Semi-groupes de contractions de classe <span class="mathjax-formula">$C_0$</span> de l’espace de Hilbert

B ULLETIN DE LA S. M. F.

T ^ON -T ^HAT L ^ONG

Semi-groupes de contractions de classe C

de l’espace de Hilbert

Bulletin de la S. M. F., tome 102 (1974), p. 109-127

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102, 1974, p. 109-127.

SEMI-GROUPES DE CONTRACTIONS DE CLASSE Co DE L'ESPACE DE HILBERT

PAR

TÔN-THÂT LONG (*)

RÉSUMÉ. — Une contraction complètement non unitaire T est, d'après SZ.-NAGY et C. FOIAS, dite de classe Co s'il existe une fonction analytique non nulle m de classe H^ telle que m (T) == 0. Il existe alors, parmi les fonctions non nulles m de classe H00 telles que m (T) = 0, une fonction intérieure mr dont toutes les autres sont des multiples. La fonction m-r est déterminée de façon unique, à un facteur constant près, et est appelée la fonction minimale de T.

Dans ce travail, on caractérise tous les semi-groupes continus de contractions de classe Co et cela par l'intermédiaire de la fonction minimale du cogénérateur de semi-groupe donné. On note en particulier que, si le cogénérateur d'un semi- groupe continu de contractions est de classe Co, alors le semi-groupe n'est pas nécessairement de classe Co. On étudie aussi certaines propriétés des semi-groupes (non nécessairement continus) qui possèdent une propriété de la forme :

« II existe un élément du semi-groupe qui est (ou qui n'est pas) de classe Co ».

0. Introduction

Soit (T(s))^Q un semi-groupe continu de contractions dans un espace de Hilbert J'f, Sz. NAGY et C. FOIAS ont montré que le semi-groupe peut être complètement déterminé par son cogénérateur T. De façon plus précise, l'opérateur T, défini par

7 _ 1 -L o

T=\im^a,(T(s)), où ^(z) = ————, z—l—s

est une contraction, dite cogénérateur du semi-groupe et, réciproquement, le semi-groupe est donné, à partir du cogénérateur T, par les relations

T(s) = ^(T) pour tout s > 0 et où ^(z) = exp (s z+- }.

\ z- ^ } ( *) Équipe de Recherche n° 1 : « Processus stochastiques et applications », associée au C. N. R. S.

110 TÔN-THÂT LONG

On sait aussi que la nature de certains semi-groupes est analogue à celle de leurs cogénérateurs. Par exemple, pour qu'un semi-groupe soit de classe C^p, il faut et il suffit que son cogénérateur T soit une contraction de la même classe.

Ce travail est consacré à l'étude des propriétés des contractions de classe CQ liées à l'étude des semi-groupes de contractions. Il est clair que, si (T(s))^Q est un semi-groupe de contractions de classe CQ, alors le cogénérateur Tdu semi-groupe est aussi de classe Co [en effet, sif(T(s)) == 0, on a aussi

(/o^)(T) =/(^(T)) =/(T(s)) = 0,

où/o ^ est la fonction composée de/par ^], et on se demande si la réci- proque de cette propriété est exacte.

On démontre que, contrairement au cas des contractions de classe C^p, cela n'est pas le cas. On obtient ensuite des caractérisations de tous les semi-groupes continus de contractions de classe Co.

Il est clair aussi que, s'il existe un scalaire positif s ' tel que T ( s ' ) soit une contraction de classe C^p (par exemple), alors les contractions T(s), s > 0, sont toutes de même classe. On va voir que cette propriété n'est pas exacte dans le cas des contractions de classe Co. On obtient, cependant, certains résultats pour les semi-groupes (T(s))^Q non nécessairement continus, qui possèdent une propriété de la forme : « II existe un scalaire s ' > 0 tel que T ( s ' ) est (ou n'est pas) une contraction de classe Co ».

1. Notations et énoncé des résultats principaux

Dans la suite, on donne un semi-groupe de contractions (T(s)\^Q dans un espace de Hilbert Jf'. Si le semi-groupe est continu, on note T son cogénérateur, et on suppose que T est une contraction de classe Co.

La fonction minimale m^ de T est alors de la forme mr(z)==^(z).^(z).5,(z)

a a-z V^

^poTT

z Ho^aeA

H \-az, z+l\ / f z + e "

—— ) exp| ———

(

xexp v — — . e x p ——^(0 V z-1 ) ' ^ i z - e^{1 1}

où B^ est un produit de Blaschke ayant A comme ensemble des zéros pa est la multiplicité du zéro a de m^ [on a donc nécessairement

TOME 102 — 1974 — ?1

T^aeAPa (1 — ût |) < °oL ^ ^ 0» et 5^ est une fonction singulière corres- pondant à une mesure singulière finie u ^ 0 sur l'intervalle (ouvert à gauche et fermé à droite) / == ) — 71,71), telle que a ({ 0 }) == 0.

Pour chaque scalaire s > 0, on note A, l'ensemble des scalaires de la forme ^ (a), où a parcourt l'ensemble A des zéros de m^ et, pour b e A „ posons

^ , = s u p { ^ ; a e A et & = ^ ( a ) } .

Le théorème suivant donne une caractérisation partielle des semi-groupes continus de contractions de classe CQ.

