[ Baccalauréat STI 2001 \ L’intégrale de juin à novembre 2001

(1)

[ Baccalauréat STI 2001 \

L’intégrale de juin à novembre 2001

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bleus

Métropole Arts appliqués juin 2001 . . . 3

La Réunion Génie civil juin 2001 . . . .5

Métropole Génie civil juin 2001 . . . .8

Métropole Génie civil septembre 2001 . . . 10

Nouvelle-Calédonie Génie civil novembre 2001 . . . .12

Métropole F 11 F 11

^′

juin 2001 . . . 15

Métropole Génie électronique juin 2001 . . . 18

La Réunion Génie électronique juin 2001 . . . 21

Métropole Génie électronique septembre 2001 . . . 23

Métropole Génie des matériaux juin 2001 . . . .26

Métropole Génie des matériaux septembre 2001 . . . 28

Nouvelle-Calédonie Génie des matériaux nov. 2001 . . . 30

(2)

A. P. M. E. P. L’intégrale 2001

2

(3)

[ Baccalauréat STI Métropole juin 2001 \ Arts appliqués

Durée : 2 heures Coefficient : 2

EXERCICE1 8 points

Un atelier fabrique une série d’autocollants qui peuvent être de couleur bleue ou jaune, de forme ronde ou carrée, avec ou sans liseré.

On a récapitulé les quantités produites dans deux tableaux : FOND JAUNE

ronde carrée avec liseré 800 1200 sans liseré 1300 1700

FOND BLEU ronde carrée avec liseré 1000 1500 sans liseré 900 1600 A - En utilisant les données précédentes, recopie et remplir toutes les cases des tableaux ci-dessous :

FORME RONDE

jaune bleue ^Sous-total avec liseré

sans liseré Sous-total

FORME CARRéE

jaune bleue ^Sous-total avec liseré

sans liseré Sous-total

B - On prélève au hasard l’un des autocollants produits. On note les évènements : R : « prélever un autocollant rond » ;

C : « prélever un autocollant carré » ; J : « prélever un autocollant jaune » ; B : « prélever un autocollant bleu » ; L : « prélever un autocollant avec liseré » ; L : « prélever un autocollant sans liseré » ;

1. On appelleΩl’ensemble des autocollants produits.

Quel est le nombre d’éléments deΩ?

2. Quel est le nombre d’éléments de R, J, L, et L ? 3. Calculer la probabilité des évènements suivants :

a. R ∩L∩J ; b. R∩L ;

c. C ; d. C ∪ B ; e. C∪B.

N.B. Les résultats seront donnés, en valeur exacte, sous forme de nombres décimaux avec deux chiffres après la virgule.

On considère la fonctionf définie sur

¸

−∞; 3 2

· par f(x)=4e^x−e^2x.

On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal³

O,→− ı ,−→



´, dont l’unité graphique est 2 cm.

1^repartie : étude de la fonctionf.

(4)

Baccalauréat STI Arts appliqués L’intégrale 2001

1. Calculer la limite def(x) quandxtend vers−∞.

En déduire que (C) admet une asymptote dont on précisera une équation.

2. a. f^′désigne la dérivée def sur

¸

−∞; 3 2

· . Montrer quef^′(x)=2e^x(2−e^x).

b. Résoudre dansRl’inéquation 2−e^x>0 et en déduire le signe def^′(x) sur

¸

−∞; 3 2

· .

c. Dresser le tableau de variations def. 2^epartie : Courbe (C) et applications.

1. Résoudre, dans

¸

−∞; 3 2

·

, l’équationf(x)=0.

Interpréter graphiquement le résultat.

2. Tracer (C) dans le repère³ O,−→

ı ,−→



´.

3. Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)>0.

3^epartie : Calcul d’une aire et application.

On désigne par (P) la partie du plan limitée par (C), l’axe des abscisses, et les droites d’équationsx= −5 etx=ln4.

1. a. Calculer Zln 4

−5 f(x) dxet, à l’aide d’une calculatrice, en donner une valeur approchée à 10⁻², près.

b. En déduire l’aire de (P).

2. On désigne par (P^′), le symétrique de (P) par rapport à l’axe des abscisses.

La réunion des domaines (P) et (P^′) représente un logo, à l’échelle1

8, pour une enseigne publicitaire.

En tenant compte du résultat précédent, calculer l’aire en cm², puis en m², de ce logo.

Métropole 4 juin 2001

(5)

[ Baccalauréat STI La Réunion juin 2001 \ Génie civil, énergétique, mécanique (A et F)

On dispose de deux urnes U1et U2.

L’urne U1contient 4 boules rouges portant respectivement les numéros 0, 1, 2, 4 et l’urne U2contient 3 boules vertes portant respectivement les numéros 1, 3, 5.

On tire au hasard et simultanément une boule de l’urne U1et une boule de l’urne U2.

•adésigne le numéro de la boule tirée de U1etbcelui de la boule tirée de U2.

•zest le nombre complexe dont la partie réelle estaet la partie imaginaireb.

On suppose que les écritures algébriquesz=a+ibpossibles sont équiprobables.

Les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles.

1. Dresser une liste de toutes les écritures algébriques possibles dez. 2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

a. E1: «z=1+3i », b. E2: «z+z=2 ».

3. On désigne par A l’évènement « le module dezest 5 », et par B l’évènement

«zest un imaginaire pur ».

a. Calculer la probabilité de l’évènement A puis celle de l’évènement B.

b. Définir par une phrase l’évènement A∩B.

Calculer la probabilité de cet évènement.

c. En déduire la probabilité de l’évènement A∪B.

4. On désigne parXla variable aléatoire qui, à chaque tirage, associea+b.

a. Quelles sont les valeurs prises parX? b. Déterminer la loi de probabilité deX.

c. Calculer l’espérance mathématique E(X) deX.

On appellef la fonction numérique définie sur l’intervalle [0 ; 1] par : f(x)=e^x−1.

On désigne par (C) la courbe représentative def dans le plan rapporté à un repère orthonormal³

O,−→ ı ,→−



´; unité graphique 10 cm.

