Mathématique ECS 1 18 déc. 2017
Concours blanc - décembre 2017.
Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Voici quelques points de rédaction à respecter scrupuleusement :
0.Il est inutile de recopier l’énoncé.
1.Prévoyez des copies (doubles) distinctes par exercice et traitez les questions dans l’ordre.
2.Vous pouvez admettre un résultat donné par l’énoncé à condition de l’indiquer clairement dans votre copie.
3.Les copies non soignées seront pénalisées dans la mesure de 10% de la note finale.
4. Les résultats obtenus à chaque question devront être encadrés.
5.N’utilisez pas d’encre rouge, ni de crayon à papier pour écrire sur la copie.
6. Ecrivez sur les lignes et sautez (au moins ) une ligne quand vous passez d’une question à une autre.
Aucune abréviation ne doit figurer dans vos phrases qui doivent être rédigées dans un français correct !
7.Ce qui est illisible ne sera pas lu, en particulier les surcharges dans les parties de la copie non destinées à la rédaction (bas de page, haut de page, marge, interlignes). Pas de ratures, vous avez du brouillon pour vos essais et recherches préalables. Si vous vous servez d’effaceurs, de stylos correcteurs ou autres moyens d’effaçage, n’oubliez pas, après le temps de séchage réglementaire, de procéder aux rectifications projetées.
8.Quelques rappels : les symboles∀,∃,=⇒,⇐⇒n’ont rien à faire dans une phrase. Ces symboles ne doivent pas figurer en début de ligne et le symbole⇐⇒ doit toujours avoir un membre à gauche et à droite à `chaque premier emploi. Je signale encore une fois que la flêche =⇒n’a pas le sens de « donc »et que m’écrire P ⇐⇒ Qne signifie pas que vous m’annoncez queP ouQest vraie ! Bannissez ces symboles de vos raisonnements et employez le symbole⇐⇒ uniquement dans le cadre de la résolution d’(in)équations ou de système d’(in)équations.
9.Une dernière recommandation importante : si vous ne parvenez pas à établir un résultat ou si vous n’avez aucune idée de la manière de l’établir, n’inventez pas !
10.Ne pas respecter l’un des points précédents entraînera une réduction de la note finale de 2,5% par défaut constaté.
La durée de l’épreuve est de quatre heures.
Aucune sortie définitive avant la fin de l’épreuve et pas de sortie toilette pendant les deux premières heures.
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Exercice 1. Une classe comporte 30 élèves dont18filles. A chaque séance de cours, le professeur de mathématiques interroge au hasard trois étudiants l’un après l’autre.
(1) Quelle est la probabilité que parmi ces trois élèves, deux exactement soient des garçons ? (2) Quelle est la probabilité qu’il y ait au plus un garçon parmi les trois élèves ?
Parmi ces élèves, il y a 19 internes dont dix sont des garçons. Le professeur procède à l’élection de deux délégués.
(3) Combien y a-t-il de résultats possibles pour cette élection ? (4) Quelle est la probabilité que les deux délégués soient internes ?
(5) Quelle est la probabilité que les deux délégués soient des filles externes ?
A la fin de chaque séance, le professeur de mathématiques demande à un élève d’effacer le tableau et il peut désigner un même élève plusieurs fois, ses choix étant indépendants d’une séance à l’autre. Il y a cinq séances de cours de mathématiques par semaine.
(6) Quelle est la probabilité, qu’en une semaine, le tableau ait été effacé au moins une fois par une fille ? (7) Quelle est la probabilité, qu’en une semaine, les élèves désignés pour effacer le tableau soient tous distincts ?
Exercice 2. On poseω= e2iπ7 . On désigne parS et T les quantités suivantes : S =ω+ω2+ω4, T =ω3+ω5+ω6. (1) Montrer queS et T sont conjugués.
(2) Montrer que Im (S)>0.
(3) En déduireS+T etST (4) Déterminer alorsS etT. On pose maintenantU = ω
1 +ω2 + ω2
1 +ω4 + ω3 1 +ω6.
(5) En réalisant des regroupements judicieux dans la somme 1 +ω+ω2+ω3+ω4+ω5+ω6, montrer que ω 1 +ω2 =
−1−ω3−ω4. Trouver des formules analogues pour ω2
1 +ω4 et ω3
1 +ω6, puis déterminer la valeur deU.
Exercice 3. On étudie dans cet exercice la suite(Sn)définie pourn≥1par :
Sn= 1 +1 4 +1
9 +. . .+ 1
n2 c’est-à-direSn=
n
X
k=1
1 k2. A cet effet, on introduit pour tout nombre entierk≥0les deux intégrales suivantes :
Ik= Z π2
0
(cos(t))2kdt;Jk = Z π2
0
t2(cos(t))2kdt.
(1) Convergence de la suite(Jk/Ik)
(a) Montrer qu’il existe un unique réelαde l’intervallei 0,π
2 h
tel que cos(α) = 2 π. (b) En étudiant suri
0,π 2
h la fonction t 7→sin(t)− 2
πt, établir l’inégalité suivante pour tout nombre réel t tel que 0≤t≤π
2 :
t≤π 2sin (t).
