Ann. Inst. Fourier, Grenoble 23,1 (1973), pp. 1-18
UNE MÉTHODE DE CONSTRUTION SQUELETTE PAR SQUELETTE DANS LES ESPACES PARACOMPACTS
par Robert CAUTY
Introduction.
L'un des procédés de construction les plus efficaces dans la théorie des CW-complexes est la méthode de récurrence sur les sque- lettes. Dans ses applications, il est souvent essentiel que chaque cellule ne rencontre qu'un nombre fini de cellules de dimensions inférieures, car ceci permet, à chaque étape de la récurrence, de n'avoir "qu'un nombre fini de conditions" sur les objets que l'on cherche à construire.
Nous nous proposons de développer une méthode analogue dans le cadre des espaces paracompacts. Elle peut se schématiser comme suit : Soit 9 = Û 9 une famille de fermés recouvrant un espace
n=o
X ; supposons chaque S^ discrète et, pour n > 0, notons X^ la réu- nion des éléments des familles S*p telles que p < n. Les X^ joueront le rôle des squelettes d'un CW-complexe et les éléments de ^,+1 celui des cellules de dimension n + 1. Pour que cette interprétation soit utile, il faut que chaque élément de S^+^ ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de U 9 Notre théorème principal montre
p^n p
que l'on peut toujours remplir cette dernière condition si X est paracompact.
Nous appliquons cette méthode au paragraphe deux au pro- blème du prolongement de certaines fonctions continues et, au pa- ragraphe trois, à l'existence de fonctions canoniques dans les nerfs de recouvrement fermés.
1. Le théorème fondamental.
Si V^^^feî est une famille de sous-ensembles d'un espace topologique X, nous noterons V la famille {V,.}. et nous appel- lerons V* la réunion de la famille V . Nous dirons que V est discrète si chaque point de X a un voisinage rencontrant au plus un élément de V ; nous dirons que V est à-discrète si elle est réunion dénom- brable de familles discrètes. Un espace séparé X est dit collective- ment normal si, pour toute famille discrète ^ = { F , } ^ j de fermés de X, il existe une famille discrète ^ == ^V^.çi d'ouverts de X telle que V, contienne F, quel que soit i.
THEOREME 1. - Si ^ est un recouvrement ouvert d'un espace paracompact X, il existe un recouvrement ouvert V de X tel que V
soit plus fin que U et que V = Û V^ où chaque V^ est une famille discrète telle que, pour tout n > 1, chaque élément de V ^ ne ren- contre qu'un nombre fini d'éléments de U V
P< n p
Démonstration. — La paracompacité de X implique l'existence
00
d'un recouvrement ouvert à-discret ^ = U ^ (chaque §„ est une famille discrète d'ouverts) tel que g soit plus fin que ^ (voir par exem- ple [2]). Nous allons construire par récurrence une suite croissante (o^)^Li d'entiers et des familles discrètes V ^(n> 1) d'ouverts vé- rifiant :
!
) _ S ^ A ^
2) Chaque V^ est plus fine que U
3) Chaque_élément de V „ ne rencontre qu'un nombre fini d'élé- ments de U V ( n > \).
p<n P v /
II sera alors clair que V = U V^ a les propriétés demandées.
Prenons V^ = ^ et c^ = 1. Supposons c^ , . . . , a^ définis ainsi que V^ (k < c^) pour n > 1 . Pour définir a^ e t ^ a ^ i ' • . .. ^ nous avons besoin d'un résultat auxiliaire.
METHODE DE CONSTRUCTION ESPACES PARACOMPACTS 3
LEMME. 1 - Soit U un recouvrement ouvert d'un espace collec- tivement normal X. Soient
§== (G/),,, , 96 = (H^j et ^ (k = 1 ,.. . , n) des familles discrètes d'ouverts de X telles que
1, 3€ et U^ (k = 1 , . . . ,72)
soient plus fines queU. Alors il existe deux familles discrètes d'ouverts deX,WL = (M,),,, etffL= (N^)(^^ vérifiant
i) Vfi et ffC sont plus fines que ii) 3K* U9t* D 3e*
in) Aucun élément de OU ne rencontre un élément de § iv) Chaque élément deffi ne rencontre qu'un nombre fini d'élé- ments de %, et de 3K.
(v) Si U^ e U^ et M, <= OTI, ûfo^ U^ 0 M, ^ 0 w^ftç^
u^ n H^. ^ 0.
