1- Qu’est-ce qu’un algorithme récurrent ?

1- Qu’est-ce qu’un algorithme récurrent ?

récurrent

Exemple :

Soit la suite de Fibonacci suivante :

U1 = 1 U2 = 1

Un = Un-1+Un-2

U3=U2+U1 donc pour calculer U3 on a besoin de deux termes précédents (U2 et U1), donc il s’agit d’un traitement récurrent d’ordre 2.

Est ce qu’il y a d’autres exemples de traitement récurrents ?

 Oui, voici quelques exemples :

 Calcul de somme, calcul de factoriel, triangle de Pascal, Suite de Thue-Morse, Nombre d’or, ...

2- Quelques exemples d’algorithmes récurrents ? 2.1 Calcul de somme

Exercice 1 : (

)

1- On vous demande de donner l’algorithme d’une fonction qui calcule la somme des éléments d’une matrice carrée d’ordre N (sachant que la matrice est déjà remplie par N*N réels).

2- Quel est l’ordre de récurrence de ce traitement ? justifier votre réponse.

Réponse :

...

Objectifs :

1- Découvrir qu’est-ce qu’un algorithme récurrent.

2- Voir quelques exemples d’algorithmes récurrents.

https://elbahi.jimdofree.com/

Disponible en ligne sur :

Un ensemble fini d’instructions qui utilise un ... pour donner un résultat final en se basant un ou plusieurs résultats ...

Nombre de lignes = Nombre de colonnes

2.2 Algorithme récurrent sur les chaînes Exercice 2 : (

)

La Suite de Thue-morse est une suite binaire définie par : U0 = 0 ou U0 = 1 et par la récurrence suivante : pour passer de Un à Un+1 on remplace tous les 0 de Un par 01 et tous les 1 par 10.

Exemple :

U0=0 (ou U0=1) U1=01

U2=01 10 U3=01 10 10 01 Travail A Faire :

1. Sachant que U0=0, Calculer le terme U4 de la suite Thue-morse : ...

2. Quelle est l’ordre de récurrence de cette suite ? ...

3. Faire le programme qui saisit un chiffre binaire (qui peut être 0 ou 1), puis calcul et affiche les N premiers termes de la suite Thue-morse (avec N > 2).

Formée uniquement par des 0 et des 1

2.3 Le triangle de Pascal

Le triangle de pascal est la matrice des coefficients (coefficients du binôme) qui sont utilisées pour développer des expressions comme (a+b)⁰ , (a+b)¹ , … , (a+b)ⁿ

Exemple :

(a+b)⁰ = 1 les coefficients : 1 (a+b)¹= 1*a + 1*b les coefficients : 1,1 (a+b)²= 1*a² + 2*a*b + 1*b2 les coefficients : 1,2,1 (a+b)³= 1*a³ + 3*a²*b + 3*a*b² +1*b³ les coefficients : 1,3,3,1 (a+b)⁴= 1*a⁴ + 4*a³*b + 6*a²*b² + 4*a*b³ +1*b⁴ les coefficients : 1,4,6,4,1 Examinons le triangle de Pascal suivant :

On constate que le calcul de MAT[5,4] fait référence à deux résultats précédents :

... donc il s’agit d’un traitement récurrent d’ordre ...

De façon générale : le triangle de pascal s’obtient de la façon suivante :

 La cellule [1,1] doit contenir la valeur 1.

 le premier élément et le dernier élément (de chaque ligne) sont égaux à 1

 les autres éléments sont déterminés en appliquant la formule suivante :

MAT[i,j] = MAT[i-1,j] + MAT[i-1,j-1] (avec i le numéro de la ligne et j le numéro de la colonne)

Exercice 3 : (

)

On se propose d’afficher les N premières lignes du triangle de pascal avec (avec 3 ≤ N<20). On vous demande de remplir et d’afficher les N premières lignes du triangle de pascal comme le montre l’exemple suivant :

2.4 La suite de Fibonacci

Léonard de Pise, connu sous le nom de Fibonacci, étudia la reproduction des lapins (du point de vue numérique). Il a remarqué qu’un couple de jeunes lapins met une saison pour devenir adulte, attend une autre saison puis met au monde un couple de jeunes lapins à chaque saison suivante et il a conclu que la reproduction des lapins peut être représentée par la suite suivante :

U

= 1 U

= 1

U

= U

+U

Exercice 4 : (

)

1- Question : quelle est l’ordre de récurrence de la suite de Fibonacci ? , justifier

Réponse : ...

2- Donner les valeurs correspondantes aux termes suivants :

U

U

U

U

1 1 2 8

3- Pour un entier N donné, donner l’algorithme de la fonction qui calcule le Nième terme de la suite de Fibonacci :

a- Par un traitement itératif utilisant un tableau b- Par un traitement itératif n’utilisant pas un tableau

2.5 Le nombre d’or

Exercice 5 : (

)

Compléter le tableau suivant :

Exercice 6 : (

)

Soient deux suites U et V définies comme suit : U1 = 1

U2 = 2

Un = Un-1 + Un-2 pour n ≥3

et

Vn = Un/Un-1 pour tout n≥2.

NB :

 La suite Vn tend vers une limite appelée nombre d’or.

 On suppose que le nième terme de la suite V est égal à Vn.

 Vn est la valeur approchée du nombre d’or avec une précision epsilon dès que |Vn – Vn-1|< epsilon.

TAF :

- Donner le programme pascal nommé Nombre_or, qui cherche Vn à 10^-4 prés et son rang.