1.1. THÉORÈME. — m^ étant une fonction intérieure donnée, les condi- tions suivantes sont équivalentes :

(B) EfceA, ^ 0 — | b !) < ^ Pour tout s > 0;

(Bl) EaeA^a (1 —— | ^ OO |) < 00 pOUr tOUt S > 0;

(B^) 5'' <?7ûwr wz scalaire positif donné, alors ^aeA Pa (1 — esf (û) [) < 00 î (B^) m^ n'a qu'un nombre fini de zéros positifs ou nuls et

E R ^ a e A ^ ( l - ^ ) ( l - œ S ? l ) ~1 < 00 OU ^R^ a e A Pa (1 - r) À ~2 < 00 ;

où, si a e A, on écrit a = \ a [ e^ == r e^ avec — n < À- ^ TT.

5'? Wj, ^? M/Z^ fonction de Blaschke, ces conditions sont aussi équivalentes à la condition

(G) (T (s)\ > o est un semi-groupe continu de contractions de classe CQ.

La fonction minimum m^ç^ de T (s) est alors donnée par

^ rr ( b b-z Y'

^(s) (z)==[[be A, .—T ——— pour tout s > 0.

\ H i-bz7

Maintenant, pour chaque entier relatif n e Z et chaque scalaire positif 5', soit a^ le point (unique) de 1 donné par

a5, = 2 Arctg i ^{— s} ,(2n-l)7i,

On note que la famille (^)nez f0™^ une suite telle que o^ ==—oc5.^^^,

— î r < a^ < ^-n-i < 0 si 7î > 0 et lim^.^ o^ = 0. Posons aussi T^(O = 2 Arctg ( -——5— ) pour tout te)-K,n).

\ r + 2 n î T /

112 TÔN-THÂÎ LONG

Pour n ^ 0, les fonctions T^ sont continues, décroissantes et, lorsque t décrit l'intervalle /, ^ décrit l'intervalle 1^ = (oc^i, o^(. De même, lorsque

^ décrit /, T^ décrit l'ensemble IQ == )aâ, 71) u) — TT, o^) de façon monotone (si on identifie / au cercle unité du plan complexe, on note que chaque ensemble 7^ est identifié alors à un arc de cercle, même pour n = 0). De plus, on a

J^n^==0 si m^n et U n e z ^ = ^ - { 0 } .

Au point de vue de la théorie de la mesure, ^ est une transformation mesurable, biunivoque, qui transforme l'espace mesurable / (muni de la tribu borélienne) en 7^.

La mesure ^ étant donnée, soit ^ la restriction de la mesure [i sur /^, c'est-à-dire la mesure sur /^ définie par

^nW = PW pour tout ensemble mesurable E de J^,

et soit H^ la mesure (absolument continue par rapport à la mesure ^ „) sur 1^ définie par

K n (E) = s (1 - cos À,) ~1 ^ „ (À) pour tout ensemble mesurable E de 1^

J E

Cela étant, soit ^ = |^ (r^) la transformée de p^' „ dans la transfor- mation mesurable (r^)"1, c'est-à-dire la mesure sur / définie par

^nW == Kn^^O) P0111' tout ensemble mesurable E de J, et posons

H,=sup^^^^

(la borne supérieure étant prise dans l'espace des mesures).

Avec ces notations, la caractérisation des semi-groupes continus de contractions de classe CQ est donnée aussi par les deux théorèmes suivants : 1.2. THÉORÈME. — On suppose que m^ est une fonction singulière de la forme S^. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(S) d\jis (t) < oo pour tout s > 0;

J i

(G)(T(s))^Q est un semi-groupe continu de contractions de classe CQ.

Dans ces conditions, la fonction minimum m^^^ de T (s) est donnée par

a

^T(S) 0) = exp ——, d\ji ,(t ) pour tout s > 0.

z-e11 )

TOME 102 —— 1974 —— N° 1

D'autre part, les conditions précédentes sont vérifiées, en particulier si (Si) (1 — cos À)-1 4i (À) < oo ou I ^-2 4i (À) < oo.

1.3. THÉORÈME. — Les trois conditions suivantes sont équivalentes : (G)(T(s))^o est un semi-groupe continu de contractions de classe Co;

(Gi) pour tout s > 0, il existe m,, k, e H °° ; m, ^ 0 telles que m, o e, == ^. m^ ; (G^) /û condition (S) rfM théorème 1.2 et l'une des quatre conditions (B), (Bi), (B^) ^ (33) afM théorème 1.1 .sw^ vérifiées.

Dans le cas général, où le semi-groupe donné n'est pas nécessairement continu, on a le résultat suivant :

1.4. THÉORÈME. — Soit (T (s))^o un semi-groupe (non nécessairement continu) de contractions, alors :

1° S'il existe s ' > 0 tel que T ( s ' ) soit de classe CQ, alors T(s) est aussi de classe CQ, du moins pour une famille de scalaires s formant un ensemble dense dans R⁺.

2° S'il existe s " > 0 tel que T ( s " ) ne soit pas une contraction de classe CQ, alors les contractions T(s) ne sont pas de classe CQ, du moins pour une famille de scalaires s formant un ensemble dense dans R+.

