Fiche sur les modules 1. Définition

(1)

Fiche sur les modules

1. Définition

i

za b (



^{a b}^;



^^²⁾

module de z  z  a²b² 0

2. Exemples

 

² ²

module 3 2i   3 2i  3 2  13

 

²

 

²

module 1 2i   1 2i  1  2  1 4  5

   

² ²

module 5  5  5 0 5

3. Interprétation géométrique

On trace le segment



^OM



où M est le point d’affixe z.

a b

u v

O

4. Cas de réels z

 

i 0

z a

 

 

 

(a)

module de zvaleur absolue de a

5. Expression à l’aide du conjugué (propriété primordiale)

z

  z  z z

On retient aussi z ²z z .

M

 

^z

2 2

module de

b z z

a   

(2)

6. Propriétés

z

  z  z  z



^{z z'}^,



²

  zz'  z z'



^{z z'}^,



^*

   ^z ^z

z'  z'

z

   n ^* zⁿ  z ⁿ



^{z z'}^,



²

  zz'  z  z' inégalité triangulaire

7. Applications géométriques (normes et distances)

 

w z



est un vecteur quelconque.

w  z



 

A

A z et B

 

zB sont deux points quelconques.

B A

AB z z

8. Caractérisation d’ensembles de points en complexes

 cercle C ^{de centre}

 

de rayon 0 a R



 : z a R

 médiatrice de [AB] avec A

 

^a ^{et B}

 

^b ^{: z}^^a ^ ^{z b}^

z *

  1 1

z  z