_ (vi) Si U ^ e ^ ^ N / , e 3 l , ator5 U ^ n N , , ^ = 0 ^p/^^
u^ n H^ ^ 0 et u^ n G, ^= 0.
Démonstration. - Puisque § est discrète et plus fine que 11, la normalité collective de X permet de trouver une famille discrète d'ouverts^ == W,ei telle^que G/ soit contenu dans W, pour tout i appartenant à I et que W soit plus fine que U. Puisque U^ est une famille discrète (k =_ 1 , . . . , n), la réunion des ensembles de ^ qui ne rencontrent pas G, est un fermé disjoint de G, ce qui permet de supposer en outre, quitte à prendre^ des W, plus petits, que, si U^ e 04 (k = 1 , . . . , n) et si U^ H W, ^ 0, alors U^ H G, ^ 0.
Soit OU la famille des ensembles
M, = H, - (W)* (/ G J).
W étant discrète, (W)* est fermé, donc ces ensembles sont ouverts. Puisque My est contenu dans H^ et que 9€ est discrète, OTC est discrète. L'inclusion M^ C H, (/ G J) implique que VfL est plus fine que ^L. Puisque, pour tout z, G, C W, C (W)* et que W, est un
ouvert disjoint de chaque My, donc de chaque M., la condition iii) est vérifiée. La condition v) est trivialement vérifiée.
Considérons la famille
§ ? = = { H ^ n w , / / e j , ici}
de fermés de X. Cette famille est discrète car chaque point x de X a un voisinage rencontrant au plus un élément de §€ et un voisinage rencontrant au plus un élément de W ; l'intersection de ces voisi- nages rencontre au plus un élément de 9. En outre, 9 est plus fine que U et §/* U 3TC* contient 36*. La normalité collective de X permet de trouver une famille discrète 0 = {0, J,^ .gj d'ouverts de X telle que H^. H W^ C 0, y et que 0 soit plus fine que U. Comme ci-dessus, nous pouvons supposer que si U^ G ^ (fe = 1 , .. . , ^) et si U^ 0 0^ ^ 0, alors ÏÏ^ H H^ 0 et U^ H W, ^ 0.
Pour i appartenant à I, soit W\ = { W , V î ' G 1 et ^ ^ f} et pour 7 appartenant à J, soient 36^ = { î î ^ / j ' € J e t / ' =^= /} et 01^ =={M^//'ej
et /' ^ /}. Puisque W et 9C sont des familles discrètes, on a
w/ n (W,)* = 0 et i^ n (Jtt^)* c iî, n (g^.)* = 0,
donc il existe un voisinage ouvert A{ y de Hy H W^ tel que A,,y n ((^p* u (W,)*) == 0.
Soit 31 la famille des ensembles.
N,^ = 0,^ H A,,,.
^Puisque N^ y est contenu dans 0, y , 31 est une famille discrète et 91 est plus fine que U. Il est clair que OU *JJ Sfl* D OU * U 9* D 36*
Si î appartient^ 1 et_si i ' ^ i, alors W,, C (W^)* donc W^ H N,, = 0 et, à fortiori, G/, H N, ^ = 0 ; de même, si /' appartient à J et si;' ^ /, alors M^., H N,^ = 0 ; ceci vérifie la condition iv). Enfin, si U^ G ^^
(^ = 1_ . . . , n) et siJJ^ H N/ ^ ^= 0, alors U^ H 0^ ^ 0, donc U^ H H, ^ 0 et U^ H W^ 0, d'où U^ H G/=^ 0. Le lemme est dé- montré.
_ Notons que les conditions v) et vi) impliquent que si chaque H. E 36 ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments d\ine ^ (K k < n), alors chaque M. G 3TC et chaque N, . G 31 ne rencontre qu'un nombre
METHODE DH CONSTRUCTION ESPACES PARACOMPACTS 5
fini d'éléments de ^U^. En outre, si chaque élément de U^ ne ren- contre qu'un nombre fini d'éléments de % et un nombre fini d'élé- ments de 96, alors^haque élément de ^ ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de CTZ et de 31.
Suite de la démonstration du théorème : Le lemme implique l'existence de deux familles discrètes d'ouverts, \V et \V vérifiant :
1), ^ * U ^ * D ^
2)i \V et \V sont plus fines que "U
3), Aucun élément de \V ne rencontre un élément de V
1 l ^n
4\ Chaque élément de ^V ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de \V et de V- .
