Analyse en composantes principales

(1)

www.ugb.sn

(ACP)

L3{MA,Info_SI,Info_Reseaux}- UFR S.A.T

Pr. Ousmane THIARE

othiare@ugb.edu.sn [www.ousmanethiare.com]

16 avril 2020

(2)

Introduction Régression orthogonale : Axe principal Définitions Diagonalisation de la matrice des variances- covariances Recherche des axes principaux Coordonnées factorielles et composantes principales

1 Introduction

2 Régression orthogonale : Axe principal 3 Définitions

4 Diagonalisation de la matrice des variances-covariances

5 Recherche des axes principaux

6 Coordonnées factorielles et composantes principales

(3)

Régression orthogonale : Axe principal Définitions Diagonalisation de la matrice des variances- covariances Recherche des axes principaux Coordonnées factorielles et composantes principales

Analyse en Composantes

Principales (ACP)

(4)

L’étude d’une population statistique de taille n passe le plus souvent par le recueil d’un nombre élevé p de données quantitatives par élément observé. L’analyse de ces données doit tenir compte de leur caractère multidimensionnel et révéler les liaisons existantes entre les comoposantes.

telles données, introduite en 1901 par K. Pearson et développée par H. Hotelling en 1933

Chaque donnée étant représentée dans un espase à p dimensions, l’ensemble des donées forment un "nuage de n points" dansR^p.

(5)

Méthode très puissante pour explorer la structure de telles données, introduite en 1901 par K. Pearson et développée par H. Hotelling en 1933

dimensions, l’ensemble des donées forment un "nuage de n points" dansR^p.

(6)

Méthode très puissante pour explorer la structure de telles données, introduite en 1901 par K. Pearson et développée par H. Hotelling en 1933

Chaque donnée étant représentée dans un espase à p dimensions, l’ensemble des donées forment un "nuage de n points" dansR^p.

(7)

Principe=⇒obtenir un représentation approchée du nuage dans un sous-espace de dimension faible k par projections sur des axes bien choisis.

pour coordonnées celles des projections orthogonales des n éléments du nuage sur les k axes principaux. L’ACP construit ainsi de nouvelles variables, artificielles, et des représenatations graphiques permettant de visualiser les relations entre variables, ainsi que l’existence éventuelle de groupes d’éléments et de groupes de variables.

(8)

Les composantes principales sont les n vecteurs ayant pour coordonnées celles des projections orthogonales des n éléments du nuage sur les k axes principaux.

et des représenatations graphiques permettant de visualiser les relations entre variables, ainsi que l’existence éventuelle de groupes d’éléments et de groupes de variables.

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Les composantes principales sont les n vecteurs ayant pour coordonnées celles des projections orthogonales des n éléments du nuage sur les k axes principaux.

L’ACP construit ainsi de nouvelles variables, artificielles, et des représenatations graphiques permettant de visualiser les relations entre variables, ainsi que l’existence éventuelle de groupes d’éléments et de groupes de variables.

(10)

Introduction Régression orthogonale : Axe principal

Définitions Diagonalisation de la matrice des variances- covariances Recherche des axes principaux Coordonnées factorielles et composantes principales

Régression orthogonale : Axe principal

SoitR²l’espace des individus, muni du produit scalaire canonique et de la base canonique{e₁,e₂}qui, on l’a vu, est orthonormée pour ce produit scalaire.

Si aucune des variables statistiques, X ou Y ne peut s’interpréter par rapport à l’autre, il n’y a pas de raison de privilégier la régression linéaire de Y par rapport à X ou la régression linéaire de X par rapport à Y.

Nous sommes alors conduits à un autre point de vue, celui de laréduction des données.

(11)

Introduction

Nous cherchons alors dansR²une droite (D) qui minimise la sommeS²des carrés des distances des points du nuage de points à la droite.

La solution est donnée par ladroite de régression orthogonale.

(12)

Calcul du terme constant a

L’équation de la droite de régression orthogonale est de la forme :y =a+bx.

