Commun à tous les candidats

Annales 2016-2017 Amérique du Nord 2017

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Dans tout l’exercice, les valeurs seront, si nécessaire, approchées au millième. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis.

Les montants de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l’année écoulée conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance µ = 2 900 euros et d’écart-type σ = 1 250 euros.

1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l’entreprise, quelle est la proba- bilité que le montant du devis soit supérieur à 4 000 euros ?

2. Afin d’améliorer la rentabilité de son activité, l’entrepreneur décide de ne pas donner suite à 10 % des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé.

Quel doit être le montant minimum d’un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner ce montant à l’euro près.

Partie B

Ce même entrepreneur décide d’installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les mes- sages indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier appelé « dossier spam ». Le fabricant affirme que 95 % des spams sont déplacés. De son côté, l’entrepreneur sait que 60 % des messages qu’il reçoit sont des spams. Après installa- tion du logiciel, il constate que 58,6 % des messages sont déplacés dans le dossier spam. Pour un message pris au hasard, on considère les évènements suivants :

• D : « le message est déplacé » ;

• S : « le message est un spam ».

1. Calculer P (S ∩ D ).

2. On choisit au hasard un message qui n’est pas un spam. Montrer que la probabilité qu’il soit déplacé est égale à 0, 04.

3. On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit un spam ?

4. Pour le logiciel choisi par l’entreprise, le fabricant estime que 2,7 % des messages dépla- cés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l’efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les mes- sages déplacés. Il trouve 13 messages fiables parmi les 231 messages déplacés pendant une semaine.

Ces résultats remettent-ils en cause l’affirmation du fabricant ?

Exercice 2 5 points Commun à tous les candidats

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du mur d’enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est consti- tué de deux vantaux de largeur a telle que 0 < a ⩽ ^2.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-contre. Les cô- tés [AD] et [BC] sont perpendiculaires au seuil [CD] du portail. Entre les points A et B, le haut des vantaux a la forme d’une portion de courbe.

1

vantail 2

vantail a

mur mur

A B

C D

S

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction f définie sur [ − 2 ; 2] par :

f (x) = − b 8 (

e

+ e

) + 9

4 où b > 0.

Le repère est choisi de façon que les points A, B, C et D aient pour coordonnées respectives ( − a ; f ( − a)), (a ; f (a)), (a ; 0) et ( − a ; 0) et on note S le sommet de la courbe de f , comme illustré ci-contre.

1 2

−1

−2

1

A 2 B

C D

S

Partie A

1. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [ − 2 ; 2], f ( − x) = f (x). Que peut- on en déduire pour la courbe représentative de la fonction f ?

2. On appelle f

la fonction dérivée de la fonction f . Montrer que, pour tout réel x de l’in- tervalle [ − 2 ; 2] :

f

(x) = − 1 8 (

e

− e

)

.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [ − 2 ; 2] et en déduire les coordonnées du point S en fonction de b.

Partie B

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les valeurs de a et b.

1. Justifier que b = 1.

2. Montrer que l’équation f (x) = 1, 5 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 2] et en déduire une valeur approchée de a au centième.

3. Dans cette question, on choisit a = 1, 8 et b = 1. Le client décide d’automatiser son portail

si la masse d’un vantail excède 60 kg. La densité des planches de bois utilisées pour la

fabrication des vantaux est égale à 20 kg.m

. Que décide le client ?

Partie C

On conserve les valeurs a = 1, 8 et b = 1.

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe re- présentative de la fonction f au point F d’abscisse 1.

O

S E

B

C vantail

O S G

H B

C vantail

Forme 1 : découpe dans un rectangle Forme 2 : découpe dans un trapèze La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.

Évaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1.

On rappelle la formule donnant l’aire d’un trapèze. En notant b et B respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et h la hauteur du trapèze :

Aire = b + B 2 × h.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d’étudier les suites de termes positifs dont le premier terme u

est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel n > 0, la somme des n premiers termes consécutifs est égale au produit des n premiers termes consé- cutifs.

On admet qu’une telle suite existe et on la note (u

). Elle vérifie donc trois propriétés :

• u

> 1,

• pour tout n ⩾ ^{0, u}

⩾ ^0,

• pour tout n > 0, u

+ u

+ ··· + u

= u

× u

× ··· × u

.

1. On choisit u

= 3. Déterminer u

et u

.