1 "n
Par récurrence, supposons définies, pour l<k<a^, des fa- milles discrètes d'ouverts
ko^ k<y î T ? • • • 9 ^k w
vérifiant :
1 ) ^ V * U . . . U ^ V * D ^
î\ Chaque ]V est plus fine que U (1 < i < 2^).
3\ Chaque élément de \V ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de V^ _^ , . . . , ^ (1 < f < 2^)
4\ Chaque élément de ^V ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de ^V pour l ^ / ^ - ^ ^ .
Le lemme 1 et les remarques qui le suivent, appliqués en prenant
§= Va -^ 3€= ^ et P0111" ^ les familles ^V(a<2k) et Vp (o^ — k 4- 1 < p < a^), montrent l'existence de deux familles discrètes ^V et ^V vérifiant :
^ f c + l _ ^ 2 " A
^ f c + l y * (j f c + l < y * ^ fc<y*
2^ î^'^1-! 2f c + l 2k
ii) „ ^r^'j K f\K' 1 _ - j ^ / t ' 1 - - et k1^\v sont Pi118 fines q^ ^
iii) ^ Aucun élément de jç^^V ne rencontre un élément de
v ^ 2
iv) ^ Chaque élément de ^V ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de V. , et deOt^-K 2*- fc+11-!-!^
v) ^ Chaque élément de fc+^V et de ^{V ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de ^V (a < 2^) et de V,, . . , , , . . . , V. .« o^ «,-ri a^
Appliquons à nouveau le lemme 1 en prenant
§=^-.,^=^
et pour ^ les familles
^ (f < 2^ - 1), V, (^ - fe + 1 < p < ^), ^V et ^:;V.
On obtient deux familles discrètes d'ouverts, ^^V et ^^V
5 2f c + l- 3 2f c + l-2
vérifiant :
i\ ^+1 <î^* i j fc+l<^5* --) *:<î5s*^
^^-l 2f c + l- 3v u 2f c + l-2v -J 2^1 v
ii) k_ k+î+.lv et fc+r^ sont P1115 fines q110 clL
iii) ^ Aucun élément de ^+1<^ ne rencontre un élément de^"1
iv) ., Chaque élément de j,^^ ne rencontre qu'un nombre
2^-1 * _ 2f c + l- 2 _ *
fini d'éléments de V. , et de v^Vot^-K 2K' 'l— 3
v) „ Chaque élément de ^^V et de ^^V ne rencontre
2"-1 2? + l-3 2" ^^
qu'un nombre fini d'éléments de
^ ( a < 2f c- l ) e t d e V ^ . , „ , . . . , ^
vi) ^.n Chaque élément de ^\V ou de fc+^V ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de ^+ l v et de k-^^'
METHODE M CONSTRUCTION ESPACES PARACOMPACTS 7
Continuons ainsi par récurrence descendante jusqu'à ce que l'on ait construit tous les ^V (1 < a < 2 ^1) . Les conditions (1)^ à Wfc+i se vérifient sans peine. Ceci achève de construire par récur- rence les familles ^V pour k < c^ et ^ < 2^. Posons alors
^.i = ^ + 2^ et V^,, = a^ pour 1 ^K^
Alors les V^ ^ sont des familles discrètes d'ouverts et chaque
^ +, est plus fine^que U d'après (2\ . D'autre part, (l\ (1 < ^ < 2°'") implique
u ^n-' D ^1
d'où
U V* D U <g*
p=i P p=i 0 P
d'après l'hypothèse de récurrence.
D'après (3L et (4L , chaque élément de ^ ne rencontre
-n n __ _ "'n
qu'un nombre fini d'éléments de V^ , .. . , V et de V +, pour / < i.
n fi '
La construction par récurrence des V,, est ainsi achevée c.q.d.f.
2. Application au prolongement de certaines fonctions continues.
Nous dirons qu'un espace topologique X a la propriété d'exten- sion locale par rapport à un espace topologique Y si, pour tout fermé A de Y, toute fonction continue / de A dans X peut se prolonger à un voisinage de A dans Y (ce voisinage dépendant de /).
THEOREME 2. — Soient X un espace topologique et {X,}^ une famille de fermés de X ; soient Y un espace paracompact complète- ment normal, A un fermé de Y et f : A -> X continue. Supposons vérifiées les conditions suivantes :
n
1) Quels que soient z\ , . . . . ^ appartenant à I, Q X, a la propriété d'extension locale par rapport à Y.
2) Chaque point x de A a un voisinage U^ dans A tel que /(U^) 50^ contenu dans la réunion d'une sous-famille finie rf^{X,}^p Alors f peut se prolonger à un voisinage de A dans Y.
