Modélisation des déséquilibres mécaniques pour les écoulements diphasiques : approches par relaxation et par modèle réduit

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écoulements diphasiques : approches par relaxation et

par modèle réduit

Mathieu Labois

To cite this version:

Mathieu Labois. Modélisation des déséquilibres mécaniques pour les écoulements diphasiques :

approches par relaxation et par modèle réduit. Modélisation et simulation. Université de Provence

-Aix-Marseille I, 2008. Français. �tel-00338818�

´

Ecole Doctorale Physique, Mod´

elisation et Sciences pour l’Ing´

enieur

Mod´

elisation des d´

es´

equilibres

m´

ecaniques dans les ´

ecoulements

diphasiques : Approches par relaxation

et par mod`

ele r´

eduit

TH`

ESE

pr´esent´ee et soutenue publiquement le 31 octobre 2008

pour obtenir le grade de

DOCTEUR EN SCIENCES

DE L’UNIVERSITE DE PROVENCE

Sp´

ecialit´

e M´

ecanique Energ´

etique

par

Mathieu LABOIS

Composition du jury

Directeur :

Herv´e Guillard

Rapporteurs :

Christophe Berthon

Bruno Despr´es

Examinateurs :

Marc Grandotto

Jean-Marc H´erard

Richard Saurel

Remer iements

Cette thèse a été nan ée par le CEA dans le adre du projet NEPTUNE, qui est un projet de o-développement entrele CEA, EDF,l'IRSNetAREVA-NP.

Je tiens tout d'abord à remer ier mon dire teur de thèse Hervé Guillard pour m'avoir permis de faire ette thèseetpour soninvestissement tout aulongde elle- i, son÷il ritiqueetsessuggestions m'ont souvent permisde faireavan er e travail.

Jesouhaiteégalementremer ierMar Grandottopourm'avoirpermisdetrouver ettethèse,pour son a ueil au CEA Cadara he, pour les dis ussions sur la ompréhension physique des é oulements diphasiques etpour ses al ulsave leslogi iels NEPTUNE CFDetGENEPI.

Un grandmer i à Thibaud Klo zko etDavid Rey pour leur aide lors de l'implémentation de mes modèlesdansle logi ielNUM3SIS,etpour lavieau quotidien et leurhumour ravageur.

Je remer ie également Christophe Berthon etBruno Desprésd'avoir a epté lerle de rapporteur de e travail dethèse,ainsi quepour leurs rele turesminutieuses etleurs onseils avisés.

Mer i également aux équipes SMASH et OPALE de l'INRIA Sophia-Antipolis et aux membres du servi e SSTH du CEA Cadara he pour leurs aides te hniques et/ou logistiques et pour les adres agréables dans lesquels elles m'ont permis de travailler. Je iterai dans le désordre M. Argente, Y. Mesri, R. Duvigneau, B. Chaigne, L. Blan hard, J.-A. Désidéri du té de Sophia-Antipolis, et M. Belliard, S. Pas al, G. Willermoz, D. Soussan, Y. Blan het, S. Malleval et E. Rodriguez du té de Cadara he.

Je souhaite également remer ier R.Saurel, J.-M. Hérard, O. Le Métayer, A. Murrone, P. Helluy, F. DuvaletN.Seguinpour lesdiversesdis ussionsquenousavonseuesetquim'ontaidétoutaulong de lathèse.

Je souhaite enn remer ier pour diverses raisons tout au long de es trois ans Mathieu, Céline, Wassim, Yanni k et toute la famiglia : Gégé et Martine, Céline et Matthieu et Faustine (pour l'un de ses premiers voyages), Sophie et Ludo, Lili et Baptiste. Je suis désolé pour vous, mais il faudra maintenant trouverune autredestination pour les va an es.

Nomen lature 1

Introdu tion Générale 5

Chapitre 1 Modélisation des é oulements diphasiques 9

1.1 É riture d'unmodèlediphasique à deuxvitesses et deuxpressions. . . 9

1.1.1 Équations monophasiques . . . 9

1.1.2 Extension deséquations monophasiques audomaine étudié . . . 10

1.1.3 Équations surles grandeurs moyennes . . . 11

1.1.4 Équation surlafra tionvolumique . . . 16

1.2 Fermeture entropique dumodèle . . . 17

1.2.1 Équations d'état . . . 17

1.2.2 É riture del'équation de produ tiond'entropie . . . 18

1.2.3 Fermeture entropique dumodèle diphasique . . . 21

1.3 Détermination des tempsde relaxation . . . 24

1.3.1 Relaxationdespressions . . . 24

1.3.2 Relaxationdesvitesses . . . 25

1.3.3 Relaxationdestempératures . . . 26

1.3.4 Relaxationdespotentiels himiques. . . 26

1.3.5 Ordres degrandeur . . . 26

Chapitre 2 Une hiérar hie de modèles pour les é oulements diphasiques 29 2.1 Développementsde Chapman-Enskog . . . 30