Pour terminer ce paragraphe, on va démontrer le lemme suivant qui sera utile dans toute la suite :

1.5. LEMME. — Soit T ' une contraction de la forme T ' ==f(T),feH°°, telle que (m o/) (T) = m ( T ' ) pour toute fonction m de classe H00, alors : 1° Pour que T ' soit de classe Co, il faut et il suffit qu'il existe des fonctions m et k de Hw, avec m ^ 0, telles que m o/== k.m^ La plus petite de ces fonctions m est alors la fonction minimum de T ' .

2° Si m^ est le produit d'un nombre fini de fonctions intérieures m,, i e J , la condition précédente est équivalente à la condition suivante : « Pour tout i e J , il existe m\, k ^ H ^ ' , m\ ^ 0, telles que m\ of== k^m^. ».

Démonstration. — Pour que T ' soit de classe Co, il faut et il suffit qu'il existe meH^, m -^ 0, telle que m ( T ' ) == 0. Il en résulte que

(mo/)(T) = m(/(T)) = m(T') = 0,

c'est-à-dire que m o/ est un multiple de m^, et réciproquement.

114 TÔN-THAT LONG

Si w, est un diviseur de m^ on peut écrire m^ == m,.m\ où m' e H ^ , et la relation mof=k.m^ s'écrit m^f={k.m')m,. Il existe donc m5' et A;, dans ^f00, ^ ^ 0 telles que m\ of== k^m, (par exemple m\ == m et k, = k.m'). Réciproquement, si cette propriété est vérifiée, pour tout î e J , on obtient

(n»e.m;.)o/=n.e.m,o/=n-.^.m,

= (Hi e J k,) ([[i e j m,) = (fif e J k,) ^,

et le lemme est démontré.

Dans la suite, nous utiliserons le lemme précédent seulement dans les deux cas particuliers suivants : f(z) = e, (z) et/(z) = z" avec neN.

La relation (m o/) (T) = m (T') == m (/(T)) résulte alors du théo- rème III. 2.1. de [2].

2. Comportement des zéros de m^. Cas des produits de Blaschke

Ce paragraphe est consacré à l'étude des zéros de m^ lorsque (T(s))^Q est un semi-groupe continu de contractions de classe CQ. Le résultat essentiel est la démonstration du théorème 1.1. Pour cela, nous avons besoin des résultats préliminaires suivants :

2.1. LEMME. — La fonction m^ étant donnée, il existe un scalaire s " > 0 tel que

e^'(a) -^ e^(a') pour tout a, a ' e A et a ^ a'.

Démonstration. — Notons que, pour tout a, a' e A et a ^ a\ une relation de la forme e, (a) == e, (a') est équivalente à la relation

/ f l + 1 f l ' + l \ -1 1

s = —---—— .——, où neZ.

\a-l a'-l/ 2nni

Comme Z et A sont dénombrables, l'ensemble S des scalaires s tels qu'il existe a, a ' e A ; a ^ a' et e,(a) = e,(a') est donc dénombrable.

Le complémentaire R+ — S de S dans R+ est donc non vide et, pour un s "

de R+ — S, on a évidemment

e^(a) ^ e^(a') pour tout a, a'eA et a + a'.

TOME 102 —— 1974 —— N° 1

2.2. PROPOSITION. — On suppose que F ensemble A des zéros de m^ est infini et que Pune des conditions (B), (B^) et (B^) du théorème 1.1 est vérifiée. Alors :

1° Pour tout a = r e1^ eA, À e / et r > 0, on a\ ^ 0 sauf, peut-être, pour un nombre fini d'éléments de A. En particulier, si A contient une sous-suite infinie de réels, cette sous-suite converge nécessairement vers — 1.

2° On a, d'autre part :

lim^ACl-^'^lim^^l-rXI-cosÀ)-1^

suivant le filtre des sous-ensembles finis de A. En particulier, aucune sous- suite infinie de A ne converge vers 1 non tangentiellement.

Démonstration. — II est évident que la condition (B^) implique la condi- tion (B^). D'autre part, d'après le lemme précédent, il existe s " > 0 tel que

e^(a) 1=- e^(a') pour tout a, a' eA tel que a 1=- a ' . Il en résulte que

E . e ^ ^ ( l - | ^ l ) = E a e A P . ( l - | ^ ( ^ ) | ) ,

et la condition (B) implique la condition ^aeAPa(.^—\ es" (a) \) < CQ' Pour démontrer la proposition, on peut donc supposer que la condition (B^) est satisfaite. En particulier, on a lim^g^ | e^ (a) \ == 1.

Si A contient une sous-suite infinie A' de réels positifs, cette sous-suite converge nécessairement vers 1, qui est le seul scalaire positif situé sur le cercle unité. Il en résulte que

l i m ^ ^ | ^ ( û ) [ = l i m ^ i , o < a < i exp (s' a—— ) = 0,

\ ^ - V ce qui est contraire à la propriété lim^g^ [ e^ (a) | = 1.

Si A contient une sous-suite réelle infinie A', cette sous-suite admet nécessairement des points d'accumulation, qui doivent être 1 ou — 1 ou 1 et — 1. Comme A ne contient qu'un nombre fini de réels positifs, le seul point d'accumulation de A' est — 1, et on obtient lim^g^ a = —1.

D'après la première partie de la proposition, dans la suite de la démons- tration, on peut supposer que A ne contient aucun réel positif ou nul.

