Énoncé L'une des extrémités d'un ressort, de constante de raideur

(1)

Énoncé

L'une des extrémités d'un ressort, de constante de raideur et de longueur à vide , est accrochée à un support vertical fixe.

On vient attacher à l'autre extrémité un bloc de masse posé sur un support plat horizontal.

Figure 1 : schéma du dispositif

1. Le bloc est écarté d'une distance de sa position d'équilibre. Il est ensuite lâché sans vitesse initiale. Les forces de frottement sont négligées.

1.a) En utilisant les lois de Newton, déterminer l'équation différentielle régissant l'évolution du mouvement du bloc.

1.b) Retrouver ce résultat en vous appuyant sur des considérations énergétiques.

2. Résoudre l'équation différentielle et représenter de manière schématique l'évolution temporelle de la position du bloc.

Figure 3 : schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen.

1. 1.a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse , il vient :

La loi de Hooke donne

Avec :

Avec et après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

(2)

Finalement : avec où est la pulsation propre.

1.b) En appliquant le théorème de l'énergie cinétique à la masse , il vient :

En dérivant par rapport au temps :

Finalement : avec

2. Une solution réelle est de la forme : où et sont les constantes d'intégration à déterminer à partir des conditions initiales.

La vitesse est obtenue en dérivant par rapport au temps :

Les conditions initiales donnent :

Dans l'équation (2), et sont forcement non nulles (sinon, il n'y a pas d'oscillations), donc ,

soit .

Alors, avec , l'équation (1) donne : .

D'où : .

Figure 2 : représentation graphique de l'évolution temporelle de la position du bloc.

(3)

Énoncé

L'une des extrémités d'un ressort, de constante de raideur et de longueur à vide , est accrochée à un support horizontal fixe. On vient attacher à l'autre extrémité un bloc de masse . Le poids du ressort est négligé.

Figure 1 : schéma du dispositif.

1. Déterminer l'allongement du ressort consécutif à la suspension du bloc.

2. Le bloc est écarté d'une distance de sa position d'équilibre. Il est ensuite lâché sans vitesse initiale. Les forces de frottement sont négligées. Déterminer l'équation différentielle régissant l'évolution du mouvement du bloc.

Figure 2 : schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen.

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse à l'équilibre, il vient : Après projection sur l'axe vertical , on obtient :

Finalement, avec :

2. Résolution par les forces :

En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse , il vient :

(4)

Avec :

Avec et après projection sur l'axe vertical , on obtient :

Finalement : (1)

avec où est la pulsation propre.

Résolution par l'énergie :

En appliquant le théorème de l'énergie cinétique à la masse , il vient :

En dérivant par rapport au temps , avec constant :

Finalement : avec

3. Une solution réelle est de la forme : où est la solution particulière, et sont les constantes d'intégration. étant de la forme du second membre (ici ), il s'agit d'une constante. et sont à déterminer à partir des conditions initiales.

En dérivant par rapport au temps, on obtient :

et

En remplacant et dans l'équation (1), il vient :

Alors : (voir résultat de la question 1)

(5)

soit .

D'où : .

Figure 3 : représentation graphique de l'évolution temporelle de la position du bloc.

Énoncé

Deux ressorts, de même constante de raideur et de même longueur à vide , sont accrochés chacun à support vertical fixe.

L'autre extrémité est fixée de part et d'autre d'un bloc de masse , posé sur un support horizontal, de sorte que les deux ressorts soient étirés. On notera leur longueur. Un système de guidage permet de contraindre les oscillations de la masse dans le plan horizontal et dans la direction perpendiculaire à l'axe des ressorts. Le poids des ressorts et les forces de frottement sont négligés.

Figure 1 : schéma du dispositif en vue du dessus.

1. Le bloc est écarté d'une distance de sa position d'équilibre. Il est ensuite lâché sans vitesse initiale. Déterminer l'équation différentielle régissant l'évolution du mouvement du bloc pour de petites oscillations ( ).

(6)

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse selon l'axe , il vient :

Les ressorts ont la même constante de raideur , la même longueur à vide et le système de guidage provoque le même allongement ; la loi de Hooke donne :

Avec et après projection sur l'axe : (1)

L'allongement des ressorts avec et donne

:

A petites oscillations , soit .

D'où :

(développement limité au premier ordre)

En négligeant les termes en d'ordre supérieur à un, il vient : En remplacant dans l'équation (1) :

Finalement : ,

avec où est la pulsation propre.

(7)

soit .

D'où : .

Énoncé

On considère un bloc solide homogène de section , de hauteur et de masse volumique . Ce bloc flotte à la surface de l'eau de masse volumique .

Dans tout l'exercice, on supposera que le bloc est uniquement soumis à son poids et à la poussée d'Archimède (on négligera les frottements). On notera l'accélération de la pesanteur.

Rappel de l'énoncé de la loi d'Archimède : Tout corps plongé dans un fluide reçoit une poussée verticale, dirigée du bas vers le haut, de norme égale au poids du volume de fluide déplacé.

(8)

1. A partir d'un bilan de forces, déterminer la hauteur dont le bloc est immergé à l'équilibre.

2. Le bloc est soulevé verticalement de sa position d'équilibre d'une hauteur . A , il est lâché sans vitesse initiale.

2.a) Etablir l'équation du mouvement du point se déplaçant vis-à-vis de la face supérieure du bloc le long d'un axe vertical noté (voir figure ci-dessus). Quel type général de système physique l'équation obtenue décrit-elle ? 2.b) Résoudre l'équation obtenue à la question 2.a compte tenu des conditions initiales précédemment énoncées.

