ANNEE UNIVERSITAIRE 2013/2014 Licence de Math´ematiques
DS de G´eom´etrie Diff´erentielle (N1MA6011)
Date : 04/03/2013 Heure : 9h30 Dur´ee : 1h20 Documents : Non autoris´es. Calculette homologu´ee : autoris´ee Epreuve de Mr : Bessi`eres. Sujet : 1 page
Exercice 1. D´emontrer que la courbure alg´ebrique kdef :I→R2 r´eguli`ere lisse satisfait k= det(f0, f00)
||f0||3 .
Exercice 2 (Courbes de R2). (1) Soit g : [a, b]→R2 lisse param´etr´ee par longueur d’arc, telle que g0(a) =g0(b).
a) D´emontrer que la quantit´e
1 2π
Z b
a
k(s) ds,
qu’on appelle courbure totale, appartient `aZ (on pourra utiliser un r´esultat du cours).
b) Que vaut la courbure totale de[0,2π]3t→(cost,sint)?
(2) On consid`ere maintenant f :]0,+∞[→R2 ≈Cd’´equationf(t) =ae(b+i)t, o`u a >0 et b <0.
Note : on s’´epargnera des calculs en utilisant les complexes.
a) Montrer que la courbe intersecte une infinit´e de fois l’axe des xet que||f(t)||→0 quand t→∞. Repr´esenter grossi`erement l’image def.
b) Montrer que||f0(t)||→0 quandt→∞et calculer la longueur def.
c) D´emontrer que la courbure alg´ebrique def satisfait k(t)> 0 pour tout t > 0 puis que k(t)→∞lorsquet→∞.
d) D´emontrer, sans utiliser la derni`ere assertion de c) que f est de courbure totale infinie.
Exercice 3 (Courbe gauche trac´ee sur une sph`ere). On suppose quec:I →R3 est une courbe lisse trir´eguli`ere (courbure et torsion ne s’annullent pas) param´etr´ee par longueur d’arc. On note (τ, ν, β) le rep`ere de Frenet au point de param`etre s,K la courbure et T la torsion. On suppose c trac´ee sur la sph`ere de centre O et de rayon r, c’est-`a-dire que pour toutsdans I,||−→
Oc(s)||2 =r2. (1) Montrer que τ(s)et −→
Oc(s) sont orthogonaux.
(2) En d´eduire qu’il existe des fonctions C∞ aet b deI dansRv´erifiant
∀s∈I, a(s)2+b(s)2 =r2 et
∀s∈I,−→
Oc(s) =a(s)ν(s) +b(s)β(s).
(3) D´eriver cette derni`ere ´equation ; en d´eduireaet ben fonction de K et T. (4) En d´eduire queK etT v´erifient
r2 = (1
K)2+ (( 1 K)01
T)2.
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