Covariance croisée et variogramme croisé

Géostatistique multivariable

Automne 2003

Plan

Besoin et exemples

Cokrigeage simple et ordinaire

Covariance croisée et variogramme croisé

Cas où le cokrigeage peut être utile

Cas où le cokrigeage peut être utile

Exemples

Contexte et problématique

Idée : améliorer les estimations obtenues par krigeage en utilisant l’information fournie par d’autres variables (variables

secondaires) que la variable principale

Exemples :

a) Estimer la position du sommet d’un réservoir pétrolier ou gazier

Variable principale : position du sommet observé dans quelques forages Variables secondaires : - positions interprétées par sismique

- attitude du contact dans les forages

=> Obtenir une estimation qui respecte les données de forage, la forme générale de la surface sismique et l’attitude observée dans les forages.

Exemples :

b) Produire une carte de charges hydrauliques qui soit réaliste Variable principale : surface piézométrique dans quelques puits

Variables secondaires : - surface topographique (aquifère à nappe libre) - frontières imperméables connues

- vecteurs gradients connus - mesures géoradar

=> Obtenir une estimation qui respecte les données de puits et les frontières et la forme générale décrite par les mesures géoradar et la topographie.

Exemples :

c) Modélisation de la transmissivité d’un aquifère

Variable principale : transmissivités dans un modèle d’éléments finis ou de différences finies

Variables secondaires : - transmissivité ou conductivités hydrauliques obtenues par « slug-test », test de pompage, courbes

granulométriques, capacité spécifique de puits.

- frontières connues

- charges hydrauliques connues (permanent et transitoire)

=> Obtenir une estimation de la transmissivité qui respecte les données de transmissivité à différentes échelles, les données piézométriques et les frontières connues.

Exemples :

d) Inversion de données gravimétriques

Variable principale : densité pour un modèle de blocs du sous-sol Variables secondaires : - anomalie gravimétrique mesurée au sol

- anomalie gravimétrique aéroportée - quelques mesures de densité en forage

=> Obtenir une estimation de la densité qui respecte les anomalies et les densités observées

Note : ici, souvent, on n’a aucune observation directe de la variable principale !

Exemples :

e) Inversion de tomographies radar

Variable principale : modèle de « lenteurs » pour un modèle de blocs du sous-sol dans le plan défini par 2 forages coplanaires Variable secondaire : temps de parcours émetteur-récepteur

=> Obtenir une estimation des lenteurs qui respecte les temps de parcours Note : souvent, on n’a aucune observation de la variable principale !

Exemples :

f) Cartographie de la température de l’eau en surface

Variable principale : température de l’eau mesurée directement (bateau) Variable secondaire : température obtenue par interprétation du signal

spectral d’un satellite

g) Cartographie de la bathymétrie

Variable principale : mesures directes (bateau)

Variable secondaire : interprétation d’un levé hydro-acoustique

h) Cartographie de la contamination

Variable principale : teneurs d’un polluant

Variables secondaires : topographie, surface piézométrique, …

Exemple de cokrigeage

25 30

35 Cokrigeage avec dérivées

Z(x)

25 30

35 Krigeage sans dérivées

Z(x)

0 5 10 15 20 25 30

15 20

Coord. x

0 5 10 15 20 25 30

15 20

Coord. x

La dérivée de la surface krigée n’est

pas égale à la dérivée observée

La dérivée de la surface cokrigée est

égale à la dérivée

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -15

-10 -5 0 5 10 15 20

Coordonnée x

Z(x)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

Cokrigeage avec dérivées

MAE : krigeage 4.13 cokrigeage : 1.24

Réalité Krigeage

Autre exemple de cokrigeage

On mesure la base (B), le sommet (S) et l’épaisseur (E) d’une même formation en quelques forages.

On modélise les variogrammes de ces 3 variables

On effectue le krigeage de ces 3 variables => B*(x), S*(x), E*(x)

Aura-t-on : E*(x) = S*(x)-B*(x) ?