(c) Etablir l’inégalité suivante pour tout nombre entierk≥0:
0≤Jk≤π2
4 (Ik−Ik+1).
(d) ExprimerIk+1 en fonction deIk en intégrant par parties l’intégraleIk+1(on pourra introduire des fonctionsu, v telles queu0(t) = cos (t)etv(t) = cos2k+1(t)dans l’intégration par parties).
(e) Déduire des résultats précédents queJk/Ik tend vers0 quandktend vers+∞.
(2) Convergence et limite de la suite(Sn)
(a) Soitkun entier tel quek≥1. ExprimerIk en fonction deJk etJk−1en intégrant deux fois par parties l’intégrale Ik.
(b) En déduire la relation suivante pourk≥1 :
Jk−1 Ik−1 −Jk
Ik = 1 2k2. (c) CalculerJ0 etI0, puis déterminer la limite S de la suiteSn.
Exercice 4. Cet exercice a pour but l’étude des déplacements aléatoires sur les sommets d’un triangle, ce qui fait l’objet de la partie 2. Dans la partie 1, on aborde des questions préliminaires d’algèbre linéaire.
Partie 1.
On associe à tout triplet(x, y, z)de nombres réels la matrice M(x, y, z)définie par :
M(x, y, z) =
x y z z x y y z x
.
La matriceM(1,0,0) n’est autre que la matrice identitéI3 et la matriceM(0,1,0)est notéeJ. On noteEl’ensemble des matrices de la forme M(x, y, z)où(x, y, z)décrit R3.
(1) L’espace vectorielE des matricesM(x, y, z) (a) Calculer les matricesJ2et J3.
(b) En déduire l’égalité suivante :
M(x, y, z)×M(x2−yz, z2−xy, y2−zx) =1
2(x+y+z)
(x−y)2+ (y−z)2+ (z−x)2 I3.
(c) Etablir qu’une condition suffisante pour queM(x, y, z)soit inversible est quex,y,zsoient tels que x+y+z6=0 et pas tous égaux. Quelle est alors la matrice inverse deM(x, y, z)?
(d) Etablir enfin que cette condition suffisante d’inversibilité est également nécessaire.
(3) Diagonalisation des matricesM(x, y, y) (a) Calculer les produits matriciels suivants :
M(x, y, y)
1 1 1
;M(x, y, y)
1
−1 0
;M(x, y, y)
1 0
−1
(b) SoitP la matrice
1 1 1
1 −1 0
1 0 −1
Vérifer que :
M(x, y, y)P =P D(x, y)
oùD(x, y)est la matrice diagonale
x+ 2y 0 0
0 x−y 0
0 0 x−y
.
(c) Montrer queP est inversible et calculer son inverse, puis établir, pour tout entier naturel n, l’égalité (P−1M(x, y, y)P)n=P−1[M(x, y, y)]nP
(d) En déduire la relation suivante pour tout nombre entier natureln:
[M(x, y, z)]n =1
3(x+ 2y)nM(1,1,1) + 1
3(x−y)nM(2,−1,−1).
Partie 2.
On désigne dans toute cette partie parpun nombre réel tel que 0< p < 1
2 et on considère un mobile S qui se déplace sur les sommets d’un triangleABC.
A l’instant initialt= 0, le pointS est enA, et il se déplace ensuite selon les règles suivantes :
— si le mobileS est à l’instant nau sommetAdu triangle :
il est à l’instantn+ 1au sommetB avec la probabilitép, au sommet C avec la probabilitép, ou encore au sommet A avec la probabilité1−2p;
— si le mobileS est à l’instant nau sommetB du triangle :
il est à l’instantn+ 1au sommetC avec la probabilitép, au sommetA avec la probabilitép, ou encore au sommet B avec la probabilité1−2p;
— si le mobileS est à l’instant nau sommetC du triangle :
il est à l’instantn+ 1au sommetAavec la probabilitép, au sommetB avec la probabilitép, ou encore au sommet C avec la probabilité1−2p.
Pour tout nombre entier natureln, on désigne enfin par :
— An l’événement "le pointS est au sommetAà l’instantn" et par an sa probabilité.
— Bn l’événement "le pointS est au sommetB à l’instantn" et parbn sa probabilité.
— Cn l’événement "le point S est au sommetC à l’instantn" et parcn sa probabilité.
(1) Schéma des transitions : reproduire sur votre copie le schéma ci-dessous en donnant les expressions, en fonction de p, des probabilités conditionnelles indiquées.
start A
B C
PA
n(B
n+1
) PAn(An+1)
PAn(Cn+1)
PBn(An+1)
PBn(Bn+1)
PBn(Cn+1) PCn(Cn+1)
PCn(Bn+1) PCn(An+1)
(2) Calcul des probabilitésan,bn,cn
(a) Exprimer à l’aide de la formule des probabilités totales les probabilitésan+1,bn+1,cn+1en fonction des probabilités an,bn, cn.
(b) En déduire une matriceM telle qu’on ait pour tout nombre entier natureln:
an+1
bn+1
cn+1
=M
an
bn
cn
.
(c) En déduire en fonction deples probabilités an,bn,cn et leurs limites quandntend vers+∞.
Nom
:. . . .A start
B C
. . . . . .
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
. . . . . .