3. Calculer la valeur numérique de la période du mouvement. On prendra : ,

, et .

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur le bloc à l'équilibre, il vient :

Après projection sur l'axe vertical , on obtient :

où est le volume du bloc immergé (ou de fluide déplacé).

Avec et ,

il vient : ,

d'où : .

2. 2.a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur le bloc à quelconque, il vient :

Avec et :

Avec la hauteur du bloc immergée : (voir schéma ci-dessus)

En projetant sur l'axe vertical , on obtient :

Or, d'après le résultat de la question 1 :

(9)

D'où :

Finalement : avec où est la pulsation propre.

C'est l'équation du mouvement d'un oscillateur harmonique libre.

2.b) Une solution réelle est de la forme : , où et sont les constantes d'intégration à déterminer à partir des conditions initiales.

Dans l'équation (2), et sont forcément non nulles (sinon, il n'y a pas d'oscillations), donc ,

soit .

D'où : .

3. La période d'oscillation est donnée par : A.N. :

Énoncé

L'une des extrémités d'un ressort, de constante de raideur et de longueur à vide , est accrochée à support vertical fixe. On vient attacher à l'autre extrémité un bloc de masse . Le tout est immergé dans l'eau et le bloc est choisi de manière à ce que la poussée d'Archimède compense exactement son poids. Le poids du ressort et les forces de frottements sur celui-ci sont négligées.

1. Le bloc est écarté d'une distance de sa position d'équilibre. Il est ensuite lâché sans vitesse initiale.

Déterminer l'équation différentielle régissant l'évolution du mouvement du bloc en prenant en compte le terme de frottement dans l'eau proportionnel à la vitesse (de type fluide) . On négligera tout autre effet tel que les turbulences du fluide.

(10)

2. On se place dans le cas où .

Qualifier le mouvement, résoudre l'équation différentielle et représenter de manière schématique l'évolution temporelle de la position du bloc.

Schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen 1. 1.a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse , il vient :

La force de frottement visqueux s'écrit :

Avec :

Avec et après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

Finalement :

avec et où est la pulsation propre et est le taux d'amortissement.

2. Pour , on a : .

Le discriminant de l'équation caractéristique associé à l'équation différentielle est alors négatif. Il s'agit donc d'un mouvement oscillatoire amorti ou pseudo-périodique.

Une solution réelle est de la forme : avec où est la

pseudo-pulsation.

(11)

(voir boite à outils de l'exercice de référence : Oscillateur harmonique mécanique horizontal (exercice 1) ).

et sont les constantes d'intégration à déterminer à partir des conditions initiales.

D'après l'équation (2), .

Avec :

D'où : ,

avec et .

Énoncé

On considère un véhicule de masse . Le système de suspension de ce véhicule peut être représenté par l'association d'un ressort, de constante de raideur et de longueur à vide , et d'un amortisseur provoquant une force de frottement de type

fluide .

Toute autre source de frottements est négligée.

(12)

Figure 1 : schéma équivalent du dispositif.

1. En supposant que le véhicule ne change pas d'altitude, déterminer la profondeur maximale d'un nid de poule à partir de laquelle les roues ne sont plus en contact avec le sol. On négligera le poids du système de suspension et des roues.

2. Etablir l'équation différentielle du mouvement vertical du véhicule lorsqu'il est écarté de sa position d'équilibre.

3. Déterminer le coefficient pour que le régime d'amortissement soit critique.

4. L'usure des amortisseurs due au temps entraîne une diminution du coefficient d'un cinquième de sa valeur

initiale :

Qualifier le régime d'amortissement dans ce cas.

Un trou dans la chaussée écarte le ressort de sa position d'équilibre d'une longueur . En considérant que la vitesse verticale est nulle en , résoudre l'équation différentielle régissant l'évolution du mouvement vertical du véhicule.

Déterminer le temps nécessaire pour que les oscillations du véhicule deviennent négligeables. Conclusion.

Applications numériques : ; ; ;

On considérera les oscillations du véhicule négligeables lorsque leur amplitude maximale est divisée par un facteur .

Figure 2 : schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen.

(13)

1. Si on néglige le poids des roues, la situation pour laquelle celles-ci ne sont plus en contact avec le sol correspond au ressort dans sa position de repos, soit de longueur . Il faut donc déterminer la variation de longueur liée au poids du véhicule (situation à l'équilibre).

On obtient alors avec .

En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur le véhicule à l'équilibre, il vient : Après projection sur l'axe vertical , on obtient :

Finalement, avec : .

A.N. :

2. En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur le véhicule, il vient :

Avec :

Avec , et après projection sur l'axe horizontal , on

obtient :

Or, (voir question 1)

Finalement :

avec et où est la pulsation propre et est le taux

d'amortissement.

3. Le régime d'amortissement critique correspond à un discriminant de l'équation caractéristique associé à l'équation différentielle nulle, soit :

Alors, avec et :

A.N. :

4. Avec , et est inchangée, alors . Le système passe donc dans un

régime oscillatoire amorti.

Une solution réelle est de la forme : avec où est

la pseudo-pulsation.

(14)

et sont les constantes d'intégration à déterminer à partir des conditions initiales.

