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Potentiel électrostatique d'une dislocation chargée

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

HAL Id: jpa-00205885

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00205885

Submitted on 1 Jan 1964

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Potentiel électrostatique d’une dislocation chargée

P. Phariseau

To cite this version:

P. Phariseau. Potentiel électrostatique d’une dislocation chargée. Journal de Physique, 1964, 25 (10),

pp.868-872. �10.1051/jphys:019640025010086800�. �jpa-00205885�

(2)

868.

POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE D’UNE DISLOCATION CHARGÉE

Par P. PHARISEAU,

Laboratorium voor Kristallografie en Studie van Vaste Stoffen, Universiteit Gent.

Résumé.

2014

Nous avons montré que l’équation différentielle du potentiel d’une dislocation en

repos et autour de laquelle le nuage Debye-Huckel de lacunes est en équilibre peut être intégrée

de façon rigoureuse, grâce à la théorie des fonctions de Green. Nous obtenons, pour le potentiel,

une expression en forme de série, qui a complètement l’aspect d’une série de perturbations. A l’aide

de la méthode des majorantes, il est possible de prouver la convergence de cette série dans la

plupart des cas qui peuvent se présenter.

Abstract.

2014

In this paper we show that the differential equation, giving the electrostatical

potential of a dislocation at rest i.e. having around it a Debye-Huckel cloud of vacancies, can be integrated in a more rigorous manner by means of a Green’s function method. We get for the potential a series having completely the character of a perturbation series. The convergence of this series is proved, for the most frequently occuring values of the parameters.

Lf JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 25, OCTOBRE 1964,

1. Introduction.

-

On sait que les cristaux

ioniques du type CINa contiennent un nombre de lacunes qui est fonction de la temperature, et qu’on

doit associer a chacun de ces def auts une charge 6gale et oppos6e a celle de l’ion correspondant. De

ce fait, la neutralité exige qu’un nombre 6gal de

lacunes d’ions positifs et n6gatifs soit present. Les

lacunes peuvent se former a la surface ou aux dislo-

cations coin. L’énergie de formation des lacunes d’ions positifs est inférieure a celle des lacunes d’anions. Il en r6sulte qu’une dislocation emettra

plus facilement des lacunes de cations, et, qu’apres

un temps donne, leur nombre sera superieure a

celui des lacunes de 1’autre type.

Comme il s’agit d’un processus dynamique, nous

aurons, quand l’équilibre sera établi, un ex6dent

de charges negatives autour de la ligne, et la ligne

elle meme sera charg6e positivement.

Eshelby et al. [1] ont montre que le potentiel

autour d’une dislocation en repos, c’est-a-dire autour de laquelle le nuage de lacunes du type Debye-Huckel est en 6quilibre, satisfait a l’équa-

tion différentielle non lin6aire suivante :

et e est la charge de 1’61ectron,

k la constante de Boltzmann,

T la temperature absolue, if x la longueur de Debye,

v le potentiel a un point arbitraire,

Voo le potentiel a l’infini.

Pour une dislocation, nous acceptons une sym6-

trie cylindrique. En posant

1’6quation (1) devient

Eshelby et al. [1] ont int6gr6 1’equation diffé-

rentielle ordinaire (4), dans le cas ou p est suffit-

samment petit, c’est-a-dire quand

Comme ces travaux ont donne lieu a des v6rifl- cations expérimentales, nous croyons qu’il serait

utile de disposer d’une solution plus rigoureuse et,

dans cette note, nous nous proposons d’intégrer

cette équation (4) a l’aide de la fonction de Green

appropri6e au probl6me. Gronwall, La Mer et

Sandved [2] ont suivi une methode semblable dans

la th6orie des electrolytes forts. LA, nous trouvons

une equation de base, semblable a 1’6quation (1),

mais avec une sym6trie sph6rique.

2. Conditions aux limites.

-

D’apr6s 1’6qua-

tion (2), il est evident que p est nul quand p

devient infini. Donc

On ne voit pas tres clairement quelles conditions

aux limites on doit poser a la ligne de dislocation.

