HAL Id: tel-00204047
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00204047
Submitted on 11 Jan 2008
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
triple en électromouillage
Claire Scheid
To cite this version:
Claire Scheid. Analyse théorique et numérique au voisinage du point triple en électromouillage. Math- ématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2007. Français. �tel-00204047�
présentée devant
l'Université Joseph Fourier de Grenoble
par
Claire Sheid
pour obtenirle titre de :
Doteur de l'Université Joseph Fourier de Grenoble
Spéialité: Mathématiques Appliquées
Analyse théorique et numérique
au voisinage du point triple
en életromouillage
Date de soutenane :25 Otobre 2007
Composition du jury :
M. Eri Bonnetier Président
M. Patrik Ciarlet Rapporteur
M. Antoine Henrot Rapporteur
M. Bruno Berge Examinateur
M. Patrik Witomski Examinateur
Préparée ausein du laboratoireJean Kuntzmann
Je souhaite en premier lieu remerier Patrik Witomski, Professeur à l'Uni-
versité Joseph Fourier, quim'a enadrée auours de es trois années. Malgré un
emploi du temps souvent hargé, il m'a onsaré un temps onséquent et pré-
ieux. Ses onseilstoujourstrès avisés,saapaité àtrouverlesmots justes dans
les périodes de doute ont su me pousser et me motiver. Il s'est montré patient,
pédagogue et m'a permis d'apprendre à meonstruire un hemin dans le monde
de la reherhe.
JeremeriePatrikCiarlet,Enseignant-herheuràl'ENSTA,etAntoineHen-
rot,Professeuràl'IECN,d'avoiraeptéde rapportersur etravailde thèse.Par
nos disussions et sa leture minutieuse du manusrit, Patrik Ciarlet m'a per-
mis d'améliorer grandement e travail. Les suggestions, ommentaires et l'aide
d'Antoine Henrot a permis d'ouvrir des perspetives très intéressantes pour ap-
profondire travail.
Je remerie Bruno Berge, Professeur à l'ENS de Lyon, à l'origine de l'éle-
tromouillage, d'avoir aepté d'être membre de mon jury de thèse. Sa ulture
physique sur leproblème est pour moiessentielle pour étoer e travail.
Je remerie enn Eri Bonnetier, Professeur à l'Université Joseph Fourier,
dont l'inroyable ulture mathématique m'a toujours impressionnée, de m'avoir
faitl'honneur de présider ette thèse.
Le bureau 56 restera pour moiun endroit très haleureux malgré la relative
irrespirabilitéde l'été, le froid des hivers et nos attaques inessantes de la faune
environnante(mouhes, guêpes, punaises...).Jesuistrès heureused'avoirpupar-
tager e grand bureau ave Claire pendant es trois années. Nos disussions et
pausestellementbienvenues ontété pourmoidesplusbénéquessur montravail.
L'arrivée de Florian puis Innoent a ensuite rempli lesdeux plaes restées vides
pour amener enoreun peu plus de vie etde haleur àet endroit.
Meri àtous lesmembres du laboratoireave quij'ai pu avoird'intéressantes
disussions, mathématiques ouautres : Carine, Irène, Elise, Elie,Ange, Thomas
et bien d'autres enore que je ne ite pas mais que je n'oublieque sur le papier.
Un grandmeri également àtout le personnel administratifdu laboratoireet de
l'éoledotoralepour saompétene, son eaité et sagentillesse.
Ces trois ans sur Grenoble n'auraient pas été lesmêmes sans Boris, Hadrien,
Sandrine,Vinent,Mélanie,Olga,Jos,Jan-Paul,Cyrille,Valentina,Giovanni,Jé-
rémy,Malika,Samuel,Mihel, Maxime,Niolas,Benjamin...Que esoitauours
de bons repas, autour d'un jeu ou lors d'une de nos belles randonnées, j'ai pu
grâe àeux passer des momentsabsolumentinoubliables.
Je n'oublie pas non plus toute ma famille et belle-famille pour leur éternel
soutienau ours de es trois années... etde toutes lesautres bien sûr!
EnnunénormemeriàChristophepourm'avoirsupportéedurantesannées
et pour son soutien inestimable. Sapatiene, sa ompréhension, sa gentillesse et
ses onseilsdes plus perspiaes m'ontmenée aubout de e projet.