2. Pour tout entier n > 0, on note s

= u

+ u

+ ··· + u

= u

× u

× ··· × u

. On a en particulier s

= u

u ˚

a. Vérifier que pour tout entier n > 0, s

= s

+ u

et s

> 1.

b. En déduire que pour tout entier n > 0, u

= s

s

− 1 .

c. Montrer que pour tout n ⩾ ^{0, u}

> 1.

3. À l’aide de l’algorithme ci-contre, on veut calculer le terme u

pour une valeur de n don- née.

a. Recopier et compléter la partie traite- ment de l’algorithme ci-contre.

b. Le tableau ci-dessous donne des va- leurs arrondies au millième de u

pour dif- férentes valeurs de l’entier n :

n 0 5 10 20 30 40

u

3 1,140 1,079 1,043 1,030 1,023 Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (u

) ?

Entrée : Saisir n Saisir u

Traitement : s prend la valeur u Pour i allant de 1 à n :

u prend la valeur . . . s prend la valeur . . . Fin Pour

Sortie : Afficher U 4. a. Justifier que pour tout entier n > 0, s

> n.

b. En déduire la limite de la suite (s

) puis celle de la suite (u

).

Exercice 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère orthonormé

( O, − →

ı , − → ȷ , → − k

)

. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangu- laires SEF et SFG.

• Les plans (SOA) et (SOC) sont perpendiculaires.

• Les plans (SOC) et (EAB) sont parallèles, de même que les plans (SOA) et (GCB).

• Les arêtes [UV) et [EF] des toits sont parallèles.

Le point K appartient au segment [SE], le plan (UVK) sépare la véranda en deux zones, l’une éclairée et l’autre ombragée. Le plan (UVK) coupe la véranda selon la ligne polygonale KMNP qui est la limite ombre-soleil.

A

B O C E

F

G S

K M

U

V

N

−

→ ı

−

→ ȷ

−

→ k

1. Sans calcul, justifier que :

a. le segment [KM] est parallèle au segment [UV] ;

b. le segment [NP] est parallèle au segment [UK].

2. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé (

O, → − ı , → − ȷ , − → k )

. Les coordonnées des différents points sont les suivantes : A(4 ; 0 ; 0), B(4 ; 5 ; 0), C(0 ; 5 ; 0), E(4 ; 0 ; 2, 5), F(4 ; 5 ; 2,5), G(0 ; 5 ; 2,5), S(0 ; 0 ; 3,5), U(0 ; 0 ; 6) et V(0 ; 8 ; 6).

On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan (UV K) qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.

a. Au moment le plus ensoleillé, le point K a pour abscisse 1, 2. Vérifier que les coor- données du point K sont (1,2 ; 0 ; 3,2).

b. Montrer que le vecteur − → n de coordonnées (7 ; 0 ; 3) est un vecteur normal au plan (UVK) et en déduire une équation cartésienne du plan (UVK).

c. Déterminer les coordonnées du point N intersection du plan (UVK) avec la droite (FG).

d. Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.

3. Afin de faciliter l’écoulement des eaux de pluie, l’angle du segment [SG] avec l’horizon- tale doit être supérieur à 7ˇr. Cette condition est-elle remplie ?

Exercice 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d’activités, le programme A : cirque - éveil musical, et le programme B : théâtre - arts plastiques.

À sa création en 2014, l’association compte ISO enfants qui suivent tous le programme A.

Pour chacune des années suivantes, le nombre d’enfants inscrits dans l’association reste égal à 150.

On dispose également des informations suivantes :

Chaque enfant ne peut suivre qu’un seul programme : soit le programme A, soit le programme B.

D’une année à l’autre, 20 % des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que 40 % choisissent le programme B. Les autres quittent l’association.

D’une année à l’autre, 60 % des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l’association.

Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.

On modélise le nombre d’inscrits au programme A et le nombre d’inscrits au programme B durant l’année 2014 + n respectivement par deux suites (a

) et (b

) et on note U

la matrice ligne (

a

b

)

. On a donc U

= ( 150 0

) .

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a U

= U

M où M =

( 0, 6 0, 4 0, 4 0, 6 )

.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, U

= (

75 + 75 × 0, 2

75 − 75 × 0, 2

)

.

3. En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.

Partie B

L’association affecte à chaque enfant un numéro à 6 chiffres c

c

c

c

c

k. Les deux premiers chiffres représentent l’année de naissance de l’enfant les trois suivants sont attribués à l’enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :

• on effectue la somme S = c

+ c

+c

+ a × (c

+ c

) où a est un entier compris entre 1 et 9 ;

• on effectue la division euclidienne de S par 10, le reste obtenu est la clé k.