Nous suivons une methode due a Brown [3], en remplaçant la ligne de dislocations par un cylindre

tres mince et vide, de rayon a. L’électrostatique

donne pour la densité de charge le long de la ligne de dislocation :

où e: est la constante di6lectrique statique de la

mati6re considérée.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019640025010086800

(3)

869

En consid6rant 1’6quation (2) nous d6duisons

de (6), pour dp /dp, la oondition suivante

3. Fonction de Green et 6quation int6grate.

-

De la th6orie des fonctions de Green il est facile de d6duire que la fonction de Green correspondant à 1’6quation (4) satisfaisant aux conditions aux

limites (5), est :

ou Io et Ko sont les fonctions de Bessel modifi6es d’ordre zero, respectivement de la premiere et

seconde esp6ce.

Soit C l’op6rateur d6fini par

l’identit6 suivante est alors valable

En integrant celle-ci de p

=

po jusqu’a l’infini,

nous obtenons, par suite de la discontinuité de

dG/dp et des conditions (5) et (7)

Remarquons qu’on a, pour p suffisamment petit,

sinh p ~ p, et l’équation (12) se r6duit à

Ces résultats concordent avec ceux obtenus par

Eshelby et al. [1] et Brown [3].

Il reste a int6grer 1’6quation int6grale (12).

4. L’intégration de l’équation (12).

-

Nous

intervertissons les roles de p et p’, de sorte que

1’6quation (13) devient

En posant

nous proposons une solution de 1’6quation (14) de

la forme suivante

Remplaçant p(p) dans la relation

par 1’expression (16), nous obtenons

ou m1, m2

...,

m2t7+1 sont des nombres entiers qui

varient de l’unit6 a l’infini.

Si on pose

la formule (18) devient, en r6unissant les termes

en m",

En substituant ces expressions dans l’équation int6grale (14), et en 6galisant les memes puissances

de m dans les deux membres, nous trouvons

Il est facile de montrer que

et nous obtenons alors, pour la fonction p(p), une

s6rie

Il reste A examiner la convergence de la s6rie

précédente. Pour cela, seule la m6thode des majo-

rantes peut donner des informations. D’autre part,

il est possible de calculer successivement les fonc-

tions p1(p, po), P3(P, po),

...

etc..., au moins par

des m6thodes numériques.

(4)

5. Sur la convergence de la s6rie (23).

-

D’ apres

les expressions (9), nous remarquons immediate-

ment que

Les seconds membres des in6galit6s (24) sont positifs. Pour po -- p’ P I’inégalité (24b) est

valable. Remarquons que la fonction KoC:}flo(.î)

est d6croissante. Si p p, on a donc

On peut alors écrire les deux in6galit6s (24)

I)e 1’6quation (14) on peut d6duire une equation integrale majorante

Nous posons

Substituant 1’expression (28) dans 1’6quation (27)

nous obtenons une equation integrale pour y(,J, po)

avec

Puisque nous avons les inegalites suivantes

l’int6grale (30) a comme limite superieure

all

La s6rie (29) est maintenant remplacee par la s6rie majorante

ou

Le d6veloppement de À suivant les puissances

de m est superieur au d6veloppement de u. Tous

les coefficients des puissances de À dans 1’expres-

sion (34) sont positifs. Par consequent, le d6velop- pement de À suivant les puissances de w aura aussi

des coefficients positifs. Selon le th6or6me de Vivanti [4], le rayon de convergence coo est la

plus petite valeur singuli6re de À

=

x( m). Puisque

les coefficients sont positifs, x( m) augmentera si to

croit de zero jusqu’a mo. D’après 1’expression (35),

nous remarquons que tend vers

-

oo si À tend

vers + oo, de sorte que Xo

=

X(coo) est fini et positif.

