Principe de Mazur en dimension supérieure

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Submitted on 26 Mar 2019

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Pascal Boyer, Boyer Pascal

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Pascal Boyer, Boyer Pascal. Principe de Mazur en dimension supérieure. Journal de l’École polytech-

nique - Mathématiques, École polytechnique, A paraître. �hal-01174473v4�

par Boyer Pascal

R´ esum´ e. — Le principe de Mazur pour GL 2 fournit des conditions simples pour qu’une F l -repr´esentation irr´eductible non ramifi´ee provenant d’une forme modulaire de niveau Γ 0 (N p) provienne aussi d’une forme de niveau Γ 0 (N). L’objectif de ce travail est de proposer une g´en´eralisation de ce principe en dimension sup´erieure pour certaines formes int´erieures

´etendues non quasi-d´eploy´ees d’un groupe unitaire en ´etudiant la torsion dans la cohomologie des vari´et´es de Shimura dites de Kottwitz-Harris-Taylor en lien avec la d´eg´en´erescence de la monodromie locale.

Abstract (Mazur’s principle in higher dimension). — The Mazur principle for GL 2

gives simple conditions for an irreducible unramified F l -representation coming from a modular form of level Γ ⁰ (N p) to come for some modular form of level Γ ⁰ (N ). The aim of this work is to give a generalization of this principle in higher dimension for some particular extended inner forms non quasi split of a unitary group studying the torsion cohomology classes of Shimura varieties of Kottwitz-Harris-Taylor type within its link with the local monodromy degeneracy.

Table des mati` eres

Introduction. . . . 1

1. D´eg´en´erescence de la monodromie et diminution du niveau . . . . 3

1.1. Rappels sur les Q _l -repr´esentations de GL d (K) . . . . 3

1.2. Repr´esentation galoisienne associ´ee `a m . . . . 5

1.3. ´ Enonc´e du th´eor`eme principal. . . . 8

2. Cohomologie des vari´et´es de Kottwitz-Harris-Taylor . . . 10

2.1. Rappels sur la g´eom´etrie. . . 10

2.2. Syst`emes locaux d’Harris-Taylor . . . 12

Classification math´ ematique par sujets (2010). — 11F70, 11F80, 11F85, 11G18, 20C08.

Mots clefs. — Vari´et´es de Shimura, cohomologie de torsion, id´eal maximal de l’alg`ebre de Hecke, localisation de la cohomologie, repr´esentation galoisienne.

L’auteur remercie l’ANR pour son soutien dans le cadre du projet PerCoLaTor 14-CE25.

2.3. Rel`evement des classes de cohomologie de torsion. . . 14

3. Preuve du th´eor`eme principal. . . 15

3.1. Suite spectrale de Rapoport-Zink. . . 15

3.2. Construction d’une classe de torsion. . . 21

3.3. Diminution du niveau. . . 24

3.4. Un ´enonc´e de non d´eg´en´erescence de la monodromie . . . 25

R´ef´erences. . . 26

Introduction

Dans la th´eorie classique des formes modulaires, une question importante est la d´etermination du niveau optimal `a partir duquel une repr´esentation galoisienne modulo l est modulaire : que l’on pense par exemple `a son application `a la preuve du grand th´eor`eme de Fermat. Les conjectures de Serre, d´esormais prouv´ees par Khare et Wintenberger dans [ 12 ], fournissent un cadre pr´ecis pour cette question dans le cas de GL 2 . Avant que ne soient ´etablies les conjectures de Serre, le principe de Mazur, rappel´e ci-apr`es, constituait le r´esultat le plus ´evolu´e sur ce th`eme et, par exemple, l’ingr´edient principal dans la preuve du th´eor`eme de Ribet.

Th´ eor` eme. — (Principe de Mazur cf. [14] th´ eor` eme 6.1)

Soient N un entier, p un nombre premier ne divisant pas N et ρ ¯ : Gal(Q _l /Q) −→ GL 2 (F l ) une repr´esentation galoisienne provenant d’une forme modulaire de niveau Γ 0 (Np). On suppose que

— p 6= l,

— ρ ¯ est irr´eductible et non ramifi´ee en p et

— l ne divise pas p − 1.

Alors ρ ¯ provient d’une forme modulaire de niveau Γ 0 (N ).

L’objectif de ce travail est de proposer une version du principe de Mazur pour les repr´esentations automorphes de GL d autoduales pour un corps CM, en utilisant la co- homologie des vari´et´es de Shimura. Il est bien connu qu’au del`a du cas d = 2, il n’y a pas de vari´et´e de Shimura pour GL d et la solution usuelle consiste `a remplacer GL d par un groupe de similitudes G/Q qui, localement pour

la moiti´e

des premiers p, ressemble

`a GL d (Q p ), au sens plus pr´ecis o` u, cf. (1.2.1), G(Q p ) ≃ Q ^× _p × GL d (F v ) × · · · , o` u F est un corps CM et o` u v|p sera une place de F jouant le rˆole du premier p dans le prin- cipe de Mazur. Pour que la situation g´eom´etrique soit la plus simple possible et qu’on dispose donc d’un meilleur contrˆole de la cohomologie, on choisit le groupe G de fa¸con `a nous retrouver dans la situation ´etudi´ee par Harris et Taylor dans [10], i.e. en signatures (1, d − 1) × (0, d) × · · · × (0, d). La formulation pr´ecise du principe de Mazur dans cette situation est donn´ee au th´eor`eme 1.3.2, donnons simplement dans cette introduction une id´ee de ce que devient l’hypoth`ese clef

ρ ¯ non ramifi´ee en p

dans notre situation.

Une repr´esentation automorphe Π de G fournit des param`etres de Satake en ses places

de non ramification et donc un id´eal premier m e d’une alg`ebre de Hecke

an´emique

, cf.

la d´efinition 1.2.4 : on note aussi m l’id´eal maximal associ´e `a la r´eduction modulo l de ces param`etres de Satake. D’apr`es [10], on associe `a m e une repr´esentation ρ _e m de Gal( ¯ F /F ) et

¯

ρ m sa r´eduction modulo l. Comme dans le cas de GL 2

— on part d’une F l -repr´esentation ¯ ρ m de Gal( ¯ F /F ) s’´ecrivant comme la r´eduction mo- dulo l de ρ _e m o` u m e est associ´e `a une repr´esentation automorphe Π de niveau I ,

— et on cherche des conditions pour l’existence d’une repr´esentation automorphe Π ^′ de niveau I ^′ avec I v ( I _v ^′ , quitte `a augmenter I en des places annexes w 6= v, de sorte que si m e <sup>′</sup> est l’id´eal premier de l’alg`ebre de Hecke an´emique associ´e `a Π ^′ , alors

e

m ^′ ⊂ m , autrement dit si ρ _e m

,v est la repr´esentation galoisienne construite par [ 10 ], alors sa r´eduction modulo l est isomorphe `a ¯ ρ ^m .