Lorsqu’un employé saisit le numéro à 6 chiffres d’un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n’est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

1. Dans cette question seulement, on choisit a = 3.

a. Le numéro 111383 peut-il être celui d’un enfant inscrit à l’association ?

b. L’employé, confondant un frère et une sur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011. Ainsi, le numéro 08c

c

c

k est transformé en 11c

c

c

k . Cette erreur est- elle détectée grâce à la clé ?

2. On note c

c

c

c

c

k le numéro d’un enfant. On cherche les valeurs de l’entier a pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres c

et c

sont intervertis. On suppose donc que les chiffres c

et c

sont distincts.

a. Montrer que la clé ne détecte pas l’erreur d’interversion des chiffres c

et c

si et seulement si (a − 1) (c

− c

) est congru à 0 modulo 10.

b. Déterminer les entiers n compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier p compris entre 1 et 9 tel que np ≡ 0 (10).

c. En déduire les valeurs de l’entier a qui permettent, grâce à la clé, de détecter systé-

matiquement l’interversion des chiffres c

et c

.

Pondichéry 2017

E XERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.

Partie A

À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas com- mercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :

• la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commer- cialisable est égale à 0,98.

• la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commer- cialisable est 0,95.

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note : A l’ évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ; C l’évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».

On note x la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1. Montrer que P (C) = 0, 03x + 0, 95.

2. À l’issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commerciali- sable.

Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.

Partie B

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d’une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre λ .

1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans.

Déterminer le paramètre λ de la loi exponentielle.

2. Calculer P (Z > 2).

3. Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la proba- bilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?

Partie C

On note X la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d’une

tablette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d’espérance

µ = 85 et d’écart type σ = 2.

1. Calculer P (83 < X < 87).

Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcen- tage annoncé sur l’emballage ?

2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel a tel que : P (85 − a < X < 85 + a) = 0, 9.

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

3. La chocolaterie vend un lot de 10 000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l’enseigne que, dans ce lot, 90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle [81,7 ; 88,3].

Afin de vérifier si cette affirmation n’est pas mensongère, le responsable achat fait pré- lever 550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, 80 ne ré- pondent pas au critère.

Au vu de l’échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l’affirmation de la chocola- terie ?

E XERCICE 2 3 points

Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct ( O, − →

u , − → v )

. 1. On considère l’équation

(E) : z

− 6z + c = 0 où c est un réel strictement supérieur à 9.

a. Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.

b. Justifier que les solutions de (E) sont z

= 3 + i p

c − 9 et z

= 3 − i p c − 9.

2. On note A et B les points d’affixes respectives z

et z

. Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.

3. Démontrer qu’il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.

E XERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante :

dans un repère orthonormal, d’unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par

l’axe des abscisses et la courbe C .

montagne

zone de creusement C

O → −

u

−

→ v

On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [ − 2, 5 ; 2, 5]

par :

f (x) = ln (

− 2x

+ 13, 5 ) .

L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction f

1. Calculer f

(x) pour x ∈ [ − 2, 5 ; 2, 5].

2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [−2, 5 ; 2, 5].

En déduire le signe de f sur [ − 2, 5 ; 2, 5].

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

2. Justifier que l’aire, en mètre carré, de la zone de creusement est A = 8

∫

0

f (x) dx.

3. L’algorithme permet de calculer une valeur approchée par défaut de I =

∫

0

f (x) dx, notée a.

On admet que : a ⩽ ^I ⩽ ^a + f (0) − f (2, 5)

n × 2, 5.

Variables

R et S sont des réels n et k sont des entiers Traitement

S prend la valeur 0 Demander la valeur de n Pour k variant de 1 à n faire

R prend la valeur 2, 5 n × f

( 2, 5 n × k

)

S prend la valeur S + R Fin Pour

Afficher S

a. Le tableau donne différentes valeurs obtenues pour R et S lors de l’exécution de l’algorithme pour n = 50.

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

Initialisation S = 0, n = 50

Boucle Pour Étape k R S

1 . . . . . .

2 0,130 060 0,260 176

3 0,129 968 0,390 144

4 0,129 837 . . .

.. . .. .

24 0,118 137 3,025 705

25 0,116 970 3,142 675

.. . .. .

49 0,020 106 5,197 538

50 . . . . . .

Affichage S = . . .

b. En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creu- sement.

E XERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On considère deux suites (u

) et (v

) :

• la suite (u

) définie par u

= 1 et pour tout entier naturel n : u

= 2u

− n + 3 ;

• la suite (v

) définie, pour tout entier naturel n, par v

= 2

.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur.

Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

A B C

1 rang n terme u

terme v

2 0 1 1

3 1 5 2

4 2 12 4

5 3 25 8

6 4 50 16

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

12 10 3 080 1 024

13 11 6 153 2 048

14 12 12 298 4 096

15 l3 24 587 8 192

Conjecturer les limites des suites (u

) et ( u

v

) .

Partie B : Étude de la suite (u

)

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a u

= 3 × 2

+ n − 2.

2. Déterminer la limite de la suite (u

).

3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Partie C : Étude de la suite ( u

v

)

1. Démontrer que la suite ( u

v

)

est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0 < n 2

⩽ ¹

n . Déterminer la limite de la suite

( u

v

)

.

E XERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On définit les suites (u

) et (v

) par :

u

= v

= 1 et, pour tout entier naturel n, u

= 2u

+ 3v

et v

= 2u

+ v

. On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l’aide d’un tableur.

Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

A B C

1 rang n terme u

terme v

2 0 1 1

3 1 5 3

4 2 19 13

5 3 77 51

6 4 307 205

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?

2. Soit n un entier naturel.

Conjecturer la valeur de PGCD(u

; v

). Aucune justification n’est demandée.

3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

12 10 1 258 291 838 861

13 11 5 033 165 3 355 443

14 12 20 132 659 13 421 773

15 13 80 530 637 53 687 091

Elle émet la conjecture : « la suite ( u

v

)

converge ».

Qu’en penser ?

Partie B : Étude arithmétique

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 2u

− 3v

= ( − 1)

.

2. Soit n un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD(u

; v

).

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel n, on définit :

• la matrice colonne X

= ( u

v

) ,

• les matrices carrées P =

( 1 3

− 1 2 )

et Q

=

( ( − 1)

3 × 2

( − 1)

2

) .

1. a. Montrer que la matrice 1 5

( 2 − 3

1 1

)

est l’inverse de P .

b. On admet que, pour tout entier naturel n, on a X

= Q

P

X

. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a

 

 

 



u

= ( − 1)

+ 3 × 2

5

v

= ( − 1)

+ 2

5

2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a u

v

=

(−1)ⁿ⁺¹ 2²ⁿ⁺¹

+ 3

(−1)ⁿ 2²ⁿ⁺¹

+ 2 . b. En déduire la limite de la suite

( u

v

) .

E XERCICE 5 3 points

Commun à tous les candidats

A

B C

D E

F G

H

On considère un cube ABCDEFGH.

L’espace est rapporté au repère ( A ; −−→

AB , −−→

AD , −→

AE ) . On note P le plan d’équation x + 1

2 y + 1

3 z − 1 = 0.

Construire, sur la figure fournie, la section du cube par le plan P .

La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

Nouvelle Calédonie 2017

E XERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par f (x) = xe

et on note C

sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Partie A

1. Justifier toutes les informations du tableau de variations de f donné ci-dessous.

x 0 1 +∞

1 e f (x)

0 0

2. Soit F la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞ [ par F (x) = ( − x − 1)e

.

Démontrer que la fonction F est une primitive de f sur [0 ; +∞ [.

Partie B

Soit a un nombre réel tel que 0 < a < 1. On considère la droite D

d’équation y = ax et M le point d’intersection de la droite D

avec la courbe C

. On note x

l’abscisse du point M . On note H (a) l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c’est-à-dire du domaine situé sous la courbe C

au-dessus de la droite D

et entre les droites déquation x = 0 et x = x

.

Le but de cette partie est d’établir l’existence et l’unicité de la valeur de a telle que H (a ) = 0, 5 puis d’étudier un algorithme.

0,1

1

D

C

M

e

1. Prouver que la droite D

et la courbe C

ont un unique point d’intersection M distinct de l’origine.

On admet dans la suite de l’exercice que le point M a pour abscisse x

= − lna et que la courbe C

est située au-dessus de la droite D

sur l’intervalle [0 ; − ln(a )].

2. Montrer que H (a) = a ln(a) −

a (ln(a))

+ 1 − a.

3. Soit la fonction H définie sur ]0 ; 1] par H (x) = x ln(x) −

x(ln(x))

+ 1 − x.

