, elle reçoit d’une part du travail des forces de pression en amont et en aval (intérieur au circuit), ce qui lui permet de s’écouler. Mais elle échange aussi des travaux avec les parties mobiles du moteur (pâles du compresseur et de la turbine), appelés travaux utiles W u , qui sont récupérés à l’extérieur. Par un raisonnement semblable à celui de la détente de Joule-Thomson , on montre alors que le premier principe entre deux états A et B du cycle s’écrit à l’aide de l’enthalpie H sous la forme :

∆H = W _u + Q où Q désigne le transfert thermique reçu par l’hélium.

Exprimer les travaux utiles molaires W u, 12, m et W u, 34, m lors des transformations isentropiques 1 → 2 et 3 → 4. On donnera le résultat en fonction de β, R, T 1 ou T 3 , et du rapport de pressions r _p .

Faire l’application numérique.

6. Exprimer les transferts thermiques molaires reçus Q _{23, m} et Q _{41, m} lors des transformations isobares 2 → 3 et 4 → 1, en fonction de β , R, T 1 , T 3 et r p .

Faire l’application numérique.

7. L’hélium n’échange aucun travail utile avec l’extérieur durant les transformations 2 → 3 et 4 → 1.

Définir alors le rendement η du moteur considéré ici et montrer qu’il se met sous la forme : η = 1 − 1

r p ^β

Calculer numériquement ce rendement.

8. Comparer le rendement de ce dispositif au rendement de Carnot , qu’on notera η C , et qu’on éta- blira en fonction des deux températures extrêmes du cycles.

Cycle de Brayton avec régénérateur

La température à la sortie de la turbine étant plus élevée que la température du gaz comprimé à la sortie du compresseur, une partie de l’énergie du gaz sortant de la turbine peut être cédée (en recourant à un régénérateur, également appelé récupérateur de chaleur) au gaz en allant vers l’échangeur chaud et ainsi améliorer le rendement du cycle de Brayton .

On suppose que les transferts thermiques associés au régénérateur sont internes.

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Dans le cycle, nous rajoutons deux lettre x et y afin d’isoler la partie échangée dans le régénérateur. Le cycle est donc composé, comme indiqué sur la figure ci-dessus :

— compression adiabatique réversible du point 1 vers le point 2,

— détente isobare du point 2 vers le point x dans le régénérateur, puis du point x au point 3 en contact avec le thermostat chaud,

— détente adiabatique réversible du point 3 vers le point 4,

— compression isobare du point 4 vers le point y dans le régénérateur, puis du point y au point 1 en contact avec le thermostat froid.

En supposant le régénérateur parfait, on a les liens suivants en température : T _x = T ₄ et T _y = T ₂ . 9. Calculer algébriquement les transferts thermiques molaires Q x3, m et Q y1, m provenant des thermo-

stats. L’application numérique n’est pas demandée.

10. En déduire le rendement et le mettre sous la forme : η = 1 − T ₁

T ₃ r ^β _p Effectuer l’application numérique.

11. Pour quelle valeur de r _p (notée r _pe ) le rendement avec régénérateur est-il égal au rendement sans régénérateur ?

Vérifier alors que T 2 = T 4 , ce qui veut dire que le régénérateur ne joue plus aucun rôle.

Calculer numériquement r _pe dans ce cas.

12. Expliquer vers quelle valeur devrait tendre r _p pour atteindre le rendement de Carnot avec le cycle à régénérateur. Pour y parvenir, on utilise un étagement de la compression et de la détente conduisant au cycle d’ Ericsson ...

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