import scipy.statsas sci

Exercices Python : Chapitre 14 : Mouvement des planètes et des satellites.

Exercice 1:

Le programme ci-dessous permet de vérifier la 3

^ème

loi de Kepler. Expliquer.

import numpy as np

import matplotlib.pylab as plt import scipy.stats as sci

# 3ème loi de Kepler : T**2/a**3=constante=4*π**2/(G*Msoleil) G : constante de gravitation universelle . 6,67e- 11 SI

# liste des demi-grands axes a en unité astronomique U.A. (1 U.A. = 1,496e11 m ) et périodes T des planètes en années:

a=np.array([0.39,0.72,1,1.5,5.2,9.5,19.2,30]) T=np.array([0.24,0.615,1,1.88,11.9,29.4,84,165]) a1=1.496e11*a

T1=T*365.25*24*3600 x=a1**3

y=T1**2

plt.plot(x,y,'o-')

coeff_a=sci.linregress(x,y)[0]

G=6.67e-11 Msoleil=1.989e30

cste_Kepler=4*np.pi**2/(G*Msoleil) print (coeff_a, cste_Kepler)

plt.show()

Exercice 2 :

1.Longueur d’arc: Pour les 4 cas suivants, exprimer les longueurs d’arc L en fonction des données :

• R périmètre L = ?

1

^er

cas

• R

longueur L = ?

Π

^rd

2

^ème

cas

• R

longueur L = ? Π

^rd

–– 2

• R longueur L = ?

θ

^rd

L L

3

^ème

cas 4

^ème

cas

2. Montrer que l’aire élémentaire («aire petite») dAire vaut : dAire ≈ ––. r

²

.dθ r est la distance séparant le soleil de la planète et dθ est l’angle au centre.

1 2

3. On rappelle la 2

^ème

loi de Képler : le rayon vecteur OM - reliant le soleil à une planète - balaie des aires égales

pendant des durées égales. Par conséquent, on peut dire aussi que l’aire balayée (notée Aire) est proportionnelle au

temps t écoulé , voir figures suivantes :

Dans le programme ci-dessous, on dispose de deux listes:

- la date t en s

- la distance r en m entre le Soleil et la planète Mercure

Ces valeurs correspondent à une seule révolution de la planète autour du soleil (voir graphes ci-avant).

Complèter le programme ci-dessous (3 lignes après «for i in range (100)» et une ligne avant «plt.show()» ) afin de montrer la proportionnalité entre la grandeur liste_Aire et la grandeur t.

Donnée : liste_Notes.append(note) → on ajoute le contenu de la variable note à la liste : liste_Notes import numpy as np

import matplotlib.pylab as plt import scipy.stats as sci dθ=2*np.pi/100

t=[

0, 49044.4228514166, 98179.75281532021, 147472.11152970977, 196987.89035628803, 246793.88083499475, 296957.3992055466, 347546.40319585695, 398629.5990963424, 450276.53691758274, 502557.6911680361, 555544.5244907789, 609309.5310669363, 663926.2563335409, 719469.2891819882, 776014.2224095374, 833637.5768030685, 892416.6838578534, 952429.5217949972, 1013754.4992647857, 1076470.1809399026, 1140654.9491480722, 1206386.5958089656, 1273741.839270398, 1342795.7612323621, 1413621.159853921, 1486287.8164054118, 1560861.6744995816, 1637403.933043067, 1715970.0566119363, 1796608.709969003, 1879360.6268773207, 1964257.4271636724, 2051320.4000538227, 2140559.276008484, 2231971.0134727554, 2325538.630921639, 2421230.118129233, 2518997.4634880386, 2618775.836235471, 2720482.9633922265, 2824018.740878159, 2929265.1164539894, 3036086.2786597596, 3144329.1806126935, 3253824.4202386187, 3364387.4891419047, 3475820.3908657385, 3587913.615918602, 3700448.4460423426, 3813199.544464549, 3925937.7733129105, 4038433.165226222, 4150457.9648557957, 4261789.648726234, 4372213.829843982, 4481526.9570503775, 4589538.7283482, 4696074.15159216, 4800975.203792153, 4904102.06024655, 5005333.885091379, 5104569.194017187, 5201725.816558434, 5296740.498598548, 5389568.195100457, 5480181.108526336, 5568567.530247465, 5654730.540997166, 5738686.62274868, 5820464.229005119, 5900102.354035265, 5977649.134659113, 6053160.511253852, 6126698.96807054, 6198332.366968342, 6268132.883432655, 6336176.049310836, 6402539.903077806, 6467304.245592171, 6530549.997151997, 6592358.65012176, 6652811.810385985, 6711990.820298979, 6769976.455557661, 6826848.688448156, 6882686.510138469, 6937567.805051794, 6991569.270810033, 7044766.377746542, 7097233.362520737, 7149043.250901687, 7200267.9053059975, 7250978.093164598, 7301243.572644947, 7351133.192664048, 7400715.00449018, 7450056.382545796, 7499224.15229004, 7548284.723277118

