Td corrigé Exercice III: Constante de raideur d'un ressort (4 points) pdf

BAC S Amérique du nord 2011 Correction © http://labolycee.org EXERCICE III : CONSTANTE DE RAIDEUR D’UN RESSORT (4 points)

1. Étude statique

1.1. L’allongement 0 s’écrit : 0 = Le  L0.

1.2. La première loi de Newton, appliquée à la masse,

dans le référentiel terrestre supposé galiléen s’écrit : _{P F 0}^{  }_{ } P

=  F P = F m.g = k.0

0

m.g

 k



1.3. Le graphe 0 = f(m) de la figure 1 est une droite passant par l’origine, donc 0 est proportionnelle à m soit : 0= a. m.

La relation précédente montre que le coefficient directeur a de la droite est : a =g

k .

Entre les points (0 ;0) et (8010^3kg ; 1610^2m) on a : a =g 16 10²₃ 0

k 80 10 0





 

   = 2,0 m.kg^1 Ainsi : k = g 9,8

a 2,0= 4,9 N.m^1 2. Étude dynamique

2.1.1. T0 représente la période propre de l’oscillateur élastique.

2.1.2. est solution de l’équation différentielle :

m

0 0

dx(t) 2 2 .t

X . sin

dt T T

 

 

   

 

En reportant l’expression précédente dans l’équation différentielle d x²₂

m. k.x 0

dt   il vient :

2

0

m. 2 .x(t) T

 

  

  + k.x(t) = 0



2

0

k m. 2 .x(t) 0 T

   

     

   

 

i

x X_m Pendule élastique vertical

F 

P



_

Le

-X_m

0

2 2

2 2 m

0 0 0

d x(t) 2 2 .t 2

X . .cos .x(t)

d t T T T

      

       

     

m

0

x(t) X .cos 2 t T

  

  

 

On a deux solutions :

Soit x = 0 pour tout t ; ce qui est faux.

Soit

2

0

k m. 2 0

T

   

    

   

  

2 2 0

k m.4 T

   ₀² 4 ²

T m.

k

 

Finalement, en ne gardant que la solution positive : T₀ 2 ^m

  k .

2.2.1. Le mouvement est pseudo-périodique : l’amplitude des oscillations diminue au cours du temps. Cela est dû essentiellement aux frottements de l’air.

2.2.2. Lorsque les frottements sont peu importants, la période propre T0 est proche de la pseudo- période T.

2.2.3. Pour mesurer précisément la pseudo-période T, on doit mesurer la durée Δt correspondant à plusieurs pseudo-périodes (N) puis diviser cette durée par le nombre de pseudo-période T = ^t

N

 .

2.2.4. Le graphe le plus simple à exploiter est celui de la figure 2c car il s’agir d’une droite passant par l’origine.

Donc T0² est proportionnel à la masse m : T0² = a . m

D’après la question 2.1.2 : ₀² 4 ²

T m.

k

  Donc par identification :

a = 4 ² k

 soit 4 ²

k a

  .

Le graphe fournit la valeur de a : entre les points (0 ;0) et (100 10^3kg; 0,80 s²) il vient :

a = 0,80 0₃ 100 10^ 0

 

  8,0 s².kg^1 donc :

4 2

k 8,0

  = 4,9 N.m^1.

On retrouve la même valeur de k que celle obtenue lors de l’étude statique.