On note d'abord que l i m ^ g ^ r = 1 (car les points limites des zéros de m^ sont sur le cercle unité). L'expression explicite de ) e^ (a) ) :

, / , , / -5'(l-r²) \ / -s'(l+r) \

e (a) = exp ( ————-————- = exp ( ———————-——-_____ |,

1 ' V l + r ^ r c o s À / \l-r+(2r(l-cosX))/(l-r)7

116 TÔN-THÂT LONG

et la condition lim^^ [ e^ (a) [ = 1 impliquent alors nécessairement hm^A,———-=0.1-r

1—COS À

Comme — TT < K ^ TT, le dernier résultat est équivalent à la propriété lim^g^ (1 — r ) ' k ~² = 0, qui implique à son tour qu'aucune sous-suite de A ne converge vers 1 non tangentiellement. En effet, la convergence de a ==• r e^ vers 1 non tangentiellement veut dire que la quantité (1 — r)~1 À- est, en valeur absolue, bornée par une quantité finie et, par suite, lim (1 — r)~¹ ?i² == 0 (car lim À, == 0) c'est-à-dire lim (1 — r) 'k~² = oo, ce qui est incompatible avec la propriété lim^^ (1 — r ) ' k ~2 = 0.

2.3. PROPOSITION. — On suppose que (T(s)\^Q est un semi-groupe continu de contractions de classe CQ. Si a est un zéro de m^ alors e^ (a) est, pour tout s > 0, un zéro de la fonction minimum m^ç^ de T(s). La multiplicité du zéro e^ (a) de m^ç^ est au moins égale à la multiplicité correspondante du zéro a de m^.

Démonstration. — En effet, la relation m^ (a) = 0 donne

^(^(fl)) == ^(a) m^Ça) = 0

pour toute fonction m^ de H '0 vérifiant une relation de la forme m,oe,=k,.m^

II en résulte que

m^ (z) = (z - a). m^ (z), m, (z) = (z - ^ (a)). m^ (z) avec

m^, m^eH^, et on obtient

^2 (^ (û)) = lim^ m^ (e, (z)) = lim^ ( z a k, (z) m^(z)\

\e,(z)-e,(a) ) -(a-1)2 , , _

=———— ^(û)mi(a).

2s^(a)

Si la multiplicité du zéro a de m^ est au moins égale à 2, on a w^ (a) == 0, et la relation précédente donne m^ (e^ (a)) == 0. La multiplicité du zéro e,, (a) de m^ est donc au moins égale à 2 et ainsi de suite . . . La proposition est maintenant une conséquence du lemme 1.5.

2.4. Procédons à la démonstration du théorème 1.1.— Si m^ n'a qu'un nombre fini de zéro, les conditions (B), (B^), (B^) et (B^) sont toutes véri-

TOME 102 — 1974 — ? 1

fiées. On peut donc supposer, dans la suite, que A est un ensemble infini et même, d'après la proposition 2.2, qu'aucun zéro de m^ n'est réel po- sitif ou nul.

Cela étant, pour s fixé et s > 0, une condition de la forme

E a e A P a ( l - K ( ^ ) | ) < 00

est équivalente à la condition

^a.A\eM\pa^Q,

qui, d'après l'expression explicite de [ ^ (a) \ donnée dans la démonstration de la proposition 2.2, est équivalente à la condition

exp (^———-^l+r) ) ^ 0.

\ l-r+(2r(l-cos?i))/(l-rV

Comme la série dans l'exponentielle est à termes négatifs, la condition précédente est équivalente à la condition

ou même à

y _ _ _ _ P a ^ + r ) ^

^l-y^rCl-cosrO/Cl-r)

E a e A P a ( l - ^ ( l - C O S ^ T1 < 00.

Ce raisonnement montre que les deux conditions (B^) et (B^) d'une part, les deux conditions (B^) et (B^) d'autre part, sont équivalentes. Les trois conditions (B^), (B^) et (B3) sont donc équivalentes.

Les inégalités

E b e A ^ ( l - H ) ^ L » e A P a ( l - | ^ ) | ) POUr tOUt S > 0

montrent aussi que (B) est une conséquence de la condition (Bi), et le lemme 2.1 (avec s ' = s " ) implique que la condition (B) entraîne la condi- tion (B^). Les quatre conditions (B), (Bi), (B^) et (B3) sont donc équi- valentes.

Supposons maintenant que (T(s)\^Q soit un semi-groupe continu de contractions de classe Co. D'après la proposition 2.3, l'ensemble Â^ fait partie de l'ensemble des zéros de la fonction minimum m^^. de T(s) et, pour tout beA^ la multiplicité du zéro b de w— est au moins égale à p^ pour tout aeA tel que b == e, (a). La multiplicité du zéro b de m^^

est donc au moins égale à ^ --= sup [p^ aeA et b == e, (a)}.

118 TÔN-THAT LONG

Ainsi le produit de Blaschke Bs, donné par

n ( \ n (

~~

Y

BsW==[[beA,( T . ————— ,

\ \b\ 1-bz/

est un diviseur de m-y^ et doit, pour cette raison, satisfaire à la condition (B) E&e^(l-H)< oo pour tout s > 0 .

Réciproquement, si la condition (B) est vérifiée, le produit de Blaschke Bs est bien défini dans H^ et B^ -^ 0. D'autre part, pour tout a e A, il existe b e As tel que b == e^ (a) et, par suite, a est un zéro de By ° e^. Comme l'équation e^ (z) = b (où l'inconnue est z) n'admet que des racines simples, la multiplicité du zéro a de B^ ° e^ est effectivement égale à q^ c'est-à-dire plus grande que la multiplicité pa du zéro a de m^. Cela veut dire aussi que B, o e, est un multiple de z^ si a == 0, de ((a/\ a [) [(a—z)/(l—Œz)])pa

si â^O.