Démonstration. — Montrons d'abord que si ^ , . . . , ^ appar- tiennent à I, alors U X, a la propriété d'extension locale par rap-n
port à Y. Pour cela, il suffit de vérifier, par récurrence sur n, que si chacun des sous-ensembles Z^ , . . . , Z^ de X est l'intersection d'une sous-famille finie de {X^.}^p alors Z^ U . . . U Z^ a la propriété d'ex- tension locale par rapport à Y. Cela est clair pour n = 1. Si cela
/ n \ n
est vrai pour n, alors ^.U Zj H Z^ = U Z, H Z^i a la pro- priété d'extension locale par rapport à Y ainsi que U Z, et Z^+i ;
d'après le lemme suivant, U Z, a aussi cette propriété.w+i
LEMME 2. — 5'oîY X un espace topologique. Supposons que X soit réunion de deux fermés X^ et X^ ^ que X^ , X^ ^ X^ = X^ 0 X^
ÛÎCT/ & propriété d9 ex tension locale par rapport à un espace complè- tement normal Y. Alors X a la propriété d'extension locale par rap- port à Y.
Démonstration du lemme. — Soient A un fermé de Y et / : A -> X continue ; soit A^ = /"^X,), ^ ' = = 0 , 1 , 2 . Alors A = A^ U A^ et AQ = A^ H A^. La complète normalité de Y permet de trouver des fermés Z^ , Z^ de Y tels-que
Y = Z^ U Z2
Z, H A = A, / = 1 , 2.
En effet, Y\AQ étant normal, les fermés A^\AQ et A^\AQ, qui sont disjoints, sont contenus dans des ensembles 0^ et C\ disjoints et ouverts dans Y\AQ, donc dans Y. Il suffit de prendre
Z , = Y \ 0 , a = 1 , 2 ) .
Soit ZQ = Z^ H Z^ ; alors Zç H A = A^. La fonction / | A o : A ^ X
METHODE DE CONSTRUCTION ESPACES PARACOMPACTS 9
a un prolongement /o : WQ -> XQ C X, où WQ est un voisinage ouvert de Ao dans Z^. Pour z = 1 , 2, la fonction // : A, U W^ -^ X/ définie par
/ , 1 A , = / | A ,
fi\^o=fo
est continue, donc a un prolongement g^ : V^. -^ Xp où V\. est un voi- sinage ouvert de A, U Wç dans Z/. Soit
u,=v,n(z,\(Zo\Wo)) f = i ,2.
Puisque W^ est ouvert dans Zç , ZQ\WQ est fermé dans Z^, donc dans Z/ ; par suite, U, est ouvert dans Z^.. Puisque Aç est conte- nu dans WQ , U, contient A^. Enfin, on vérifie que U, H Zç = Wç.
Posons
U = Ui U U^.
D'après ce qui précède, U contient A et U H Z^ == U^. qui est ouvert dans Z, ; puisque Y est réunion des fermés Z^ et Z^ , U est ouvert dans Z. Enfin, puisque U^ H U^ = W^ et que gjW^ = /olWç 0' == 1 ,2), on définit sans ambiguïté une fonction g : U -> X par
^ | U , = ^ | U , ^ = 1 , 2 ,
qui prolonge évidemment /. Sa continuité résulte de la continuité de ^|U, (i = 1 , 2) et du fait que U, = U H Z, est fermé dans U.
c.q.f.d Suite de la démonstration du théorème 2. — Pour tout x ap- partenant à A, soit U^ un voisinage ouvert de x dans A tel que /(U^) soit contenu dans la réunion d'une sous-famille finie de{X,}.gp Soit V^
un ouvert de Y tel que V^ H A == U^. Soit V le recouvrement ou- vert {X\A} ^i^x^xçA ^e ^ ' D'après le théorème 1, il existe un re- couvrement ouvert W = U W^ de Y, où chaque W, est une fa-
_ w= 1
mille discrète, tel que_W soit plus fin que V et que, quel que soit n, chaque élément de W^ ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de U W . Soit U = { W € W/W H A ^ 0}. On peut écrire U = 0 ZL,
P<W p M=l •*
où chaque ^ est une famille discrète et chaque W appartenant à
"U^ ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de U ^ U .
n * p<n P
Définissons par récurrence une suite croissante AQ C A^ C A^ C ...
de fermés de Y, une suite ^ ^W'/WG^} de familles de fermés de Y (n > 1) et des fonctions continues/^ : Aj^ -> Y vérifiant
i) Ao = A et /o = /
ii) Si W E CU^, alors W H A est contenu dans l'intérieur de A^.
iii) A" = A u (p^ ^*)
iv) Pour tout W e ^, W == W H A^
v) Si W G ^U^, alors /^(W) est contenu dans la réunion d'une sous-famille finie de {X,.}^i
vi) /n+i \\ = /n P0111' ^ = = 0 , 1 , 2 , . . .