(x ,a+bx )

m y

x i

i

i i

i

i y−a−bx

i

(13)

Calcul du terme constant a (suite)

b est la tangente de l’angle de la droite avec l’axe des abscisses :b=tanα.

k−−−→

M_im_ik²=cos²α(y_i−a−bx_i)²= 1

1+b²(y_i−a−bx_i)² En introduisant le point moyen (X,Y), on peut écrire :

1 n

n

X

i=1

kM_im_ik²= 1

1+b² ×1 n

n

X

i=1

(y_i−Y −b(x_i−X) + (Y −a−bX))²

= 1

1+b²×1 n

n

X

i=1

(y_i−Y−b(x_i−X))²+ 1

1+b²(Y−a−bX)² +2 1

1+b² ×(Y−a−bX)1 n

n

X

i=1

(y_i−Y −b(x_i−X))

(14)

Calcul du terme constant a (suite)

Les relationsY = 1 n

n

X

i=1

y_i etX = 1 n

n

X

i=1

x_i entraînent que le dernier terme de la somme est nul. Il reste :

1 n

n

X

i=1

k−−−→

M_im_ik²= 1

1+b²×1 n

n

X

i=1

(y_i−Y−b(x_i−X))²+ 1

1+b²(Y−a−bX)² Quelle que soit la valeur de b, cette somme sera la plus petite possible lorsque le deuxième terme est nul : Y =a+bX.

(15)

Calcul du terme constant a (suite et fin)

Ce résultat signifie que lepoint moyen est sur la droite de régression orthogonaleet que, lorsque b est connu, le terme constant a est donné par :

a=Y−bX

Puisque le point moyenG= (X,Y)est sur la droite de régression orthogonale, nous le prendrons comme originedansR².

La droite de régression orthogonale a une équation de la forme :

y₀=bx₀ avecy₀=y−Y etx₀=x−X

(16)

Analyse en composantes principales (ACP)

En fait, la forme de la relation précédente fait disparaître la symétrie initiale entre les rÙles de X et Y : ce n’est pas sous cette forme que nous exprimerons l’équation de la droite (D) de régression orthogonale.

Etant donnée une droite (D) passant par l’origine G, on considère plutÙt le vecteur unitaire deR²orthogonal à la droite (D) :

u₁= α

β

avec α²+β²=1 Le vecteur unitaire u porté par la droite (D) est :

u = β

−α

(17)

Analyse en composantes principales (ACP) (suite)

La droite (D) est l’ensemble des pointsM = (x,y) vérifianthu₁|−−→

GMi=0, soitαx₀+βy₀=0.

Etant donné un pointM_i du nuage de point et sa

projection orthogonalem_i sur la droite (D), le vecteur−−→

Gm_i est le projeté orthogonal de−−→

GM_i sur le vecteur u :

−−→Gm_i =h−−→

GM_i|uiu = (βx_i0−αy_i0) β

−α

−−−→m_iM_i =−−→

GM_i−−−→

Gm_i = x_i0

y_i0

−(βx_i0−αy_i0) β

−α

= (1−β²)x_i0+αβy_i0

αβx_i0+ (1−α²)y_i0

=

α²x_i0+αβy_i0 αβx_i0+β²y_i0

= (αx_i0+βy_i0)

α β

(18)

k−−−→

m_iM_ik²= (αx_i0+βy_i0)²(α β) α

β

= (αx_i0+βy_i0)²(α²+β²) = (αx_i0+βy_i0)²

1 n

n

X

i=1

k−−−→

m_iM_ik²= 1 n

n

X

i=1

(αx_i0+βy_i0)²= hαX₀+βY₀|D1

n

|αX₀+βY₀i=kαX₀+βY₀k²_D

1 n

(19)

La recherche de la droite de régression orthogonale se ramène donc à une question que l’on peut envisager d’un double point de vue :

soit rechercher, dans l’espace des individusR², un vecteur unitaireu₁=

α β

avec α²+β²=1 qui minimise la somme : S²= 1

n

X

i=1

k−−−→

m_iM_ik²= 1 n

n

X

i=1

(αx_i0+βy_i0)²,

(20)

Analyse en composantes principales (ACP) (suite et fin)

soit rechercher, dans l’espace des variablesRⁿ, un vecteurαX₀+βY₀, combinaison linéaire fictive des deux variables centréesX₀etY₀, avecα²+β²=1, qui minimisekαX₀+βY₀k²_D

1 n

, c’est-à-dire un vecteur de l’hyperplan défini parX₀etY₀, de norme minimum pour le produit scalaire défini par la matrice diagonaleD1

n

, sous la contrainteα²+β²=1.

Sous la deuxième forme, la résolution du problème est appelée l’analyse en composantes principales.