Si m^ est un produit de Blaschke, ce dernier résultat veut dire aussi que B^°e^ est un multiple de m^. D'après le lemme 1.5, (T(s)\^Q est alors un semi-groupe de contractions de classe CQ et, pour tout s > 0, 2?5 est la fonction minimum de T(s).

2.5. COROLLAIRE. — On suppose que m^, est un produit de Blaschke et que 1 n'est pas un point d'accumulation des zéros de m^ alors (T(^))s>o est

un semi-groupe de contractions de classe CQ.

Démonstration. — Dans l'hypothèse donnée, on peut supposer que 0 < a < \'k\ ^ n pour tout a = re^eA,

et la convergence de la série Y,aeAPa(\—r)^~2 est équivalente à celle de la série ^aeAPa (1 — [ a [)• Or, comme m^ e H^, la dernière série est toujours convergente. Le corollaire est donc démontré.

2.6. COROLLAIRE. — Si (T(s)\^Q est un semi-groupe continu de contrac- tions de classe CQ, alors l'ensemble A des zéros de m^ ne contient aucune sous-suite infinie de solutions d'une équation de la forme e^ (z) == b, où b eD et s > 0. En particulier, si A est infini, les ensembles As (où s > 0) sont des ensembles infinis.

Démonstration. — En effet, si A contient une sous-suite infinie A' telle que e^ (a) ==== b pour tout a e A ' , on a alors

^aeA-Pa^-\e^a)\)=YaeA'Pa^-\b\)=^

TOME 102 — 1974 — ?1

En particulier, cela implique la divergence de la série ^aeA Pa (1 — | ^es (^a) |)?

et la condition (B^) n'est pas vérifiée.

3. Comportement de la mesure |x. Cas des fonctions singulières

Dans ce paragraphe, on va examiner le comportement de la mesure sin- gulière (i lorsque (T(s))^Q est un semi-groupe continu de contractions de classe CQ. D'après le lemme 1.5 (deuxième partie), on peut, sans sortir du cas général, supposer même que m^ est une fonction singulière de la forme 5^, où ^ ( { 0 } ) == 0. La restriction ^ ( { 0 } ) = = 0 est justifiée par le fait que, lorsque m^ est la fonction singulière e^ avec v > 0 correspon- dant à une mesure ponctuelle placée au point z == 1, la solution obtenue n'est pas de même nature que celle obtenue dans la suite de ce paragraphe.

Nous avons besoin du résultat préliminaire suivant :

3.1. PROPOSITION. — Si (T(.s'))s>o ^{est un} semi-groupe continu de contrac- tions de classe CQ, et si la fonction minimum m^ de T est une fonction singulière de la forme S^, alors, pour tout s > 0, la fonction minimum m^ç^

de T (s) est une fonction singulière.

Démonstration. — II suffit de démontrer que m^^ n'a aucun zéro. Or, si z = 0 est un zéro de m^ç^, on peut écrire m^ç^ = z.m^ (z) avec m^eH^, et une relation de la forme m^ç^ o ^ === h^m^ (avec ^ e77°°) devient

e, (z). m^ Ce, (z)) = h, (z). m^ (z).

Comme m^ est premier avec e^ [car H ({ 0 }) == O], la fonction e^ doit être un diviseur de /^. On peut donc écrire h, = e^.k, (avec k^eH^), et on obtient m^ o e^ == ky.m^.

Si z == b est un zéro non nul de m^ç^, on peut écrire

^(^CO^-^-^O)

(avec m^ eAT00 et m^ -^ 0). Soit B le produit de Blaschke dont l'ensemble des zéros coïncide avec l'ensemble des solutions de l'équation ^ (z) = b, on a alors

e,(z)-b=B(z).g(z), où

gejFf⁰⁰ et ^(z^O pour tout z e D = { z ; j z [ < 1}.

120 TÔN-THÂT LONG

La dernière propriété veut dire que g~1 est analytique dans le disque D.

Sur la fronctière on a, d'autre part,

r+^ l^l" ^{1 =} l^)^)-^" ¹ ! = i^oo-^i- ¹ ^ —,-p.s.,

et ^•~1 est une fonction dans Jf00.

Cela étant, une relation de la forme w^ o e, == h^m^ devient B (z). g (z). m^ (^ (z)) = h, (z). m^ (z),

et montre que 5 est un diviseur de ^ (en effet, Wy est une fonction sin- gulière et, par suite, est première avec B). On peut donc écrire h, == B.f (avec feH00), et on obtient m^ o ^ = (fg~1) m^.

Ainsi, dans les deux cas, m^ n'est plus la plus petite des fonctions m, vérifiant une relation de la forme m, ° e, == Â^.W^. La proposition est alors une conséquence du lemme 1.5.

3.2. Passons à la démonstration du théorème 1.2. — Si (T(s))^Q est un semi-groupe continu de contractions de classe CQ alors, pour tout s > 0, la fonction minimum m^^) de T(s) est, d'après la proposition précédente, une fonction singulière. Soit maintenant m^ une fonction singulière correspondant à une mesure singulière v, et vérifiant une rela- tion de la forme m^ o ^ == k^.m^ avec k ^ e H ^ .

