Obtention du diplôme de Magister en Mathématiques. Estimation Empirique De La Mesure Spectrale Des Risques Financiers.

Obtention du diplôme de Magister en Mathématiques. Estimation Empirique De La Mesure Spectrale Des Risques Financiers.

UNIVERSITE MOHAMED KHIDER BISKRA

Faculté des Sciences Exactes et Sciences de la Nature et de la Vie Département de Mathématiques

Thème

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de Magister en Mathématiques

Par OUAAR Fatima Jeudi le 06/05/2010.

Estimation Empirique De La Mesure Spectrale Des Risques Financiers

Soutenance

(Proba/Stat).

Introduction et Motivation.

Plan De L'exposé Plan de l'exposé Plan de l'exposé

Plan De L'exposé

Plan De L'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

Plan De L'exposé

Plan De L'exposé

Plan De L'exposé

Plan De L'exposé Plan de l'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

Plan De L'exposé

Plan De L'exposé

Plan De L'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

Plan Du Travail

Plan Du Travail

Plan Du Travail

Plan De L'exposé

Plan De L'exposé

Plan De L'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

Plan De L'exposé

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Plan De L'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

Plan De L'exposé

Plan De L'exposé

Plan De L'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

1 Concepts des MSRs.

Plan De L'exposé

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Plan De L'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

1 Concepts des MSRs.

2 Cohérence des MSRs.

Plan De L'exposé

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Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

1 Concepts des MSRs.

2 Cohérence des MSRs.

3 L’ES Comme Exemple des MSRs.

Plan De L'exposé

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Plan De L'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

1 Concepts des MSRs.

2 Cohérence des MSRs.

3 L’ES Comme Exemple des MSRs.

3 Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable.

Plan De L'exposé

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Plan De L'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

1 Concepts des MSRs.

2 Cohérence des MSRs.

3 L’ES Comme Exemple des MSRs.

3 Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable.

1 Distributions des Valeurs Extrêmes.

Plan De L'exposé

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Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

1 Concepts des MSRs.

2 Cohérence des MSRs.

3 L’ES Comme Exemple des MSRs.

3 Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable.

1 Distributions des Valeurs Extrêmes.

2 Modélisation avec les Lois Stables.

Plan De L'exposé

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Plan De L'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

1 Concepts des MSRs.

2 Cohérence des MSRs.

3 L’ES Comme Exemple des MSRs.

3 Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable.

1 Distributions des Valeurs Extrêmes.

2 Modélisation avec les Lois Stables.

4 Estimation Empirique des MSRs.

Plan De L'exposé

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Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

1 Concepts des MSRs.

2 Cohérence des MSRs.

3 L’ES Comme Exemple des MSRs.

3 Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable.

1 Distributions des Valeurs Extrêmes.

2 Modélisation avec les Lois Stables.

4 Estimation Empirique des MSRs.

1 Estimation Classique Des MSRs.

Plan De L'exposé

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Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

1 Concepts des MSRs.

2 Cohérence des MSRs.

3 L’ES Comme Exemple des MSRs.

3 Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable.

1 Distributions des Valeurs Extrêmes.

2 Modélisation avec les Lois Stables.

4 Estimation Empirique des MSRs.

1 Estimation Classique Des MSRs.

2 Utilisation des L-functionals.

Plan De L'exposé

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Plan De L'exposé Plan de l'exposé

Introduction et Motivation.

1 Mesures des Risques Extrêmes en Finance.

1 VaR comme Mesure de Risque.

2 Axiomes de Cohérence.

3 L’ES Comme Mesure Alternative du VaR.

2 Mesures Spectrales des Risques Financiers.

1 Concepts des MSRs.

2 Cohérence des MSRs.

3 L’ES Comme Exemple des MSRs.

3 Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable.

1 Distributions des Valeurs Extrêmes.

2 Modélisation avec les Lois Stables.

4 Estimation Empirique des MSRs.

1 Estimation Classique Des MSRs.

2 Utilisation des L-functionals.

3 Définition de l’Estimateur Empirique.

Plan De L'exposé

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Introduction et Motivation

Qu’est ce qu’un risque financier ?

Introduction et Motivation

Qu’est ce qu’un risque financier ? Pour quoi mesurer le risque ?

Introduction et Motivation

Qu’est ce qu’un risque financier ? Pour quoi mesurer le risque ?

Nécissité d’intégrer des mesures de risque dans la gestion financière ?

Introduction et Motivation

Qu’est ce qu’un risque financier ? Pour quoi mesurer le risque ?