(21)

Inertie totale

Appelons Z la matrice







x₁₀ y₁₀ ... ... x_n0 y_n0





des variables centrées Inertie totale

On appelle inertie totale du nuage de points deR²par rapport à l’origine G des axes, la quantité :

I_T = 1 n

n

X

i=1

k−−→

GM_ik²= 1 n

n

X

i=1

(x_i0² +y_i0²) =s²(X) +s²(Y).

(22)

Inertie statistique

On appelle inertie statistique du nuage de points deR² par rapport à une direction∆deR²définie par un vecteur unitaire u, la quantité :

I_S(u) = 1 n

n

X

i=1

k−−→

Gm_ik²

où−−→

GM_i sur u.

Le rapport I_S(u)

I_T est letaux d’inertie totale expliquée par la direction u.

Par exemple, l’inertie statistique du nuage de points par rapport à l’axe des x est la variance de X et l’inertie statistique du nuage de points par rapport à l’axe des y est la variance de Y.

(23)

Inertie mécanique

On appelle inertie mécanique du nuage de points deR² par rapport à une direction∆définie par un vecteur unitaire u, la quantité :

I_M(u) = 1 n

n

X

i=1

k−−−→

M_im_ik²

où−−→

GM_i sur u.

Par exemple, l’inertie mécanique du nuage de points par rapport à l’axe des x est la variance de Y et l’inertie mécanique du nuage de points par rapport à l’axe des y est la variance de X.

Le théorème de Pythagorek−−→

GM_ik²=k−−→

Gm_ik²+k−−−→

M_im_ik² entraîne :

I_M(u) =I_T −I_S(u)

(24)

Axes principaux ou factoriels

On appellepremer axe factorieldu nuage de points de R², l’axe dont la direction définie par un vecteur unitaire u maximise l’inertie statistiqueI_S(u).

La direction définie par le vecteur u est appelée la direction principaleoudirection factorielle.

On remarquera que, comme le premier axe factoriel maximiseI_S(u), il minimiseI_M(u): il donne donc la solution de notre problème, c’est-à-dire la droite de régression orthogonale.

(25)

Matrices des variances-covariances

Pour u=

β

−α

, l’inertie statistiqueI_S(u) = 1 n

n

X

i=1

k−−→

Gm_ik²

s’écrit, avec−−→

Gm_i =h−−→

GM_i|uiu= (βx_i0−αy_i0) β

−α

, sous la forme :

I_S(u) = 1 n

n

X

i=1

(βx_i0−αy_i0)²=

β²×1 n

n

X

i=1

x_i0² +α²× 1 n

n

X

i=1

y_i0² −2αβ× 1 n

n

X

i=1

x_i0y_i0

Et comme on sait que : 1

n

X

i=1

x_i0² =s²(X),1 n

n

X

i=1

y_i0² =s²(Y),1 n

n

X

i=1

x_i0y_i0= Cov(X,Y)

(26)

Matrices des variances-covariances (suite)

L’inertie statistique devient :

I_S(u) =β²s²(X) +α²s²(Y)−2αβCov(X,Y) = (β −α)

s²(X) Cov(X,Y) Cov(X,Y) s²(Y)

β

−α

=u^tAu La matrice A=

= 1

n

x₁₀ · · · x_n0 y₁₀ · · · y_n0







x₁₀ y₁₀ ... ... x_n0 y_n0





s’appelle lamatrice des variances covariances.

(27)

En introduisant la matrice Z=







x₁₀ y₁₀ ... ... x_n0 y_n0





des variables centrées, la matrice des variances covariances s’écrit sous les formes : A=

= 1

n

x₁₀ · · · x_n0 y₁₀ · · · y_n0







x₁₀ y₁₀ ... ... x_n0 y_n0





= 1

nZ^tZ =Z^tD1 n

Z et l’inertie totale est la trace de cette matrice, somme des éléments diagonauxs²(X)ets²(Y):

I_T =Tr(A)

(28)

1^re remarque: valeurs propres

La matrice des variances-covariances A est, comme on le voit, symétrique réelle.

Une valeur propre de A est un nombre réelλtel qu’il existe un vecteur v non nul vérifiantAv =λv.

Les valeurs propres de A sont donc les nombres réelsλ tels que le noyau de l’endomorphisme (application linéaire deR²dansR²) défini par la matriceA−λI₂ne soit pas réduit à 0.