Lorsque la composante en p du sous-groupe compact consid´er´e est parahorique, la condition de non ramification en p dans le cas de GL ₂ , est remplac´ee par la d´eg´en´erescence de la monodromie au sens suivant. Le logarithme de la monodromie `a la place v de ρ <sub>e</sub> m d´efinit un op´erateur nilpotent N <sub>e</sub> m ,v de GL d dont la taille des blocs de Jordan fournit une partition d m <sub>e</sub> ,v de d. En supposant ¯ ρ m irr´eductible et en prenant l ≥ d <sub>e</sub> m ,v − 1, o` u d m _e ,v est l’indice de nilpotence de N _e m ,v , alors N _e m ,v poss`ede une structure enti`ere unique et admet donc une r´eduction modulo l fournissant une partition d m ,v ne d´ependant pas du choix de Π.

La condition de non ramification pour GL 2 devient alors : pour la relation de dominance usuelle sur les partitions, d m ,v est strictement plus petite que d m _e ,v .

La d´emonstration repose sur l’´etude de la torsion dans la cohomologie des vari´et´es de Shimura dites de Kottwitz-Harris-Taylor, et sur l’observation que cette torsion se rel`eve, cf. le r´esultat principal de [6], en caract´eristique 0 quitte `a augmenter le niveau en une place annexe. L’id´ee consiste alors `a jouer avec cette propri´et´e

— en la place p o` u `a l’aide des hypoth`eses du th´eor`eme 1.3.2, on parvient `a diminuer le niveau en p tout en gardant une torsion non triviale,

— puis en augmentant le niveau en une place annexe quelconque, on rel`eve cette torsion en caract´eristique nulle.

On ´etudie en outre, cf. le corollaire 1.3.3, l’existence d’un Π tel que d m ,v = d m _e ,v ainsi, cf. le corollaire 3.4.2, que des conditions explicites sur m e pour que N m _e ,v en v ne d´eg´en`ere pas i.e. tel que la partition en bloc de Jordan de la r´eduction modulo l de N _e m ,v soit ´egale

`a d _e m ,v .

Nous remercions V. S´echerre pour nous avoir expliqu´e le lemme 1.1.7. ainsi que V.

Lafforgue pour ses nombreuses remarques sur une premi`ere version de ce travail.

1. D´ eg´ en´ erescence de la monodromie et diminution du niveau

1.1. Rappels sur les Q _l -repr´ esentations de GL d (K). — Notons K un corps local non

archim´edien dont le corps r´esiduel est de cardinal q une puissance d’un nombre premier

p. Une racine carr´ee q

de q dans Q _l ´etant fix´ee, pour k ∈ ¹ ₂ Z, nous noterons π{k} la

repr´esentation tordue de π o` u l’action de g ∈ GL n (K ) est donn´ee par π(g )ν(g) ^k avec

ν : g ∈ GL n (K) 7→ q ^{− val(det g)} .

1.1.1. D´ efinitions. — Soit P = MN un parabolique standard de GL n de L´evi M et de radical unipotent N . On note δ P : P (K ) → Q ^× _l l’application d´efinie par

δ P (h) = | det(ad(h) |LieN )| ⁻¹ .

Pour (π 1 , V 1 ) et (π 2 , V 2 ) des repr´esentations de respectivement GL n

(K) et GL n

(K), et P _n

_,n

le parabolique standard de GL _n

_+n

de Levi M = GL _n

×GL _n

et de radical unipotent N ,

π 1 × π 2

d´esigne l’induite parabolique normalis´ee de P n

,n

(K) `a GL n

+n

(K) de π 1 ⊗ π 2 c’est `a dire l’espace des fonctions f : GL n

+n

(K ) → V 1 ⊗ V 2 telles que

f(nmg) = δ _P ^−1/2

1,n2

(m)(π 1 ⊗ π 2 )(m)

f (g)

, ∀n ∈ N, ∀m ∈ M, ∀g ∈ GL n

+n

(K).

Rappelons qu’une repr´esentation irr´eductible π de GL n (K) est dite cuspidale si elle n’est pas isomorphe `a un sous-quotient d’une induite parabolique propre.

1.1.2. Notation. — Soient g un diviseur de d = sg et π une repr´esentation cuspi- dale irr´eductible de GL g (K). L’unique quotient (resp. sous-repr´esentation) irr´eductible de π{ ^1−s ₂ } × π{ ^3−s ₂ } × · · · × π{ ^s−1 ₂ } est not´e St s (π) (resp. Speh _s (π)).

Notons O K l’anneau des entiers de K et ̟ K une uniformisante. Le sous-groupe compact ouvert de GL d (O K ) des ´el´ements dont la r´eduction modulo ̟ K est triangulaire sup´erieure, est le classique sous-groupe d’Iwahori. Rappelons que toute repr´esentation irr´eductible de GL d (K) admettant des vecteurs non nuls invariants sous le sous-groupe d’Iwahori est, avec les notations pr´ec´edentes un sous-quotient d’une induite χ ₁ × · · · × χ _d o` u les χ <sub>i</sub> sont des caract`eres de K ^× uniquement d´efinis `a l’ordre pr`es.

1.1.3. Notation. — Pour toute repr´esentation irr´eductible π de GL d (K) ayant des vec- teurs non nuls invariants par le sous-groupe d’Iwahori, on note ⁽¹⁾

V (π) =

χ i (̟ K ) : i = 1, · · · , d

o` u les caract`eres χ i sont tels que π est un sous-quotient de l’induite χ 1 × · · · × χ d . Remarque. Avec les notations pr´ec´edentes, on a

V (St t (χ)) =

χ(̟ K )q

, χ(̟ K )q

, · · · , χ(̟ K )q

. 1.1.4. D´ efinition. — ´ Etant donn´ee une partition de d

m = (m 1 ≥ m 2 ≥ · · · ≥ m r ≥ 1) avec d = m 1 + · · · + m r ,

1. Plus pr´ecis´ement V (π) est un multi-ensemble, i.e. on garde en m´emoire la r´ep´etition des χ(̟ K ).

le sous-groupe parahorique standard associ´e Iw(m) est par d´efinition l’ensemble des

´el´ements de GL d (O K ) dont la r´eduction modulo ̟ K appartient au parabolique standard P m

,··· ,m

de Levi GL m

× GL m

× · · · × GL m

:

Iw(m) := Ker

GL d (O K ) −→ P m

,m

,··· ,m

(O K /(̟ K ))

.

Un sous-groupe parahorique est alors un conjugu´e d’un parahorique standard par un

´el´ement de GL d (O K ).

Remarque. Pour m 1 = m 2 = · · · = m d = 1, on retrouve le classique sous-groupe d’Iwahori.

On associe habituellement `a une partition m = (m 1 ≥ · · · ≥ m r ) de d, un diagramme de Ferrers dont la i-`eme ligne est de longueur m i . Les longueurs t 1 ≥ · · · ≥ t m

des colonnes du diagramme de Ferrers d´efinissent alors la partition

m ^∗ = (t 1 ≥ · · · ≥ t m

) conjugu´ee de m.