La condition i) définit Ao et /ç. Supposons AQ , . . . , Ay, et /o , . . . , / „ construits, ainsi que ^U^ , . . . , ^ (Pour w = 0, il n'y a pas de familles ^ , . . . î^U^, mais l'argument est analogue). Soit W un élément de ^n+i D'après la condition iii),
w n A - ( w n A ) u ( u w n (u,)*). ' p ^» fi
/Puisque W ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de chaque V. , il ne rencontre, d'après la condition iv), qu'un nombre fini d'élé- ments de chaque ^p (p < n) ; la condition v) et le fait que la suite AQ , . . . , A^ est croissante impliquent que l'image par /„ d'un tel élément est contenue dans la réunion d'une sous-famille finie de {X,}^( ; comme en outre A H W est contenu dans l'un des \Jy, on voit que /^(W n A^) est contenu dans la réunion Z d'une sous- famille finie de {X,.}^p Puisque Z a la propriété d'extension locale par rapport à Y, il y a un voisinage fermé W de W H A^ dans W et un prolongement h^ : W -> Z de
/jw n A^ à w\ Soit ^i ={w7we<u^}
et soit
A..,, = A_ U U W*n+1 ^n ( u w').
VWe....,, /
METHODE DE CONSTRUCTION ESPACES PARACOMPACTS 11
Puisque ^.^ est une famille discrète et que W est contenu dans W, la famille ^Un+i est discrète, donc A^^ est fermé. Il est clair que la condition iii) est vérifiée. Puisque W est un voisinage de W H A dans W, W H W est un voisinage de W H A dans W ; comme W est ouvert, l'intérieur de W contient W H A, donc la condition ii) est vérifiée. Puisque "Un^i est discrète, la condition iv) se vérifie facilement.
Définissons f^^ : A^+i -> X par
J n + 1l ^n = în
/n.llW'=^ ( W G U ^ )
Cette définition a un sens puisque
h^ n A^ = /îjw n A^ == /jw n A^
et que, si W , W^ appartiennent à ^+1 et si W ^ W ^ ,
W n w'^ c w n w^ = 0.
La continuité de/^J ^LL^i résulte de la continuité des h^ (W G ^U-^+i) et du fait que la famille ^U^+i est discrète. Puisque/„+J A^ est aussi continue et que A^i est réunion des deux fermés A^ et •U^*! ' fn+i est continue. Si W appartient à ^+i, alors /,,+i(W') est, par construc- tion, contenu dans la réunion d'une sous-famille finie de {X,},^, donc la condition v) est vérifiée et la récurrence est achevée.
Posons alors
0 = U Int A..
n=i n
D'après ii) et le fait que ^U recouvre A , 0 est un voisinage de A. D'après vi), on définit sans ambiguïté une fonction g : 0 -> X par
g\lntA^ =/JIntA^ (n > 1).
Cette fonction est continue car chaque /„ est continue et (Int A^)^^ est un recouvrement ouvert de 0 ; en outre, elle prolonge / d'après i) et vi). c.q.d.f.
0. Hanner a construit [3] un exemple d'espace compact X qui est réunion de deux fermés X^ et X^ tels que X^ , X^ et X^ H X^
soient des rétractes absolus dans la catégorie des espaces compacts, mais que X ne soit pas un rétracte absolu de voisinage dans cette catégorie. Cet exemple montre que la complète normalité joue un rôle essentiel dans le lemme 2 et le théorème 2.
La condition de complète normalité sur Y sert seulement à garantir que la réunion d'une sous-famille finie de {X^.}^ a la pro- priété d'extension locale par rapport à Y ; on peut donc la remplacer par tout autre condition garantissant cette affirmation. Notons aussi que le prolongement g que nous avons construit dans la démonstra- tion du théorème 2 est tel que tout point x de 0 a un voisinage dont l'image par g est contenue dans la réunion d'une sous-famille finie de{X^}^j. Ces remarques démontrent le
COROLLAIRE. — Soient K un CW-complexe, Y un espace para- compact, A un fermé de Y et f : A -> K une fonction continue loca- lement finie. Alors il y a un prolongement localement fini de f à un voisinage de A dans Y.