Avec :

D'où : ,

avec et .

Le temps à partir duquel les oscillations sont négligeables correspond à : .

Avec et :

A.N. :

Même si les amortisseurs n'ont perdu qu'un cinquième de leur taux d'amortissement, le temps d'oscillation du véhicule est suffisamment long pour rendre sa conduite dangereuse. Il est donc temps de les changer !

Énoncé

On se propose de mesurer la viscosité de l'air en étudiant les oscillations amorties d'une bille métallique suspendue à l'extrémité d'un ressort.

La masse de la bille de rayon est notée . On suppose que l'air exerce une force de frottement de type fluide de norme proportionnelle à la vitesse de la bille et de sens opposé à celle-ci ( , est le coefficient de frottement). La poussée d'Archimède exercée par l'air sur la bille est négligée. La masse du ressort est négligeable et sa constante de raideur est notée . La loi de Hooke est supposée vérifiée dans tout l'exercice. On notera l'accélération de la pesanteur.

(15)

Schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen

1. La bille est écartée verticalement de sa position d'équilibre d'une distance , puis elle est lâchée sans vitesse initiale.

Etablir l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position de la bille par rapport à sa position d'équilibre.

2. Dans le cas d'une masse de forme sphérique, le coefficient de frottement s'exprime simplement comme (loi de Stokes). La viscosité s'exprime en Poiseuille.

Quelle est la dimension de cette grandeur en unités MKSA ?

3. Réécrire l'équation différentielle obtenue à la question 1 sous la forme : et donner les expressions analytiques du taux d'amortissement et de la pulsation propre en fonction de , , et . 4. Montrer que l'équation précédente présente trois solutions distinctes et nommer les régimes auxquels celles-ci se

rattachent (il n'est pas demandé de résoudre l'équation différentielle).

Si la solution de l'équation peut être approximée par : , qu'en déduisez-vous pour le facteur de qualité de l'oscillateur ?

5. A l'instant , la bille a été écartée de de sa position d'équilibre. Au bout de 3 heures, l'amplitude maximum des oscillations est de .

En déduire le taux d'amortissement , la viscosité de l'air et le facteur de qualité de l'oscillateur.

On prendra : , et .

Schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen

(16)

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'équilibre, il vient :

La loi de Hooke donne , on obtient :

En appliquant à présent le principe fondamental de la dynamique à quelconque, il vient :

Avec :

Avec , et après projection sur l'axe horizontal , on

obtient :

Or, (voir ci-dessus)

Finalement :

2. Avec et :

D'où :

s'exprime donc, dans le système MKSA, en ou encore . 3. En divisant par l'équation obtenue en 1), on obtient :

avec et où est la pulsation propre et est le taux

d'amortissement.

4. (Voir boite à outils de l'exercice de référence : Oscillateur harmonique mécanique horizontal (exercice 1) ) Le discriminant de l'équation caractéristique associé à l'équation différentielle s'écrit : .

En posant le facteur de qualité : Avec , on a trois cas possibles :

a) Si : .

Une solution est de la forme : où est la pseudo-

pulsation.

Le système est alors dans un régime apériodique.

(17)

b) Si : .

La solution est de la forme :

Le système est alors dans un régime critique.

c) Si : .

Une solution réelle est de la forme : où est la

pseudo-pulsation.

Le système est alors dans un régime oscillatoire amorti.

Ici, avec une solution , on se trouve dans un régime oscillatoire amorti. Le

facteur de qualité est donc bon, .

5. A.N. avec et :

Si l'on considère que les oscillations sont très rapides devant l'amortissement, on peut négliger la partie en cosinus, d'où :

Avec

Et

Remarque :

Un facteur de qualité aussi élevé revient à négliger devant . On vérifie ainsi que négliger les frottements de l'air sur un oscillateur mécanique est une bonne approximation.

Énoncé

On considère un bloc de masse constante attaché à un support horizontal fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur et de masse négligeable.

Si on suppose que le bloc est soumis à une force de frottement de nature visqueuse de norme proportionnelle à la vitesse du bloc et de sens opposé à celle-ci ( , est le coefficient de frottement), l'équation différentielle régissant l'évolution de la position du bloc s'écrit où représente l'accélération de la pesanteur.

Pour dériver cette équation, l'origine des positions est le point repérant l'extrémité du ressort lorsque celui-ci n'est pas

chargé ( ).

(18)

Le but de cet exercice est l'étude du comportement d'un tel système lorsque la masse suspendue n'est plus constante mais devient fonction du temps : . Pour réaliser ceci, il suffit par exemple d'attacher au ressort un récipient troué contenant du sable. Le sable s'écoule par l'orifice de sortie de sorte que la masse suspendue est une fonction décroissante du temps.

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. A l'instant , la masse du récipient contenant le sable vaut de sorte que sa quantité de mouvement

s'écrit où représente la vitesse du récipient de sable à l'instant . A l'instant , le récipient s'est vidé d'une quantité de sable qui a été libérée du récipient avec une vitesse égale à celle du bloc.

1.a) Donner, à , la quantité de mouvement de l'ensemble constitué de la masse de sable libérée et du récipient. En déduire l'accroissement de cette quantité de mouvement entre

et .

1.b) En utilisant la deuxième loi de Newton : , où représente la résultante des forces agissant sur le récipient, montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de la position du bloc s'écrit

: .