Introdution 9
1 Modélisation de l'életromouilage 15
1.1 Le problème d'életromouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Mouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 Eletromouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Desription du problème mathématique . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Lepotentieléletrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 L'énergie de la goutte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 La reherhe de formes optimales, dérivation de forme . . . . . . . 23
1.3.1 Domainesadmissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Notion de dérivée diretionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Condition néessaire d'optimalité . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Dérivation de l'énergiepar rapportà laforme . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Dérivéesdesénergiesgravitationnelle,apillaireetduterme de ontraintede volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Dérivée de l'énergie életrostatique . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Formulation de la ondition néessaire d'optimalité . . . . . . . . 30
1.6 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Le as axisymétrique 31 2.1 Passage en axisymétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Lesnotations axisymétriques. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Leproblème donnant le potentiel . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Etude de larégularité du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Cas d'un domaine2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Leas 3D axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Appliationànotre problème . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Expressionde lafontionoûtetde laonditionnéessaire
d'optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Caluldes diérentes ontributions . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.3 Valeurde l'anglede mouillage . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Approximation numérique : Approhe optimisation de forme et traitement des singularités 61 3.1 Prinipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2 Aspet général des approximations . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.3 Miseen oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Premièreapproximation du potentiel par éléments nis . . . . . . 70
3.2.1 Miseen ÷uvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.2 Résultatsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Introdution des singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.1 Miseen ÷uvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.2 Résultatsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.3 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 LaMéthode du Complément Singulier . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4.1 Prinipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4.2 Le problème de transmission ave onditions de Dirihlet homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.3 Traitement numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.4 Appliationauproblème d'életromouillage . . . . . . . . 101
3.4.5 Résultatsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4 Une approximation double éhelle 107 4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Unpointde vuephysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.2 Bilandes fores extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.3 Retour auas 3D axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4 Erituredel'équationenutilisantlaonditionnéessaired'optimalité114 4.4.1 Condition néessaire d'optimalité . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4.2 Etude du terme életrostatique . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.3 Etude du terme d'interfae liquide-gaz . . . . . . . . . . . 122
4.4.5 Etude du terme de ontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4.6 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5 Eriture du modèle ontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5.2 Notationset dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5.3 Prinipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.6 Aspets théoriques sur leséquations diérentielles ordinaires: Les solutions ausens de Carathéodory. . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.6.1 Dénitiondes solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6.2 Théorème d'existene etd'uniité . . . . . . . . . . . . . . 130
4.7 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.7.1 Choix pour l'algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.7.2 Algorithmede résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.7.3 Etude de la onstrutibilitéde l'algorithme . . . . . . . . . 133
4.8 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5 Résultats numériques 147 5.1 Mise en oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.1.1 Intégration numériquede l'équationdiérentielle ordinaire 147 5.1.2 Vériationdes onditions de onstrutibilitéde l'algorithme150 5.1.3 Choix des onditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2 Résultats numériques :analyse et omparaison . . . . . . . . . . . 157
5.2.1 Forme auvoisinage du point triple et valeur numérique de laourbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.2.2 Valeur de l'anglede mouillagenumérique . . . . . . . . . . 161
5.2.3 Retourà la physique du problème . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6 Etude théorique de l'angle de ontat dans le modèle tridimen- sionnel 171 6.1 Prinipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.1 Ledomaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.2 Expressiondesopérateursdiérentielsdanslesoordonnées (s, ρ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3 Expression des hampsde déformations . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.3.1 Formegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.3.2 Unhampde veteur partiulier . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4 Etudedes ontributions apillaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.4.1 Terme sur ΓLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.4.2 Leterme sur ΓLG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.5 Leterme életrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.5.1 Etude du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.5.2 Etude de la ontributionéletrostatique . . . . . . . . . . 193
6.5.3 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.6 Une généralisation à des oeients de tension superielle non onstants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.7 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Conlusion 199
Bibliographie 204
Table des gures 205
Suivantla surfae sur laquelleest posée une gouttede liquide,elle-i adopte
diérentes formes (gure 1).
Fig.1 Diérentes situations de mouillage: plastique,eur, feuille
L'étude de l'étalement d'un liquide sur un solide (ou un liquide) est appelée
mouillage.
Cephénomèneestétroitementreliéàlaapillaritéquiestl'étudedesinterfaes
entre deux liquides non misibles ou entre un liquide et l'air. On trouvera une
exellente étude de la apillaritéet du mouillagedans [dGBWQ02℄.