Dire que le noyau n’est pas réduit à 0, c’est-à-dire que l’application lin’éaire n’est pas injective, donc qu’elle n’est pas bijective (puisque dansR², injective=bijective) : pour cela, il faut et il suffit que son déterminant soit nul.

(29)

Les valeurs propres sont donc les solutions de l’équation : Det(A−λI₂) =

λ²−(s²(X) +s²(Y))λ+s²(X)s²(Y)−(Cov(X,Y))²=0 Le discriminant de cette équation du second degré est : (s²(X) +s²(Y))²−4(s²(X)s²(Y)−(Cov(X,Y))²) = (s²(X)−s²(Y))²+4(Cov(X,Y))²≥0

(30)

Régression orthogonale : Axe principal

La matrice A possède donc, ainsi qu’on l’avait déjà dit pour toute matrice symétrique réelle, deux valeurs propres réellesλ1etλ2:

la somme de ces valeurs propres est latracede la matrice, somme des éléments diagonaux de la première diagonale :

λ₁+λ₂=s²(X) +s²(Y)≥0

la matrice :

λ1λ2=s²(X)s²(Y)−(Cov(X,Y))²≥ 0 ( d’après l’inégalité de Schwarz)

(31)

La matrice A possède donc, ainsi qu’on l’avait déjà dit pour toute matrice symétrique réelle, deux valeurs propres réellesλ1etλ2:

la somme de ces valeurs propres est latracede la matrice, somme des éléments diagonaux de la première diagonale :

λ₁+λ₂=s²(X) +s²(Y)≥0

le produit de ces valeurs propres est ledéterminantde la matrice :

λ1λ2=s²(X)s²(Y)−(Cov(X,Y))²≥ 0 ( d’après l’inégalité de Schwarz)

(32)

Les deux valeurs propres de la matrice des

variances-covariances sont donc des nombres réels positifs : il est très improbable que l’une soit nulle (il faudrait, pour cela, que le coefficient de corrélation linéaire soit rigoureusement égal à 1, en valeur absolue, ce qui ne saurait se produire que si X et Y sont déduits l’un de l’autre par une relation linéaire, ou si X et Y sont constantes. Il est très improbabable aussi aussi que les deux valeurs propres soient égales : il faudrait pour cela que la covariance de X et Y soit strictement égale à 0 et que les variances de X et Y soient strictement égales, ce qui ne se produit jamais en pratique.)

(33)

Régression orthogonale : Axe principal

Dans le cas général, on peut donc appelerλ₁etλ₂lesles valeurs propres de la matrice des

variances-covariances, rangés par ordre décroissant.

λ1> λ2>0

1 2

s²(X) +s²(Y) + q

(s²(X)−s²(Y))²+4(Cov(X,Y))²

λ₂= 1 2

s²(X) +s²(Y)− q

(s²(X)−s²(Y))²+4(Cov(X,Y))²

(34)

Régression orthogonale : Axe principal

λ1> λ2>0 λ1=

1 2

s²(X) +s²(Y) + q

(s²(X)−s²(Y))²+4(Cov(X,Y))²

1 2

s²(X) +s²(Y)− q

(s²(X)−s²(Y))²+4(Cov(X,Y))²

(35)

λ1> λ2>0 λ1=

1 2

s²(X) +s²(Y) + q

(s²(X)−s²(Y))²+4(Cov(X,Y))²

λ2= 1 2

s²(X) +s²(Y)− q

(s²(X)−s²(Y))²+4(Cov(X,Y))²

(36)

2^me remarque: vecteurs propres

On démontre aussi, en algèbre, queR²possède une base propre orthonormée, c’est-à-dire une base

{u₁,u₂}, orthonormée pour le produit scalaire canonique, formée de vecteurs propres de la matrice A :

Au₁=λ1u₁etAu₂=λ2u₂, avec

ku₁k²=1,ku₂k²=1,hu₁|u₂i=0

(37)

Ces vecteurs propres peuvent se calculer.

Soitλune valeur propre. On a : s²(X)−λ Cov(X,Y)

Cov(X,Y) s²(Y)−λ

s²(Y)−λ

−Cov(X,Y)

= (s²(X)−λ)(s²(Y)−λ)−(Cov(X,Y))²

(s²(Y)−λ)Cov(X,Y)−(s²(Y)−λ)Cov(X,Y)

= Det(A−λI₂)

0

= 0

0

=0 donc le vecteur s²(Y)−λ

−Cov(X,Y)

est unvecteur propre pour la valeur propreλ.