1. Représenter la courbe (C).

2. a. Calculer Z₁

0 f(x) dx.

b. En déduire que la valeur moyenneµdef sur l’intervalle [0 ; 1] est égale à e−2.

Donner l’arrondi au centième deµ.

On désigne par (P) la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et la droite d’équationx=1, et par (R) la partie du plan limitée par la droite d’équationy=µ, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=1.

3. a. Représenter (P) et (R) en utilisant des hachures.

b. Justifier le fait que (P) et (R) ont la même aire.

(6)

Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique (A et F) L’intégrale 2001

4. On désigne parV1le volume, exprimé en unités de volume, du solide engen- dré par la rotation de la partie (P) autour de l’axe des abscisses et parV2celui du solide engendré parla rotation de la partie (R) autour du même axe.

µ

On rappelle queV1= Z₁

0 [f(x)]²dx

¶ . On se propose de comparerV1etV2.

a. Calculer la valeur exacte deV1. b. Calculer la valeur exacte deV2.

c. Calculer la valeur exacte deV1−V2puis donner un arrondi au millième.

Conclure.

PROBLÈME 10 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal³ O,−→

ı ,→−



´. Partie A : Détermination d’une fonction

On considère la fonctionϕ, définie sur l’intervalle ]−1 ;+∞[ par : ϕ(x)=a−(bx+1)ln(x+1),

oùaetbsont deux nombres réels.

La courbe¡ Cϕ

¢, représentative de la fonctionϕ, satisfait aux conditions suivantes :

• ¡ Cϕ

¢passe par le point A de coordonnées (0 ; e),

• ¡ Cϕ

¢passe parle point B de coordonnées (e−1 ; 0).

1. Déterminerapuisb.

2. En déduireϕ(x).

Partie B : étude d’une fonction et tracé de sa courbe représentative On appellef la fonction définie sur l’intervalle ]−1 ;+∞[ par

f(x)=e−(x+1)ln(x+1).

On désigne par (C_f) sa courbe représentative.

1. a. Démontrer que la limite def en−1 est égale à e. (On admettra que

xlim→0XlnX=0).

b. Calculer la limite def en+∞.

2. a. Démontrer, en la résolvant, que l’équation f^′(x)=0 admet une unique solution, notéeα, dans l’intervalle ]−1 ;+∞[.

Donner une valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à 10⁻²deα.

b. Étudier le sens de variations def sur l’intervalle ]−1 ;+∞[.

c. Calculer la valeur exacte def(α) et sa valeur décimale arrondie à 10⁻². 3. Dresser le tableau de variations def.

4. a. Calculer les coefficients directeurs des tangentes (T1) et (T2) à la courbe (C_f) aux points d’abscisses respectives 0 et e−1.

b. Tracer les tangentes (T1) et (T2) et la courbe (C_f). (Unité graphique : 5 cen- timètres).

Partie C : Calcul d’une aire

La Réunion 6 juin 2001

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Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique (A et F) L’intégrale 2001

1. SoitGla fonction définie sur l’intervalle ]−1 ;+∞[ par : G(x)=1

4(x+1)²[2ln(x+1)−1].

Vérifier queGest une primitive de la fonction qui, àxassocie (x+1) ln(x+1).

En déduire une primitiveFdef.

2. On désigne par (P) la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la courbe (C_f).

a. Représenter (P) sur la figure précédente en utilisant des hachures.

b. Calculer la valeur exacte de l’aire de la partie hachurée, en cm². Donner sa valeur décimale arrondie à 10⁻².

(8)

[ Baccalauréat STI France juin 2001 \ Génie mécanique A et F, énergétique, civil

L’usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve

Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Ce sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal³ O,−→

ı ,→−



´d’unité graphique 1 cm. On considère les points A, B, C d’affixes respectives :

zA=p

3+3i ;zB=2p

3 et zC=2i.

1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe (sur papier millimétré).

2. Déterminer le module et un argument du nombre complexezA.

3. a. Calculer les modules des nombres complexeszA−zC,zB−zAetzB−zC. En déduire la nature du triangle ABC.

b. Déterminer l’affixe du centre K du cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC préciser le rayonrde ce cercle.

c. Montrer que le point O appartient au cercle (Γ).

4. On considère le point D, d’affixezD=2e⁻ⁱ^π⁶. a. Montrer, quezD=p

3−i.

b. Calculer l’affixe du milieu M du segment [AD].

c. Démontrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.

1. Résoudre l’équation différentielle : 4y^′′+y=0.

2. Déterminer la solution particulière de cette équation différentielle vérifiant ( f(π) = p

3 f^′(π) = −1 2.

3. Montrer que cette solutionf vérifie, pour toutxréel :f(x)=2cos³x 2−π

3

´. 4. Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’équation d’inconnuex

:f(x)=1 ; en donner les solutions appartenant à l’intervalle [0;4π[.

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthogonal³ O,→−

ı ,−→



´(unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées).

Soitf la fonction définie sur ]− ∞;+∞[ par : f(x)=3e⁻^x+2x−4.

Partie A : Construction de la courbe représentative def

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Baccalauréat STI Génie mécanique A et F, énergétique, civil L’intégrale 2001

1. a. Déterminer la limite def en+∞.

b. Vérifier quef(x)=e⁻^x(3+2xe^x−4e^x). Déterminer alors la limite def en

−∞.

c. Soit (C) la courbe représentative def et soit (D) la droite d’équation : y=2x−4. Montrer que (D) est asymptote à (C) en+∞et étudier la position relative de la droite (D) par rapport à la courbe (C).

2. a. Calculer la dérivée def Résoudre l’inéquation d’inconnue réelle x :−3e⁻^x+2>_0.

b. Dresser le tableau de variations def.

c. Donner une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0.

d. Déterminer les valeurs exactes du minimum et du maximum de la fonctionf sur l’intervalle [−2 ; 5].

3. Tracer (C), (D) et (T) dans le repère³ O,→−

ı ,−→



´, pourxvariant de−2 à 5 (sur papier millimétré).

