Potentiel électrostatique d'une dislocation chargée

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Submitted on 1 Jan 1964

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Potentiel électrostatique d’une dislocation chargée

P. Phariseau

To cite this version:

P. Phariseau. Potentiel électrostatique d’une dislocation chargée. Journal de Physique, 1964, 25 (10),

pp.868-872. �10.1051/jphys:019640025010086800�. �jpa-00205885�

868.

POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE D’UNE DISLOCATION CHARGÉE

Par P. PHARISEAU,

Laboratorium voor Kristallografie _en ^{Studie van Vaste} Stoffen, Universiteit Gent.

Résumé.

Nous avons montré que l’équation différentielle du potentiel d’une dislocation en

repos ^et autour de laquelle le nuage Debye-Huckel de lacunes est en équilibre peut ^être intégrée

de façon rigoureuse, grâce ^à la théorie des fonctions de Green. Nous obtenons, pour le potentiel,

une expression ^{en forme de} série, qui ^a complètement l’aspect d’une série de perturbations. ^{A l’aide}

de la méthode des majorantes, ^{il est} possible de prouver la convergence de ^cette série dans la

plupart ^{des cas} qui peuvent ^se présenter.

Abstract.

In this paper ^we show that the differential equation, giving the electrostatical

potential ^{of a} dislocation at rest i.e. having ^{around it a} Debye-Huckel ^{cloud of} vacancies, ^{can be} integrated ^{in a more} rigorous ^manner by ^{means of a} Green’s function method. We get ^{for the} potential ^{a series} having completely the character of a perturbation ^series. The convergence of this series is proved, ^{for the most} frequently occuring values of the parameters.

Lf JOURNAL DE PHYSIQUE ^TOME 25, ^OCTOBRE 1964,

1. Introduction.

On sait que les cristaux

ioniques ^du type CINa contiennent un nombre de lacunes qui ^est fonction de la temperature, ^et qu’on

doit associer a chacun de ces def auts une charge 6gale ^et oppos6e ^a celle de l’ion correspondant. ^De

ce fait, la neutralité exige qu’un ^nombre 6gal ^de

lacunes d’ions positifs ^et n6gatifs ^soit present. ^Les

lacunes peuvent ^{se former a la surface ou aux dislo-}

cations coin. L’énergie de formation des lacunes d’ions positifs ^est inférieure a celle des lacunes d’anions. Il en r6sulte qu’une dislocation emettra

plus facilement des lacunes de cations, et, qu’apres

un temps donne, ^{leur nombre sera} superieure ^a

celui des lacunes de 1’autre type.

Comme il s’agit d’un processus dynamique, ^nous

aurons, quand l’équilibre ^sera établi, ^{un ex6dent}

de charges negatives ^{autour de la} ligne, ^{et la} ligne

elle meme sera charg6e positivement.

Eshelby ^{et al.} [1] ^{ont montre} que le potentiel

autour d’une dislocation en repos, c’est-a-dire autour de laquelle le nuage de lacunes du type Debye-Huckel ^{est en} 6quilibre, satisfait a l’équa-

tion différentielle non lin6aire suivante :

où

et e est la charge ^de 1’61ectron,

k la constante de Boltzmann,

T la temperature absolue, if x ^la longueur ^de Debye,

v le potentiel ^{a un} point arbitraire,

Voo le potentiel ^{a l’infini.}

Pour une dislocation, ^nous acceptons ^une sym6-

trie cylindrique. ^En posant

1’6quation (1) ^devient

Eshelby ^{et al.} [1] ^ont int6gr6 1’equation ^diffé-

rentielle ordinaire (4), ^{dans le cas ou} p est ^suffit-

samment petit, c’est-a-dire quand

Comme ces travaux ont donne lieu a des v6rifl- cations expérimentales, ^nous croyons qu’il ^serait

utile de disposer ^{d’une solution} plus rigoureuse et,

dans cette note, nous nous proposons d’intégrer

cette équation (4) a l’aide de la fonction de Green

appropri6e ^au probl6me. Gronwall, ^{La Mer et}

Sandved [2] ^{ont suivi une methode semblable dans}

la th6orie des electrolytes ^forts. LA, ^{nous trouvons}

une equation ^de base, semblable a 1’6quation (1),

mais avec une sym6trie sph6rique.