D'autre part, en utilisant les notations du premier paragraphe, on a aussi le développement suivant :

^(z)+^_^ I-COST;(O z+e^

^(z)-^ Lnez s z^^' ce qui donne

m,^(z))=exp('fîs(z)^^v,(o)

\Ji^(z)-^ )

»

z+^œ l - c o s ^ ( 0 , , ^

= e X p S,eZ———^) ——————————dv,(t)

z-e1^ s ^

/^ fz+ê¹^⁰ I - C O S T ^ O ) - , ^ ' ^ ( ^ - i z ^ œ — — T — — ^

/^ f z + ê1^0 l - C O S T ^ O ) . , \

'(^-iz^œ——T——^^)

-xpfc.J^lr^,^^-)^,

\ J j ^ Z — ^ 5 /

TOME 102 — 1974 — ? 1

et m^ o ^ sera un multiple de m^,

m^z) == exp 1 [ ^d^)} = exp ( ! ^d^)}

\Jiz-e^ ) \Ji-(0}Z-^ )

(^ f zW .A (^ f zW , .A

=exp L,ez ——^(^) =exp E,ez ——TX^"^ '

\ Ji,\z-e1^ ) \ Ji^z-e^ )

si, et seulement si,

^,n^^s,n POUr tOUt H G Z,

où v^ est la mesure sur /^, définie par

V,1 „ (£) = ——cos- d (v, (T^)~ 1) (X) pour tout ensemble mesurable E de 1^

J E s II en résulte que

Vs(0~1 ^ K" P0111' tout / î e z' ou, de façon équivalente,

Vs ^ K n < = l^s, n PO^ fout M e Z, et, par suite,

Vs^^PneZ^s,n=^s'

Comme v, est une mesure finie sur /, ce dernier résultat donne (S) ^(0 ^ ^(0 < oo pour tout s > 0.

Réciproquement, si cette dernière condition est vérifiée, la fonction singulière S's, associée à la mesure ^ est bien définie et, d'après la défi- nition même de ^5, la fonction 5, o ^ est un multiple de m^. Le semi- groupe (T(s))^Q est donc de classe CQ, d'après le lemme 1.5. Ce lemme et ce que nous avons vu plus haut montrent aussi que 5, est la fonction minimum m^^ de T(s).

Enfin, comme ^ = sup^ [i,^ ^ ^^ n^, on a

f ^ ( O ^ S . e z f ^ . ( 0 = E . e z f ^ ^

J l J l JJ;:1—COSÀ

- f '^.f"'^ [c,r,({0))-0].

j j - { 0 } 1—COS A J j l — C O S À

122 TÔN-THÂT LONG

La condition (Si) implique donc la condition (S), et le théorème 1.2 est démontré.

3.3. COROLLAIRE. — Si m^ est une fonction singulière de la forme S , et si le support de la mesure [i ne contient pas le point K == 0, alors (T(s))^Q est un semi-groupe de contractions de classe Co.

Démonstration. — Dans l'hypothèse donnée, on peut supposer que 0 < a < | À-1 ^ n pour tout point ^ dans le support de H et, par suite,

f d^w ] r i r

——— ^ ,——:—— d^(K) ^ ——-—— d^) < oo J j l - c o s À 1-cos a j { | ? L | > a } 1 — c o s a j j

et la condition (Si) est vérifiée.

3.4. COROLLAIRE. — S'il existe s ' > 0 tel que e,, (e11) ^ e^ (e1^) pour tout t et t ' du support de ^ alors les deux conditions (S) et (Si) sont équivalentes.

Démonstration. — En effet, dans l'hypothèse considérée, on a

^ = ^PneZ^,n = EneZ^,n

et par suite

f^w=S^zf^,,w= f i^w^f^^).

^I J I J j - { 0 } l — C O S ^ J l l - C O S X

L'hypothèse d^ (k) < oo implique donc [4i (À,)/(l — cos X)] < oo, et le corollaire 3.4 est démontré.

Dans la suite de ce paragraphe, on suppose que le support de la mesure ^ est dénombrable ou, plus généralement, ^ est une somme de masses po- sitives o^ placées aux points À- d'un ensemble dénombrable L de points de /— { 0 }. Soit alors L, l'ensemble des scalaires u e /tels que e^ = e^ (e^) pour un certain À- e L et, pour chaque u e Ly posons

P" = sup {5.a,(l-cos ^)-1; Ke L et e1" = e,(^)}.

On note d'abord que la condition (S) est identique à la condition (s/) E«eL. P" < °o pour tout 5 > 0

et la condition (Si) à la condition

(Sl)ExeL a' - < 00 OU I,eL^~2 OC, < 00.

-L — COS À

TOME 102 — 1974 — ? 1

Avec ces notations, on peut améliorer le théorème 1.2 par le théorème suivant :

3.5. THÉORÈME — Les deux conditions (S7) et (S[) sont équivalentes.

D'autre part, si ces conditions sont vérifiées, et si L est un ensemble infini, alors :

1° lim^g^ (1 — cos À-)"¹ o^ = lim^g^ K~² o^ === 0, suivant le filtre des sous- ensembles finis de L.

2° 5";7 existe s' > 0 tel que Z^/ soit un ensemble fini, alors lim^g^ 'k == 0.