Partie B : Calcul d’une aire

1. Chercher une primitive def sur ]− ∞;+∞[.

2. a. Montrer que l’équation f(x)=0 admet sur ]1 ; 2[ une unique solutionα dont on donnera une valeur approchée au dixième près.

b. Préciser, en le justifiant, le signe def(x) sur l’intervalle ]α;+∞[.

c. Calculer, en cm², l’aire du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équationx=αetx=4. En donner une valeur ap- prochée en utilisant pourαla valeur approchée trouvée précédemment.

France 9 juin 2001

(10)

[ STI Métropole septembre 2001 \ Génie mécanique, civil, énergétique

1. Résoudre l’équation différentielle (E)y^′′+1

4y=0 dans laquelle l’inconnuey est une fonction de la variable réellex, définie et deux fois dérivable surR. 2. Déterminer la solution particulièref de (E) vérifiant :f(0)=1 etf^′¡_π

2

¢=0.

3. Vérifier que, pour tout réelx, f(x)=p 2cos

µ1 2x−π

4

¶ . 4. étudier les variations def sur l’intervalleh

−π 2 ; π

2 i. 5. On munit le plan d’un repère orthonormal³

O,→− ı ,−→



´(unité graphique : 4 cm).

Tracer la courbe représentant la fonctionf sur l’intervalleh

−π 2 ; π

2

i(sur papier millimétré).

6. SoitFl’ensemble des pointsM(x;y) du plan tels que−π

2 6_x6^π 2 et 06y6f(x).

Calculer, en cm³, le volumeV du solide de révolution engendré par la rotation de autour de l’axe (Ox).

(On rappelle qu’en cm³:V =64π Z^π₂

−^π2

[f(x)]²dx).

Une urne U1contient 5 boules numérotées 1, 2, 3, 4 et 5. Une urne U2contient trois boules numérotées 2, 3 et 4. Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans chaque urne. Dans chaque urne, chaque boule a la même probabilité d’être tirée.

Si la boule tirée dans l’urne U1porte les numéros 1 ou 5, le joueur ne gagne rien.

Si les deux numéros tirés sont identiques, le joueur reçoit 50 euros. Dans tous les autres cas, le joueur gagne 20 euros.

1. Compléter le tableau ci-dessous indiquant, en fonction du tirage, le gain du joueur.

2. On noteXla variable aléatoire qui à chaque tirage des deux boules associe le gain du joueur.

a. Déterminer la loi de probabilité deX. b. Calculer l’espérance deX.

c. Avant de jouer, chaque participant doit payer 15 euros. Le joueur a-t-il alors intérêt à participer à ce jeu ?

d. Quelle somme faudrait-il attribuer au joueur dans le cas où les deux nu- méros seraient identiques, pour que le jeu soit équitable (gain de 0 euro et 20 euros ne changeant pas) ?

U1

U₂

2 3 4

1

2 20

3 4

5 0

(11)

Soitf la fonction définie surRpar

f(x)=xe⁻^x+x

etC sa courbe représentative dans un repère orthonormal³ O,−→

ı ,→−



´d’unité : 1 cm.

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire Soitgla fonction définie surRpar

g(x)=(1−x)e⁻^x+1.

1. Calculerg^′(x), puis étudier le signe deg(x).

2. Calculerg(2). Dresser le tableau de variations deg(les limites en+∞en−∞

ne sont pas demandées). En déduire le signe deg(x).

Partie B : étude def et représentation graphique 1. Déterminer lim

x→+∞f(x) et lim

x→−∞f(x).

2. Calculerf^′(x). Vérifier quef^′(x)=g(x). Dresser le tableau de variations def. 3. Montrer que la droite∆d’équationy=xest asymptote àC au voisinage de

+∞.

4. Étudier la position deC par rapport à∆.

5. Tracer dans le repère³ O,−→

ı ,→−



´la droite∆et la courbeC (sur papier milli- métré).

Partie C : étude d’une aire

1. SoitHla fonction définie surRpar

H(x)=(−1−x)e⁻^x. CalculerH^′(x).

2. Soitαun réel strictement positif. Soit (E) la partie du plan limitée parC,∆et les droites d’équationsx=0 etx=α. Calculer, en cm², l’aireA(α) de (E).

3. Calculer la limite deA(α) quandαtend vers+∞.

Métropole 11 septembre 2001

(12)

[ Baccalauréat STI Nouvelle–Calédonie \ Génie civil, mécanique, énergétique

novembre 2001

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct³ O,−→

u,→− v´

, l’unité graphique étant le centimètre.

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : (z−11i)¡

z²−16z+89¢

=0.

2. On donne les points A, B et C d’affixes respectiveszA=8−5i, zB=8+5i et zC=11i.

a. Placer A, B et C. La figure sera complétée au fur et à mesure des questions.

b. Calculer|zC−zB|et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

c. Démontrer que ABC est un triangle isocèle.

3. D est le point d’affixezD= −2 et B^′le milieu du segment [AC].

a. Calculer l’affixe du point B^′.

b. Calculer les affixes des vecteurs−−→DB et−−→

DB^′. c. En déduire que les points D, B et B^′sont alignés.

d. En déduire que (DB) est la médiatrice du segment [AC].

4. Justifier que la droite (DO) est une médiatrice du triangle ABC.

5. Quel est le centre du cercle passant par A, B et C ?

Lors de la « foire aux affaires », dans un magasin de bricolage, un client s’intéresse à une meuleuse d’angle et à une scie sauteuse. On admet, pour ce client, les hypo- thèses suivantes :

— La probabilité qu’il achète la meuleuse d’angle est 0,60.

— La probabilité qu’il achète la scie sauteuse est 0,46.

— La probabilité qu’il achète la meuleuse d’angle ou la scie sauteuse est 0,64.

On désigne parMl’évènement « le client achète la meuleuse d’angle » et parSl’évè- nement « le client achète la scie sauteuse ».