(38)

Le carré de la norme de ce vecteur pour le produit scalaire est donné par :

(s²(Y)−λ−Cov(X,Y))

s²(Y)−λ

−Cov(X,Y)

=

(s²(Y)−λ)²+ (Cov(X,Y))²On peut donc prendre pour vecteur propre relatif à la valeur propreλ, le vecteur :

u= 1

p(s²(Y)−λ)²+ (Cov(X,Y))²

s²(Y)−λ

−Cov(X,Y)

Le produit scalaire des deux vecteurs propres ainsi obtenu est nul, parce que la relationλ₁+λ₂=s²(X) +s²(Y) entraîne :

(39)

s²(Y)−λ1 −Cov(X,Y)

s²(Y)−λ2

−Cov(X,Y)

= λ₂−s²(X) −Cov(X,Y)

s²(Y)−λ₂

−Cov(X,Y)

= Det(A−λ₂I₂) =0

Les deux vecteurs

s²(Y)−λ₁

−Cov(X,Y)

et

s²(Y)−λ₂

−Cov(X,Y)

forment une base deR²parce que le déterminant de leurs coordonnées n’est pas nul :

Cov(X,Y)×(s²(Y)−λ₁) +Cov(X,Y)×(s²(Y)−λ₂) = Cov(X,Y)×(λ₁−λ₂)6=0 de sorte que les deux vecteurs ne sont pas proportionnels.

(40)

Régression orthogonale : Axe principal

Matrices des variances-covariances (suite et fin)

Les deux vecteurs :

u₁= 1

p(s²(Y)−λ₁)²+ (Cov(X,Y))²

s²(Y)−λ₁

−Cov(X,Y)

u₂= p

(s²(Y)−λ₂)²+ (Cov(X,Y))² −Cov(X,Y)

forment donc unebase orthonorméedeR².

Remarquons que, au lieu de prendre pour vecteur propre pour le valeur propreλ, le vecteur

s²(Y)−λ

−Cov(X,Y)

, on aurait pu prendre aussi le vecteur

−Cov(X,Y) s²(X)−λ

qui lui est proportionnel (le déterminant de la matrice de ces vecteurs est le déterminant de la matriceA−λI₂).

(41)

Matrices des variances-covariances (suite et fin)

Les deux vecteurs :

u₁= 1

p(s²(Y)−λ₁)²+ (Cov(X,Y))²

s²(Y)−λ₁

−Cov(X,Y)

u₂= 1

p(s²(Y)−λ₂)²+ (Cov(X,Y))²

s²(Y)−λ₂

−Cov(X,Y)

forment donc unebase orthonorméedeR².

Remarquons que, au lieu de prendre pour vecteur propre pour le valeur propreλ, le vecteur

s²(Y)−λ

−Cov(X,Y)

, on aurait pu prendre aussi le vecteur

−Cov(X,Y) s²(X)−λ

qui lui est proportionnel (le déterminant de la matrice de ces vecteurs est le déterminant de la matriceA−λI₂).

(42)

variances-covariances

Soit V=







s²(Y)−λ₁

p(s²(Y)−λ₁)²+ (Cov(X,Y))²

s²(Y)−λ₂

p(s²(Y)−λ₂)²+ (Cov(X,Y))²

−Cov(X,Y)

p(s²(Y)−λ1)²+ (Cov(X,Y))²

−Cov(X,Y)

p(s²(Y)−λ2)²+ (Cov(X,Y))²





 la matrice des coordonnées des vecteurs propresu₁etu₂.

Ve₁=u₁,Ve₂=u₂.

la matrice des coordonnées des vecteurs propresu₁etu₂. Ve₁=u₁,Ve₂=u₂.