1.1.5. Notation. — Pour m une partition de conjugu´ee m ^∗ = (t 1 ≥ t 2 ≥ · · · ≥ t m

), on note m ⁽¹⁾ la partition dont la conjugu´ee est (t 2 ≥ t 3 ≥ · · · ≥ t m

).

Remarque. Autrement dit m ⁽¹⁾ est la partition obtenue `a partir de m en supprimant sa premi`ere colonne.

1.1.6. D´ efinition. — On dira d’une partition m = (m 1 ≥ m 2 ≥ · · · ≥ m r ) de n qu’elle est contenue dans une partition m ^′ = (m ^′ ₁ ≥ m ^′ ₂ ≥ · · · ≥ m ^′ _r

) de n ^′ si r ≤ r ^′ et si pour tout i = 1, · · · , r on a m i ≤ m ^′ _i .

On rappelle la relation de dominance usuelle sur les partitions n = (n 1 ≥ n 2 ≥ · · · ) ≤ m = (m 1 ≥ m 2 ≥ · · · ) ⇔ ∀k ≥ 1

X k i=1

n i ≤

X k i=1

m i . La relation n ≤ m est ´equivalente `a m ^∗ ≤ n ^∗ sur les partitions conjugu´ees.

1.1.7. Lemme. — Soit π ≃ St t

(χ 1 ) ×· · ·× St t

(χ s ) avec t 1 +· · · +t s = d et o` u χ 1 , · · · , χ s

sont des caract`eres de K <sup>×</sup> . L’ensemble des sous-groupes parahoriques P tels que π ait des vecteurs non nuls P -fixes, admet un plus grand ´el´ement dont les tailles des blocs sont, `a conjugaison pr`es, ceux de la partition d(π) conjugu´ee `a (t 1 ≥ · · · ≥ t s ).

D´emonstration. — Notons K = GL d (O K ) le compact maximal de GL d (K), puis K(1) son pro-p radical. Rappelons que π a des vecteurs non nuls P -fixes si et seulement si l’espace K(π) des vecteurs non nuls K(1)-fixes de π vu comme repr´esentation de K/K(1) a des vecteurs non nuls fixes par P ^′ := P/K(1), c’est-`a-dire si K(π) ^U

, o` u U <sup>′</sup> le radical unipotent de P <sup>′</sup> , contient le caract`ere trivial de M ^′ = P ^′ /U ^′ .

En appliquant l’involution de Zelevinski Z, on se ram`ene `a la propri´et´e que K(Z (π)) ^U

contient un facteur non d´eg´en´er´e, c’est-`a-dire au fait que Z(π) est λ-d´eg´en´er´ee, o` u λ d´esigne

la partition de d donn´ee par les blocs de M ^′ , au sens de la th´eorie des mod`eles de Whittaker

d´eg´en´er´es, cf. [16] §V.5. Le r´esultat d´ecoule alors de loc. cit.

1.1.8. D´ efinition. — ` A la repr´esentation π ≃ St t

(χ 1 ) × · · · × St t

(χ s ) on associe T (π) le diagramme de Ferrers ´etiquet´e par V (π) d´efini comme suit :

— les longueurs des lignes de ce tableau sont les t 1 ≥ t 2 ≥ · · · ≥ t s

— et on ´etiquette la i-`eme ligne de gauche `a droite avec dans l’ordre les χ i q

, · · · , χ i q

. 1.2. Repr´ esentation galoisienne associ´ ee ` a m . — Soient F <sup>+</sup> un corps totalement r´eel et E/Q une extension quadratique imaginaire : on consid`ere alors le corps F = EF ⁺ qui est CM. Pour toute place w de F , on notera

— F w son localis´e en w,

— O w son anneau des entiers d’uniformisante ̟ w et

— q w le cardinal du corps r´esiduel κ(w) := O w /(̟ w ).

Soit B une alg`ebre `a division centrale sur F de dimension d ² telle qu’en toute place x de F , B x est soit d´ecompos´ee soit une alg`ebre `a division et on suppose B munie d’une involution de seconde esp`ece ∗ telle que ∗ |F est la conjugaison complexe c. Pour β ∈ B ^∗=−1 , on note ♯ β l’involution x 7→ x ^♯

= βx ^∗ β ⁻¹ et G/Q le groupe de similitudes, not´e G τ dans [10], d´efini pour toute Q-alg`ebre R par

G(R) ≃ {(λ, g) ∈ R ^× × (B ^op ⊗ Q R) ^× tel que gg ^♯

= λ}

avec B ^op = B ⊗ F,c F . Si x est une place de Q d´ecompos´ee x = yy ^c dans E alors G(Q x ) ≃ (B _y ^op ) ^× × Q ^× _x ≃ Q ^× _x × ^Y

z

(B ^op _z

) ^× , (1.2.1) o` u, en identifiant les places de F ⁺ au dessus de x avec les places de F au dessus de y, x = ^Q _i z i dans F ⁺ . Dans [10] lemme I.7.1, les auteurs justifient l’existence d’un G comme ci-dessus tel que pour tous tels d, E ⁺ et F :

— si x est une place de Q qui n’est pas d´ecompos´ee dans E alors G(Q x ) est quasi- d´eploy´e ;

— les invariants de G(R) sont (1, d − 1) pour le plongement τ et (0, d) pour les autres.

On fixe `a pr´esent un nombre premier p = uu ^c d´ecompos´e dans E tel qu’il existe une place v de F au dessus de u avec

(B _v ^op ) ^× ≃ GL d (F v ).

On note

v 1 = v, v 2 , · · · , v r

les places de F au dessus de u. Avec un abus coupable de notation, on utilisera G(F _v ) pour d´esigner le facteur en v de la formule (1.2.1), isomorphe donc `a GL _d (F _v ).

1.2.2. D´ efinition. — Soit I l’ensemble des sous-groupes compacts ouverts

assez pe- tits

⁽²⁾ de G(A ^∞ ), de la forme U ^v K v avec

— U ^v = U ^p ×Z ^× _p × ^{Q r} _i=2 Ker O ^× _B

−→ (O B

/P _v ⁿ

) ^× pour des entiers n 2 , · · · , n r positifs ou nuls,

— et o` u K v est un sous-groupe parahorique.

2. tels qu’il existe une place x 6= p pour laquelle la projection de U ^v sur G(Q x ) ne contienne aucun

´el´ement d’ordre fini autre que l’identit´e, cf. [10] bas de la page 90

— Pour I = U ^v K v ∈ I comme ci-avant, on notera I ^v = U ^v et I v = K v .

On note alors, cf. le §2.1, (X I ) I∈I le syst`eme projectif des vari´et´es de Shimura, dites de Kottwitz-Harris-Taylor, associ´e au groupe G au dessus de Spec O v tel qu’il est introduit dans [10].

1.2.3. Notation. — Pour I ∈ I, on note Spl(I) l’ensemble des places w de F telles que p w := w |Q est d´ecompos´ee dans E et, cf. la formule (1.2.1), la composante locale I w de I `a la place w est isomorphe `a GL d (O w ).