On supposera que le bloc est soumis à une force de frottement de nature visqueuse comme énoncé ci-dessus.

2. On suppose que la masse est une fonction linéairement décroissante du temps de sorte que

avec . Dans cette question, on ne demande pas de résoudre des équations mais d'étayer les réponses sur la base d'arguments physiques simples.

a) Quelle est la signification physique de l'hypothèse ?

b) Quelle est la nature du mouvement du bloc si ? Préciser en particulier sa période et éventuellement la valeur du taux d'amortissement .

c) Quelle est la nature du mouvement du bloc si ? Préciser en particulier sa période et éventuellement la valeur du taux d'amortissement .

d) Représenter schématiquement l'évolution de la position du bloc dans le temps. On supposera que le bloc a été lâché sans vitesse initiale d'une position . Attention, aucun calcul n'est demandé ; seuls les résultats obtenus aux questions 2.b et 2.c sont à utiliser pour répondre à cette question.

(19)

1. 1.a) A , la quantité de mouvement de l'ENSEMBLE nacelle + sable éjecté s'écrit : A l'instant :

D'où :

Alors :

1.b) En appliquant à présent le principe fondamental de la dynamique, il vient :

Avec :

Avec , et après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

Finalement :

2. 2.a) D'après , à : .

représente donc le temps nécessaire pour que le récipient se vide complètement.

représente, à un facteur près, la pseudo période des oscillations lorsque .

Alors, l'hypothèse signifie que le récipient se vide en un temps beaucoup plus grand qu'une période d'oscillation, c'est à dire qu'il se vide lentement devant la période des oscillations.

(20)

2.b) D'après , si : . Alors, l'équation obtenue en 1. devient :

avec et

C'est l'équation d'un mouvement oscillatoire amorti, avec un amortissement exponentiel, où est la pulsation propre et est le taux d'amortissement.

La position du bloc à l'instant est donnée par :

, où est la pseudo-pulsation.

2.c) D'après , lorsque : .

Alors : et

La pulsation propre et le taux d'amortissement deviennent très grands.

2.d) Le mouvement peut alors être décomposé en deux parties. D'abord un mouvement oscillatoire avec un amortissement lent puis, à l'approche de , les oscillations s'accélèrent (la période devient plus courte) et l'amortissement devient plus fort.

Énoncé

On considère un bloc solide de masse attaché par un ressort de constante de raideur fixé à un support vertical.

L'ensemble repose sur un support horizontal. A l'équilibre, le ressort n'est pas comprimé de sorte que sa longueur est égale à sa longueur à vide.

A l'instant , on met en marche un système mécanique permettant de moduler de manière sinusoïdale la position du bloc tel que la force appliquée sur celui-ci s'écrit : où est la pulsation du forçage (ou de la modulation).

On suppose que le bloc est soumis à une force de frottement de type fluide de norme proportionnelle à sa vitesse et de sens opposé à celle-ci ( , est le coefficient de frottement). On notera g l'accélération de la pesanteur. La loi de Hooke est supposée vérifiée dans tout l'exercice.

(21)

Schéma du dispositif

1. Etablir l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position du bloc se déplaçant le long de l'axe . 2. On suppose que l'oscillateur étudié est tel que la solution de l'équation précédemment établie s'écrit :

.

Expliquer clairement à quel type de réponse de l'oscillateur correspond chacun des deux termes composant la

fonction . Que pensez-vous du facteur de qualité de l'oscillateur étudié ? Est-il possible de négliger l'un des deux termes et si oui, expliquer à quelle(s) condition(s) ?

3. Rappeler ce qu'est la notation complexe et l'utiliser pour déterminer

4. On considère que les frottements sont négligeables de sorte que . Que devient l'amplitude des oscillations du bloc lorsque ? Nommer le phénomène physique auquel se rattache le comportement obtenu.

Schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen 1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à quelconque, il vient :

(22)

Avec :

Finalement :

avec et ,

où est la pulsation propre et est le taux d'amortissement.

2. Une solution réelle de cette équation s'écrit :

Le premier terme correspond à la réponse transitoire consécutive à la mise en marche du forçage.

Le second terme correspond au régime permanent sinusoïdal.

Figure 3 : représentation graphique de l'évolution temporelle de la position du bloc avec décomposition des régimes.

La réponse transitoire (premier terme) correspond à un mouvement oscillatoire amorti. On peut donc dire que le facteur de qualité (voir l'exercice "Calcul de la viscosité de l'air avec un oscillateur amorti").

La réponse transitoire peut être négligée aux temps longs, c'est à dire . L'oscillateur est alors dans un régime permanent sinusoïdal équivalent à un oscillateur harmonique de pulsation égale à celle du forçage .

3. En régime permanent, on a en notation réelle : .

Cette solution s'écrit en notation complexe : avec .

En remplaçant dans l'équation du mouvement du bloc obtenue à la question 1, on a :

D'où :

étant le module de , il vient :

(23)

De la même façon, étant l'argument de , il vient :

4. Avec , on obtient : .

Lorsque , . C'est ce que l'on appelle le phénomène de résonance.

Énoncé

On considère un bloc de masse pouvant se déplacer sans frottement le long d'un support horizontal de direction (vecteur unitaire ). Il est attaché à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur et de masse négligeable. On suppose que le déplacement du bloc est toujours d'amplitude suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. A l'équilibre, le bloc se trouve en un point et le ressort n'est ni tendu, ni comprimé.