Démonstration. — Comme L est un ensemble dénombrable, un raison- nement analogue à celui de la démonstration du lemme 2.1 montre qu'il existe s " > 0 tel que e^ (e^) ^ e^ (e1^) pour tout À,, À-' dans L et X 7^ ^/. En particulier, on a

EueL^P" == E.eL^(l-COS ^)-1,

ce qui montre que (S7) implique la condition (S^).

La partie 1° du théorème résulte de la convergence de la série

ZîieL (1 —— cos ^)~1 ^ ou ^e ^a serle Z?ieL ^ ~2 ^X-

Dans l'hypothèse de la dernière partie du théorème tout point À, de L est une solution d'un nombre fini d'équations de la forme e^ (e11) = e1", où u e L^. Un élément quelconque de L est donc de la forme ^ tel que

— s/c o t g ( 2- lÀ , „ ) = K + 2 n 7 T , où ue Ls' et neZ.

Or, pour u fixé dans L,. et pour | n [ assez grand, on a ^ ^ (— s'fn) et, par suite, lim^g^ ^ = 0. Comme L^ est fini, on a aussi lim^g^ À< = 0, et le théorème est démontré.

Pour terminer le paragraphe, notons que, contrairement à une propriété analogue dans le cas des produits de Blaschke et exprimée par le corol- laire 2.6, l'hypothèse faite dans le 2° du théorème 3.5, peut être réalisée effectivement. En effet, soit u un scalaire non nul de I, et soit L l'ensemble des solutions de l'équation e^ (e1^) = e1". Chaque élément K de L est donc de la forme ^ telle que — s ' cotg (2~¹ ^) == u + 2 n n, où n e Z. Soit \i la somme des masses oc^ = 1/| n l" placées aux points ^, ^eZ. La masse totale de [i est donc égale à Y,nez V| ^ ^ ^e^ ^es^ ^^me si a > 1.

D'autre part pour [ n | assez grand, on a

^a.^^s'^^lnl-^^s'-2^!2-01).

124 TÔN-THÂT LONG

Si a — 2 > 1, c'est-dire si a > 3, la mesure ^ vérifie les conditions du théorème précédent. Pour cet exemple, L est un ensemble infini et pourtant L^ se réduit à un seul point (c'est-à-dire est un ensemble fini).

4. Retour au cas général

Maintenant, nous allons démontrer les autres résultats annoncés dans le premier paragraphe. Des exemples de contractions de classe Co, dont les semi-groupes associés ne sont pas de classe Co, seront donnés.

4.1. Démontrons d'abord le théorème 1.3. — L'équivalence des deux conditions (G) et (Gi) résulte de la première partie du lemme 1.5.

D'autre part, on note que, si m^ == e^ avec v > 0, alors (T(.s))^o est un semi-groupe continu de contractions de classe Co. En effet, si on pose

Us = i n f { n ; neN et n.s ^ î;}, il est facile de vérifier que (T^))"5 = 0.

L'équivalence des deux conditions (Gi) et (G^) résulte alors de la remarque précédente, des deux théorèmes 1.1, 1.2, et de la deuxième partie du lemme 1.5. Le théorème 1.3 est donc démontré.

4.2. COROLLAIRE. — Si la fonction minimum m^ de T est analytique au point z == 1, ou si z = 1 est un point singulier isolé de la partie singulière de m j, et n'est pas un point d'accumulation des zéros de m^, alors (T(s))^Q est un semi-groupe continu de contractions de classe CQ.

4.3. COROLLAIRE. — Soient T et T ' deux contractions de classe Co, et soient (T(s))^o, (T'(s))^o, les semi-groupes admettant respectivement T et T ' comme cogénérateurs. Si {T (s)) ^Q est un semi-groupe de contractions de classe Co et si la fonction minimum de T ' est un diviseur de celle de T, alors (T'(s))^Q est aussi un semi-groupe de contractions de classe Co.

4.4. PROPOSITION. — Toute contraction unicellulaire et de classe Co est le cogénérateur d'un semi-groupe continu de contractions de classe CQ.

De plus, si {T(s)\^Q est un semi-groupe continu de contractions unicellu- laires et de classe CQ, alors :

ou bien dim (^f) == n est finie, et il existe a e D tel que

^T(S) (z) = (e, (a) - z)" (1 - e, (a) z) "ff pour tout s > 0 ;

ou bien, dans le cas contraire, il existe t e l , t ^ 0 e t u > 0 tels que m^s) (z) = exp (s. u (z + ^ (e")) (z — ^ (^))~1) pour tout s> 0.

TOME 102 — 1974 — N° 1

Démonstration. — Si T(s) est une contraction unicellulaire, il en est de même pour T. En effet, la relation T(s) = e, (T) montre que tout sous- espace invariant par T l'est aussi par T(s). L'ensemble des sous-espaces invariants par T est donc une sous-famille de l'ensemble des sous-espaces invariants par T(s) et, par suite, est totalement ordonné par inclusion.

T est donc une contraction unicellulaire.

Si T est unicellulaire et de classe Co, on a les trois possibilités suivantes : ou bien dim jf == n est finie, et alors m^ est de la forme

m^(z) =(a-z)"(l-az)~" avec aeD;

ou bien

m^ (z) = exp (u (z + e¹^ (z - e^) ~¹) avec t ^- 0 et M > 0 ; ou bien m^ == Cy avec u > 0.