Non pour le krigeage Oui pour le cokrigeage

(si les covariances reflètent la relation physique E=S-B)

Krigeage E

S

B 015 20 25 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cokrigeage ^S*-B*

5 10 15 20 25 30

-15 -10 -5 0 5 10

-10 -5 0 5 10

Cokrigeage ^S*-B*

E*

Cokrigeage simple

Cas de 2 variables

Z(x) : variable principale : nz observations Y(x) : variable secondaire : ny observations

Les moyennes de Z(x) et Y(x) sont connues m_Z m_y Les moyennes de Z(x) et Y(x) sont connues m_Z m_y

∑ ∑

= =

− α

+

− λ

+

=

nz i

ny i

y i

i z

i i z

* m (Z m ) (Y m )

Z

1 1

0

) Y , Z Cov(

2 α ) Z , Z Cov(

2 λ ) Y , Z Cov(

α 2 λ

) Y , Y Cov(

α ) α

Z , Z Cov(

λ ) λ

Var(Z )

Z

Var(Z _{0 i}

ny 1 i

i nz

1 i

i 0 nz

1 i

i j

i ny

1 j

j i ny

1 i

j i ny

1 j

j i nz

1 i

j i nz

1 j

j i 0

* 0

0

∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

=

= = =

= =

= =

−

− +

+ +

=

−

1...ny i

1...nz i

1 0

1

1 0

1

=

∀

= α

+ λ

=

∀

= α

+ λ

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

ny j

i j

i j

nz j

j i j

ny j

i j

i j

nz j

j i j

) Y , Z ( Cov )

Y , Y ( Cov )

Z , Y ( Cov

) Z , Z ( Cov )

Y , Z ( Cov )

Z , Z ( Cov

nz ny

∑

∑

=

=

α

− λ

−

= σ

ny i

i i

nz i

i i

ck

Var ( Z ) Cov ( Z , Z ) Cov ( Z , Y )

1 0

1 0

2 0

Cokrigeage ordinaire

∑ ∑

= =

α +

λ

=

nz i

ny i

i i i i

*

Z Y

Z

1 1

0

Les moyennes de Z(x) et Y(x) sont inconnues

∑

∑

ny 0

et

∑

∑

= =

= α

= λ

nz i

ny i

i

1 i 1

0 et

1

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

= α

= λ

=

∀

= µ + α

+ λ

=

∀

= µ + α

+ λ

ny i nz i

i

ny j

i y

j i j

nz j

j i j

ny j

i z

j i j

nz j

j i j

) Y , Z ( Cov )

Y , Y ( Cov )

Z , Y ( Cov

) Z , Z ( Cov )

Y , Z ( Cov )

Z , Z ( Cov

1

1 0

1

1 0

1

0 1

1...ny i

1...nz i

∑

=

= α

i 1 i

0

∑

∑

=

=

µ

− α

− λ

−

= σ

ny i

z i

i nz

i

i i

ck Var(Z ) Cov(Z ,Z ) Cov(Z ,Y )

1 0

1 0

2 0

k ' )

Z ( Var k

K λ = et σ

=

− λ

Sous forme matricielle, cokrigeage ordinaire et simple s’écrivent:

 

 



= 

 

 



 



 





yz zz yy

yz

zy zz

k k α

λ K

K

K K

Avec, pour le Cokrigeage simple

pour le Cokrigeage ordinaire



 

 

 K K 1 0 λ k

 

 





 

 





=

 

 







 

 







 

 





 

 





0 1 k k

µ µ α λ

0 0 1'

0'

0 0 0'

1'

1 0 K

K

0 1 K

K

yz zz

y z yy

yz

zy zz

K est nz x nz ; K est nz par ny; K est ny x nz; K est ny par ny;

Les matrices de cokrigeage sont toujours symétriques => K_zy = K’_yz Toutefois, les fonctions de covariances croisées, elles, ne sont pas nécessairement symétriques, en effet :