Le bloc étant initialement immobile en sa position d'équilibre, on applique brutalement une force pour les temps ( est une constante positive). L'application de cette force cesse brutalement au temps

( pour , voir ci-dessous).

Schéma du dispositif et évolution temporelle du forçage

1. Etablir l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position du bloc pour .

2. Résoudre cette équation différentielle et donner la loi d'évolution de la position du bloc pour compte tenu des conditions initiales formulées précédemment.

3. Etablir l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position du bloc pour .

4. Les conditions initiales à étant fournies par la loi horaire établie à la question 2, déterminer la loi d'évolution

de la position du bloc pour . Pour simplifier les calculs, on fixera dans toute la suite ( représente la période propre de l'oscillateur)

5. Représenter schématiquement pour .

(24)

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à , il vient :

Avec :

Finalement :

(1) avec , où est la pulsation propre.

2. Une solution réelle est de la forme : où est la solution particulière, et sont les

constantes d'intégration. étant de la forme du second membre (ici ), il s'agit d'une constante. et sont à déterminer à partir des conditions initiales.

et

En remplaçant et dans l'équation (1), il vient :

et sont forcement non nulles (sinon, il n'y a pas d'oscillations), donc , soit .

(25)

Alors, avec : .

D'où : pour .

3. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à , il vient : Après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

Finalement :

avec ,

où est la pulsation propre.

A :

D'après l'évolution temporelle du bloc obtenue à la question 2 :

Ces deux dernières équations sont alors les conditions initiales nécessaires à la résolution de l'équation du mouvement :

et sont forcément non nulles (sinon, il n'y a pas d'oscillations), donc , soit .

Alors, avec , soit : .

D'où : pour .

5. Voir courbe :

(26)

Énoncé

Un sismographe est un appareil permettant de mesurer l'amplitude d'une secousse quelle que soit sa fréquence.

Le dispositif peut être schématisé par une masse suspendue à un ressort, de constante de raideur et de longueur à vide . L'autre extrémité du ressort est accrochée à un support horizontal mobile.

Le mouvement est amorti par une force de frottement de type fluide de norme proportionnelle à la vitesse de la masse et de sens opposé à celle-ci ( , est le coefficient de frottement). La masse du ressort est négligeable et la loi de Hooke est supposée vérifiée.

Lorsqu'une secousse se produit, elle applique sur le support mobile une modulation sinusoïdale de la forme , où est l'amplitude de la secousse et sa pulsation. On notera l'accélération de la pesanteur.

1. Etablir l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position de la masse par rapport à sa position d'équilibre.

2. Rappeler à quoi correspond le régime permanent et écrire, sans résoudre l'équation différentielle, la loi d'évolution de la position de la masse dans ce cas.

3. En utilisant la notation complexe, déterminer l'amplitude du mouvement de la masse et son déphasage . 4. Montrer que l'utilisation de ce dispositif comme un sismographe est simplifiée lorsque la pulsation propre du ressort est

très petite devant celle de la secousse et en négligeant les frottements.

Schéma du dispositif avec bilan des forces 1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'équilibre, il vient :

(27)

La loi de Hooke donne . On obtient :

En appliquant à présent le principe fondamental de la dynamique à quelconque, il vient :

, où est l'accélération de la masse dans le repère mobile attaché au support et l'accélération de ce dernier due à la secousse.

Avec et :

Et :

Après projection sur l'axe vertical , on obtient :

Or, (voir plus haut)

D'où :

En divisant par , on obtient :

avec et ,

où est la pulsation propre de la masse et est le taux d'amortissement.

2. Dans le cas d'un mouvement oscillatoire forcé d'une masse, sa position en fonction du temps est donnée par la somme de deux termes :

- Un premier terme correspondant à la réponse transitoire consécutive à la mise en marche du forçage, généralement équivalent à un mouvement amorti.

- Un second terme équivalent à un oscillateur harmonique de pulsation égale à celle du forçage .

Aux temps longs, le premier terme peut être négligé devant le second. L'oscillateur est alors dans un régime permanent sinusoïdal équivalent à un oscillateur harmonique dont la loi horaire d'évolution de la position s'écrit :

3. En notation complexe, cette loi s'écrit : , avec

Après dérivation par rapport au temps et en remplaçant dans l'équation du mouvement de la masse déterminée à la question 1, on a :

D'où :

(28)

4. Avec (on néglige les frottements), on obtient :

Lorsque la pulsation propre du ressort est très petite devant celle de la secousse,

soit : .

Dans ce cas, la réponse du dispositif a environ la même amplitude que l'onde sismique responsable du forçage. On mesure alors directement l'amplitude de la secousse.

Énoncé

L'alimentation en électricité des locomotives est assurée par un système appelé pantographe. Ce dispositif, solidaire de la locomotive, assure le captage du courant électrique en maintenant un contact électrique constant entre le fil d'alimentation et la locomotive. Les fils d'alimentation sont suspendus à des poteaux (régulièrement espacés le long de la voie) par l'intermédiaire de caténaires. Même si l'onde transverse générée par le pantographe le long du câble se déplace généralement plus

rapidement que le train, elle peut être partiellement réfléchie au niveau des points de suspension, revenir vers le train et ainsi déconnecter le câble électrique du pantographe. Les caténaires sont donc des éléments essentiels à la bonne circulation des trains.