Fixons pour la suite un isomorphisme ι : Q _l ≃ C. ´ Etant donn´ee une Q _l -repr´esentation alg´ebrique irr´eductible ξ de G(Q), rappelons qu’une C-repr´esentation irr´eductible Π ∞ de G(A ∞ ) est dite ξ-cohomologique s’il existe un entier i tel que

H ⁱ ((Lie G(R)) ⊗ R C, U τ , Π ∞ ⊗ ι(ξ ^∨ )) 6= (0)

o` u U τ est un sous-groupe compact modulo le centre de G(R), maximal, cf. [10] p.92. Une Q _l -repr´esentation irr´eductible Π ^∞ de G(A ^∞ ) sera dit automorphe ξ-cohomologique s’il existe une C-repr´esentation ξ-cohomologique Π ∞ de G(A ∞ ) telle que ι

Π ^∞

⊗ Π ∞ est une C-repr´esentation automorphe de G(A).

Remarque. Si ι ^′ : Q _l ≃ C est un autre choix d’isomorphisme et si Π ^∞ est automorphe ξ-cohomologique relativement `a ι, alors, d’apr`es la formule de Matsushima, (ι ^′ ) ⁻¹ ◦ ι(Π ^∞ ) l’est relativement `a ι ^′ .

1.2.4. D´ efinition. — Pour l un nombre premier distinct de p et I ∈ I un niveau fini, soit

T I := Z l

h T w,i : w ∈ Spl(I ) et i = 1, · · · , d ⁱ ,

l’alg`ebre de Hecke

an´emique

associ´ee `a Spl(I), o` u T w,i est la fonction caract´eristique de

GL d (O w ) diag(

z }| i {

̟ w , · · · , ̟ w ,

z }| { d−i

1, · · · , 1)GL d (O w ) ⊂ GL d (F w ).

Remarque. L’alg`ebre T I ne d´epend que de Spl(I ) au sens o` u si J ∈ I C est tel que Spl(J) = Spl(I ) alors T J = T I .

On fixe `a pr´esent une repr´esentation alg´ebrique ξ de G(Q) et on note, cf. le §2.3, V _ξ,Z

le Q _l -syst`eme local associ´e, d´efini sur tout X I pour I ∈ I. On note alors T I (ξ) l’image de T I

dans les endomorphismes Z l -lin´eaires du quotient libre H _{f ree} ^d−1 (X I,¯ η

, V _ξ,Z

) de la cohomologie en degr´e m´edian de la fibre g´en´erique g´eom´etrique de X I , `a coefficients dans V _ξ,Z

.

Remarque. Dans la suite nous ne nous int´eresserons qu’aux syst`emes de valeurs propres de Hecke m de T <sub>I</sub> donnant lieu, cf. le d´ebut du §1.3, `a une repr´esentation galoisienne ¯ ρ m

irr´eductible de sorte qu’il suffit de consid´erer l’image de T I dans la cohomologie en degr´e

m´edian. En outre on a vu dans [5] que tout syst`eme de valeurs propres de Hecke dans la F l -

cohomologie, se relevait, quitte `a augmenter le niveau I, en une repr´esentation automorphe

temp´er´ee enti`ere, ce qui justifie de ne regarder que l’image de T I dans le quotient libre de

la cohomologie en degr´e m´edian.

Les id´eaux premiers minimaux de T I (ξ) sont les id´eaux premiers de T I (ξ) au dessus de l’id´eal nul de Z l et sont donc en bijection naturelle avec les id´eaux premiers de T I (ξ)⊗ Z

Q l . Ainsi pour un tel id´eal m e premier minimal, (T I (ξ) ⊗ Z

Q l )/ m e est une extension finie K _e m de Q l .

Remarque. Un id´eal m e premier minimal de T I (ξ) est dit ξ-cohomologique au sens o` u il existe une Q <sub>l</sub> -repr´esentation automorphe ξ-cohomologique Π de G(A) poss´edant des vecteurs non nuls fixes sous I et telle que pour tout w ∈ Spl(I), les param`etres de Satake de Π p

sont donn´es par les images des T _w ⁽ⁱ⁾ ∈ K m _e := (T I (ξ) ⊗ Z

Q l )/ m e , o` u K _e m est une extension finie de Q l . On notera q’un tel Π n’est pas n´ecessairement unique mais d´efinit une unique classe d’´equivalence proche au sens de [15] que l’on notera Π m _e .

On fixe une clˆoture alg´ebrique Q _l et on notera T _I (ξ) := T _I (ξ) ⊗ Z

Z _l de sorte que K _e m

s’injecte canoniquement dans Q _l = (T I (ξ) ⊗ _Z

Q _l )/ m e ⊗ Z

Z l .

Dans la suite nous ne consid´ererons que des id´eaux premiers ξ-cohomologiques, ce qui permet de d´efinir leur repr´esentation galoisienne associ´ee au sens suivant.

1.2.5. D´ efinition. — On note

ρ _e m : Gal( ¯ F /F ) −→ GL _d (Q _l )

la repr´esentation galoisienne associ´ee `a un tel Π d’apr`es [10] et [15].

Remarque. Pour toute place w ∈ Spl(I), les valeurs propres de ρ m _e (Frob w ) sont donn´ees par les param`etres de Satake de Π v et appartiennent donc `a K _e m .

La restriction de ρ _e m au groupe de Galois local en v s’identifie `a une repr´esentation de Weil-Deligne (σ <sub>e</sub> m ,v , N m <sub>e</sub> ,v ) o` u N _e m ,v est le logarithme de la partie unipotente de la monodromie locale. Notons que cet op´erateur nilpotent est d´efini via la somme finie

ln(1 − x) = −

d e

X

⁻¹

k=1

x ^k k , o` u d m _e ,v est l’ordre de nilpotence de N _e m ,v . En particulier

— si ρ m _e est enti`ere, i.e. s’il existe un r´eseau stable Γ et si l ≥ d _e m ,v − 1, alors l’op´erateur N _e m ,v est d´efini sur Γ et on note N _e m ,v,Γ sa r´eduction modulo l’id´eal maximal de l’anneau des entiers de Q _l . Dans la suite l v´erifiera toujours l’in´egalit´e l ≥ d m _e ,v − 1.

— Si en outre la r´eduction modulo l de ρ _e m est irr´eductible alors tous les r´eseaux stables Γ sont homoth´etiques et on notera simplement N _e m ,v .

1.2.6. Notation. — Tout ´el´ement nilpotent de GL _d (F _v ) admet une forme de Jordan as- soci´ee `a une unique partition de d donn´ee par la taille de ses blocs de Jordan. On note

d _e m ,v resp. d m ,v

la partition associ´ee `a N m <sub>e</sub> ,v (resp. `a N m ,v ).