C_zy (h) = Cov(Z(x),Y(x+h)) = Cov(Y(x+h),Z(x)) = C_yz (-h) mais, en général

C_zy (h) = Cov(Z(x),Y(x+h)) Cov(Y(x),Z(x+h)) = C

≠

Exemple

Cas 1D d’une variable et de sa dérivée

35 40 45

50 Covariance ZZ

0.5 1

Covariance croisée Z=variable, Y=dérivée1.5

0.04 0.05 0.06

0.07 Covariance YY

-1000 -50 0 50 100

5 10 15 20 25 30

h ^{-100 -50 0 50 100}

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

h ^{-100 -50 0 50 100}

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

h

Notes:

a) krigeage => + souvent krigeage ordinaire

cokrigeage => cokrigeage simple est souvent plus indiqué (e.g. cas où la variable principale n’est pas observée)

b) krigeage => variogramme est l’outil de base cokrigeage => covariance est l’outil de base

Covariance croisée et variogramme croisé

Covariance croisée

C_zy(h) = Cov(Z(x),Y(x+h))

Variogramme croisé

( )( )

[

]

E

* 0.5 (h)

γ_zy =

[ (

)(

) ]

( ) ( )

(

)

Cov

* 0.5

zy

+

− +

−

=

Lien

^γ

^(h) = ^C

⁽⁰⁾ − ^{0.5 *} ( ^C

^(h) + ^C

⁽ − ^h) )

=> Le variogramme croisé est toujours symétrique

Exemple

Y est rien d’autre qu’une copie

décalée (de 50) vers la gauche de Z

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

Z(x) ou Y(x)

Z Y

Le variogramme croisé => pas de structure!

La covariance croisée => très forte structure - asymétrique

- reconnaît le décalage

x

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

h γ zy(h) ou C zy(h)

Variog. croisé ZY Covariance croisée ZY

Comparaison

Covariance croisée Variogramme croisée

m_Z et m_y connus Pas besoin

Tous les points où l’une ou l’autre variable est connue

Seuls les points où les 2 variables sont connues l’autre variable est connue

peuvent être utilisés dans le calcul de la covariance

variables sont connues peuvent être utilisés dans le

calcul du variogramme croisé

La covariance peut être asymétrique

La covariance doit être symétrique

Modèles admissibles

But : assurer que toute combinaison linéaire de Z et Y présente une variance théorique positive.

Vérification délicate, on se limite à des cas certains

a) Modèle découlant de relations physiques ou mathématiques entre Z et Y. Si l’on connaît C_zz alors on peut déduire C_zy et C_yy.

Exemple 1D : Y(x) = dZ(x)/dx =>

Cov(Z(x),Y(x+h)) = d [Cov(Z(x),Z(x+h))]/dh Cov(Y(x),Y(x+h)) = - d²[Cov(Z(x),Z(x+h))]/dh²

b) Modèle de corégionalisation linéaire

...

(h) C B (h) C B

...

(h) B C

B

B (h) B

B C B

B B

(h) C

(h) C

(h) C

(h) C

2 2 1

1

2 yy 2, yz

2,

zy 2, zz

2, 1

yy 1, yz

1,

zy 1, zz

1, yy

yz

zy zz

+ +

=

 +



 

 + 



 



= 



 





⇒ toutes les covariances et covariances croisées peuvent s’exprimer comme une combinaison linéaire de quelques structures de base (de palier 1, arbitrairement). Les matrices B sont des matrices de

coefficients.

Exemple: 2 structures de base : 1 effet de pépite + 1 sphérique, a=30 C₁(h) représente l’effet de pépite => C₁(0) = 1; C₁(h>0) = 0

Si chaque matrice B est positive semi-définie (i.e. avec 2 variables det(B) ≥≥≥≥0) alors le modèle est admissible.

Si l’une des matrices n’est pas positive semi-définie, alors on ne peut rien dire sur l’admissibilité du modèle.