1. Quelques calculs préliminaires :

a. Calculer la probabilité de l’évènement « le client n’achète pas la meuleuse d’angle ».

b. Montrer que la probabilité de l’évènement « le client achète la meuleuse d’angle et la scie sauteuse » est 0,42.

c. Calculer la probabilité de l’évènementM∩S.

2. Reproduire et compléter le tableau suivant :

M M

S 0,42 0,46

S

0,60 1

(13)

3. La meuleuse d’angle coûte 12,96(et la scie sauteuse 15,09(. On désigne par Dla variable aléatoire égale à la dépense, en euros, du client.

a. Déterminer les différentes valeurs de la variable aléatoireD. b. Établir la loi de probabilité deD.

c. Calculer l’espérance mathématique deD. On en donnera l’arrondi au cen- time d’euro.

d. Quel chiffre d’affaires le magasin peut-il espérer réaliser si 50 clients, in- téressés par ces deux appareils, se présentent pendant cette « foire aux affaires » ?

Première partie :

Soitpla fonction polynôme définie sur l’ensembleRdes nombres réels par p(X)=3X³−7X²+4.

1. Montrer que pour tout nombre réelX,p(X)=(X−1)¡

3X²−4X−4¢ . 2. Factorisation dep:

a. Résoudre dansRl’équation : 3X³−7X²+4=0.

b. En déduire une écriture dep(X) sous la forme d’un produit de trois poly- nômes du premier degré.

3. a. Démontrer que pour tout nombre réelx,

3e^3x−7e²+4=(e^x−1)(e^x−2)(3e^x+2).

b. Résoudre dans l’ensembleRl’équation 3e^3xx−7e^2xx+4=0.

c. Étudier le signe de 3e^3x−7e^2x+4 pourxappartenant à l’ensembleR. Deuxième partie :

On considère l’équation différentielleE : y^′+2y=0.

1. Résoudre l’équationE.

2. Déterminer la solution particulièref de l’équationEvérifiantf(ln2)=1, ou ln représente la fonction logarithme népérien.

Troisième partie :

On appellef etgles fonctions respectivement définies sur l’ensembleRpar : f(x)=4e⁻^2x et g(x)=7−3e^x.

On appelleC etC′ les courbes représentatives des fonctions f etg dans le plan muni d’un repère orthogonal³

O,→− ı ,−→



´. Unités graphiques : 6 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

1. Limites et asymptotes

a. Calculer les limites def et degen−∞et en+∞.

b. En déduire pour chacune des courbesC etC′, l’existence d’une droite asymptote nommée D pour la courbeC et D^′pour la courbeC′. Donner une équation pour chacune de ces droites.

2. Variations

Nouvelle–Calédonie 13 novembre 2001

(14)

a. Étudier les variations def et degsurR. b. Dresser les tableaux de variation def etg.

3. Positions respectives deC et deC′. a. Montrer que pour tout nombre réelx,

f(x)−g(x)=e⁻^2x¡

3e^3x−7e^2x+4¢ .

b. En déduire les coordonnées des points d’intersection deC et deC′. c. Justifier que sur l’intervalle [0 ; ln 2],C est en dessous deC′. 4. Construire D, D^′, C etC′dans le repère orthogonal³

O ;−→ ı ;−→



´dont on rappelle que les unités graphiques sont 6 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

5. On désigne parP le domaine plan limité par les courbesC etC′et les droites d’équationsx=0 etx=ln 2.

a. HachurerP.

b. Calculer la valeur exacte, en cm², de l’aire deP. En donner l’arrondi au mm².

(15)

[ Baccalauréat F 11 - F 11

^′

France juin 2001 \

EXERCICE 8 points

On considère la fonctionf définie surRpar : f(x)=e^x¡

4−e^x¢ .

On désigne parf^′la fonction dérivée def. On donne ci-dessous la courbe représen- tativeC de la fonction f dans le repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm pour les abscisses et 1 cm pour les ordonnées.

-4 -3 -2 -1 0 1 2

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

O 1

1 A

B

C E

1. a. Étudier la limite de la fonctionf en+∞.

b. Étudier la limite de la fonction f en−∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2. a. Calculerf^′(x).

b. Déterminer une équation de la tangente à la courbeC au point A d’abscisse 0.

c. La tangente à la courbeC au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

Calculer les coordonnées de B.

d. Étudier le signe def^′(x) surRpuis dresser le tableau de variations de la fonctionf.

3. a. Calculer les coordonnées du point d’intersection E de la courbeC et de l’axe des abscisses.

(16)

Baccalauréat F 11 - F 11^′ L’intégrale 2001

b. Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x)=1 puis encadrer chaque solution par deux entiers consécutifs.

IOn considère une fonctionf dé- finie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :

f(x)=ax+b+2 x

où a et b désignent deux nombres réels.

La courbe C ci-contre est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonor-

mal d’unité graphique 1 cm. -1 0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2 3 4 5

O 1

C

1

1 1/2

1. a. On désigne parf^′la fonction dérivée de la fonctionf. Calculer f^′(x) en fonction deaetx.

b. Sachant quef µ1

2

¶

=0 etf^′(1)=0, déterminer les valeurs des réelsaetb.

2. Par lecture graphique :

a. déterminer la valeur entière def(2).

b. déterminer le signe def(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

3. On posea=2 etb= −5.

a. Montrer que la droite à∆d’équationy=2x−5 est asymptote à la courbe C en+∞.

b. étudier la position relative de la courbeC et de la droite∆sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

IIOn considère la fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ par :

g(x)=x²−5x+2lnx.

On appelleΓsa courbe représentative dans un repère orthonormal³ O,−→

ı ,→−



´d’unité graphique 2 cm.

1. a. Déterminer la limite de la fonctiongen 0. Que peut-on en déduire pour la courbeΓ?

b. Vérifier queg(x)=x µ

x−5+2lnx x

¶

puis déterminer la limite de la fonctiongen+∞.

2. a. Montrer que la fonctiongest une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[. En déduire les variations de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+∞[.

b. Donner les valeurs exactes deg(1) et deg(2) puis les valeurs décimales approchées à 10⁻¹près par défaut.