On admet que H est dérivable sur ]0 ; 1] et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous.

x 0 1

1 H (x)

0 Justifier qu’il existe un unique réel α ∈ ]0 ; 1[ tel que H ( α ) = 0, 5.

4. On considère l’algorithme présenté ci-dessous.

VARIABLES : A, B et C sont des nombres ; p est un entier naturel.

INITIALISATION : Demander la valeur de p A prend la valeur 0 B prend la valeur 1 TRAITEMENT : Tant que B − A > 10

C prend la valeur (A + B )/2 Si H (C) > 0, 5

Alors A prend la valeur de C Sinon B prend la valeur de C Fin de la boucle Si

Fin de la boucle Tant que SORTIE : Afficher A et B.

Que représentent les valeurs A et B affichées en sortie de cet algorithme ?

5. Donner un encadrement d’amplitude 0, 01 de α .

E XERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats

Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Les deux questions sont indépendantes l’une de l’autre.

1. La durée de vie T (exprimée en années) d’un appareil électronique suit la loi exponen- tielle de paramètre λ où λ > 0.

On sait qu’un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans.

La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu’il a déjà fonc- tionné trois ans est d’environ 0, 39 à 0, 01 près.

2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, → − u , − → v ) .

L’équation z

− 3z

+ 3z = 0 admet trois solutions dans lensemble des nombres complexes C , qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral.

E XERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Des étudiants d’une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme.

Partie A

Sur les 34 sujets de l’examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A.

Peut-on rejeter au seuil de 95 % l’affirmation suivante : « il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l’examen » ?

Partie B

Le thème A reste pour beaucoup d’étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème.

Lors de l’examen, on a constaté que s’il y a un exercice portant sur le thème A :

• 30 % des étudiants n’ayant pas suivi le stage ne traitent pas l’exercice ;

• 5

6 des étudiants ayant suivi le stage l’ont traité.

On sait de plus que 20 % des étudiants participent au stage.

Lors des résultats de l’examen, un étudiant s’exclame : « Je n’ai pas du tout traité le thème A ».

Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à 0, 001 près.

Partie C

On suppose que la variable aléatoire T , associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d’espé- rance µ = 225 et d’écart-type σ où σ > 0.

La probabilité qu’un étudiant finisse son examen en moins de 235 minutes est de 0, 98.

Déterminer une valeur approchée de σ à 0, 1 près.

( On pourra, par exemple, introduire la variable aléatoire Z =

)

.

E XERCICE 4 3 points Commun à tous les candidats

On considère la suite (u

) définie par

 



u

= 0 u

= 1

2 − u

pour tout entier naturel n ⩾ ^0.

On obtient à l’aide d’un tableur les premiers termes de cette suite :

A B C

1 u

u

2 n (en valeurs exactes) (en valeurs approchées)

3 0 0 0

4 1 1/2 0,5

5 2 2/3 0,666 666 667

6 3 3/4 0,75

7 4 4/5 0,8

8 5 5/6 0,833 333 333

9 6 6/7 0,857 142 857

10 7 7/8 0,875

11 8 8/9 0,888 888 889

12 9 9/10 0,9

13 10 10/11 0,909 090 909

Prouver que la suite (u

) converge.

E XERCICE 5 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J, K).

On considère les points

A( − 1 ; − 1 ; 0), B(6 ; − 5 ; 1), C(1 ; 2 ; − 2) et S(13 ; 37 ; 54).

1. a. Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

b. Prouver que le vecteur − → n



  5 16 29



  est un vecteur normal au plan (ABC).

c. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. a. Déterminer la nature du triangle ABC.

b. Démontrer que la valeur exacte de l’aire du triangle ABC est, en unités d’aire,

p 1 122 2 . 3. a. Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

b. La droite (∆) perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en un point noté H.

Déterminer les coordonnées du point H.

4. Déterminer le volume du tétraèdre SABC.

On rappelle que le volume dune pyramide est donné par : Aire de la base × hauteur

3 .

Asie 2016

E XERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises.

Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur condi- tionnement.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : production de fraises

Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; 55 % des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et 45 % dans la serre B. Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à 0,88 ; dans la serre B, elle est égale à 0,84.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la ré- ponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Proposition 1 :

La probabilité qu’une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à 0,862.

Proposition 2 :

On constate qu’une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit.

La probabilité qu’elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.

Partie B : conditionnement des fraises

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d’une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance µ = 250 et d’écart-type σ.

La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléa- toire X est donnée ci-après :

200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

1. On donne P (X ⩽ ²³⁷⁾ = 0, 14. Calculer la probabilité de l’évènement « la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes ».