(Nous disons qu'une fonction / d'un espace topologique X dans un CW-complexe K est localement finie si tout point de X a un voi- sinage dont l'image par / est contenue dans un sous complexe fini de K).
En particulier, il résulte de ce corollaire que si un sous-ensemble fermé A d'un espace paracompact Y est localement compact ou vé- rifie le premier axiome de dénombrabilité, alors toute fonction conti- nue de A dans un CW-complexe peut se prolonger à un voisinage de A dans Y.
Nous dirons qu'un espace topologique X est un R.A.V. (compact) s'il est compact et s'il a la propriété d'extension locale par rapport à tous les espaces compacts.
THEOREME 3. — Soit X un espace séparé tel que tout sous- ensemble compact de X soit contenu dans un sous-ensemble de X qui est un R.A.V. (compact). Alors, si A est un sous-ensemble fermé localement compact d'un espace paracompact Y, toute fonction continue de A dans X peut se prolonger à un voisinage de A dans Y.
METHODE DE CONSTRUCTION ESPACES PARACOMPACTS 13
La démonstration du théorème 3 est analogue à celle du théo- rème 2. Les seules modifications à faire sont les suivantes :
a) Prendre pour U ^ ( x G A ) un voisinage tel que /(U^) soit relativement compact dans X (donc contenu dans un R.A.V. (com- pact), lequel a, comme il est connu, la propriété d'extension locale par rapport à tout espace normal, donc par rapport à Y),
b) Remplacer la condition v) par v') : Si W G U^, alors/^(W') est relativement compact dans X.
Le théorème 3 a diverses variantes, parmi lesquelles le théo- rème suivant que l'on peut démontrer en modifiant de façon évi- dente la démonstration du théorème 3 :
THEOREME 4. - Soit (E , p , B) un fibre localement trivial dont la base B est paracompacte et la fibre F a les propriétés imposées à X au théorème 3. Alors, si A est un sous-ensemble fermé locale- ment compact de B, toute section de p au-dessus de A peut se pro- longer à un voisinage de A dans B.
3. Applications canoniques dans les nerfs de recouvrements fermés.
Si K est un complexe simplicial et a un simplexe de K, nous noterons [a] le barycentre de a. Nous appellerons Lk^(a), ou Lk(a), le sous-complexe de la subdivision barycentrique K' de K formé des simplexes ([aj , . . . , [aj) tels que a < a^ < . . . < a^ (a <r signifie que a est une face propre de T) et nous noterons Tr^o), ou Tr(a), le joint de [a] et de Lk(a) ; Tr(a) est donc formé des simplexes de K' de la forme ([a] , [aj , . . . , [a,]) où a < a^ <. . . < Oy et de toutes leurs faces. Il est clair que si L est un sous-complexe de K et a un simplexe de L, alors Lk^(a) et Tr^a) sont des sous- complexes de Lkjç(a) et Tr^or) resp.
Si ^^U^aeA est une famille de sous-ensembles d'un es- pace topologique et si a = (Oç , . . . , c^) est un simplexe du nerf ISKU) de U nous noterons Car(a) l'ensemble .n U^. . Si Y est un sous-espace de X, nous noterons '111 Y la famille {U^ 0 Y}^^ de
sous-ensembles de Y ; alors N C U J Y ) est un sous-complexe de N^).
Le théorème suivant a été prouvé par J. Dugundji [1] dans le cas où X est un espace métrique et où le nerf de Si est localement de dimension finie.
THEOREME 5. — Soit X un espace paracompact et soit 9 un recouvrement fermé localement fini de X dont les éléments sont du type Gfi dans X. Alors il y a une fonction continue X : X -^ N(S») telle que À'^Tr a) == Car(a) pour tout simplexe a de N(§0.
Démonstration. — Puisque ^ est localement fini, on peut, à
00
l'aide du théorème 1, trouver un recouvrement ouvert V = U V w=i "
de X tel que chaque V^ soit une famille discrète, que, quel que soit n > 1, chaque élément de V^ ne rencontre qu'un nombre fini d'élé- ments de U V et que chaque élément de V ne rencontre qu'un
p^n r
nombre fini d'éléments de ?f1, On sait que si ^ ={UQ(\KCA est un
recouvrement ouvert d'un espace paracompact, alors il existe un recouvrement fermé ^ =^1^}^^, dont les éléments sont du type Gg, tel que U^ soit contenu dans U^ quel que soit a et que les in- térieurs des U^(a G A) recouvrent X. En appliquant ceci au recou- vrement ouvert V, on voit que l'on peut trouver une famille g = U ^ de Gg fermés de X vérifiant :
1) Chaque ^ est une famille discrète.