Nécissité d’intégrer des mesures de risque dans la gestion financière ?

Pourquoi choisirons-nous la classe des Mesures Spectrales Des Risques Financiers ?

Introduction et Motivation

Qu’est ce qu’un risque financier ? Pour quoi mesurer le risque ?

Nécissité d’intégrer des mesures de risque dans la gestion financière ?

Pourquoi choisirons-nous la classe des Mesures Spectrales Des Risques Financiers ?

Comment trouver un estimateur asymptotiquement normal de cette classe pour les distributions a queues lourdes ?

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

Definition (Mesure de Risque)

Une mesure de risque est une application : ρ: F !^R

X !^ρ(X)

censée à quantifier le risque porté par la v.a.Xdéfinie sur (^Ω,F^,P).

Pour chaque mesure de risque, il faut spécifier trois paramètres essentiels :

Définition ( Mesure De Risque)

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

Definition (Mesure de Risque)

Une mesure de risque est une application : ρ: F !^R

X !^ρ(X)

censée à quantifier le risque porté par la v.a.Xdéfinie sur (^Ω,F^,P).

Pour chaque mesure de risque, il faut spécifier trois paramètres essentiels :

X L’horizon de modélisation.

Définition ( Mesure De Risque)

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

Definition (Mesure de Risque)

Une mesure de risque est une application : ρ: F !^R

X !^ρ(X)

censée à quantifier le risque porté par la v.a.Xdéfinie sur (^Ω,F^,P).

Pour chaque mesure de risque, il faut spécifier trois paramètres essentiels :

X L’horizon de modélisation.

X Le seuil de confiance.

Définition ( Mesure De Risque)

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

Definition (Mesure de Risque)

Une mesure de risque est une application : ρ: F !^R

X !^ρ(X)

censée à quantifier le risque porté par la v.a.Xdéfinie sur (^Ω,F^,P).

Pour chaque mesure de risque, il faut spécifier trois paramètres essentiels :

X L’horizon de modélisation.

X Le seuil de confiance.

X La variable financière à modéliser.

Définition ( Mesure De Risque)

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

VaR comme Mesure de Risque

Après la publication du document technique deRiskMetricsen 1994, parJPMorgan. Une définition qui est souvent utilisée pour VaRest la suivante :

Definition (La VaR) Pour un risqueXsur une période donnée[0,T]et 0<_α<_{1, laVaRest :}

VaR(X) =F (1 α)

FIG.:LaVaR.

Fig 1.

Définition

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

Axiomes de Cohérence

C’est en réponse aux lacunes deVaRqu’en 1997,Artzner et al.

(1999)proposent les axiomes de cohérence : Definition (Axiomes de Cohérence)

Une mesure du risqueρ:F !^Rest cohérente si elle vérifiée (X,Y2 F):

1 La sous additivité :ρ(X+Y) ρ(X) +ρ(Y). Définition (Axiomes de Cohérences)

Définition (Axiomes de Cohérences)Définition (Axiomes de Cohérences)Définition (Axiomes de Cohérences)Définition (Axiomes de Cohérences)Définition (Axiomes de Cohérences)Définition (Axiomes de Cohérences)

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

Axiomes de Cohérence

C’est en réponse aux lacunes deVaRqu’en 1997,Artzner et al.

(1999)proposent les axiomes de cohérence : Definition (Axiomes de Cohérence)

Une mesure du risqueρ:F !^Rest cohérente si elle vérifiée (X,Y2 F):

1 La sous additivité :ρ(X+Y) ρ(X) +ρ(Y).

2 L’homogénéité positive :ρ(λX) λρ(X) pour tout λ2^R+.

Définition (Axiomes de Cohérences)

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

Axiomes de Cohérence

C’est en réponse aux lacunes deVaRqu’en 1997,Artzner et al.

(1999)proposent les axiomes de cohérence : Definition (Axiomes de Cohérence)

Une mesure du risqueρ:F !^Rest cohérente si elle vérifiée (X,Y2 F):

1 La sous additivité :ρ(X+Y) ρ(X) +ρ(Y).

2 L’homogénéité positive :ρ(λX) λρ(X) pour tout λ2^R+.

3 La monotonie :ρ(X) ρ(Y) pour X Y.

Définition (Axiomes de Cohérences)

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

Axiomes de Cohérence

C’est en réponse aux lacunes deVaRqu’en 1997,Artzner et al.