France 16 juin 2001

(17)

Baccalauréat F 11 - F 11^′ L’intégrale 2001

c. Dresser le tableau de variations de la fonctiong.

3. a. Recopier et compléter le tableau à l’aide des valeurs décimales arrondies à 10⁻¹deg(x).

x 0,2 1 2,5 3,5 4 5

g(x)

b. Tracer les tangentes à la courbe parallèles à l’axe des abscisses puis la courbeΓdans le repère³

O,−→ ı ,→−



´.

France 17 juin 2001

(18)

[ Baccalauréat STI Métropole juin 2001 \ Génie électronique, électrotechnique, optique

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des

copies.

LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT LES 2 EXERCICES ET LE PROBLÈME

Soit l’équation différentielle (E) : 4y^′′+9y=0 , oùyest une fonction de la variablet ety^′′sa dérivée seconde.

1. Résoudre l’équation différentielle (E).

2. Trouver la fonctionf, solution particulière de (E), vérifiant les conditions suivantes :

f ³π 6

´

=p

2 et f^′³π 6

´

=0.

3. Vérifier que, pour tout réelt, f(t)=p 2cos

µ3 2t−π

4

¶ . 4. Déterminer la valeur moyenne def sur l’intervalleh

0 ; π 6 i.

Un jeu de hasard consiste à introduire une bille dans le tube d’une machine.

Cette machine possède trois portes P1, P2et P3qui ferment ou ouvrent les accès aux quatre sorties possibles s1, s2, s3et s4.

Un système électronique positionne aléatoirement ces trois portes puis libère la bille.

s1 s2 s3 s4

P1(fermée)

P2(ouverte)

P3(fermée) Entrée de

la bille

N.B. : sur le schéma les portes P1et P3sont fermées, la porte P2est ouverte, la bille sortira par s2.

1. énumérer dans un tableau comme ci-dessous, en s’aidant éventuellement d’un arbre de choix, toutes les positions simultanées possibles des trois portes et indiquer la sortie imposée à la bille pour chacune de ces configurations.

P1 P2 P3 sortie . . . .

F O F s2

. . . .

(19)

Baccalauréat STI Métropole juin 2001 L’intégrale 2001

Par convention on notera F une porte fermée et O une porte ouverte.) 2. On suppose que les huit évènements élémentaires, trouvés à la question 1,

sont équiprobables.

a. Soit A l’évènement (F ; O ; F). Quelle est la probabilité p(A) de l’événement A ?

b. Soit S1l’évènement « la bille sort par s1», S₂l’évènement « la bille sort par s₂», S3l’évènement « la bille sort par s3», S4l’évènement « la bille sort par s4».

Calculer les probabilitésp(S1),p(S1),p(S1) etp(S1) de chacun de ces évè- nements.

3. Pour jouer, on doit miser 7 francs.

Si la bille sort par s1, on ne reçoit rien. Si la bille sort par s2on reçoit 5 francs.

Si la bille sort par s3on reçoit 10 francs. Si la bille sort par s4, on reçoit 20 francs.

On appelleXla variable aléatoire qui, à chaque sortie possible, associe le gain ou la perte en francs du joueur (en tenant compte de la mise des 7 francs ; par exemple : à la sortie s4,Xassocie 13)

a. Quelles sont les valeurs prises parX?

b. Présenter dans un tableau la loi de probabilité deX. c. Calculer l’espérance mathématique E(X) deX.

4. On veut modifier la mise afin que le jeu soit équitable, c’est-à-dire que E(X) soit égale à zéro. Déterminer cette nouvelle mise en justifiant la réponse.

Sur le graphique ci-dessous,Cest la courbe représentative, dans le repère orthonormal³

O,→− ı ,−→



´, d’une fonctionf définie surR.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

O

L :y=2

D :y= −7 y=3x

C y= f(x)

−

→ı

−

→

ln 3

Partie A

La droite L, d’équationy=2, est tangente à la courbeC au point d’abscisse ln 3.

Génie électronique, électrotechnique, optique

19

(20)

Baccalauréat STI Métropole juin 2001 L’intégrale 2001

La droite T, d’équationy=3x, est tangente à la courbeC au point d’abscisse 0.

La droite D, d’équationy= −7, est asymptote à la courbeC au voisinage de−∞. Déterminer, à l’aide de ces données, les réels suivants :

a. f(0) etf(ln3) ; b. f^′(0) etf^′(ln3) ; c. lim

x→−∞f(x).

Partie B

On admet que, pour tout réelx, f(x)=ae^x+b+ c

e^x+1oùa,betcsont des constantes réelles.

1. a. Déterminer en fonction des réelsa,betc, les nombres suivants : f(0) ;f(ln 3) ; lim

x→−∞f(x).

b. En déduire un système d’équations vérifiées para,b, etc.

Résoudre ce système et en déduire quef(x)= −e^x+9− 16 e^x+1. 2. Déterminer la limite defen+∞.

3. a. Calculerf^′(x), pour tout réelx.

b. Vérifier que, pour tout réelx : f^′(x)=e^x(e^x+5)(3−e^x)

(e^x+1)² et en déduire le tableau de variations de la fonctionf.

Partie C

On rappelle quef(x)= −e^x+9− 16

e^x+1pour tout réelx.

1. Vérifier que, pour tout réelx : f(x)= −e^x−7+16 e^x e^x+1.

2. a. Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbeC avec la droite D d’équationy= −7.

b. Étudier la position de D par rapport àC. 3. SoitFla fonction définie surRpar :

F(x)=16ln¡ e^x+1¢

−e^x−7x.

a. Montrer queFest une primitive def. b. En déduire la valeur de l’intégraleA=

Zln 15

0 [f(x)+7] dx.

c. Interpréter géométriquement l’intégraleA.

Génie électronique, électrotechnique, optique

20

(21)

[ Baccalauréat STI La Réunion juin 2001 \ Génie électronique, électrotechnique, optique

1. Résoudre l’équation différentielle suivante : (E) y^′′+9y=0

oùyest une fonction numérique de la variable réellexdeux fois dérivable sur R.