2.1.1 Modèleréduit à l'ordre0. . . 32

2.1.2 Modèleréduit à l'ordre1. . . 32

2.2 Modèleà deuxvitesses etune pression . . . 34

2.2.1 Modèleà l'ordre0 . . . 36

2.2.2 Équivalen e ave lemodèlebi-uide . . . 40

2.2.3 Modèleà l'ordre1 . . . 41

2.2.4 Équations d'état . . . 44

2.3.1 Modèle réduit àl'ordre 0. . . 45

2.3.2 Modèle réduit àl'ordre 1. . . 49

2.3.3 Équationsd'état . . . 51

2.4 Modèle deNavier-Stokesmulti- omposantes . . . 52

2.4.1 Modèle réduit àl'ordre 0. . . 52

2.4.2 Modèle réduit àl'ordre 1. . . 60

2.4.3 Équationsd'état . . . 63

2.5 Modèle àl'équilibre homogène. . . 66

2.5.1 Modèle réduit àl'ordre 0. . . 66

2.5.2 Modèle réduit àl'ordre 1. . . 72

2.5.3 Équationsd'état . . . 76

2.6 Con lusion. . . 77

Chapitre 3 Méthodes de relaxation pour la modélisation des déséquilibres mé a-niques 79 3.1 Introdu tion . . . 79

3.2 Propriétés mathématiquesdu modèleà septéquations . . . 80

3.2.1 Hyperboli ité . . . 80

3.2.2 Stru turesdes ondes . . . 82

3.3 Approximationnumérique dusystèmehyperbolique . . . 86

3.3.1 Solveur deRiemann appro hé . . . 86

3.3.2 Résolutionnumérique . . . 88

3.4 Méthodesde relaxationdespressionsetdesvitesses. . . 90

3.4.1 Méthode àpasfra tionnaires . . . 90

3.4.2 Relaxationdesvitesses . . . 91

3.4.3 Relaxationdespressions . . . 93

3.5 Résultatsnumériquesetvalidation . . . 96

3.5.1 Problèmed'interfa e . . . 96

3.5.2 Problèmes multiuides . . . 98

3.6 Con lusion. . . 105

Chapitre 4 Modèles réduits pour la modélisation des déséquilibres mé aniques 107 4.1 Introdu tion . . . 107

4.2 Propriétés mathématiquesdu modèle . . . 108

4.2.1 Hyperboli ité . . . 109

4.2.2 Stru turedesondes . . . 110

4.2.3 Invariants deRiemann . . . 112

4.3.1 Méthode àpasfra tionnaires . . . 114

4.3.2 Pas onve tif . . . 115

4.3.3 Pasdissipatif . . . 119

4.4 Résultats numériques etvalidation . . . 123

4.4.1 Adve tion d'interfa e . . . 123

4.4.2 Problèmes multiuides . . . 125

4.5 Con lusion. . . 135

Chapitre 5 Étude de la propagation d'ondesde ho 137 5.1 Introdu tion . . . 137

5.2 Relations de sautspour lemodèle à inq équations nondissipatif . . . 138

5.2.1 Relations de Rankine-Hugoniot . . . 138

5.2.2 Fermeture desrelations de saut . . . 138

5.3 Ondes progressivespour lemodèle (4.1) . . . 139

5.3.1 Relations de sautpourle modèledissipatif à inq équations . . . 139

5.3.2 Stru turedu ho . . . 141

5.4 Validation desmodèles . . . 144

5.4.1 Mélange époxy-spinel. . . 144

5.4.2 Mélange uranium-molybdène . . . 146

5.4.3 Mélange époxy-enstatite . . . 147

5.4.4 Mélange époxy-péri lase . . . 149

5.5 Con lusion. . . 150

Chapitre 6 É oulements diphasiques multidimensionnels 151 6.1 S hémas numériques . . . 151