On introduit alors les diagrammes de Ferrers ´etiquet´es T _e m ,v et T m ,v associ´es respecti-

vement `a N m _e ,v et N ^m ,v dont les longueurs des lignes sont les tailles, class´ees par ordre

d´ecroissant, des blocs de Jordan de l’op´erateur de monodromie associ´e. En particulier d _e m ,v

est la longueur de la premi`ere ligne. On rappelle par ailleurs que les longueurs des colonnes de T _e m ,v sont les dim Ker N _{m e} ⁱ⁺¹ _,v − dim Ker N _{e m} ⁱ _,v . On a une formule analogue pour T m ,v de sorte qu’en particulier

d ^m ,v ≤ d _e m ,v .

Remarque. Avec les notations de la d´efinition 1.1.8 et la description de la correspondance de Langlands locale, T _e m ,v est le diagramme de Ferrers T (Π _e m ,v ).

1.3. ´ Enonc´ e du th´ eor` eme principal. — A pr´esent on notera simplement ` T I pour T I (ξ). Consid´erons un id´eal maximal m de T I qui est ξ-cohomologique au sens o` u au moins un id´eal premier minimal m e ⊂ m l’est. Pour un tel m e , on a une injection T I / m e ֒ → O <sub>e</sub> m o` u O _e m

d´esigne l’anneau des entiers de K _e m : la compos´ee de cette injection avec la r´eduction modulo l’id´eal maximal de O _e m co¨ıncide alors avec la surjection T I / m e ։ T I / m . On peut ainsi parler de la r´eduction modulo m des param`etres de Satake S _e m (w) lesquels ne d´ependent donc que de m et sont donc donn´es par le multi-ensemble des racines du polynˆome de Hecke en w

P m ,w (X) :=

X d i=0

(−1) ⁱ q

i(i−1)

w

T _w,i X ^d−i ∈ F _l [X]

i.e.

S ^m (w) := ⁿ λ ∈ T _I / m ≃ F _l tel que P ^m ,w (λ) = 0 ^o .

Ainsi tout id´eal premier m e ⊂ m qui est ξ-cohomologique, fournit une (ou des) repr´esentation automorphe dont les param`etres de Satake modulo l en toute place de Spl(I ) sont donn´es par m ; pour deux tels id´eaux premiers on obtient ainsi des repr´esentations automorphes dites congruentes, au sens o` u elles partagent les mˆemes param`etres de Satake en presque toutes les places.

1.3.1. D´ efinition. — On dira que N ^m ,v est d´et´erior´e relativement `a m e , si, cf. la notation 1.1.5 et la d´efinition 1.1.6, d _e m ,v (1) n’est pas contenu dans d ^m ,v .

1.3.2. Th´ eor` eme. — Soient

— I ∈ I un sous-groupe compact ouvert tel que modulo ̟ v , la composante I v de I `a la place v, cf. la formule (1.2.1), est un sous-groupe parahorique relativement `a une partition m = (m 1 ≥ · · · ≥ m r ) de d avec r > 1,

— et, cf la remarque suivant la d´efinition 1.2.4, m un id´eal maximal de T I ,

tels que m soit maximal relativement au fait qu’il existe un id´eal premier minimal m e ⊂ m ainsi qu’une repr´esentation automorphe irr´eductible Π ∈ Π _e m poss´edant des vecteurs non nuls invariants sous I. On suppose alors que :

1) ρ m , est irr´eductible 2) l ≥ d m _e ,v − 1 ;

3) la partition d ^m ,v est strictement plus petite que la partition m ^∗ conjugu´ee `a m ; 4) au choix

(i) soit N ^m ,v est d´et´erior´e relativement `a m e ,

(ii) soit la composante locale en v de Π _e m n’est pas de la forme χ v,1 × χ v,2 ×? pour χ v,1

et χ v,2 des caract`eres de F <sub>v</sub> <sup>×</sup> tels que χ v,2 ≡ χ v,1 ν mod l o` u ν : x ∈ F _v ^× 7→ q ^{−val x} ,

et ? une repr´esentation quelconque.

Alors pour toute place w ∈ Spl(I) distincte de v, il existe un sous-groupe parahorique I _v ^′ (resp. I _w ^′ ) associ´ee `a une partition m ^′ _v > m (resp. m ^′ _w ) ainsi qu’un id´eal maximal ξ- cohomologique m ^′ de T I

, o` u I ^′ := I _v ^′ I _w ^′ I ^v,w , tel que

ρ m

≃ ρ m .

Autrement dit ρ m provient d’une repr´esentation automorphe de niveau I ^′ .

Remarque. Comme l ≥ d _e m ,v − 1 et ρ m est irr´eductible, N m ,v est bien d´efini ind´ependamment du r´eseau stable. Par maximalit´e de m, on a d _e m ,v = m ^∗ de sorte que l’hypoth`ese d m ,v < d _e m ,v

est clairement n´ecessaire pour obtenir un ´enonc´e de diminution du niveau.

Le principe de la d´emonstration consiste `a calculer la cohomologie en niveau I de la vari´et´e de Shimura associ´ee `a G, cf. le §2.1, en utilisant la suite spectrale de Rapoport- Zink en la place v . On constate alors

— ρ m ´etant irr´eductible, sur Q _l cette suite spectrale d´eg´en`ere en E 1 , tous les groupes de cohomologie ´etant concentr´es en degr´e m´edian ;

— l’hypoth`ese d ^m ,v < d m _e ,v impose que certains des termes initiaux de cette suite spectrale ont de la torsion non triviale.

Ainsi la cohomologie de toute la vari´et´e de Shimura admet une filtration dont certains gradu´es sont de torsion et la partie la plus difficile de la preuve consiste, proposition 3.3.1

— `a montrer que la cohomologie elle-mˆeme admet de la torsion non triviale

— et que celle-ci subsiste en diminuant l´eg`erement le niveau en v .

On utilise alors le r´esultat principal de [6] qui permet de relever une telle classe de torsion en caract´eristique 0 quitte `a augmenter le niveau en une place auxiliaire.

Une question naturelle est d’it´erer ce r´esultat afin de construire un niveau I ^′ = I ^v,w I _v ^′ I _w ^′ avec I _w ^′ ⊂ I w et I _v ^′ un sous-groupe parahorique associ´e `a une partition m, de sorte qu’il existe m e avec

d _e m ,v = d ^m ,v = m

et Π ∈ Π m _e ayant des vecteurs non nuls invariants sous I ^′ . C’est clairement le cas si d m ,v

n’admet pas plus d’une ligne de longueur 1 puisqu’alors la condition 4-ii) est toujours v´erifi´ee. Plus g´en´eralement on a l’´enonc´e suivant.

1.3.3. Corollaire. — Supposons que l’ensemble des ´etiquettes des lignes de longueur 1 du diagramme de Ferrers ´etiquet´e associ´e `a d m ,v , ne contient aucun sous-ensemble de la forme {α, qα}. Alors pour toute place w ∈ Spl(I ) distincte de v, il existe un sous-groupe parahorique I <sub>v</sub> <sup>′</sup> (resp. I <sub>w</sub> <sup>′</sup> ) associ´ee `a la partition d m ,v ∗ (resp. m ^′ _w ) ainsi qu’un id´eal maximal ξ-cohomologique m ^′ de T I

, o` u I ^′ := I _v ^′ I _w ^′ I ^v,w , tel que

ρ m

≃ ρ m ,

autrement dit ρ m provient d’une repr´esentation automorphe de niveau I ^′ .