2. Déterminer la solution particulièref de l’équation (E) qui vérifie : f(0)=p

2 et f^′³π 3

´

=3p 2.

3. Montrer que, pour tout réelx, f(x)=2cos³ 3x+π

4

´. 4. a. Résoudre sur l’intervalle [0 ; 2π[ l’équationf(x)= −p

2.

b. Représenter les solutions de cette équation sur le cercle trigonométrique.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal³ O,→−

u,−→ v ´

d’unité graphique 2 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectiveszA,zB, etzCdéfinies par :

zA=2+2i ; zB= −2+2i ;zC= −p 3+i, où i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ

2.

1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes zA,zB, etzC.

b. Placer de façon précise les points A, B et C dans le repère³ O,−→

u,−→ v´

. 2. a. Calculer|zA−zB|²et|zA−zC|², puis interpréter géométriquement les trois

modules.

b. En déduire la nature du triangle ABC.

3. On considère la rotation R de centre O et d’angle−π

3. Pour tout pointMdu plan, on désigne parM^′l’image deMpar la rotation R :M^′=R(M). Les affixes respectives deMetM^′sont notéeszetz^′.

a. Exprimerz^′en fonction dez.

b. Soit A^′= R(A). Calculer sous forme exponentielle l’affixez_A′du point A^′. 4. a. Préciser le module et un argument dez_A′.

b. Déterminer la forme algébrique dez_A^′.

c. Déduire des questionsa.etb.les valeurs exactes de cos³π 12

´et sin³π 12

´.

Partie A :

On considère la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)=(x−3)e⁻^x.

(22)

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique,

optique L’intégrale 2001

1. Étudier les variations deg. (On ne demande pas les limites en+∞et en−∞).

2. Calculerg(4) et en déduire le signe degsurR. Partie B :

Soit la fonctionf définie surRpar

f(x)=(2−x)e⁻^x−x+3

etCsa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal³ O,→−

ı ,−→



´

d’unité graphique 2 cm.

1. Calculer les limites de la fonctionf en+∞et en−∞.

2. a. Calculer la dérivéef^′de la fonctionf.

b. Déduire à l’aide de lapartie Ales variations de la fonctionf. c. Dresser le tableau des variations de la fonctionf.

3. a. Montrer que la droiteDd’équationy= −x+3 est asymptote à la courbe C en+∞.

b. Étudier, suivant les valeurs dex, la position deC par rapport à la droiteD. 4. a. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution uniqueα, apparte-

nant à l’intervalle [2 ; 3].

b. Donner un encadrement deαd’amplitude 10⁻¹.

5. Tracer la droiteDet la courbeC dans le plan muni du repère orthonormal

³O,−→ ı ,→−



´.

6. La fonctionhest définie surRpar

h(x)=(2−x)e⁻^x.

Déterminer les réelsaetbpour que la fonctionHdéfinie par H(x)=(ax+b)e⁻^xsoit une primitive de la fonctionhsurR. 7. Soittun réel supérieur à 2.

Déterminer, en fonction det, l’aireA(t) en cm²de la partie du plan comprise entre la courbeC, la droiteDet les droites d’équationsx=2 etx=1.

Déterminer lim

t→+∞

A(t).

(23)

[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2001 \ Génie électronique, électrotechnique, optique

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et l’on note, dans l’ordre les résul- tats obtenus ; par exemple PFF correspond à « Pile - Face - Face ».

Les résultats sont équiprobables.

1. a. À l’aide d’un arbre, écrire tous les résultats possibles et indiquer pour chacun de ces résultats le nombre de fois où on a obtenu « Face ».

b. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de fois où on a obtenu « Face » sur les trois lancers. Donner, sous forme d’un tableau, la loi de probabilité deX.

2. Une personne mise 10 euros pour participer à un jeu qui consiste à lancer trois fois de suite la pièce de monnaie.

• S’il a obtenu moins de deux fois « Face », le joueur ne reçoit rien.

• S’il a obtenu exactement 2 fois « Face », le joueur reçoit 10 euros.

• S’il a obtenu exactement trois fois « Face », le joueur reçoit 30 euros.

On désigne parY la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur (c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et sa mise).

a. Déterminer les valeurs que peut prendreY. b. Donner la loi de probabilité deY.

c. Calculer l’espérance mathématique deY.

3. On veut modifier la mise pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire que E(Y) soit égal à 0.

Déterminer cette nouvelle mise en justifiant votre réponse.

Le but de l’exercice est le calcul de l’intégrale Z^π₂

0

sin(2x) 1+2sinxdx.

Pour cela, on introduit les fonctionsf etgdéfinies sur l’intervalleh 0 ; π

2 ipar : f(x)= sin(2x)

1+2sinx et g(x)= cosx 1+2sinx ainsi que les intégrales : I=

Z^π₂

0 f(x) dxet J= Z^π₂

0 g(x) dx.

1. a. Montrer quef(x)+g(x)=cosx.

b. En déduire que I + J = 1.

2. a. Calculer la dérivée de la fonctionudéfinie sur l’intervalleh 0 ; π

2 ipar : u(x)=1+2sinx.

b. En déduire une primitive de la fonctiongsur l’intervalleh 0 ; π

2 i. c. Calculer J.

3. En utilisant les questions précédentes, déterminer la valeur exacte de I.

(24)

2 4 6 8 10 12 14 16

−2

1 2 3

−1

−2

−3

−4

x y

On considère les fonctionsf etgdéfinies surRpar :

f(x)=e^x+e⁻^x et g(x)=2+x².

Sur le graphique joint , on a tracé les courbes représentativesC_f etC_gde ces fonctions dans un repère orthogonal (unité graphique : 2 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées).

Dans lapartie A, on étudie la fonctionf. L’objet de lapartie Best d’étudier la position relative des courbesC_f etC_g, puis de calculer une aire.