2) Chaque élément de ^ ne rencontre qu'un nombre fini d'élé- ments de U <â.
p<n Gn
3) Les intérieurs des éléments de ^ recouvrent X.
4) Chaque élément de ^ ne rencontre qu'un nombre fini d'élé- ments de Sf.
Pour n > 1, posons G^ = ^ U . . . U ^ ; par commodité, posons aussi Go = 0. Les familles §„ étant discrètes, les G^ sont des fermés du type Gç. Nous allons construire, pour tout entier n > 0, une fonc- tion continue Xy, : G^ -^ N(§0 de façon que
5) X^(Tra) = Car(cr) H G^.
6) Pour tout élément G de ^ , X^ (G) est contenu dans un sous-complexe fini de N (^).
METHODE DE CONSTRUCTION ESPAŒS PARACOMPACTS 15
7) ^n+JG,, = An quel que soit n.
Cela étant, la condition 7) permettra de définir une fonction
x de x = Si G" dans ^ P" x 1 ^ = \ quel que soit n. La conti- nuité de X résultera de la continuité des \ et de 3). Enfin, 5) ga- rantira que À satisfait à la condition du théorème.
Reste à construire les \. Puisque G(, est vide, il n'y a pas de problème pour construire \. Nous allons donc construire Â,,^ en supposant X, déjà construite. Soit G un élément de §^,. D'après 2) et 6), l'ensemble \(G n G,,) est contenu dans un sous-complexe fini de N(§ï). Soit Lç = N(§?| G) ; d'après 4), c'est un sous-complexe fini de N(®). Si a est un simplexe de LQ, soit d^a) = dim Lç - dim o.
Posons
8) A^ = U {Car(o) n G/a £ Lç et d^a) < k} 0 < k < dim L(,.
Convenons que A_, est vide ; alors les A^ sont des fermés de G et l'on a
9 ) 0 = A _ , C A . , C A , C . . . C A ^ = G Nous allons définir des fonctions continues
X<^ : (G n G,,) U A^ N(§ï) (-1 < k < dim Lç) de façon que
1 0 ) X ^ | G n G ^ = X J G n G n
1 1 ) X^O-r o) = Car(o) n G pour tout a G Lç avec JG^X^
12)XG,JA^_, =XG^_JA;,_,
13) ^^((tï n G») U A^) est contenu dans un sous-complexe fini de N(5»).
Pour k = - 1, prenons \^ = XJG n G,,. Soit A: < dim LQ et supposons XQ ^ construite. Notons que si a , a sont deux simplexes distincts de Lg avec d^a) = k + 1 = d^a'), alors Car(o) n Car(o') n G est contenu dans A^. Ceci résulte du fait que si
Car(o) n Car(o')n G ^ 0,
alors Car(a) H Car(a') = Car(r) où r est le plus petit simplexe de N(§0 contenant a la fois a et a' ; mais alors r appartient à Lç et, puisque a est une face propre de r, on a ûfo(r) < dç^a). Il suffit donc, pour cons- truire Xç j^, de prolonger séparément Xç ^ à chacun des Car(a) H G tels que a G Lç et dç(a) = fc 4- 1.
Pour cela, remarquons que, pour un tel a , Xç ^(Car(a) H A^) est contenu dans Lk(a). En effet» si y appartient à Car (a) H A^, alors y appartient à Car(a) H Car(r) H G pour quelque r € LQ avec dçO-) < fc. Alors, il y a un simplexe p de Lç contenant à la fois or et T ; on a rfç(p) < rfc^) ^ ^' donc Xç ^(y) G Tr(p) C Lk(a) (Car lorsque a < p, on a Tr(p) C Lk(a)). Alors Xç ^(((G H G^) U A^) H Car(o)) est, d'après 13), contenu dans un sous-complexe fini de Lk(a). Soit Ky le joint de [a] et de ce sous-complexe. Puisque Ky est un complexe fini contractile, il a la propriété d'extension par rapport aux "espaces normaux, donc il existe une fonction continue ^y : Car(a) H G -^ Ky prolongeant Xç jj ((G H G^) U Aj^) H Car(a). Il résulte facilement du fait que chaque élément de 9 ou g est un Gg que l'ensemble (G H G^) U A^ est un Gg dans X. Par suite, il existe une fonction continue Cy : Car(a) -> 1 telle que c^CO) = ((G H G^) U Aj^) H Car(o).