Remarque. On notera que dans le cas d = 2 si l’hypoth`ese 4-ii) n’est pas v´erifi´e alors il n’y a rien `a d´emontrer puisqu’il existe alors un Π _e m non ramifi´e en v.

Au §3.4, on donnera par ailleurs un ´enonc´e de non d´eg´en´erescence de la monodromie, i.e. des conditions explicites sur m et m e , pour que d _e m ,v = d ^m ,v , cf. le corollaire 3.4.2.

2. Cohomologie des vari´ et´ es de Kottwitz-Harris-Taylor

2.1. Rappels sur la g´ eom´ etrie. — On reprend les notations du §1.2 o` u G est un groupe de similitudes sur Q et p = uu ^c un nombre premier d´ecompos´e dans E avec une place not´ee v de F au dessus de u telle que (B _v ^op ) ^× ≃ GL _d (F _v ). On note alors

(X _I ) _I∈I

le syst`eme projectif des vari´et´es de Shimura associ´e au groupe G au dessus de Spec O _v tel qu’il est introduit dans [10] : ces vari´et´es de Shimura sont dites de Kottwitz-Harris-Taylor.

Ce syst`eme projectif est muni d’une action de G(A ^∞ )× Z telle que l’action d’un ´el´ement w v

du groupe de Weil W v de F v est donn´ee par celle de − deg(w v ) ∈ Z, avec deg = val ◦ Art ⁻¹ o` u Art ⁻¹ : W _v ^ab ≃ F _v ^× est l’isomorphisme d’Artin qui envoie les Frobenius g´eom´etriques sur les uniformisantes.

2.1.1. Notation. — On note : X I,s

(resp. X I,η

) la fibre sp´eciale (resp. g´en´erique) de X I

en v et X I,¯ s

:= X I,s

× Spec F p la fibre sp´eciale g´eom´etrique (resp. X I,¯ η

la fibre g´en´erique g´eom´etrique).

Pour I ∈ I tel que, cf. la d´efinition 1.2.2, sa composante I v `a la place v, est le sous-groupe parahorique standard associ´e `a la partition (m ₁ ≥ · · · ≥ m _r ) de d. Alors le morphisme X _I −→ X _I

est le probl`eme de modules correspondant `a la donn´ee d’une chaˆıne d’isog´enies

G _A = G ₀ → G ₁ → · · · → G _r = G _A /G _A [̟ _v ] de O v -modules de Barsotti-Tate o` u :

— pour tout i = 1, · · · , r, l’isog´enie G _i−1 −→ G _i est de degr´e q ^m

et

— la compos´ee de ces r isog´enies est ´egale `a l’application canonique G A −→ G A /G A [̟ v ], o` u G A est le module de Barsotti-Tate associ´e `a la vari´et´e ab´elienne universelle sur X I

. 2.1.2. Notation. — Pour tout 1 ≤ i ≤ r, on note Y I,i le sous-sch´ema ferm´e de X I,¯ s

sur lequel G i−1 −→ G i a un noyau connexe. Pour tout S ⊂ {1, · · · , r} non vide, on note

Y I,S = ^\

i∈S

Y I,i , Y _I,S ⁰ = Y I,S − ^[

S(T

Y I,T . Pour tout 1 ≤ m ≤ r, soit

Y _I ^(r) := ^a

♯S=r

Y I,S et a r : Y _I ^(r) −→ Y I

la projection.

De la th´eorie du mod`ele local de Rapoport-Zink, on d´eduit la description suivante, cf.

par exemple [15].

2.1.3. Proposition. — Le sch´ema X I est de pure dimension d et a r´eduction semi-stable sur O v , i.e. pour tout point ferm´e x de X I,¯ s

, il existe un voisinage ´etale V −→ X I de x et un O v -morphisme ´etale

V −→ Spec O v [T 1 , · · · , T d ]/(T 1 · · · T m − ̟ v )

pour 1 ≤ m ≤ d. Le sch´ema X I est r´egulier et le morphisme de restriction du niveau X I −→ X I

est fini et plat. Tous les Y I,S sont lisses sur Spec κ(w) de pure dimension d − ♯S avec

X I,¯ s

=

[ r i=1

Y I,i

o` u pour i 6= j , les sch´emas Y _I,i et Y _I,j n’ont pas de composante connexe en commun.

La fibre sp´eciale g´eom´etrique X _{I,¯ s}

, quel que soit le niveau I, admet une stratification dite de Newton : pour tout 1 ≤ h ≤ d, on note

X _I,¯ ^≥h _s

, resp. X _I,¯ ^=h _s

,

la strate ferm´ee (resp. ouverte) de Newton de hauteur h, i.e. le sous-sch´ema dont la partie connexe du groupe de Barsotti-Tate en chacun de ses points g´eom´etriques est de rang ≥ h (resp. ´egal `a h).

2.1.4. Notation. — On note

j ^≥h : X _I,¯ ^=h _s

֒ → X _I,¯ ^≥h _s

, i ^h : X _I,¯ ^≥h _s

֒ → X _{I,¯ s}

et j ^=h = i ^h ◦ j ^≥h .

Lorsque le niveau I v en v de I est de la forme Ker GL d (O v ) ։ GL d (O v /̟ _v ^m

) , pour tout 1 ≤ h < d, la strate de Newton X _I,¯ ^=h _s

est alors g´eom´etriquement induite au sens o` u il existe un sous-sch´ema ferm´e X _I,¯ ^=h _s

_,1

muni d’une action de P _h,d−h (O _v /P _v ^m

) tel que :

X _I,¯ ^=h _s

≃ X _I,¯ ^=h _s

_,1

× _P

_(O

_/P

₎ GL d (O v /P _v ^m

).

2.2. Syst` emes locaux d’Harris-Taylor. — Passons provisoirement en niveau infini en v et notons X _Iv

la tour associ´ee : `a l’aide des vari´et´es d’Igusa de premi`ere et seconde esp`ece, les auteurs de [10] p136, associent `a toute repr´esentation admissible ρ v des inver- sibles de l’ordre maximal D v,h de l’alg`ebre `a division centrale D v,h sur F v d’invariant 1/h, un syst`eme local L 1

(ρ v ) sur X _Iv ^=h

_{,¯ s}

_,1

muni d’une action de P h,d−h (O v ) agissant via la projection P h,d−h (O v ) −→ Z × GL d−h (O v ). On note alors

L(ρ v ) := L 1

(ρ v ) × P

(O

) GL d (O v )

sa version induite sur X _Iv ^=h

_{,¯ s}

.