(1999)proposent les axiomes de cohérence : Definition (Axiomes de Cohérence)

Une mesure du risqueρ:F !^Rest cohérente si elle vérifiée (X,Y2 F):

1 La sous additivité :ρ(X+Y) ρ(X) +ρ(Y).

2 L’homogénéité positive :ρ(λX) λρ(X) pour tout λ2^R+.

3 La monotonie :ρ(X) ρ(Y) pour X Y.

4 L’invariace par translation :ρ(X+c) ρ(X) c pour tout c2 ^R.

Définition (Axiomes de Cohérences)

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

L’ES Comme Mesure Alternative du VaR

Des travaux récents d’Artzner et all (1999), D. Tasche (2002)etC.

Acerbi (2002) montrent les propriétés d’ES: Elle tient compte du risque de queue.

Definition (L’ES)

L’ESest déterminée par un seul paramètre qui est le quantile de la distribution au-delà duquel on effectue la moyenne des pertes :

ES(X) = ¹

1 α

Z _α

0 VaRpdp= ¹

1 α

Z _α

0 F_x (p)dp

= La perte moyenne de (1 α) mauvais cas.

Définition (L'ES)

Mesures des Risques Extrêmes en Finance

L’ES Comme Mesure Alternative du VaR

Des travaux récents d’Artzner et all (1999), D. Tasche (2002)etC.

Acerbi (2002) montrent les propriétés d’ES: Elle tient compte du risque de queue.

Démontre la propriété du sous additivité qui assure sa cohérence.

Definition (L’ES)

L’ESest déterminée par un seul paramètre qui est le quantile de la distribution au-delà duquel on effectue la moyenne des pertes :

ES(X) = ¹

1 α

Z _α

0 VaRpdp= ¹

1 α

Z _α

0 F_x (p)dp

= La perte moyenne de (1 α) mauvais cas.

Définition (L'ES)

Mesures Spectrales des Risques Financiers

Concepts des MSRs

Definition (MSR)

Soit, un spectre admissibleφ2 L¹([0, 1]), la mesure de risque : Mφ(X) =

Z ₁

0 F_X (p)φ(p)dp, s’appelle laMSRproduite parφ.

X _F

X (p)est la fonction de quantile pour un niveau de probabilitép.

X _φs’appelle la fonction d’aversion de risque (pondération de quantile).

Example

L’ESest uneMSRavec une fonction d’aversion φ(p) = ₁¹_α1[0,α](p).

Définition (MSRs)

Exemple

Mesures Spectrales des Risques Financiers

Cohérence des MSRs

Theorem (Cohérence des MSRs)

Toute MSR est une mesure de risque cohérente. Réciproquement, si la mesure Mφdéfinie par :

Mφ(X) =

Z ₁

0 φ(p)F_X (p)dp pourφ2 L¹([0, 1]), est une mesure cohérente, alorsφest un spectre admissible.

La cohérence desMSRsvient des hypothèses faites sur le spectreφ. Si une hypothèse est détendu, la mesure n’est plus cohérente.

Théorème

Mesures Spectrales des Risques Financiers

L’ES Comme Exemple des MSRs

L’ESest la plus simple desMSRsdans son expression. Elle correspond à un spectre constant sur une partie[0, 1]et valant 0 partout ailleurs.

L’allure du spectre d’ES.

Fig 2.

Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable

Distributions des Valeurs Extrêmes

Theorem (Maximum domaine d’attraction)

Si(X1, ...,Xn)un échantillon de v.a. i.i.d., s’il existe deux suites réels an>_0,dn 2R, et une fonction de distribution G non dégénérée tels que :

Mn dn

cn

L!^{G pour n}!^∞,

alors G doit être une distribution standard des valeurs extrêmes. i.e.

Fⁿ(cnx+dn) ^L!^G(x).

! Il s’avère que seulement quelques distributionsG peuvent être considérées comme distribution asymptotique de limite du maximum normalisé Mn. Elles sont désignées sous le nom des

"Distributions Standard des Valeurs Extrêmes".

Théorème (Fisher et Tippett (1928), Gnedenko (1943))

Standard des Valeurs Extrêmes".

"Distribution

Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable

Distributions des Valeurs Extrêmes

Gest forcément d’une des trois formes suivantes :

Fréchet :

Φ_α(x) = ^{0 ,x 0} exp( x^α) ,x>₀ Weibull :

Ψ_α(x) = ^expf ( x^α)g^{,x 0} 1 ,x>₀ Gumbel :

Λ(x) =exp( e ^x) ,x2^R.