2. On note Y la variable aléatoire définie par : Y = X − 250 σ . a. Quelle est la loi de la variable aléatoire Y ?

b. Démontrer que P (

Y ⩽ − 13 σ

)

= 0, 14.

c. En déduire la valeur de σ arrondie à l’entier.

3. Dans cette question, on admet que σ vaut 12. On désigne par n et m deux nombres en- tiers.

a. Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l’in- tervalle [ 250 − n ; 250 + n ] . Déterminer la plus petite valeur de n pour qu’une bar- quette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95 %.

b. On considère dans cette question qu’une barquette est conforme si sa masse, ex- primée en gramme,se trouve dans l’intervalle [ 230 ; m ] . Déterminer la plus petite valeur de m pour qu’une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95 %.

E XERCICE 2 3 points

Commun à tous les candidats

Soit a un nombre réel compris entre 0 et 1. On note f

la fonction définie sur R par : f

(x) = a e

+ a.

On note I (a) l’intégrale de la fonction f

entre 0 et 1 : I (a) =

∫

f

(x) dx.

1. On pose dans cette question a = 0. Déterminer I (0).

2. On pose dans cette question a = 1.

On étudie donc la fonction f

définie sur R par : f

(x) = e

+ 1.

a. Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction f

dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre I (1).

b. Calculer la valeur exacte de I (1), puis arrondir au dixième.

3. Existe-il une valeur de a pour laquelle I (a) est égale à 2 ? Si oui, en donner un encadrement d’amplitude 10

.

E XERCICE 3 7 points

Commun à tous les candidats

Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour.

La société met en place le dispositif industriel suivant.

Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus.

L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : premier modèle – avec une suite

On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (u

) définie de la façon suivante :

u

= 1 000 et, pour tout entier naturel n, u

= 1, 2u

− 100.

1. a. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.

On précisera en particulier ce que représente u

.

b. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dé- passera 30 kg. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

c. On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente.

Recopier et compléter cet algorithme.

Variables u et n sont des nombres u prend la valeur 1 000 n prend la valeur 0 Traitement Tant que ... faire

u prend la valeur ...

n prend la valeur n + 1 Fin Tant que

Sortie Afficher ...

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u

⩾ ^{1 000.}

b. Démontrer que la suite (u

) est croissante.

3. On définit la suite (v

) par : pour tout entier naturel n, v

= u

− 500.

a. Démontrer que la suite (v

) est une suite géométrique.

b. Exprimer v

, puis u

, en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (u

).

Partie B : second modèle – avec une fonction

On constate qu’en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais 50 kg. Cela conduit à étudier un second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction f définie sur [ 0 ; +∞ [ par :

f (t) = 50 1 + 49 e

où t représente le temps exprimé en jours et où f (t) représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps t .

1. a. Calculer f (0).

b. Démontrer que, pour tout réel t ⩾ ^{0, f (t)} < 50.

c. Étudier le sens de variation de la fonction f . d. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

2. Interpréter les résultats de la question 1 par rapport au contexte.

3. En utilisant ce modèle, on cherche à savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg.

Résoudre l’inéquation d’inconnue t : f (t) > 30.

En déduire la réponse au problème.

Partie C : un contrôle de qualité

Les bactéries peuvent être de deux types : le type A, qui produit effectivement une protéine utile à l’industrie, et le type B, qui ne la produit pas et qui est donc inutile d’un point de vue commercial.

L’entreprise affirme que 80 % des bactéries produites sont de type A.

Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire analyse un échantillon aléatoire de 200 bactéries en fin de production.

L’analyse montre que 146 d’entre elles sont de type A.

L’affirmation de l’entreprise doit-elle être remise en cause ?

E XERCICE 4 4 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de « coin de cube », les faces réfléchissantes tournées vers l’intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie.

Les points O, A, B et C sont des sommets d’un cube, de telle sorte que le repère ( O ; −−→

OA , −−→

OB , −−→

OC ) soit un repère orthonormé.

On utilisera ce repère dans tout l’exercice.

Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (OAB), (OBC) et (OAC). Les rayons lumineux sont modélisés par des droites.