(43)

variances-covariances (suite)

V donne, par produits, pour image d’une base orthonormée, une base orthonormée : c’est ce qu’on appelle une matrice "orthogonale", ce qui veut dire que son inverse est égale à sa transposée :

V⁻¹=V^t

Pour le vérifier, remarquons que ouisque les bases {e₁,e₂}et{u₁,u₂}sont orthonormées, les coordonnées des vecteurs s’obtiennent par produits scalaires : :

u₁=hu₁|e₁ie₁+hu₁|e₂ie₂ u₂=hu₂|e₁ie₁+hu₂|e₂ie₂

(44)

variances-covariances (suite)

de sorte que la matrice V, qui a, pour colonnes les vecteursu₁etu₂dans la base{e₁,e₂}, est :

V =

hu₁|e₁i hu₂|e₁i hu₁|e₂i hu₂|e₂i

et les relations inverses

e₁=he₁|u₁iu₁+he₁|u₂iu₂ e₂=he₂|u₁iu₁+he₂|u₂iu₂

montrent que la matrice inverse de V est la matrice : V⁻¹=

he₁|u₁i he₂|u₁i he₁|u₂i he₂|u₂i

(45)

variances-covariances (suite)

qui, compte tenu de la symétrie du produit scalaire, est la transposée de V.

V⁻¹=

hu₁|e₁i hu₁|e₂i hu₂|e₁i hu₂|e₂i

=V^t

Il résulte alors des relationsVe₁=u₁etVe₂=u₂, que l’on a :

V^tu₁=V⁻¹u₁=e₁; V^tu₂=V⁻¹u₂=e₂ Considérons maintenant la matriceΛ =

λ₁ 0 0 λ₂

, matrice diagonale des valeurs propres de A.

A est la matrice, dans la base canonique{e₁,e₂}, d’un endomorphisme f.

Cet endomorphisme f se réduit à deux homothéties, de rapportλ₁selon le vecteuru₁, et de rapportλ₂selon le vecteuru₂.

Λest donc la matrice, dans la base propre{u ,u }, de

Pr. Ousmane THIARE Analyse en Composantes Principales (ACP) 16 avril 2020 37/60

(46)

variances-covariances (suite)

La matrice de l’application identique deR²muni de la base{u₁,u₂}dansR²muni de la base{e₁,e₂}donne, par produits, pour image du vecteuru₁=

1 0

le vecteur

u₁= 1

p(s²(Y)−λ1)²+ (Cov(X,Y))²

s²(Y)−λ1

−Cov(X,Y)

et pour image du vecteuru₂= 0

1

le vecteur

u₂= 1

p(s²(Y)−λ₂)²+ (Cov(X,Y))²

s²(Y)−λ₂

−Cov(X,Y)

(47)

variances-covariances (suite)

C’est donc la matrice V des vecteurs propres.

V = [Id

R²,{u₁,u₂},{e₁,e₂}]

Réciproquement, la matrice de l’application identique de R²muni de la base{e₁,e₂}dansR²muni de la base {u₁,u₂}donne, par produits, pour image du vecteur e₁=

1 0

le vecteur

e₁=







s²(Y)−λ₁

p(s²(Y)−λ₁)²+ (Cov(X,Y))² s²(Y)−λ₂

p(s²(Y)−λ2)²+ (Cov(X,Y))²







(48)

variances-covariances (suite)

et pour image du vecteure₂= 0

1

le vecteure₂=







−Cov(X,Y)

p(s²(Y)−λ1)²+ (Cov(X,Y))²

−Cov(X,Y)

p(s²(Y)−λ₂)²+ (Cov(X,Y))²





 .

C’est donc la matriceV^t transposée et inverse de la matrice V des vecteurs propres.

V^t = [Id

R²,{e₁,e₂},{u₁,u₂}]

(49)

variances-covariances (suite)

Le diagramme commutatif suivant :

} e 2 e { 1 , R 2

, f R 2

, { e1 , e 2 }

R 2 ,{u1 ,u

2 } R 2

,{u1 , u u 2 } Id V t

V A

A f Id

met en évidence la relationf =Id◦f ◦Id.

(50)

variances-covariances (suite et fin)

En termes de produit de matrices, cette relation s’écrit : Λ =VA^tV

d’où l’on déduit aussitôt

V =V^tΛV. On dit qu’on adiagonalisé le matriceA.

(51)

Pour un vecteur normé u, posonsv =Vu. On av^t =u^tV^t. kvk²=v^tv =u^tV^tVu=u^tu=kuk²=1

Le vecteur v est normé lui aussi. L’inertie statistique par rapport à u s’écrit :

I_S(u) =u^tAu=u^tV^tΛVu=v^tΛv DansR²rapporté à la base{u₁,u₂}, notonsv =

v₁ v₂

I_S(u) =v^tΛv = v₁ v₂

λ1 0 0 λ₂

v₁ v₂

=λ₁v₁²+λ₂v₂², avec v₁²+v₂²=1