FIG.:Fonctions de distribution extrèmes.

Fig 3.

ll

Extrêmes".

Densités des distributions

Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable

Modélisation avec les Lois Stables

Example (Stabilité)

Les v.a.X₁, ...,X_nsont indépendantes et symétriquement stables avec le même exposant caractéristiqueαsi et seulement si pour n’importe quelles constantesa₁, ...,a_nla combinaison linéaire

∑ⁿ_i=1a_iX_i est également une distribution stable.

Propriété (Stabilité)

Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable

Modélisation avec les Lois Stables

Example (Queues lourdes des données financières) SoitXune v.a. avec une fonction de distributionFqui appartient à la familleS_α(β,σ,µ)alors :

G(x):=Pr(j^Xj ^x) =F(x) F( x), x2 ^R pour α>_1.

Gchange régulièrement avec l’index de queueαet satisfait une condition d’équilibre de queue sachant

limt!∞f^{1 G}(tx)g^/f^{1 G}(t)g=x ^αpour toutx>_{0, et}

tlim!∞

1 F(t)

1 G(t) =p et lim

t!∞

F( t)

1 G(t) =1 p=:q.

Propriété (Queues lourdes des données financières)

Valeurs Extrêmes en Finance et Modélisation Stable

Modélisation avec les Lois Stables

Definition (MDA des loisα stable) On dit queFappartient au MDA d’une loi stable avec l’index de stabilité 0<_α<2 ; notation :F2^D(α); s’ils existent deux suites réellesAn>_{0 etCn} tels que :

A_n¹

n

∑

i=1

Xt Cn

!

D!

n!^∞Sα(β,σ,µ), oùSα(β,σ,µ)est une distribution stable avec les paramètres 0<_{α 2,}

1 β +1,σ>_{0 et} ∞<_µ<+^∞.

FIG.:Modélisation avec les lois stables

Fig. 4 Définition

Estimation Empirique des MSRs

Estimation Classique Des MSRs

Soit(X1, ...,Xn)un échantillon de taillen 1 pour la v.a.X avec fonction de distributionF; l’estimateur de

l’échantillonM(φ)est : Mˆ n(φ):=

Z ₁

0 F_n (s)φ(s)ds, 0<_{s 1, (1)} tel queF_n (s)est la fonction empirique des quantiles correspondantes au fonction de distribution empirique.

Estimation Empirique des MSRs

Estimation Classique Des MSRs

Soit(X1, ...,Xn)un échantillon de taillen 1 pour la v.a.X avec fonction de distributionF; l’estimateur de

l’échantillonM(φ)est : Mˆ n(φ):=

Z ₁

0 F_n (s)φ(s)ds, 0<_{s 1, (1)} tel queF_n (s)est la fonction empirique des quantiles correspondantes au fonction de distribution empirique.

Il est claire que ˆMn(φ)peut être réécrite comme : Mˆ n(φ) =

n

∑

i=1

φ_i,nX_i,n, (2) tel queφ_i,n:=Ri/n

(i 1)/nφ(s)ds;i=1, ...,netX1,n, ...,Xn,n

représente les statistiques d’ordre associées à l’échantillon (X1, ...,Xn).

Estimation Empirique des MSRs

Estimation Classique Des MSRs

Le premier théorème général sur la normalité asymptotique de ˆMn(φ)est établie parChernoff et al.

(1967). Donc, nous avons :

pn Mˆn(φ) M(φ) _n!^D!_∞N ^0,σ2(φ) , (3)

sachant que : σ²(φ):=

Z ₁

0

Z ₁

0 (min(s,t) st)φ(s)φ(t)dF (s)dF (t)<∞. (4)

Estimation Empirique des MSRs

Estimation Classique Des MSRs

Le premier théorème général sur la normalité asymptotique de ˆMn(φ)est établie parChernoff et al.

(1967). Donc, nous avons :

pn Mˆn(φ) M(φ) _n!^D!_∞N ^0,σ2(φ) , (3)

sachant que : σ²(φ):=

Z ₁

0

Z ₁

0 (min(s,t) st)φ(s)φ(t)dF (s)dF (t)<∞. (4)

Cette condition n’est plus applicable pour la classe des distributionsFayant des variances infini.

Estimation Empirique des MSRs

Utilisation des L-functionals

Definition (L-functionals)

SoitXune v.a. réelle avec la fonction de distributionF; Les L-functionals correspondant sont définis par :

L(J):=

Z ₁

0 F (s)J(s)ds,

oùF (s):=inff^x2^R:F(x) sg^{, 0}<_s 1 ; est la fonction de quantile associée aF, etJune fonction mesurable definie sur [0, 1].