2. Conditions ^aux limites.

D’apr6s 1’6qua-

tion (2), ^{il est evident} que p ^est nul quand ^p

devient infini. Donc

On ne voit pas tres clairement quelles ^conditions

aux limites on doit poser a la ligne ^de dislocation.

Nous suivons une methode due a Brown [3], ^en remplaçant ^la ligne de dislocations par ^un cylindre

tres mince et vide, ^de rayon ^a. L’électrostatique

donne pour la densité de charge ^le long ^{de la} ligne de dislocation :

où e: est la constante di6lectrique statique ^{de la}

mati6re considérée.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019640025010086800

869

En consid6rant 1’6quation (2) ^{nous d6duisons}

de (6), pour dp /dp, la oondition suivante

où

3. Fonction de Green et 6quation int6grate.

De la th6orie des fonctions de Green il est facile de d6duire que la fonction de Green correspondant ^à 1’6quation (4) satisfaisant aux conditions aux

limites (5), ^{est :}

ou Io ^et Ko ^sont les fonctions de Bessel modifi6es d’ordre zero, respectivement ^{de la} premiere ^et

seconde esp6ce.

Soit C l’op6rateur d6fini par

l’identit6 suivante est alors valable

En integrant celle-ci de _p

_po jusqu’a l’infini,

nous obtenons, par suite de la discontinuité de

dG/dp ^et des conditions (5) ^et (7)

Remarquons qu’on ^{a, pour p} suffisamment petit,

sinh p ~ p, ^et l’équation (12) ^{se r6duit à}

Ces résultats concordent avec ceux obtenus par

Eshelby ^{et al.} [1] ^{et Brown} [3].

Il reste a int6grer 1’6quation int6grale (12).

4. L’intégration ^de l’équation (12).

^Nous

intervertissons les roles de _{p et} p’, ^{de sorte} que

1’6quation (13) ^devient

En posant

nous proposons ^une solution de 1’6quation (14) ^de

la forme suivante

Remplaçant p(p) ^{dans la relation}

par 1’expression (16), ^{nous obtenons}

ou _{m1, m2}

m2t7+1 ^sont des nombres entiers qui

varient de l’unit6 a l’infini.

Si on pose

la formule (18) devient, ^en r6unissant les termes

en m",

En substituant ces expressions ^dans l’équation int6grale (14), ^{et en} 6galisant ^{les memes} puissances

de m dans les deux membres, ^{nous trouvons}

Il est facile de ^montrer que

et nous obtenons alors, pour la fonction p(p), ^une

s6rie

Il reste A examiner la convergence de la s6rie

précédente. ^Pour cela, seule la m6thode des majo-

rantes peut donner des informations. D’autre part,

il est possible ^{de calculer} successivement les fonc-

tions p1(p, po), P3(P, po),

etc..., ^au moins par

des m6thodes numériques.

5. Sur la convergence de la s6rie (23).

D’ apres

les expressions (9), ^nous remarquons ^immediate-

ment que

Les seconds membres des in6galit6s (24) ^sont positifs. ^{Pour po} -- p’ P I’inégalité (24b) ^est

valable. Remarquons que la fonction KoC:}flo(.î)

est d6croissante. Si _p p, ^{on a donc}

On peut alors écrire les deux in6galit6s (24)

I)e 1’6quation (14) ^on peut ^{d6duire une} equation integrale majorante

Nous posons

Substituant 1’expression (28) ^dans 1’6quation (27)

nous obtenons une equation integrale pour y(,J, po)

avec

Puisque ^{nous avons les} inegalites ^suivantes

l’int6grale (30) ^{a comme limite} superieure

all

La s6rie (29) ^est maintenant remplacee par la s6rie majorante

ou

Le d6veloppement ^{de À} suivant les puissances

de m est superieur ^au d6veloppement de u. ^Tous

les coefficients des puissances ^{de À dans} 1’expres-

sion (34) ^sont positifs. ^Par consequent, ^le d6velop- pement ^{de À suivant les} puissances ^{de w aura aussi}

des coefficients positifs. Selon le th6or6me de Vivanti [4], le rayon de convergence coo ^est la

plus petite ^valeur singuli6re ^{de À}

x( m). Puisque

les coefficients sont positifs, x( m) augmentera ^{si to}

croit de zero jusqu’a mo. D’après 1’expression (35),

nous remarquons que ^(ù tend vers

oo si À tend

vers + _oo, de sorte que Xo

X(coo) ^{est fini et} positif.

