e3a Mathématiques PC 2020 — Énoncé 1/4
SESSION 2020 PC8M
!
! ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!
MATHÉMATIQUES
Jeudi 7 mai : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.!
! RAPPEL DES CONSIGNES
! Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
! Ne pas utiliser de correcteur.
! Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
"
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.
Téléchargé gratuitement surDoc-Solus.fr.
e3a Mathématiques PC 2020 — Énoncé 2/4
Exercice 1.
Soienta∈Ret la matriceMa=
1 a 0
0 0 1 0 1 0
.
1. Pour quelles valeurs du réelala matriceMaest-elle diagonalisable ? 2. Pour quelles valeurs du réelala matriceMaest-elle inversible ?
3. Montrer que lorsqu’elle n’est pas diagonalisable,Maest semblable à la matrice
−1 0 0
0 1 1
0 0 1
.
Exercice 2.
Soientxun réel positif ou nul etϕxla fonction qui à un réelt∈R
+, associeϕx(t)= e−t 1+xt. On pose alors, pour toutx>0,f(x)=
Z +∞
0
ϕx(t) dt.
1. Justifier que la fonctionf est bien définie surR
+. 2. Déterminer le sens de variation de la fonction fsurR
+. On pourra comparerf(x) et f(y) pour deux élémentsxetydeR
+tels quex<y.
3. Limite def en l’infini
3.1. Démontrer que la suite (f(n))n∈Nconverge vers une limiteℓ.
3.2. Déterminer la valeur deℓ.
3.3. En déduire lim
x→+∞f(x).
Téléchargé gratuitement surDoc-Solus.fr.
e3a Mathématiques PC 2020 — Énoncé 3/4
Exercice 3.
Onconsidère la suite (an)n∈Ndéfinie para0=1 et la relation de récurrence :
∀n∈N, an+1= 1 n+1
n
X
k=0
ak n−k+2.
1. En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que :∀n∈N, 0<an61.
2. On considère la série entièreX
n>0
anxn. Justifier que son rayon de convergence est supérieur ou égal à 1.
Pourx∈]−1,1 [, on pose f(x)= X+∞
n=0
anxn. 3.
3.1. Déterminer le rayon de convergence de la série entièreX
n>0
xn n+2. 3.2. Déterminer l’ensemble réel de définition de la fonctionx7→
X+∞
n=0
xn n+2. 3.3. On pose, lorsque cela est possible,
X+∞
n=0
anxn
X+∞
n=0
xn n+2
= X+∞
n=0
wnxn, produit de Cauchy réel des deux sériesX
n>0
anxnetX
n>0
xn n+2.
Justifier que le rayon de convergence de la série entièreX
n>0
wnxnest supérieur ou égal à 1 et donner pour tout entier natureln, une expression dewnà l’aide de la suite (an).
3.4. En déduire que l’on a pour toutx∈]−1,1 [,f′(x)=f(x) X+∞
n=0
xn n+2.
4. Démontrer alors que pour toutx∈[ 0,1 [, ln(f(x))=
+∞
X
n=0
xn+1 (n+1)(n+2).
5. En déduire, pour toutx∈[ 0,1 [, une expression def(x) à l’aide de fonctions usuelles.
On utilisera sans le redémontrer que l’on a : 1
(n+1)(n+2) = 1 n+1− 1
n+2. 6. Justifier que la sérieX
n>0
an
2nconverge et calculer sa somme.
Téléchargé gratuitement surDoc-Solus.fr.
e3a Mathématiques PC 2020 — Énoncé 4/4
Exercice 4.
1. Soientnun entier naturel supérieur ou égal à 2 etM∈Mn(R),M,InetM,1
2In, vérifiant la relation :
2M2=3M−In.
1.1. On noteF=Vect(In,M,M2). Prouver que∀k∈N,Mk∈F.
Déterminer la dimension deFet en donner une base.
1.2. Vérifier queFest stable pour la multiplication des matrices.
1.3. SoientA=M−InetB=M−1 2In.
Justifier queB=(A,B) constitue une base deF.
Déterminer les composantes des matricesAB,BA,A2etB2dans la baseB. 1.4. Déterminer toutes les matricesTdeFvérifiant :T2=M.
2. SoitXune variable aléatoire réelle telle que l’on a :
X(Ω)=Net∀n∈N, 2P(X=n+2)=3P(X=n+1)−P(X=n).
2.1. On notepn=P(X=n). Exprimerpnen fonction den.
En déduire la loi de la variable aléatoireX.
2.2. Justifier que la variable aléatoireXpossède une espérance et une variance et les calculer.
Exercice 5.
Dans cet exercice,Edésigne l’espace vectorielR2[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et à coefficients réels etB=(1,X,X2) sa base canonique.
Pour tout couple (P,Q) d’éléments deE, on pose :
< P|Q >= P(1)Q(1)+P′(1)Q′(1)+P′′(1)Q′′(1).
1. Vérifier que l’on définit ainsi un produit scalaire surE.
2. Déterminer une base orthonormale deEpour ce produit scalaire.
3. Déterminer la distance du polynômeU=X2−4 àR1[X].
4. SoitHl’ensemble des polynômesPdeEtels queP(1)=0.
4.1. Vérifier queHest un sous-espace vectoriel deE. Quelle est sa dimension ? 4.2. Soitϕla projection orthogonale surH. Déterminer la matrice deϕdans la baseB.
* * * * * *
FIN
Téléchargé gratuitement surDoc-Solus.fr.