Remarquons que lesL-functionals sont des Mesures Spectrales des Risques Financiers.

Estimation Empirique des MSRs

Utilisation des L-functionals

Des travaux récents pour lesL-functionals :

X Necir, A., Rassoul, A., Zitikis, R., 2010. Estimating the Conditional Tail Expectation in the Case of Heavy-Tailed Losses. Journal of Probability and Statistics.

X Necir, A., Meraghni, D., 2010. Estimating

L-functionals for Heavy-Tailed Distributions and Applications. Journal of Probability and Statistics

Estimation Empirique des MSRs

Utilisation des L-functionals

Pour les besoins d’application, les hypothèses de régularité sur la fonctionJsont nécessaires :

(H1) Jest différentiable sur(0, 1). (H2) λ:=lims#⁰J(1 s)/J(s)<_∞.

(H3) Les deux fonctionsJ(s)etJ(1 s)sont à variations régulières au voisinage de zéro avec un indice communβ2^R.

(H4) Il existe une fonctiona(.)ne change pas de signe proche de zéro tel que :

limt#⁰ J(xt)/J(t) x^β /a(t) =x^βx^ω 1

ω , pour toutx>_0, oùω 0 est le paramètre de seconde ordre.

Estimation Empirique des MSRs

Définition de l’Estimateur Empirique

ConsidéronsF2^D(α)(σ²(φ)est infinie) et 0 <_α<2 et soient k=^knet`=`_ndes suites des nombres entiers satisfaits :

1<k<n, 1< ` <n, k!∞, `!∞, k/n!0, `_/n!0, (5)

avec la condition additionnelle :

`_/k!^θ< _{∞ quand} n!∞. (6) D’abord, nous devons noter lorsque 1+β 1/α>0 et lorsque tous les deux ˆαLet ˆαRsont des estimateurs consistants deα, nous prenons pour toutngrand :

Pr(1+β 1/ ˆα^L>₀) = Pr(1+1+β 1/ ˆα^R>₀) (7)

= 1+^o(1).

Estimation Empirique des MSRs

Définition de l’Estimateur Empirique

Observons maintenant queM φ` peut être diviser en trois intégrales comme suit :

M φ` =

Z ₁

0 F<sub>φ`</sub><sup>1</sup>(s)φ<sup>`</sup> (s)ds

=

Z _k/n

0 F<sub>φ`</sub><sup>1</sup>(s)φ<sup>`</sup>(s)ds+

Z ₁+`_/n

k/n F<sub>φ`</sub><sup>1</sup>(s)φ<sup>`</sup> (s)ds +

Z ₁

1+`<sub>/n</sub>F<sub>φ`</sub>¹(s)φ^`(s)ds

: = [ML,n+MM,n+MR,n]. (8)

Estimation Empirique des MSRs

Définition de l’Estimateur Empirique

Utilisons : N _Fˆ

L (s)et ˆF_R (1 s)les estimateurs de Weissman pourF (1 s)etF (s)respectivement.

N _{αˆLet ˆαR}les deux formes de l’estimateur de Hill (1975)pour l’index de stabilitéα.

Nous pouvons estimaterML,n,MR,netMM,nrespectivement par :

MˆL,n := (k/n)φ^` (k/n)

1+β 1/ ˆαLXk,n, (9) Mˆ R,n := (`<sub>/n</sub>)φ<sup>`</sup> (1 `_/n)

1+β 1/ ˆα_R Xn `<sub>,n</sub>, (10) MˆM,n := R<sub>1</sub>+`_/n

k/n φ` (s)F (s)dt= ⁿ

`

∑

i=k+1

φ`_iXi,n. (11)

Estimation Empirique des MSRs

Définition de l’Estimateur Empirique

Alors, la formule définitive de notre estimateur est :

Mˆ k,` φ` =(k/n)φ^` (k/n)

1+β 1/ ˆαLXk,n+ ⁿ

`

∑

i=k+1

φ`<sub>i,n</sub>Xi,n+(`_/n)φ<sup>`</sup> (1 `_/n) 1+β 1/ ˆαR Xn `_,n

Un estimateur universel deM(φ)peut se résumer par :

Mˆ_n φ` =M<sup>ˆ</sup><sub>k,</sub>` φ` 1f<sup>σ2</sup>(<sup>φ`</sup>)^=∞g+M^ˆ n φ` 1f<sup>σ2</sup>(<sup>φ`</sup>)^<∞g^{. (12)} Où ˆMn φ` est l’estimateur classique.