2.2.1. Notation. — Soient π v une repr´esentation irr´eductible cuspidale de GL g (F v ) et pour 1 ≤ t ≤ ^d _g , on note π v [t] D la repr´esentation de D _tg,v ^× associ´e `a la repr´esentation de Steinberg St t (π v ) par la correspondance locale de Jacquet-Langlands. La repr´esentation π <sub>v</sub> [t] <sub>D</sub> de D <sub>v,tg</sub> <sup>×</sup> fournit alors un syst`eme local sur X _Iv ^=tg

,¯ s

,1

L(π v [t] D ) 1

=

e

M

i=1

L _Q

l

(ρ v,i ) 1

o` u (π _v [t] _D ) _|D

v,h

= ^{L e} _i=1

ρ _v,i avec ρ _v,i irr´eductible et muni d’une action de P _tg,d−tg (F _v ) via son quotient GL _d−tg × Z.

2.2.2. D´ efinition. — Les syst`emes locaux d’Harris-Taylor sont alors les HT g 1

(π v , Π t ) := L(π v [t] D ) 1

⊗ Π t ⊗ Ξ

o` u Π t est une repr´esentation quelconque de GL tg (F v ). La version induite est not´ee HT g (π v , Π t ) :=

L(π v [t] D ) 1

⊗ Π t ⊗ Ξ

× P

(F

) GL d (F v ), o` u l’action du radical unipotent de P tg,d−tg (F v ) est triviale, et celle de

(g ^∞,v , g _v ^c ∗ 0 g _v ^et

!

, σ v ) ∈ G(A ^∞,v ) × P tg,d−tg (F v ) × W v

est donn´ee

— par celle de g _v ^c sur Π t et deg(σ v ) ∈ Z sur Ξ

ainsi que

— celle de (g ^∞,v , g _v ^et , val(det g _v ^c )−deg σ v ) ∈ G(A ^∞,v )×GL d−tg (F v )×Z sur L _Q

l

(π v [t] D ) 1

⊗ Ξ

, o` u Ξ : ¹ ₂ Z −→ Z ^× _l est d´efini par Ξ( ¹ ₂ ) = q ^1/2 .

On dit de l’action de GL tg (F v ) qu’elle est infinit´esimale.

Remarque. En particulier le facteur Π t n’intervient pas r´eellement ni dans le calcul des fais- ceaux de cohomologie, par exemple des extensions interm´ediaires de la notation suivante, ni dans celui des groupes de cohomologie, par exemple de H _c ⁱ (X Iv

,¯ s

,1

, HT ^f 1

(π v , Π t )).

Pr´ecis´ement, d’apr`es la description des actions rappel´ee ci-avant, en tant T <sub>I</sub> × GL tg (F v ) × GL d−tg (F v ) × Z-module, un tel groupe de cohomologie s’´ecrit comme une extension de modules irr´eductibles de la forme M ⊗ Π t ⊗ χ ◦ val ◦ det ⊗ Π v ⊗ χ <sup>−1</sup> , o` u M (resp. Π v ) est un T I -module (resp. une repr´esentation de GL d−tg (F v )) irr´eductible, et χ : Z → Q ^× _l . 2.2.3. Notations. — On pose

HT (π v , Π t ) := HT ^g (π v , Π t )[d − tg], et le faisceau pervers d’Harris-Taylor associ´e est

P (t, π _v ) := ^p j _!∗ ^=tg HT (π _v , St _t (π _v )) ⊗ L(π _v ),

o` u L ^∨ d´esigne la correspondance locale de Langlands.

D’apr`es cf. [1] proposition 4.3.1 compl´et´ee par le corollaire 5.4.1, on a l’´egalit´e suivante dans le groupe de Grothendieck des faisceaux pervers ´equivariants

j _! ^=tg HT (π v , Π t ) = ^p j _!∗ ^=tg HT (π v , Π t ) +

⌊

⌋−t

X

k=1

p j _!∗ ^≥(t+k) HT (π _v , Π _t { −k

2 } × St _k (π _v { t

2 }))(k/2) (2.2.3) On rappelle que π _v ^′ est inertiellement ´equivalente `a π v si et seulement s’il existe un caract`ere ζ : Z −→ Q ^× _l tel que π _v ^′ ≃ π v ⊗ (ζ ◦ val ◦ det). Les faisceaux pervers P (t, π v ) ne d´ependent que de la classe d’´equivalence inertielle de π v et sont de la forme

P (t, π v ) = e π

P (t, π v ) o` u P (t, π v ) est un faisceau pervers irr´eductible.

2.2.4. Notation. — Pour I ∈ I, on notera P I (t, π v ) := P (t, π v ) ^I

le faisceau pervers d’Harris-Taylor sur X I,¯ s

et on ajoutera plus g´en´eralement un indice I pour les HT (π v , Π t ) lorsqu’on les consid`ere `a niveau fini I.

Remarque. Lorsque I _v est un sous-groupe parahorique, le faisceau pervers P _I (t, π _v ) est nul si π v n’est pas un caract`ere.

Le r´esultat principal de [1] sur les faisceaux de cohomologies des faisceaux pervers d’Harris-Taylor, dont on pourra trouver une preuve simplifi´ee dans [7] peut s’´ecrire comme suit sous la forme d’une r´esolution o` u on a pos´e s = ⌊ ^d _g ⌋ :

0 → j _! ^=sg HT ₁

(π _v , Π _t { t − s

2 } ⊗ Speh _s−t (π _v { t

2 })) ⊗ Ξ

−→ · · ·

· · · −→ j _! ^=t+1 HT ₁

(π _v , Π _t {−1/2} ⊗ π _v { t

2 }) ⊗ Ξ

−→ j _! ^=t HT ₁

(π _v , Π _t ) −→ ^p j _!∗ ^=t HT ₁

(π _v , Π _t ) → 0, (2.2.5) o` u pour tout tg ≤ h ≤ d, Π t (resp. Π h−tg ) une repr´esentation de GL tg (F v ) (resp. de GL _h−tg (F _v )), on a not´e

HT 1

(π v , Π t ⊗ Π h−tg ) := HT 1

(π v , Π t ⊗ Π h−tg ) × P

(F

) P tg,d−tg (F v ).

Pour χ _v une repr´esentation cuspidale de GL ₁ (F _v ), i.e. un caract`ere de F <sub>v</sub> <sup>×</sup> , le Z <sub>l</sub> -syst`eme local L 1

(χ v ) est isomorphe `a Z l muni de l’action du groupe fondamental Π 1 (X _I,¯ ^=h _s

) de X _I,¯ ^=h _s

qui se factorise par son quotient Π 1 (X _I,¯ ^=h _s

) ։ D ^× _v,h o` u l’action de D <sub>v,h</sub> <sup>×</sup> est donn´ee par le caract`ere χ v . En remarquant, cf. [ 3 ] lemme 3.0.2, que l’adh´erence X _I,¯ ^≥h _s

de X _I,¯ ^=h _s

est lisse, on en d´eduit que Z _l [d − h] est un faisceau pervers sur X _I,¯ ^≥h _s

qui s’identifie, avec l’action de Π ₁ (X _I,¯ ^=h _s

) comme ci-avant, alors aux deux extensions interm´edaires

p j _!∗ ^≥h L ₁

(χ _v )[d − h] ≃ ^p+ j _!∗ ^≥h L ₁

(χ _v )[d − h]. (2.2.6)

Remarque. D’apr`es le r´esultat principal de [ 3 ], la r´esolution pr´ec´edente (2.2.5) est encore

valide sur Z l . En revanche l’isomorphisme (2.2.6) n’est valable que lorsque la r´eduction

modulo l de π v est encore supercuspidale et pas seulement cuspidale. Dans ce texte nous ne consid´ererons que le cas g = 1, i.e. les π v qui sont des caract`eres χ v .