Règles de réflexion d’un rayon lumineux (admises) :

• lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur − →

v (a ; b ; c) est réfléchi par le plan (OAB), un vecteur directeur du rayon réfléchi est − →

v (a ; b ; −c) ;

• lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur → −

v (a ; b ; c) est réfléchi par le plan (OBC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est − →

v ( − a ; b ; c) ;

• lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur − →

v (a ; b ; c) est réfléchi par le plan (OAC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est − →

v (a ; − b ; c) ;

Vue en perspective cavalière de la réflexion d’un rayon lumineux sur le plan (OAB)

B C

A O

−

→ n (0 ; 0 ; 1)

1. Propriété des catadioptres

En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur di- recteur − →

v (a ; b ; c) est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial.

Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite d

de vecteur directeur

−→ v

( − 2 ; − 1 ; − 1) qui vient frapper le plan (OAB) au point I

(2 ; 3 ; 0). Le rayon réfléchi est modélisé par la droite d

de vecteur directeur −→ v

( − 2 ; − 1 ; 1) et passant par le point I

.

2. Réflexion de d

sur le plan (OBC)

a. Donner une représentation paramétrique de la droite d

.

b. Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC) et une équation carté- sienne de ce plan.

c. Soit I

le point de coordonnées (0 ; 2 ; 1).

Vérifier que le plan (OBC) et la droite d

sont sécants en I

.

On note d

la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OBC). d

est donc la droite de vecteur directeur −→

v

(2 ; − 1 ; 1) passant par le point I

(0 ; 2 ; 1).

3. Réflexion de d

sur le plan (OAC)

Calculer les coordonnées du point d’intersection I

de la droite d

avec le plan (OAC).

On note d

la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC).

Elle est donc parallèle à la droite d

. 4. Étude du trajet de la lumière

On donne le vecteur − → u (1 ; − 2 ; 0), et on note P le plan défini par les droites d

et d

. a. Démontrer que le vecteur − →

u est un vecteur normal au plan P . b. Les droites d

, d

et d

sont-elles situées dans un même plan ?

c. Les droites d

, d

et d

sont-elles situées dans un même plan ?

E XERCICE 4 5 points

Candidat/e/s ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’objet du problème est l’étude d’une méthode de cryptage, dite « chiffrement de Hill », dans un cas particulier. Cette méthode nécessite une matrice de la forme

( a b c d )

, dont les coefficients sont des nombres entiers choisis entre 0 et 25, et tels que ad − bc soit premier avec 26.

Cette matrice est connue seulement de l’émetteur et du destinataire.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes Partie A : quelques résultats

1. On considère l’équation (E ) : 9d − 26m = 1, où d et m désignent deux entiers relatifs.

a. Donner une solution simple de cette équation, de sorte que d et m soient des nombres

entiers compris entre 0 et 3.

b. Démontrer que le couple (d, m) est solution de l’équation (E) si et seulement si : 9(d − 3) = 26(m − 1).

c. En déduire que les solutions de l’équation (E ) sont les nombres entiers relatifs de la forme :

{ d = 26k + 3

m = 9k + 1 , avec k ∈ Z .

2. a. Soit n un nombre entier. Démontrer que si n = 26k − 1, avec k entier relatif, alors n et 26 sont premiers entre eux.

b. En déduire que les nombres 9d − 28, avec d = 26k + 3 et k ∈ Z , sont premiers avec 26.

Partie B : cryptage et décryptage On considère la matrice A =

( 9 4 7 3 )

.

On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres.

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de

lettres)

Exemple : avec le mot MATH

1. On regroupe les lettres par paires. MA TH

2. On remplace les lettres par les va- leurs associées à l’aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne.

C

= ( 12

0 )

C

= ( 19

7 )

3. On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice A = ( 9 4

7 3 )

AC

= ( 108

84 )

AC

= ( 199

154 )

4. On remplace chaque coefficient des matrices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par 26.

108 = 4 × 26 + 4 84 = 3 × 26 + 6 On obtient :

( 4 6 )

( 17 24 )

5. On utilise le tableau de correspon- dance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté.

EGRY

1. En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les lettres « ES », crypter le mot « ESPION ».

2. Méthode de décryptage

Notation : lorsqu’on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation « ≡ » pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire :

( 108 84

)

≡ ( 4

6 )

modulo 26 car 108 ≡ 4 modulo 26 et 84 ≡ 6 modulo 26.

Soient a , b, x, y , x

et y

des nombres entiers relatifs.

On sait que si x ≡ x

modulo 26 et y ≡ y

modulo 26 alors : ax + b y ≡ ax

+ b y modulo 26.