Note : lorsque toutes les matrices B sont proportionnelles, on peut réécrire le modèle linéaire de corégionalisation comme:

C(h) B

B C(h) B

B B

(h) C

(h) C

(h) C

(h) C

yy yz

zy zz

yy yz

zy

zz  =



 



= 



 





Ce modèle indique que toutes les covariances sont proportionnelles à un modèle de base unique de palier arbitraire 1 et pouvant comprendre plusieurs composantes élémentaires (e.g. effet pépite+sphérique avec a=30). Ce modèle est admissible ssi B est positive semi-définie.

-2 0 2 4 6 8

C_zz

C zz

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

C_zy

C zy

Exemples de modèle linéaire de corégionalisation



 −

= 5 7

Modèle sphérique a=15

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-2

h

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-10

h

-6 -4 -2 0 2

C_yz

C yz

2 4 6 8 10 12

C_yy

C yy

 

 





−

= −

10 7

7 B 5

Det(B)=1 =>

modèle admissible

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0

2 4 6 8 10

C_zz

h C zz

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 2 4 6 8 10 12

C_zy

h

C zy

Effet pépite+

Modèle sphérique a=15

 

 





−

= −

5 2

2 B

3



 5 10

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 2 4 6 8 10 12

C_yz

h C yz

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 5 10 15 20 25 30

C_yy

h

C yy Det(B1)=11

Det(B2)=25

=> modèle admissible

 

 



= 

25 10

10

B

5

Effet pépite+

Modèle sphérique a=15

 

 





−

= −

5 4

4 B

3



 5 10

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-2 0 2 4 6 8 10

C_zz

h C zz

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

C_zy

h C zy

C C

Det(B1)= -1 Det(B2)=25

=> modèle non

 

 



= 

25 10

10 B

5

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

C_yz

h C yz

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 5 10 15 20 25 30

C_yy

h C yy

Condition de Cauchy-Schwartz

Variogramme croisé : covariance des incréments (Z(x)-Z(x+h)) et (Y(x)-Y(x+h))

Variogrammes simples: variance des incréments

Donc il faut que :

γ

( h ) ≤ γ

( h ) γ

( h )

Malheureusement, cette condition est nécessaire mais non suffisante!

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

±(sqrt(γ1(h)*γ2(h)) Condition C-S définit une enveloppe où doit se retrouver entièrement le modèle de

variogramme croisé.

Exemple numérique détaillé

) C , m a

( Sphérique .

) . h ) (

h ( C ) h ( C

) h ( C ) h ( C

yy yz

zy

zz 30 1

4 4 2

4 2 2 1

0 0

1  = =



 

 + 

δ



 



= 



 





=1 si h=0, 0 si |h|>0.

) h δ (

Z₁ et Y₁ en x₁=0 , Z₂ en x₂=10 et Y₀ en x₀=5

Z1 Y1

Y0 Z2 Z0 ?

5 5

Note: à h=0, corr. (Z,Y)= 2.4/(3*5)^0.5 = 0.62

0 1

2

1

Z Y Y

Z

0 1 2 1

Y Y Z

Z

















=





















λ λ λ λ

















4 . 2 8056 .

1

5046 .

1

5046 .

1

5 0093

. 3 8056 .

1 8056 .

1

0093 .

3 5

2444 .

1 4

. 2

8056 .

1 2444 .

1 3

037 . 1

8056 .

1 4

. 2 037

. 1 3

, 0

, 1

, 2

, 1

y y z z

Z0

Par cokrigeage simple

5500 1

et 3085 0

0072 0

2336 0

2294

0 _{2 1 0 ck}²

1_,z = . ,λ _,z = . ,λ _,y = . ,λ _,y = . σ = .

λ

Poids important donné à la variable secondaire

Variance de cokrigeage < variance de krigeage simple (1.88)

Par cokrigeage ordinaire

0 1

2

1

Z Y Y

Z

0 1 2 1

Y Y Z

Z

Z0

















=

















µ λ

λ λ λ

















1 4 . 2 8056 .