Schéma équivalent du dispositif

Dans ce modèle simple, le système de suspension du câble électrique est assimilé à un anneau connecté, par l'intermédiaire d'un ressort, à un piston coulissant dans un cylindre (voir ci-dessus).

La masse de l'anneau est négligeable. Celui-ci est attaché au piston de masse par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur (l'amplitude de déplacement du piston est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée).

Le piston coulisse selon la direction verticale dans un cylindre exerçant une force de frottement de type fluide de norme proportionnelle au vecteur vitesse et de sens opposé à celui-ci ( , est le coefficient de frottement).

(29)

Sous l'action du câble, l'anneau est soumis à un mouvement sinusoïdal selon la direction verticale (c'est-à-dire la direction de vecteur unitaire ) de sorte que (voir figure ci-dessous). représente la pulsation du forçage

sinusoïdal et est l'amplitude du mouvement de l'anneau. On notera l'accélération de la pesanteur.

1. En prenant le point comme origine du repère (voir figure ci-dessus), établir l'équation différentielle vectorielle gouvernant l'évolution de la position du piston .

Montrer que l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position du piston s'écrit

: .

On exprimera les paramètres , et en fonction de , , et . 2. On suppose désormais que le régime permanent sinusoïdal est établi de sorte que

: .

On rappelle que la représentation complexe de s'écrit avec . Déterminer

l'expression de l'amplitude complexe du mouvement du piston.

3. On se place dans le cas où la pulsation du forçage est identique à la pulsation propre du système oscillant : . On définit l'impédance complexe de l'oscillateur comme le rapport entre et la représentation complexe de la

vitesse : .

Déterminer l'expression analytique de en fonction de et de .

L'impédance complexe est-elle réelle ou imaginaire pure? Que cela signifie t-il?

(30)

Schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen 1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'équilibre, il vient :

La loi de Hooke donne .

On obtient :

En appliquant à présent le principe fondamental de la dynamique à quelconque, il vient : .

Avec et :

Or (voir plus haut) et ,

d'où :

Avec , et après projection sur l'axe vertical , on obtient : En divisant par , on a finalement :

avec , et ,

où est la pulsation propre du piston et est le taux d'amortissement.

2. En régime permanent, on a en notation réelle : .

Cette solution s'écrit en notation complexe : avec . De la même façon, le forçage

s'écrit en notation complexe : .

En remplaçant dans l'équation du mouvement du piston obtenue à la question 1, on a :

(31)

D'où :

En complément, partant de cette expression, on peut déterminer l'amplitude du mouvement et le

déphasage .

3. Il faut dans un premier temps déterminer .

Avec , l'amplitude complexe obtenue à la question 2 se simplifie de la façon suivante :

Alors :

En dérivant par rapport au temps : D'où, étant le module de :

Finalement :

est réelle pure. La partie imaginaire traduisant le déphasage entre la vitesse du piston et le forçage, le fait que l'impédance soit réelle pure signifie qu'il n'y a pas de déphasage entre la vitesse du piston et le forçage.

Énoncé

Pour étudier les modes de vibrations longitudinales d'une molécule diatomique , on assimile la liaison entre les deux atomes à un ressort de raideur . On désignera par et les masses respectives des atomes et . On notera par et les déplacements respectifs des atomes et par rapport à leur position d'équilibre.

On admet que la molécule n'est pas animée d'un mouvement de translation et que le poids des atomes est négligeable devant la tension du ressort. La masse du ressort simulant la liaison est négligeable et on suppose que l'amplitude de déplacement des deux atomes est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. Finalement, tous les frottements sont considérés comme négligeables.

(32)

Schéma du système avec bilan des forces dans un référentiel galiléen

1. Etablir le système d'équations différentielles gouvernant l'évolution de la position des deux atomes dans le temps.

2. En vous appuyant sur la forme vectorielle du système d'équations différentielles obtenu à la question

1 : , déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice . 3. Déduire du résultat de la question 2 la solution générale du système d'équations du mouvement.

Préciser le ou les mode(s) propre(s) de vibration du système d'oscillateurs et donner la ou les pulsation(s) propre(s) de vibration du système.

4. Donner la signification physique du ou des mode(s) propre(s) de la molécule en indiquant sur un schéma l'état de vibration correspondant.

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à quelconque, il vient :

- Pour : .

La loi de Hooke donne :

Afin d'obtenir l'équation du mouvement dans les repères d'origine et , il faut exprimer et en fonction

de et/ou :

Avec et :

- Pour : .

, et après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

(33)

2. En divisant par et les équations obtenues à la question 1, on obtient :

Sous forme vectorielle, ce système s'écrit , avec :

et

On cherche alors une solution réelle de la forme

En dérivant deux fois cette solution par rapport au temps et en remplaçant dans l'équation vectorielle, il vient :

En posant , on a alors un problème aux valeurs propres avec valeur propre de et vecteur propre de .

Pour déterminer les valeurs propres, il faut résoudre : .

D'où :

On pose (

est alors la masse réduite du système) :

On a alors une équation du second degré avec deux solutions possibles : . Ce sont les valeurs propres de .

Pour déterminer les vecteurs propres, il faut résoudre : et .

Ici : (

, et étant forcément non nulles).