Dans les trois cas, (T(s))^Q est un semi-groupe de contractions de classe CQ, d'après le théorème 1.3. Le dernier cas n'est pas possible si (T(s))^Q est un semi-groupe de contractions unicellulaires. En effet, la propriété m^ = e^ avec v > 0 implique d'abord que la dimension de ^f est infinie. D'autre part, si m^ == e^ alors m^^ sera, pour s > 0, un monôme de degré n^ ce qui implique que la dimension de X" est finie.

Le reste de la proposition résulte alors des deux théorèmes 1.1 et 1.2.

4.5. En utilisant les résultats obtenus jusqu'à maintenant, on peut donner des exemples de contractions de classe CQ qui ne sont pas cogé- nérateurs de semi-groupes continus de contractions de classe Co. C'est le cas de l'exemple considéré dans la dernière partie du paragraphe pré- cédent si 1 < a < 3. C'est aussi le cas si m^ est un produit de Blaschke dont l'ensemble des zéros coïncide avec l'ensemble des solutions d'une équation de la forme e^ (z) = b, où s ' > 0 et b eD.

Pour ces deux exemples, on note que T (s), s > 0, ne sont pas toutes de classe Co bien que T ( s ' ) soit une contraction de classe CQ. Cette remarque justifie l'intérêt du théorème 1.4 dont voici la démonstration : Montrons d'abord que, si T est une contraction de classe Co, alors les contractions T", neN, sont aussi de classe Co. En effet, soit

m^ = (^n^J-^ ^-T} exp ( \^d^\

\ \\a\ \-azj ) \Jiz-e1' )

126 TON-THAT LONG la fonction minimale de T, et posons

^-(^..^^J)e.(J^^,>), on obtient une fonction nulle m de H^ telle que m (z") soit un multiple de m^ Cette propriété résulte des développements suivants :

^"—z" ^ ,-r aUk—z

\ - n n - l l k = l , ...,n——-^——< -n n ±±^-i,—,n - —

1 — a z l—au^z

,1-azA

^)(B ^-^n^...^- ²

\ l - â z / \ "'" l-au^z)

-(fâ"^)- '-(I^ ⁰ )

^-'•••-^^

où (^)fc=i,...^ est la famille des racines de l'équation z" = 1 et ^1 = 1.

D'après le lemme 1.5, la contraction T" est donc de classe Co.

Cela étant, si TÇs') est une contraction de classe Co, les contractions T Ç s ' / p ) , où p eN, sont aussi de classe Co. En effet, si m (TO')) = 0, on a alors

(m o/) fïf^) ) = m frI^-Y) = m (T(s')) =0 où /(z) = z\

\ \pn \ \p/ )

et T ( s ' j p ) est une contraction de classe Co.

D'autre part, d'après ce que nous avons vu au début de cette démons- tration, la dernière propriété implique aussi que T [(n/pY] == T (s'fpY est de classe Co pour tout n, p e N. La première partie du théorème résulte alors du fait que l'ensemble des scalaires de la forme (n/p) s ' , où n, p ç=N, est dense dans R⁺\

La deuxième partie du théorème 1.4 résulte aussi de la démonstration de la première partie. En effet, d'après la démonstration précédente, si T ( s " ) n'est pas une contraction de classe Co, alors aucune des contractions de la forme T[(n/p) s"], avec n, p e N , n'est de classe Co. Le théorème 1.4 est donc démontré.

La proposition suivante donne un procédé pour construire des semi- groupes de contractions de classe Co.

TOME 102 — 1974 — ?1

4.6. PROPOSITION. — Soient (T(s))^Q et (F'^^o deux semi-groupes de contractions Si (T(s))^Q est une transformée quasi affine du semi-groupe (T'(s))^Q [c'est-à-dire s'il existe une quasi-affinité X telle que

XT(s) = T(s)X pour tout s > O],

alors le semi-groupe (T(s))^Q est de classe CQ si, et seulement si, ( T ' (s)\^Q est un semi-groupe de même nature.

Démonstration. — Si XT'(s) == T (s) X, on a aussi Xf(T(s))=f(T\s))X pour tout feH^, et la proposition en résulte.

Pour terminer, notons que la proposition 4.4 montre aussi que, si une contraction T est unicellulaire, alors le semi-groupe (T(s))^Q admettant T comme cogénérateur n'est pas nécessairement un semi-groupe de contractions unicellulaires (c'est le cas, par exemple, si m^ = e^ avec v > 0.)

BIBLIOGRAPHIE

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[2] NAGY (B. Sz.) et FOIAS (C.). — Analyse harmonique des opérateurs de V espace de Hîlbert, Paris, Masson; Budapest, Akadémiai Kiado, 1967.

[3] TÔN-THAT LONG. — Contributions à la théorie spectrale des contractions de l'espace de Hilbert, Bull. Soc. math. France, t. 101, 1973, p. 219-235.

[4] TÔN-THAT LONG. — Contributions à la théorie spectrale des opérateurs de l'espace de Hilbert, Thèse Se. math. Univ. Paris-VI, 1973.

(Texte reçu le 12 avril 1973, révisé le 20 novembre 1973.) TÔN-THAT LONG

Laboratoire de Mathématiques, Faculté des Sciences de Saïgon;,

227 rue Cong-Hôa, Saigon (Viet-Nam Sud).