La valeur _wo ^est donc la racine de 1’6quation

En d6rivant (35), ^{nous obtenons}

et, pour coo, ^nous trouvons 1’expression

Nous avons donc une valeur de (ù au-dessus de

laquelle ^{la s6rie} (23) ^est certainement convergente.

Il est possible ^{de trouver une meilleure} majo-

rante de la manière suivante : Tenant compte ^des in6galit6s

l’int6grale (30) poss6de ^{une limite} superieure :

avec

871

Les fonctions i5 ^{et ei} repr6sentent respecti- vement l’int6grale ^{des erreurs et} la fonction d6finie par :

La s6rie (26) ^est maintenant remplacee par

ou

Le raisonnement precedent ^{est de nouveau}

valable ^{et nous} trouvons, pour le rayon de ^conver- gence m§, 1’expression

ou Xo ^{est la solution de} 1’equation transcendante

avec

Afin de comparer ^{ces deux} majorantes, ^nous

avons calcule num6riquement ^{le rayon de conver-}

gence pour les deux valeurs extremes de po.

Les résultats sont repr6sent6s ^{dans le tableau} ci-apres :

Remarquons que nous avons prouve ^{la conver-}

gence de la s6rie (23) pour ^la plupart ^{des cas} qui peuvent ^se presenter.

6. Forme explicite ^{de la s6rie} (23).

^L’expres-

sion (23) ^a complètement l’aspect d’une s6rie de

perturbations ^{ou q est le} param6tre perturbateur.

Nous allons calculer maintenant le premier ^terme perturbateur ^p3.

Nous avons.

Tenant compte ^des expressions (6) pour la fonc- tion de Green, ^{nous obtenons}

Avec les memes approximations ^{que dans la}

demonstration de la convergence de la s6rie (23),

nous trouvons pour ^ces intégrales les valeurs sui- vantes :

Substituant ^ces expressions dans la formule (49),

nous obtenons, pour la fonction p(p, po), ^{si nous} n6gligeons ^{tous les termes en m2 et toutes les} puis-

sances sup6rieures :

II est facile de d6montrer que les conditions aux

limites sont satisfaites.

7. Discussion des résultats.

Tenant compte

de (21a) ^et (50) dans la s6rie (16) ^{nous obtenons}

pour le potentiel l’expression

dans laquelle nous avons n6glig6 ^{les termes d’ordre} superieur. ^{A l’aide} d’approximations, ^{expos6es dans}

le paragraphe ^{6, nous trouvons}

Afin de comparer ^{ces résultats à} celui d’Eshelby,

notamment :

FIG. 1.

Les deviation 3p ^en fonction de p ^pour trois cas représentatifs :

nous avons calcule numeriquement ^les int6grales

se trouvant dans 1’expression (55), a 1’aide d’un calculateur électronique ; ^la methode de Simpson ^a

e-te utilis6e. Sur la figure 1, ^nous repr6sentons graphiquement ^les deviations Ap = pE

p ^en fonction de P, l’échelle ^6tant logarithmique. ^Trois

cas son presentes : ^po

0,001, ^{w -} 0,1 ;

po

0,01, co

0,4 ^et po

0,1, ^W

0,7. D’apr6s

ces courbes, ^{il est} evident que pour p tres petit par

rapport ^a l’unit6, ^{la solution} d’Eshelby ^{est insuf-}

fisante et il est preferable d’utiliser 1’expression (55) qui, pourtant, ^{a le} d6savantage d’etre calcula- ble uniquement ^{a I’aide} de machines a calculer.

Remerciements.

Cette recherche a ete effec- tu6e dans le cadre des travaux du comite d’6tude de 1’etat solide, subuentionn6 par l’Institut pour

1’encouragement de la recherche scientifique ^dans

l’industrie et l’agriculture.

Manuscrit regu le ^{3 avril 1964.}

BIBLIOGRAPHIE [1] ^ESHELBY (S. D.), ^NEWEY (C. ^W. A.), ^PRATT (P. L.) ^et

LIDIARD (A. B.), ^Phil. Mag., 1958, 3, 76.

[2] ^GRONWALL (T. H.), ^{LA MER} (V. K.) ^{et SANDVED} (K.), Physik ^{Z., 1928,} 23, ^358.

[3] ^BROWN (L. M.), Physica ^Status Solidi, 1961, 1, ^585.

[4] BIEBERBACH (L.), Lehrbuch der funktionentheorie,

Bd 2, Springer Verlag, Leipzig, ^1928, p. ^280.