(34)

On choisit en général l'unité pour la valeur de , soit : De la même façon :

Soit : On a alors :

- le vecteur propre associé à la valeur propre

3. La solution générale du système d'équations est de la forme . Avec , il s'agit d'une combinaison linéaire des solutions aux valeurs propres telle que :

où , , et sont des constantes.

Ici : avec

et

D'où : où et sont les constantes d'intégration.

Le mouvement peut être décomposé en une superposition (somme) de mouvements harmoniques appelés modes propres (ou modes normaux) de vibration.

On reconnaît ici la solution d'un oscillateur harmonique du type . Dans le cas présent, il n'y a qu'une seule solution de cette forme dans et .

Le seul mode propre du système est alors :

avec sa pulsation propre.

N.B. : ce résultat est cohérent avec le fait que le système ne possède qu'une valeur propre non nulle . La molécule n'étant pas animée d'un mouvement de translation le long de l'axe , on aura : . 4. On peut écrire les équations de déplacement des atomes de la façon suivante :

(35)

Alors, lorsque est excité, les deux atomes se déplacent avec une amplitude pondérée par le rapport de leur masse et en opposition de phase.

Représentation schématique de l'état de vibration du mode normal

Énoncé

On considère deux blocs de masses respectives et liés l'un à l'autre par un ressort de constante de raideur . Le bloc de masse est lié à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur .

La masse des deux ressorts est négligeable et on suppose que l'amplitude de déplacement des deux blocs est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. Finalement, tous les frottements sont considérés comme négligeables.

1. Etablir le système d'équations différentielles gouvernant l'évolution de la position des deux blocs dans le temps.

2. On considère désormais que les blocs sont de masse identique de sorte que . Par ailleurs, on posera et . On considère également que la constante de raideur est bien supérieure à de sorte que .

(36)

2.a) Ecrire le système de deux équations différentielles obtenu à la question 1 sous la forme vectorielle :

. Dans la matrice , on considérera que . Ceci étant admis, déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .

2.b) Montrer que la solution générale du système d'équations du mouvement s'écrit sous une forme simple.

2.c) Préciser le ou les mode(s) propre(s) de vibration du système d'oscillateurs et donner la ou les pulsation(s) propre(s) de vibration du système.

3. A l'instant , le bloc de masse est écarté d'une distance de sa position d'équilibre tandis que le bloc de masse en est écarté d'une distance . Les deux blocs sont lâchés en même temps sans vitesse initiale.

Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux blocs. Préciser la nature du ou des mode(s) propre(s) de vibration excité(s) par ces conditions initiales.

- Pour : .

Afin d'obtenir l'équation du mouvement dans les repères d'origine et , il faut exprimer , et en fonction

de et/ou :

Avec et :

- Pour : .

(37)

- Pour : .

2. 2.a) On a : , , et .

En divisant par les équations obtenues à la question 1, on obtient :

avec Sous forme vectorielle, ce système s'écrit :

, avec : et

Finalement, avec :

D'où :

Ici :

(38)

Soit : On a alors :

2.b) La solution générale du système d'équations est de la forme . Avec , il s'agit d'une combinaison linéaire des solutions aux valeurs propres telle que :

Ici :

D'où : où et sont les constantes d'intégration.

2.c) Le mouvement peut être décomposé en une superposition (somme) de mouvements harmoniques appelés modes propres (ou modes normaux) de vibration.

On reconnaît ici la solution d'un oscillateur harmonique du type . Dans le cas présent, il n'y a qu'une seule solution de cette forme dans et .

Le seul mode propre du système est alors :

N.B. : ce résultat est cohérent avec le fait que le système ne possède qu'une valeur propre non nulle . 3. On peut déterminer les constantes d'intégration et à partir des conditions initiales :

et

, et étant forcément non nulles, les équations et donnent .

Avec , les équations et donnent :

.

Finalement :

Lorsque est excité par ces conditions initiales, les deux masses se déplacent avec la même amplitude en opposition de phase.

Énoncé

On considère deux blocs de masses respectives et liés l'un à l'autre par un ressort de constante de raideur . Le bloc de masse est lié à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur et, à l'autre extrémité du système, le bloc de masse est lié à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur .

(39)

La masse des ressorts est négligeable et on suppose que l'amplitude de déplacement des deux blocs est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. Finalement, tous les frottements sont considérés comme négligeables.

1. Etablir le système d'équations différentielles gouvernant l'évolution de la position des deux blocs dans le temps.

2. On considère désormais que les blocs sont de masse identique de sorte que et que les ressorts ont

la même constante de raideur .

2.a) Ecrire le système de deux équations différentielles obtenu à la question 1 sous la forme vectorielle : et déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .

2.b) Montrer que la solution générale du système d'équations du mouvement s'écrit sous une forme simple.

2.c) Préciser le ou les mode(s) propre(s) de vibration du système d'oscillateurs et donner la ou les pulsation(s) propre(s) de vibration du système.

3. A l'instant :

3.a) Le bloc de masse est écarté d'une distance de sa position d'équilibre tandis que le bloc de masse en est écarté d'une distance . Les deux blocs sont lâchés en même temps sans vitesse initiale.

Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux blocs. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.

3.b) Les blocs de masse et sont écartés de leur position d'équilibre d'une distance . Les deux blocs sont lâchés en même temps sans vitesse initiale.

Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux blocs. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.

(40)

- Pour : .

Afin d'obtenir l'équation du mouvement dans les repères d'origine et , il faut exprimer , , et en

fonction de et/ou :

Avec et :

- Pour :

. - Pour :

.