Ce résultat permet d’écrire que, si A est une matrice 2 × 2, et B et C sont deux matrices colonne 2 × 1, alors :

B ≡ C modulo 26 implique AB ≡ AC modulo 26.

a. Établir que la matrice A est inversible, et déterminer son inverse.

b. Décrypter le mot : XQGY.

Antilles 2016

E XERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Les valeurs approchées des résultats seront données à 10

près.

Les parties A et B sont indépendantes Partie A

Un fabricant d’ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65 % de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication :

• à la sortie de la machine A, 8 % des ampoules présentent un défaut ;

• à la sortie de la machine B, 5 % des ampoules présentent un défaut.

On définit les évènements suivants :

• A : « l’ampoule provient de la machine A » ;

• B : « l’ampoule provient de la machine B » ;

• D : « l’ampoule présente un défaut ».

1. On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d’une journée.

a. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

b. Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à 0,930 5.

c. L’ampoule tirée est sans défaut.

Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine A.

2. On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d’une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à tirages avec remise.

Calculer la probabilité d’obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.

Partie B

1. On rappelle que si T suit une loi exponentielle de paramètre λ ( λ étant un réel stricte- ment positif ) alors pour tout réel positif a , P (T ⩽ ^{a )} =

∫

λ e

dx.

a. Montrer que P (T ⩾ a ) = e

.

b. Montrer que si T suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positifs t et a on a

P

⩾

(T ⩾ t + a) = P (T ⩾ a).

2. Dans cette partie, la durée de vie en heures d’une ampoule sans défaut est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle d’espérance 10 000.

a. Déterminer la valeur exacte du paramètre λ de cette loi.

b. Calculer la probabilité P (T ⩾ 5 000).

c. Sachant qu’une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant 7 000 heures, cal- culer la probabilité que sa durée de vie totale dépasse 12 000 heures.

Partie C

L’entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu’il n’y a pas plus de 6 % d’ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur un échantillon et obtient 71 ampoules défectueuses sur 1 000.

1. Dans le cas où il y aurait exactement 6 % d’ampoules défectueuses, déterminer un in- tervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence d’ampoules défec- tueuses sur un échantillon aléatoire de taille 1 000.

2. A-t-on des raisons de remettre en cause l’affirmation de l’entreprise ?

E XERCICE 2 3 points

Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (

O, − → u , − → v ) . On note C l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que | z − 2 | = 1.

1. Justifier que C est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

2. Soit a un nombre réel. On appelle D la droite d’équation y = ax .

Déterminer le nombre de points d’intersection entre C et D en fonction des valeurs du réel a.

E XERCICE 3 7 points

Commun à tous les candidats Partie A

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = x e

. 1. Calculer la limite de la fonction f en +∞ .

Indication : on pourra utiliser que pour tout réel x différent de 0, f (x) =

×

.

On admettra que la limite de la fonction f en −∞ est égale à 0.

2. a. On admet que f est dérivable sur R et on note f

sa dérivée.

Démontrer que pour tout réel x, f

(x) = (

1 − 2x

) e

. b. En déduire le tableau de variations de la fonction f . Partie B

On considère la fonction g définie pour tout réel x par g(x) = e

.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives C

et C

respectivement des fonctions f et g.

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

−0,5

−1,0

−1,5

−2,0

−2,5

−0,5

−1,0

−1,5 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

C_f

Cg

O

Le but de cette partie est d’étudier la position relative de ces deux courbes.

1. Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre ? 2. Justifier que, pour tout réel x appartenant à ] − ∞ ; 0], f (x) < g (x).

3. Dans cette question, on se place dans l’intervalle ]0 ; +∞ [.

On pose, pour tout réel x strictement positif, Φ(x) = ln x − x

+ x.

a. Montrer que, pour tout réel x strictement positif,

f (x) ⩽ g(x) équivaut à Φ (x) ⩽ ^0.

On admet pour la suite que f (x) = g (x) équivaut à Φ (x) = 0.

b. On admet que la fonction Φ est dérivable sur ]0 ; +∞ [. Dresser le tableau de varia- tion de la fonction Φ. (Les limites en 0 et +∞ ne sont pas attendues.)

c. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, Φ (x) ⩽ 0.

4. a. La conjecture émise à la question 1. de la partie B est-elle valide ? b. Montrer que C

et C

ont un unique point commun, noté A.

c. Montrer qu’en ce point A, ces deux courbes ont la même tangente.

Partie C

1. Trouver une primitive F de la fonction f sur R . 2. En déduire la valeur de

∫

0

(

e

− x e

) dx.

3. Interpréter graphiquement ce résultat.