Partie A : étude de la fonctionf

1. Montrer quef etgsont des fonctions paires et interpréter géométriquement cette propriété.

2. Calculer la limite def en+∞. En déduire la limite def en−∞.

3. Calculer la fonction dérivéef^′def.

Montrer que pour toutx∈[0 ;+∞[, e^x−e⁻^x>0.

En déduire les variations def sur l’intervalle [0 ;+∞[.

4. Donner le tableau de variations def. 5. a. Démontrer quef(ln 2)=5

2. b. En déduiref

µ ln1

2

¶ .

6. Résoudre dansRl’équationf(x)=3.

(25)

Partie B : Calcul d’une aire

Soithla fonction définie sur [0 ;∞[ par :

h(x)=e^x−e⁻^x−2x.

1. a. Calculer la fonction dérivéeh^′deh.

b. Montrer queh^′(x)=(e^x−1)² e^x .

Établir le tableau de variations de la fonctionh (on ne demande pas la limite en+∞).

c. En déduire queh(x)>0, pour toutx∈[0 ;+∞[.

2. On considère la fonctionrdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par r(x)=f(x)−g(x).

a. Montrer quehest la fonction dérivée der. En déduire les variations der.

b. Calculerr(0) et montrer quer(x)>0, pour toutx∈[0 ;+∞[.

c. Déterminer la position relative des courbesC_f etC_gpourx∈[0 ;+∞[.

3. a. Déterminer une primitive de la fonctionrsurR. b. Calculer I=

Z₂

0 r(x) dx.

c. En déduire l’aireA du domaine limité par les deux courbesC_f etC_g et les droites d’équationsx=2 etx= −2. (On donnera sa valeur exacte en unités d’aire, puis son approximation décimale À 10⁻²près par défaut).

(26)

[ Baccalauréat STI Métropole juin 2001 \ Génie mécanique B, C, D et E, génie des matériaux

Calculatrice autorisée

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l’appréciation des

copies.

Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Ce sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré.

1. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation enz : z²−6z+13=0.

2. a. Déterminer les réelsbetctels que pour tout complexez: z³−9z²+31z−39=(z−3)(z²+bz+c).

b. En déduire les solutions dansCde l’équation enz : z³−9z²+31z−39=0.

3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal³ O,−→

u,−→ v´

(unité : 2 cm).

Soient A, B, E et F les points d’affixes respectives

zA=3+2i,zB=3−2i,zE=5+i etzF=3.

a. Placer les points A, B, E et F dans le plan complexe (sur papier millimétré).

b. Calculer les distances FA, FB et FE. En déduire que les points A, B et E appartiennent à un cercle (Γ) de centre F.

c. Quelle est la nature du triangle ABE ?

1. Résoudre l’équation différentielle (E) : y^′′+y=0.

2. On désigne parf la solution particulière de (E) dont la courbe représenta- tive dans un repère orthonormal passe par le point de coordonnées (0 ; 1) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d’équationy=x.

a. Déterminerf(0) etf^′(0).

b. En déduire une expression def(x) en fonction dex.

c. Vérifier que pour tout réelx, f(x)=p 2cos³

x−π 4

´.

3. Calculer la valeur moyenne def sur l’intervalle [0 ;π], c’est-à-dire le réelm défini par :

m=1 π

Z_π

0 f(x) dx.

Partie I

Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parg(x)= −x+xlnx(où ln désigne le logarithme népérien).

(27)

Baccalauréat STI Génie mécanique B, C, D et E, génie des matériaux L’intégrale 2001

1. Résoudre dans l’intervalle ]0 ;+∞[, l’équationg(x)=0.

2. Résoudre dans l’intervalle ]0 ;+∞[, l’équationg(x)>0.

Partie II

Soitf la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par : f(x)= −3

4x²+1 2x²lnx.

On appelle (Γ) la courbe représentative def dans le repère orthonormal³ O,→−

ı ,−→



´

(unités : 2 cm).

1. Déterminer lim

x→+∞f(x) et lim

x→0f(x).

2. Montrer que f^′(x)=g(x). Utiliser les résultats de lapartie Ipour établir le tableau de variations def.

3. Calculerf³ e³²´

. On fera apparaître le détail des calculs.

4. Soit A le point de (Γ) d’abscisse 1. Déterminer une équation de la tangente (T) en A à la courbe (Γ).

5. Tracer dans le repère³ O,−→

ı ,→−



´la tangente (T) ainsi que la partie de la courbe (Γ) relative à l’intervalle [0 ; 6].

6. SoitFla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par : F(x)=1

6x³lnx−11 36x³. a. Montrer queFest une primitive def sur ]0 ;+∞[.

b. Calculer en cm²l’aire du domaine limité dans le repère³ O,−→

ı ,−→



´, par la courbe (Γ), l’axe des abscisses et les droites d’équationx=1 etx=e. On en donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10⁻²près.

Métropole 27 juin 2001

(28)

[ STI Métropole septembre 2001 \

Génie mécanique B, C, D, E - Génie des matériaux

1. Soitf la fonction définie surRpar :

f(x)=cos3x−2sin 3x.

a. Déterminerf^′(x),f^′étant la fonction dérivée de la fonctionf. b. Déterminerf^′′(x),f^′′étant la fonction dérivée de la fonctionf^′.

c. Trouver une relation simple entref^′′(x) etf(x).

2. a. Résoudre dansRl’équation différentielle :y^′′+9y=0.

b. Déterminer la solution particulièregde cette équation qui vérifie :

g(0)= − p2

2 et g^′³π 3

´

=3p 2 2 . 3. a. Vérifier que pour toutxréel,g(x)=cos

µ 3x−5π

4

¶ . b. Résoudre dans [0 ; 2π[ l’équationg(x)=0.

c. Montrer que les solutions obtenues forment une suite arithmétique de raisonπ

3.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal³

O,−→ u,→−

v´

(unité graphique : 2 cm).

1. On désigne parCl’ensemble des nombres complexes.

a. Développer¡ 4+2p

2¢2

.

b. Résoudre dansC, l’équation :z²−4z−2¡ 2p

2+1¢

=0.