2. a) On a : et .

En divisant par les équations obtenues à la question 1, on obtient :

(41)

Sous forme vectorielle, ce système s'écrit : , avec :

et

D'où :

Ici :

(42)

Soit : On a alors :

b) La solution générale du système d'équations est de la forme . Avec , il s'agit d'une combinaison linéaire des solutions aux valeurs propres telle que :

Ici :

D'où : ,

où , , et sont les constantes d'intégration.

c) Le mouvement peut être décomposé en une superposition (somme) de mouvements harmoniques appelés modes propres (ou modes normaux) de vibration.

On reconnaît ici des solutions d'un oscillateur harmonique du type . Les modes propres du système sont alors :

On peut donc écrire les équations du mouvement obtenues à la question 2.b de la façon suivante :

3. a) Avec les conditions initiales énoncées, on a :

(43)

et

Alors : , soit

Et : , soit

Ce qui donne :

Ici, seul le mode est excité par ces conditions initiales puisque . Dans ce cas, les deux masses se déplacent avec la même amplitude et en opposition de phase. Le ressort central exerce une force de rappel sur les deux masses.

b) Avec les conditions initiales énoncées, on a :

et

Alors : , soit

Et : , soit

Ce qui donne :

Ici, seul le mode est excité par ces conditions initiales puisque . Dans ce cas, les deux masses se déplacent avec la même amplitude et en phase. Il n'y a pas d'effet du couplage dû au ressort central.

Énoncé

Pour étudier les modes de vibrations longitudinales d'une molécule triatomique , on assimile les liaisons entre les atomes à des ressorts de raideur . On désignera par , et les masses respectives des atomes , et . On notera par , et les déplacements respectifs des atomes , et par rapport à leur position d'équilibre.

On admet que la molécule n'est pas animée d'un mouvement de translation et que le poids des atomes est négligeable devant la tension du ressort. La masse du ressort simulant la liaison est négligeable et on suppose que l'amplitude de déplacement des deux atomes est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. Finalement, tous les frottements sont considérés comme négligeables.

(44)

Schéma du système

1. Etablir le système d'équations différentielles gouvernant l'évolution de la position des trois atomes dans le temps.

2. On considère désormais que les atomes et sont de masse identique de sorte que et . Les ressorts ont la même constante de raideur .

2.a) On introduit les nouvelles fonctions et mesurant l'écart entre les

positions des atomes et et la position de l'atome .

Donner les équations différentielles portant sur les fonctions et .

Pour simplifier, on introduira les deux paramètres et .

2.b) Ecrire le système de deux équations différentielles obtenu à la question 1 sous la forme vectorielle : et déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .

2.c) Montrer que la solution générale du système d'équations du mouvement s'écrit sous une forme simple.

2.d) Préciser le ou les mode(s) propre(s) de vibration du système d'oscillateurs et donner la ou les pulsation(s) propre(s) de vibration du système.

3. A l'instant :

3.a) L'atome est écarté d'une distance de sa position d'équilibre tandis que l'atome en est écarté d'une distance . Les deux atomes sont lâchés en même temps sans vitesse initiale. Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux atomes. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.

3.b) Les atomes et sont écartés de leur position d'équilibre d'une distance . Les deux atomes sont lâchés en même temps sans vitesse initiale. Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux atomes.

Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.

(45)

Schéma du système avec bilan des forces dans un référentiel galiléen

- Pour : .

Afin d'obtenir l'équation du mouvement dans les repères d'origine , et , il faut exprimer , , et en

fonction de et/ou et/ou :

Avec , et :

- Pour :

. - Pour :

.

, et ; après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

(46)

2.a) On a : , ,

et

d'où :

En soustrayant par et par , on obtient :

D'où : avec et

2.b) Sous forme vectorielle, ce système s'écrit : , avec :

et

D'où :

On a alors deux solutions possibles : . Ce sont les valeurs propres de . Pour déterminer les vecteurs propres, il faut résoudre : et .

Ici :

(47)

Soit : On a alors :

2.c) La solution générale du système d'équations est de la forme . Avec , il s'agit d'une combinaison linéaire des solutions aux valeurs propres telle que :

Ici :

D'où : ,

où , , et sont les constantes d'intégration.

2.d) Le mouvement peut être décomposé en une superposition (somme) de mouvements harmoniques appelés modes propres (ou modes normaux) de vibration.

On reconnaît ici des solutions d'un oscillateur harmonique du type . Les modes propres du système sont alors :

On peut donc écrire les équations du mouvement obtenues à la question 2.c de la façon suivante :

3.a) Avec les conditions initiales énoncées, on a :

et

Alors : , soit

Et : , soit

Ce qui donne :

(48)

Finalement :

Ici, seul le mode est excité par ces conditions initiales puisque . Dans ce cas, les deux atomes se déplacent par rapport à l'atome avec la même amplitude et en opposition de phase.

Représentation schématique de l'état de vibration du mode normal q_2 (t) 3.b) Avec les conditions initiales énoncées, on a :

et

Alors : , soit

Et : , soit

Ce qui donne :

Finalement :

Ici, seul le mode est excité par ces conditions initiales puisque . Dans ce cas, les deux atomes se déplacent par rapport à l'atome avec la même amplitude et en phase.

(49)

Représentation schématique de l'état de vibration du mode normal q_1 (t)