2.2.7. Notation. — On notera Υ l’ensemble des classes d’´equivalence inertielle des ca- ract`eres de F _v ^× .

2.3. Rel` evement des classes de cohomologie de torsion. — Fixons un plongement σ 0 : E ֒ → Q _l et notons Φ l’ensemble des plongements σ : F ֒ → Q _l dont la restriction

`a E est σ ₀ . On rappelle alors qu’il existe une bijection explicite entre les repr´esentations alg´ebriques irr´eductibles ξ de G sur Q _l et les (♯Φ + 1)-uplets

a 0 , ( − → a σ ) σ∈Φ

o` u a 0 ∈ Z et pour tout σ ∈ Φ, on a − → a σ = (a σ,1 ≤ · · · ≤ a σ,d ). Il existe alors une extension finie K de Q _l telle que la repr´esentation ι ⁻¹ ◦ ξ de plus haut poids a 0 , ( − → a σ ) σ∈Φ

, est d´efinie sur K . On note W ξ,K l’espace de cette repr´esentation et W ξ,O un r´eseau stable sous l’action du sous-groupe compact maximal G(Z l ) et o` u O d´esigne l’anneau des entiers de K.

Remarque. Si on suppose que ξ est l-petit, i.e. que pour tout σ ∈ Φ a _σ,d − a _σ,1 < l, alors un tel r´eseau stable est unique `a homoth´etie pr`es.

Notons λ une uniformisante de O et soit pour n ≥ 1, un sous-groupe distingu´e I _n ∈ I de I ∈ I, compact ouvert agissant trivialement sur W ξ,O/λ

:= W ξ,O ⊗ O O/λ ⁿ . On note alors V ξ,O/λ

le faisceau sur X I dont les sections sur un ouvert ´etale T −→ X I sont les fonctions

f : π 0

X I

× X

T −→ W _ξ,O/λ

telles que pour tout k ∈ I et C ∈ π 0

X I

× X

T , on a la relation f (Ck) = k ⁻¹ f(C).

2.3.1. Notations. — On note V _ξ,O = lim _←

n

V _ξ,O/λ

et V _ξ,K = V _ξ,O ⊗ _O K.

On utilisera aussi la notation V _ξ,Z

et V _ξ,Q

l

pour les versions sur Z l et Q _l respectivement ainsi que

HT _ξ (π _v , Π _t ) := HT (π _v , Π _t ) ⊗ V

_i,Q

l

.

Remarque. La repr´esentation ξ est dite r´eguli`ere si son param`etre a ₀ , ( − → a _σ ) _σ∈Φ est tel que pour tout σ ∈ Φ, on a a σ,1 < · · · < a σ,d .

On rappelle le r´esultat principal de [6] qui permet de relever en caract´eristique nulle les classes de torsion.

2.3.2. Th´ eor` eme. — (cf. [6] corollaire 2.9) Soit i tel que le sous-module de torsion

de H ⁱ (X I,¯ η , V _ξ,Z

) ^m est non nul. Alors pour tout v ∈ Spl(I ), il existe une repr´esentation

irr´eductible ξ-cohomologique Π(v) non ramifi´ee en toute place w 6= v ne divisant pas I et

dont les param`etres de Satake modulo l en w sont donn´es par S ^m (w).

Remarque. La composante en v de Π(v) est ramifi´ee et d’apr`es loc. cit. en utilisant le lemme 1.1.7, poss`ede des vecteurs non nuls invariants sous un certain sous-groupe parahorique associ´e `a une partition de la forme (m ≥ 1 ≥ 1 ≥ · · · ≥ 1).

D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, pour prouver 1.3.2 il suffit alors de montrer, cf. la pro- position 3.3.1, qu’il existe un niveau I ^′ de la forme I ^′ = I ^v I _v ^′ o` u I _v ^′ est un sous-groupe parahorique contenant strictement I v tel que la localisation en m de la cohomologie de X I

`a coefficients dans V ξ est non nulle et donc, par maximalit´e de m n´ecessairement de torsion.

3. Preuve du th´ eor` eme principal

3.1. Suite spectrale de Rapoport-Zink. — On consid`ere `a pr´esent un niveau I ∈ I tel que la composante I v de I `a la place v est le sous-groupe parahorique standard Iw v (m) associ´e `a la partition m = (m ₁ ≥ m ₂ ≥ · · · ≥ m _r ) de d. Avec les notations de 2.1.2, la vari´et´e de Shimura X _I admet une r´eduction semi-stable `a la place v ce qui permet de reprendre les constructions de Rapoport-Zink, cf. par exemple [11] §3.

3.1.1. Notation. — On note RΨ I;v (Z l ) le complexe des cycles proches sur X I,¯ s

.

Rapoport et Zink construisent en particulier un bicomplexe A ainsi qu’un isomorphisme de complexes

RΨ I,v (Z l ) ≃ s(A)

o` u s(A) est le complexe simple associ´e `a A ainsi qu’un morphisme ν : A −→ A[−1, 1](−1)

qui via l’isomorphisme pr´ec´edent fournit

(T − 1) ⊗ T ^∨ : RΨ I,v (Z l ) −→ RΨ I,v (Z l )(−1).

Le bicomplexe A est ensuite muni d’une filtration croissante W • A de sorte que les gradu´es correspondant gr ^W _• s(A) sont les gr ^W _• s(B) o` u B est le bicomplexe `a diff´erentielles nulles, cf.

les notations 2.1.2

a r,∗ Z l

a r−1,∗ Z _l a r,∗ Z _l (−1)

· · ·

a 1,∗ Z l a 2,∗ Z l (−1) · · · a r,∗ Z l (−r + 1)

o` u le coin en bas `a gauche correspond `a (0, 0) et o` u W _r B est obtenu en appliquant le foncteur de troncation canonique τ ≤r+q `a la q-i`eme ligne de B. Ainsi le gradu´e gr ^W _r RΨ I,v (Z l ) a pour faisceaux de cohomologie

H ⁱ gr ^W _r RΨ I,v (Z l )

i≥0 =

z }| { ^r

0, · · · , 0, a _|r|+1,∗ Z l (−|r|), a _|r|+3,∗ Z l (−|r| − 1), · · ·

. (3.1.2) Rapoport et Zink montrent en outre que l’op´erateur (T − 1) ⊗ T ^∨ d´efini plus haut, induit un isomorphisme

((T − 1) ⊗ T ^∨ ) ^r : gr ^W _r RΨ I,v (Z l ) −→ ^∼ gr ^W _−r RΨ I,v (Z l )(−r). (3.1.3)