2. Résoudre dansCl’équation :z²−4z+7=0.

3. On désigne par A, B, C, D les points du plan complexe d’affixes respectives : zA= −p

2, zB=4+p

2, zC=2−ip

3, zD=2+ip 3.

a. Placer les points A, B, C, D dans le repère donné (sur papier millimétré).

b. Montrer que les segments [AB] et [CD] ont le même milieu.

c. Montrer que le quadrilatère ABCD est un losange.

4. DéterminerzEetzFaffixes respectives de points E et F tels que AEBF soit un carré.

Justifier votre réponse.

Partie A : étude des variations d’une fonction

Soitf la fonction définie sur l’intervalle I=]−ln4 ;+∞[ (où ln désigne le logarithme népérien) par :

(29)

Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique (A et F) L’intégrale 2001

f(x)= e^x+8 4e^x−1,

ı ,−→



´

d’unité graphique : 2 cm.

1. a. Déterminer la limite def en−ln 4. Que peut-on en déduire pour la courbe C?

b. Vérifier que, pour toutxde I, on a f(x)=1+8e⁻^x

4−e⁻^x puis déterminer la limite def en+∞. En déduire l’existence d’une asymptote horizontale de C en+∞

c. Déterminer la position de la courbeCpar rapport à la droiteDd’équation y=1

4.

2. a. Montrer que pour toutxde I :f^′(x)= − 33e^x (4e^x−1)². b. Déterminer le signe def^′(x) sur I.

c. Dresser le tableau de variations def.

3. Déterminer une équation de la tangenteT à la courbeC au point d’abscisse 0.

Partie B : tracé de la courbe représentative de la fonctionf sur I

1. Reproduire et compléter le tableau suivant (les valeurs def(x) seront arrondies à 10⁻²près).

2. Tracer la tangenteT, la droiteDet la courbeC dans le repère³ O,−→

ı ,→−



´(sur papier millimétré).

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

f(x) Partie C :

Dans le plan rapporté au repère³ O,−→

ı ,→−



´, on appelleA l’aire de la partie du plan limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=0 etx=4.

1. a. Vérifier que, toutxde l’intervalle [0 ; 4],f(x) peut s’écrire sous la forme : f(x)= 33e^x

4e^x−1−8.

b. Déterminer une primitive sur [0 ; 4] de la fonctiongdéfinie par : g(x)= e^x

4e^x−1. c. En déduire une primitive def sur [0 ; 4].

2. Calculer l’aireA en cm².

On donnera la valeur exacte deA puis une valeur approchée à 1 mm²près.

(30)

[ Baccalauréat STI Nouvelle–Calédonie \ Génie des matériaux, mécanique novembre 2001

E

XERCICE

1 4 points

1. Résoudre l’équation différentielle suivante : (E) y^′′+9y=0.

oùyest une fonction numérique de la variable réellexdeux fois dérivable sur R.

2. Déterminer la solution particulièref de l’équation (E) qui vérifie : f(0)=p

2 et f^′³π 3

´

=3p 2.

3. Montrer que, pour tout réelx, f(x)=2cos³ 3x+π

4

´. 4. a. Résoudre sur l’intervalle [0 ; 2π[ l’équationf(x)= −p

2.

b. Représenter les solutions de cette équation sur le cercle trigonométrique.

E

XERCICE

2 5 points

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal³ O,→−

u,−→ v ´

d’unité graphique 2 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectiveszA,zBetzCdéfinies par :

zA=2+2i ; zB= −2+2i ; zC= −p 3+i.

où i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2.

1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z_A,z_Betz_C.

b. Placer de façon précise les points A, B et C dans le repère³ O,−→

u,−→ v´

ment les trois modules.

b. En déduire la nature du triangle ABC.

3. On considère la rotation R de centre O et d’angle−π

3. Pour tout pointMdu plan, on désigne parM^′l’image deMpar la rotation R :M^′=R(M). Les affixes respectives deMetM^′sont notéeszetz^′.

a. Exprimerz^′en fonction dez.

b. Soit A^′= R(A), Calculer sous forme exponentielle l’affixez_A′du point A^′. 4. a. Préciser le module et un argument dez_A^′.

b. Déterminer la forme algébrique dez_A^′.

c. Déduire des questionsa.etb.les valeurs exactes de cos³π 12

´et sin³π 12

´.

(31)

Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique (A et F) L’intégrale 2001

P

ROBLÈME

11 points

Partie A

On considère la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)=(x−3)e⁻^x−1.

1. Étudier les variations deg. (On ne demande pas les limites en+∞et en−∞. 2. Calculerg(4) et en déduire le signe degsurR.

Partie B

Soit la fonctionf définie surRpar

f(x)=(2−x)e⁻^x−x+3.

ı ,−→



´

d’unité graphique 2 cm.

1. Calculer les limites de la fonctionf en+∞et en−∞. 2. a. Calculer la dérivéef^′de la fonctionf.

b. Déduire à l’aide de lapartie Ales variations de la fonctionf. c. Dresser le tableau des variations de la fonctionf.

3. a. Montrer que la droiteDd’équationy= −x+3 est asymptote à la courbe C en+∞.

b. Étudier, suivant les valeurs dex, la position deC par rapport à la droiteD. 4. a. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution uniqueα, apparte-

nant à l’intervalle [2 ; 3].

b. Donner un encadrement deαd’amplitude 10⁻¹.

5. Tracer la droiteDet la courbeC dans le plan muni du repère orthonormal

³O,−→ ı ,→−



´.

6. La fonctionhest définie surRparh(x)=(2−x)e⁻^x.

Déterminer les réelsaetbpour que la fonctionHdéfinie parH(x)=(ax+b)e⁻^x soit une primitive de la fonctionhsurR.

7. Soittun réel supérieur à 2.

Déterminer, en fonction det, l’aireA(t) en cm²de la partie du plan comprise entre la courbeC, la droiteDet les droites d’équationx=2 etx=t.

Déterminer lim

t→+∞

A(t).