La forme qu'adopte une goutte de liquide déposée sur un solide dépend de
la nature du matériau sur lequel elle est posée, mais aussi de la nature de la
goutte elle même (eau, huile...). Une goutte d'eau est plus étalée lorsqu'elle a
plusd'anitéave lesolidesur lequelelleestposée(matériauplutthydrophile),
et moins étalée dans le as ontraire (matériau plutt hydrophobe). Ainsi une
goutted'eau s'étale sur du verre propremais pas sur du plastique (gure 2).
Réussir à ontrler le mouillage d'un liquide sur un solide est un objetif
naturelet quiprésente beauoup d'intérêtsau niveau industriel.
ApartirdestravauxdeGabrielLippmannenéletroapillarité(1875,[Lip75℄),
BrunoBerge([Ber93℄, [BP00℄)aeul'idée d'observerl'eet de l'introdutiond'un
hamp életrique dans une situationde mouillage d'un liquide sur un solide iso-
lant: 'est l'expériene d'életromouillage.
Il a montré qu'ave e proessus on peut augmenter l'anité entre le liquide
Fig. 2 Surfae hydrophobe (gauhe)/hydrophile(droite)
isolant goutte d’eau Tension
Tension nulle
Tension appliquée non nulle
contre électrode
Fig. 3 Expériene d'életromouillage : Une goutte d'eau est plaée dans l'air
sur une surfae isolante. Une tensionest appliquéeau systèmeentre lagoutte et
une ontre-életrode métallique plaée sous l'isolant. La goutte s'érase sous le
fait du hamp életrostatique.
Cephénomèneestaujourd'huiàlabasedenombreuses appliationsdontnous
allons faireun inventaire non exhaustif.
Unedespremièresappliationsindustriellesaétédéveloppée parBrunoBerge
lui-même.Siononsidèrelagoutted'eauommeunelentilleoptique,l'appliation
du potentieléletrostatiquemodiantson anitéave lesolide,modiesaforme
et don sa foale. Créée en 2002 par Bruno Berge, l'entreprise Variopti (voir
le site de la soiété : http ://www.variopti.om/en/) développe des lentilles à
foalesvariablessur e prinipe.Ceproédé présentebeauoup d'avantagespuis-
qu'ilpermetderéerdeslentillesdetailletrèspetite,deoûtdefabriationréduit
et dont on peut faire varier la foale très rapidement([BP00℄). Ces lentillessont
maintenant destinées aux marhés des améras numériques miniatures dans les
Fig. 4 Lentilles liquides ommerialisées par Variopti,
http ://www.variopti.om.
Une autre appliation de l'életromouillage onsiste à remarquer qu'on peut
nonseulementontrlerlemouillaged'unegouttexe,maisquel'onpeut deplus
fairebougerla goutte.
Ce proédé est développé en mirouidique, ar il est possible d'agir sur des
gouttesde taillemirosopique.
Parexemplelatehniqued'életromouillageestintégréedansles"laboratoires
sur pues"("labonahip").Ce sontdes puespermettantde retrouverlesteh-
niques d'analyses de laboratoires, mais à des éhelles bien inférieures à eux-i.
Les"laboratoiressur pues"permettentainsi deréaliserrapidementdesanalyses
biologiques et des opérations omplexes sur de très petites quantités d'éhan-
tillons (séparation des onstituants, analyse rapide de l'éhantillon à l'aide d'un
ordinateur).Cei favorise ainsi lediagnosti au hevet du malade.
Beauoup d'expérimentateurs s'intéressent maintenant au développement de
es "lab on a hip" mais aussi au développement de miropues ("mirohip")
dans lesquelles on déplae une goutte de taille mirosopique. On peut iter de
façonnon exhaustive les équipes du LETIdu CEA de Grenoble (Y.Fouillet, site
duLETI:http://www-leti.ea.fr/),duLEGIdeGrenoble (L.Davoust),del'Uni-
versité de Californie Los Angeles (R.Garell), de l'Université de Twente au Pays
Bas (F.Mugele), tous travaillantdans e domaine.
On est également apable de déplaer des gouttes marosopique de l'ordre
du mm. La gure 5 représente le transport d'un embryon de poisson zèbre par
életromouillage par le groupe de R.Garell de l'Université de Californie de Los
Angeles.
On peut enn iter l'utilisation de ette tehnique pour les pixels pour pa-
pier életronique ([HF03, RCHFS04℄ et[Pap ℄) ainsi qu'une tehnique d'ahage
digital (destiné aux baladeurs etmobiles) réemment développée par Liquavista