Estimation Empirique des MSRs

Définition de l’Estimateur Empirique

Theorem (La normalité asymptotique)

Supposons que F2^D(α)avec0<_α<2. Pour toute fonction mesurableφ` satisfaisant les hypothèses(H1) (H4)avec l’index α2^{R tel que1/2}<_{1/α β}<_1,et pour toutes suites d’entiers k et

`<sub>tel que :1</sub><<sub>k</sub><<sub>n,1</sub>< ` <_{n, k}!^∞,`!^{∞, k/n}!^0,

`<sub>/n</sub>!0,`_/k!^θ <∞etp

ka(k/n)A(k/n) !0, quand n!^∞, nous avons :

pn Mˆk,` φ` M φ` /σn φ` ! N^{D 0,σ2}0 , quand n!^∞, avec

σ²₀ = σ²₀(α,β):= (αβ+1) (2αβ+2 α) 2α²+ (βα 1)²+2α(βα 1)

2((1+β)α 1)⁴ + ¹ (1+β)α 1

! +1.

Théorème

Conclusion

Ces résultats permettent alors :

X De construire d’une manière efficace un intervalle de confiance permettrait à des directeurs de risque d’évaluer mieux la qualité de l’analytique

rapporté de risque.

X Nous avons montré la praticabilité desMSRsqui possèdent des propriétés théoriquement

intéressantes et utile pour mesurer le risque : - La cohérence.

- Elle sont basées sur la fonction d’aversion au risque.au lieu de l’intervalle de confiance.

- La non négativité des poids des MSRset leur normalisation.

"Merci Pour Votre Attention"

Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J. M., Heath, D., 1999.

Coherent measures of risk. Mathematical Finance 9, 203–228.

Acerbi, C., Nordio, C., Sirtori, C., 2008. Expected Shortfall as a Tool for Financial Risk Management. Abaxbank, Corso Monforte 34, 20122 Milano Italy.

Acerbi, C., Tasche, D., 2001. Expected shortfall : A natural alternative to value at risk. Economic Notes 31, 379–388.

Acerbi, C., Tasche, D., 2001. On the coherence of Expected Shortfall.

Charpentier, A., 2007. Estimating quantiles and related risk measures. Seminaire du GREMAQ, univ-rennes1.

Liste Des Références

Liste Des Références

Liste Des Références

Liste Des Références Liste des références

Jones, B., Empirical estimation of risk measure values and parameters. Department of Statistical and Actuarial Sciences University of Western Ontario.

Jones, B.L., Zitikis, R., 2003. Empirical estimation of risk measures and related quantities. North American Actuarial Journal 7, 44–54. Series in Statistics, Springer.

Jones, B. L., Zitikis, R., 2005. Testing for the order of risk measures : an application of L-statistics in actuarial science.

International Journal of Statistics, vol. LXIII, n. 2, pp.

193-211.

Meraghni, D., 2008. Modelling distribution tails. A Thesis Presented For The Degree of Doctor of Sciences, University of Mohamed Kheider, Biskra, Algeria.

Liste Des Références Liste des références

Necir, A., 2006. A Nonparametric Sequential Test with Power 1 for the Mean of Lévy-stable Laws with Infinite Variance. Springer Science + Business Media, LLC.

Sordo, M.A., 2008. Characterizations of classes of risk measures by dispersive orders. Insurance : Mathematics and Economics 42 1028–1034.

Samorodnitsky, G. Taqqu, M.S., 1994. Stable non-Gaussian random processes : stochastic models with infinite

variance. Chapman & Hall, New York.

Liste Des Références Liste des références

Wang, S.S., 2000. A Class of Distortion Operators for Pricing Financial and Insurance Risks. Journal of Risk and Insurance 167(1), 15–36.

Wang, S.S., 1998. An Actuarial Index of the Right-Tail Risk.

North American Actuarial Journal 2(2) : 88–101.

Wang, Y., Chen, Z., 2008. Two side coherent risk measures and their application in realistic portfolio optimization Wirch, J.L. Hardy, M.R., Ordering of Risk Measures for Capital Adequacy.

Suluck, P., Mokkhavesa, S., Pratabjai N., 2008. Value-at-Risk and Expected Shortfall under Extreme Value Theory.

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