]

r= [

46002949320.0, 46018435295.864105, 46064894583.002625, 46142330897.479164, 46250749220.68895, 46390153969.25608, 46560546409.09564, 46761921290.51329, 46994262675.60297, 47257538924.41164, 47551696802.63447, 47876654671.29774, 48232294718.34986, 48618454193.7476, 49034915613.99278, 49481395909.71667, 49957534501.455475, 50462880304.904625, 50996877688.40826, 51558851432.97607, 52147990779.4308, 52763332689.002014, 53403744493.259674, 54067906166.93441, 54754292522.745186, 55461155700.19201, 56186508399.0715, 56928108391.13403, 57683444926.77986, 58449727733.8745, 59223879377.40014, 60002531805.364044, 60782027940.75286, 61558429183.19182, 62327529648.857056, 63084877894.92137, 63825806738.33628, 64545471583.12746, 65238897413.85796, 65901034298.02115, 66526820874.5975, 67111254903.40886, 67649469529.74108, 68136813505.910225, 68568933235.06581, 68941854193.64722, 69252059077.92413, 69496559933.45497, 69672961583.43977, 69779513882.13959, 69815150680.0, 69779513882.13959, 69672961583.43976, 69496559933.45496, 69252059077.92412, 68941854193.64719, 68568933235.06577, 68136813505.91018, 67649469529.741035, 67111254903.40882, 66526820874.59745, 65901034298.0211, 65238897413.85792, 64545471583.1274, 63825806738.33623, 63084877894.92132, 62327529648.857, 61558429183.19177, 60782027940.75282, 60002531805.364006, 59223879377.4001, 58449727733.87447, 57683444926.77984, 56928108391.13402, 56186508399.071495, 55461155700.192, 54754292522.745186, 54067906166.93442, 53403744493.25969, 52763332689.00202, 52147990779.43081, 51558851432.97609, 50996877688.40827, 50462880304.90465, 49957534501.4555, 49481395909.71669, 49034915613.99281, 48618454193.747635, 48232294718.3499, 47876654671.29777, 47551696802.63451, 47257538924.41166, 46994262675.603, 46761921290.51331, 46560546409.09566, 46390153969.2561, 46250749220.688965, 46142330897.47918, 46064894583.00263, 46018435295.86411

]

Aire=0 liste_Aire=[]

for i in range (100):

plt.show()

5. Compléter à nouveau le programme afin de vérifier la valeur du coefficient de proportionnalité.

Données : - Expression de l’aire d’une ellipse :

aire ellipse = Π . a . b a est le demi-grand axe de l’ellipse et b le demi-petit axe.

Pour la trajectoire de la planète Mercure le demi-grand axe a vaut 57909050 km et b vaut 56671888 km.

- Période de révolution de la planète Mercure autour du Soleil: 87,969 jour.

4. Compléter le programme afin déterminer le coefficient de proportionnalité.

Donnée : syntaxe pour les régressions linéaires : sci.linregress(x,y) → fourni une liste de 3 valeurs, dans cet ordre : le coefficient directeur a de la droite, l’ordonnée à l’origine b et le coefficient de corrélation.

b

a a

b