1

5046 .

1

5046 .

1

0 0 0

0 1

1

1 0 5

0093 .

3 8056 .

1 8056 .

1

1 0 0093 .

3 5

2444 .

1 4

. 2

0 1 8056 .

1 2444 .

1 3

037 . 1

0 1 8056 .

1 4

. 2 037

. 1 3

, 0

, 1

, 2

, 1

y y z z

Variance de cokrigeage ≈ variance





 



 



 



 µ µ





 



 0

1 0

0 1

1 0

0

0 0 0

0 1

1

y z

907 . 1 et

2603 .

0 ,

5111 .

0

, 1678 .

0 ,

1678 .

0 ,

4506 .

0 ,

5494 .

0

2 ck y

Z

y , 0 y

, 1 z

, 2 z

, 1

= σ

= µ

−

= µ

= λ

−

= λ

= λ

= λ

Cokrigeage simple (CoS) vs cokrigeage ordinaire (CoO)

Souvent le CoS est préférable

- CoS => ne nécessite pas d’observations de Z

- CoO => dans certaines configurations symétriques, la

contrainte sur les poids empêche de tenir compte de l’information de la variable secondaire

la variable secondaire Ex.

Y1 Y2

Y3 Y4

Z0 ? Dans cette configuration, tous les poids sur Y sont 0, peu importe la corrélation entre Z et Y !

Exemple

Exemple

10 20 30 40 50 60

10 20 30 40 50 60

40 50 60

V.P.

10 20 30 40 50 60

10 20 30

10 20 30 40 50 60

V.S.

10 20 30 40 50 60 10

20 30 40 50 60

10 20 30 40 50 60

10 20 30 40 50 60

Krigeage : MAE = 26.3 Corr(Z,Z*) = 0.73

Cokrigeage simple : MAE = 22.1 Corr(Z,Z*) = 0.81

Inversion de données gravimétriques

(((( )))) (((( ))))

















−

−

−

− +

++ + +

+ + + +

++ + µ

µµ µ γγγγ

−

−

−

−

=

=

= ρ = ρ ρ

ρⁱ

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

r ' z

' y ' arctan x '

z r

' x ln ' y r

' y ln ' g x

ρ

G g =

Sous forme matricielle :

où

g est le vecteur des anomalies gravimétriques (n x 1) G est la matrice géométrique (n x m)

ρ est le vecteur des contrastes de densité de blocs (m x 1)

T

gg GC G

C = _ρρ

ρρ

ρ GC

C _g =

Les covariances s’écrivent alors :

où

C_gg matrice des covariances gravité-gravité (n x n) C_ρρ matrice des covariances densité-densité (m x m) C_gρ matrice des covariances gravité-densité (n x m) G matrice géométrique (n x m)

ρρ

ρ GC

C _g =

Λ ρ

Λ ρ

g 1

gg C C

g

*

= −

= '

Le cokrigeage s’écrit :

Λ = C _gg C _g ρ

où Λ est la matrice contenant les poids de cokrigeage

(n x m)

L’estimation par cokrigeage des densités reproduit exactement l’anomalie gravimétrique observée i.e:

g g

) ' G GC

( ' G GC

g ' G

* G

*

g = ρ = Λ =

=

Exemple en hydrogéologie

Utilisation de points doublons : forcer localement une direction d’écoulement

1.1e-03

4.5e-05

A)

←20.01

←20.00 ←20.02

←20.01

←20.00 ←20.02

←20.01 ←20.05 ←20.10 ←20.50 ←20.90

B)

C)

20.01

20.00 20.02

20.01

20.00 20.02

20.01 20.05 20.10 20.50 20.90

D)

Solution Éléments finis

←20.1 ←20.2 ←20.3 ←20.4 ←20.5 ←20.6

C)

←20.01

←20.00 ←20.02

←20.01

←20.00 ←20.02

←20.01 ←20.05 ←20.10 ←20.50 ←20.90

D)