Soit^ : Car(a) H G -^ N(^) la fonction définie par 14) <^00 = ^(j/) . [a] + (1 - c^(^)) ^^(^).
Puisque <^y prend ses valeurs dans le complexe fini K^y, elle est continue.
Définissons alors Xç j^ par
^ G . ^ l l (G n Gn )UA ^ = X G ^
15) \î A:+I 1 Car(or) H G = ^ pour a G Lç avec c?ç(a) = A: + 1 Puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de simplexes O ' , X Q ^ ^ est continue et son image est contenue dans un sous-complexe fini de N(§0. Montrons que, pour tout simplexe r de Lç tel que dçCr) < fe -l- 1, on a Xç^+i(Trr) = Car(r) H G. Si dç^r) < k et si a G Lç vérifie dç(o) = fe -h 1, alors Tr(r) H Tr(a) ne contient pas [a] (car sinon r serait une face de a et l'on aurait dç(a) < dçCr)) donc Tr(r) H Tr(a) est un sous-complexe de Lk(a). Puisque Xç ^^.^ n'envoie aucun point de Car(a) H G\(G H G^) U A^ dans Lk(a), on a
^G^iW^) = ^G^^^)) = ^(T) ^ G.
METHODE DE CONSTRUCTION ESPACES PARACOMPACTS 17 Si ûfç(r) = k -+• 1, il est clair, d'après la construction, que ^0^+1 (Tr(r)) contient Car(r) ri G. Inversement, soit y un point de (G H G^) U A^
tel que ^Qfc+i(y) appartienne à Tr(a). Si y appartient à G^ ou à A^+^\A^, il est clair que y appartient à Car(r). Si y appartient à A^\G^, alors, d'après la construction des X ç ^ , il existe un / < k et un simplexe a de Lç tels que Xç ^+ ^ ( y ) = Xç^(.y) appartienne à Tr(cr)\Lk(a). Alors [a] est un sommet de Tr(r), Le. r < a, donc, d'après l'hypothèse de récurrence, y E Car(a) C Car(r).
La construction par récurrence des Xç^. étant ainsi achevée, définissons une fonction Xy^ : G^+^ -> NC?) par
^M+l 1^ ~ A»
^ w + i l0 = ^G, 10^
î,dimLç P0111" G e ^n+l-
discrète, il est clair que X,,,
Puisque ^,+^ est discrète, il est clair que \+i\^+i est conti- nue ; comme G„ et ^+^ sont fermés, X^i est continue sur
G^^G^i^r
La condition 13), appliquée à h = dim Lç, montre que \+^ vérifie la condition 6). Soit a un simplexe de N(§0 ; alors
\^i(Tr(a)) H G^ = X^(Tr(a)) == Car(a) H G^,
donc, pour montrer que X^(Tr(a)) = Car(a) n G^+^, il suffit de montrer que X^(Tr(a)) H G = Car(a) H G quel que soit G appar- tenant à §„+!. Si a appartient à Lç, ceci résulte de 11) et 16).
Sinon, Car(a) H G est vide donc, puisque \ vérifie 5), X^(Tr(a)) H G est contenu dans G\G^. D'après 16) et la construction des Xç jç, si y est un point de G\G^, il existe un simplexe r de Lç tel que
^lO^)" ^G^V)
appartienne à Tr(r)\Lk(r). Si X^QQ appartenait à Tr(a), [r] serait un sommet de Tr(a), donc a serait une face de r et, d'après 11), y appartiendrait à Car(r) C Car(a) contrairement au fait que Car(a) H G est vide, ce qui montre que Xy,+^(Tr(a)) H G est vide, donc égal à Car(a) H G. Par conséquent, X^+^ vérifie 5). La construction des X^, donc aussi la démonstration, est achevée.
BIBLIOGRAPHIE
[1] DUGUNDJI, Maps Into nerves of closed coverings, Annali délia Scuola Normale Superiore di Pisé (3) 21 (1967) p. 121-136.
[2] R. ENGELKING, Outline of général topology, North Holland 1968.
[3] 0. HANNER, Retraction and extension of mappings of metric and non-metric spaces, Ark. for Mat. 2 (1952) p. 315-360.
Manuscrit reçu le 25 janvier 1972 article accepté par J.L. Koszul
Robert CAUTY 88, rue de Clichy
Paris 9^®
et Université Paris VI