La valeur wo est donc la racine de 1’6quation

En d6rivant (35), nous obtenons

et, pour coo, nous trouvons 1’expression

Nous avons donc une valeur de (ù au-dessus de

laquelle la s6rie (23) est certainement convergente.

Il est possible de trouver une meilleure majo-

rante de la manière suivante : Tenant compte des in6galit6s

l’int6grale (30) poss6de une limite superieure :

avec

(5)

871

Les fonctions i5 et ei repr6sentent respecti- vement l’int6grale des erreurs et la fonction d6finie par :

La s6rie (26) est maintenant remplacee par

ou

Le raisonnement precedent est de nouveau

valable et nous trouvons, pour le rayon de conver- gence m§, 1’expression

ou Xo est la solution de 1’equation transcendante

avec

Afin de comparer ces deux majorantes, nous

avons calcule num6riquement le rayon de conver-

gence pour les deux valeurs extremes de po.

Les résultats sont repr6sent6s dans le tableau ci-apres :

Remarquons que nous avons prouve la conver-

gence de la s6rie (23) pour la plupart des cas qui peuvent se presenter.

6. Forme explicite de la s6rie (23).

-

L’expres-

sion (23) a complètement l’aspect d’une s6rie de

perturbations ou q est le param6tre perturbateur.

Nous allons calculer maintenant le premier terme perturbateur p3.

Nous avons.

---

Tenant compte des expressions (6) pour la fonc- tion de Green, nous obtenons

Avec les memes approximations que dans la

demonstration de la convergence de la s6rie (23),

nous trouvons pour ces intégrales les valeurs sui- vantes :

Substituant ces expressions dans la formule (49),

nous obtenons, pour la fonction p(p, po), si nous n6gligeons tous les termes en m2 et toutes les puis-

sances sup6rieures :

II est facile de d6montrer que les conditions aux

limites sont satisfaites.

7. Discussion des résultats.

-

Tenant compte

de (21a) et (50) dans la s6rie (16) nous obtenons

pour le potentiel l’expression

dans laquelle nous avons n6glig6 les termes d’ordre superieur. A l’aide d’approximations, expos6es dans

le paragraphe 6, nous trouvons

Afin de comparer ces résultats à celui d’Eshelby,

notamment :

(6)

FIG. 1.

-

Les deviation 3p en fonction de p pour trois cas représentatifs :

nous avons calcule numeriquement les int6grales

se trouvant dans 1’expression (55), a 1’aide d’un calculateur électronique ; la methode de Simpson a

e-te utilis6e. Sur la figure 1, nous repr6sentons graphiquement les deviations Ap = pE

-

p en fonction de P, l’échelle 6tant logarithmique. Trois

cas son presentes : po

=

0,001, w - 0,1 ;

po

=

0,01, co

=

0,4 et po

=

0,1, W

=

0,7. D’apr6s

ces courbes, il est evident que pour p tres petit par

rapport a l’unit6, la solution d’Eshelby est insuf-

fisante et il est preferable d’utiliser 1’expression (55) qui, pourtant, a le d6savantage d’etre calcula- ble uniquement a I’aide de machines a calculer.

Remerciements.

-

Cette recherche a ete effec- tu6e dans le cadre des travaux du comite d’6tude de 1’etat solide, subuentionn6 par l’Institut pour

1’encouragement de la recherche scientifique dans

l’industrie et l’agriculture.

Manuscrit regu le 3 avril 1964.

BIBLIOGRAPHIE [1] ESHELBY (S. D.), NEWEY (C. W. A.), PRATT (P. L.) et

LIDIARD (A. B.), Phil. Mag., 1958, 3, 76.

[2] GRONWALL (T. H.), LA MER (V. K.) et SANDVED (K.), Physik Z., 1928, 23, 358.

[3] BROWN (L. M.), Physica Status Solidi, 1961, 1, 585.

[4] BIEBERBACH (L.), Lehrbuch der funktionentheorie,

Bd 2, Springer Verlag, Leipzig, 1928, p. 280.

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