A) 0B)

200 400 600 800 1000

571.5 571.7 571.9

572.1572.3572.5572.7 572.9 573.1 573.3 573.5 573.7 573.9 574.1 574.3 571.7 571.5 571.3 572.1

571.1

574.5 0

200 400 600 800 1000

571.3 571.5 571.7 571.9 572.1 572.3 572.5

572.7 572.9

573.1 573.3 573.5 573.7 573.9

574.1 572.1

573.1

574.3

573.3

Dizy, repos Sans doublons

Dizy, pompage Sans doublons

400 600 800 1000

572.9

572.9 573.1

573.1

573.3 573.5

A)

400 600 800

1000 571.5

571.7 571.7

571.9

572.1 572.5

B)0 200 400 600 800 0

0 200 400 600 800

0 574.3

Dizy, repos Avec doublons

Dizy, pompage Avec doublons

6 8 10 12

Diagramme binaire de Z vs Y

Z

n= 50 r= 0.8593

25 30 35 40 45

50 Localisation des points Z (o) et Y (+)

Coord. 2

2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 2 4

Y

0 10 20 30 40 50

5 10 15 20

Coord. 1

Coord. 2

0 5 10 15 20 25 30 -2

0 2 4 6

50

22 59

78

122 107 120

120 129 Covariance ZZ; C0=0.1 C=5 a= 18

CZZ(h)

2 4 6 8

200

339

Covariance YY; C0= 1.4 C=4.9 a= 18

YY(h)

0 5 10 15 20 25 30

-2 0

2 994

1467 1878 2117 2202 2208 2148 C YY

0 2 4 6 50

177 488

709

917 977 1028

1071 1101 Covariance ZY (sym.); C0=0.1 C=4.9 a= 18

C ZY(h)

10 20

30 40

50

0 10 20 30 40 50

0 5 10 15 20

Surface réelle Z

Coord 1 0

10 20

30 40

50

0 10 20 30 40 50

0 5 10 15 20

Coord 2 Surface réelle Y

Coord 1

0 0 Coord 2

Coord 1 0 0 Coord 2

40 50

0 5 10 15 20

Surface krigée, |e|=1.1278 e²=2.9513

40 50

0 5 10 15 20

Surface cokrigée, |e|=0.77693 e²=1.5799

-2 0 2 4 6 8 10 12

o : v. principale +: v. secondaire

1   

 r w wr

-2 0 2 4 6 8 10 12

-2

V1: 4 o et + en (5,5) (collocated) V2: 4 o et 5 + (aux 4 o et en (5,5)) V3: 4 o et 45 +

Influence du voisinage (cokrigeage simple)

Variance de cokrigeage V₁/V₂

C₁/(C₀+C₁) r1 (r0 = 0 )

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

Variance de cokrigeage V₁/V₂

C₁/(C₀+C₁) r1 (r0 = 0.5 )

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

Variance de cokrigeage V₁/V₂

C₁/(C₀+C₁) r1 (r0 = 0.7 )

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

Variance de cokrigeage V₁/V₂

C₁/(C₀+C₁) r1 (r0 = 0.9 )

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

V₁/V₂

Variance de cokrigeage V₁/V₃

r1 (r0 = 0 )

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

Variance de cokrigeage V₁/V₃

r1 (r0 = 0.5 )

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

Variance de cokrigeage V₁/V₃

r1 (r0 = 0.7 )

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

Variance de cokrigeage V₁/V₃

r1 (r0 = 0.9 )

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

r₀=0 r₀=0.5 r₀=0.7 r₀=0.9

L’exemple montre:

i. le cokrigeage colocalisé (V₁) s’avère un mauvais choix lorsque r₀ est non-nul;

plus r₀est élevé plus l’on perd en se limitant à V₁

ii. une fois incluse la v. s. aux points échantillons et au point à estimer, on gagne peu à inclure d’autres points (V1/V2 ~ V1/V3)