6.1.1 Modèleà deuxvitesses etdeuxpressions . . . 151

6.1.2 Modèledissipatifà une vitesseetune pression. . . 153

6.1.3 Relaxationdestempératures . . . 157

6.2 Résultats numériques . . . 158

6.2.1 Intera tion ho -bulle . . . 158

6.2.2 Chute d'unegoutte . . . 162

6.2.3 É oulement dansuntuyau ave une ontra tion etune expansion . . . 165

6.3 Con lusion. . . 170

Con lusion et perspe tives 171

Annexe A Pression interfa iale

pourun modèle à une pression développé à l'ordre 1 179

Annexe B Expressions de la pression selon la dis rétisation 181 B.1 Formeoriginale del'équation surlafra tionvolumique . . . 182 B.2 Forme modiéede l'équationsurla fra tionvolumique . . . 183

3.1 Adve tion d'uneinterfa e entre uidespurs. Résultats après

200 µ

s ,sur unmaillagede

1001 n÷uds . . . 97

3.2 Tube à ho multiuide. Résultatsaprès

200 µ

s, surunmaillagede 1201 n÷uds . . . . 99

3.3 Prin ipe duproblème d'Hugoniot.. . . 100

3.4 Problème d'Hugoniotpour unmélangeépoxy-spinel. . . 101

3.5 Problème d'Hugoniotpour unmélangeépoxy-enstatite. . . 102

3.6 Problème d'Hugoniotpour unmélangeépoxy-péri lase. . . 103

3.7 Problème d'Hugoniotpour unmélangeuranium-molybdène. . . 104

4.1 Adve tiond'interfa e:variablesdemélange.Modèleà inqéquations(gau he)etàsept équations (droite). . . 124

4.2 Comparaison entre lesmodèlesà inq équations(gau he) etlemodèleà septéquations (droite) :premiertube à ho eau-air.Masse volumique, vitesseetpression. . . 126

4.3 Comparaison entre lesmodèlesà inq équations(gau he) et lemodèleà septéquations (droite) :premiertube à ho eau-air.Fra tion volumique etfra tionmassique. . . 127

4.4 Comparaison entre lesmodèlesà inq équations(gau he) etlemodèleà septéquations (droite) :deuxième tube à ho eau-air.Masse volumique, vitesseetpression. . . 129

4.5 Comparaison entre lesmodèlesà inq équations(gau he) etlemodèleà septéquations (droite) :deuxième tube à ho eau-air.Fra tionvolumique et fra tionmassique. . . . 130

4.6 Évolutiondu prolde lafra tionvolumique de l'air. Modèle dissipatifà inq équations (gau he) etmodèleà septéquations (droite). . . 130

4.7 Déroulement du as-test deRansom. . . 131

4.8 Cas-testdeRansom:évolutiondelafra tionvolumiquepour lemodèledissipatifà inq équations (gau he)etle modèleà septéquations (droite). . . 132

4.9 Sédimentation : évolution de la fra tion volumique pour le modèle dissipatif à inq équations, ave une loi d'état detype gaz raide pour l'eau. . . 133

4.10 Sédimentation : évolution de la fra tion volumique pour le modèle dissipatif à inq équations (gau he) et pour le modèle à sept équations (droite), ave une loi d'état de type gaz parfait pour l'eau. . . 133

4.11 Montéed'unmélangeeau-vapeurdansun tubeverti al:Conditions auxbords . . . . 134

4.12 Montéed'unmélangeeau-vapeurdansuntubeverti al: omparaisonentrelesrésultats du modèleà inq équationsdissipatif et euxde GENEPI [37℄. . . 135

5.1 Résolutionnumériquedeséquations(5.12)ave Maple[86 ℄etave uns hémanumérique de typevolumesnis. . . 142

5.2 Problème d'Hugoniot pour un mélange époxy-spinel : Comparaison entre le modèle dissipatifà inq équations etlesfermeturesdes relations deRankine-Hugoniot. . . 145

5.3 Problèmed'Hugoniotpourun mélangeuranium-molybdène :Comparaisonentrele mo-dèle dissipatifà inq équations etles fermeturesdesrelations de Rankine-Hugoniot. . . 146

5.4 Problème d'Hugoniot pour un mélange époxy-enstatite :Comparaison entre le modèle dissipatifà inq équations etlafermeture desrelations de Rankine-Hugoniot [80 ℄. . . . 148 5.5 Problème d'Hugoniot pour un mélange époxy-péri lase : Comparaison entre le modèle

dissipatifà inq équations etlafermeture desrelations de Rankine-Hugoniot [80 ℄. . . . 149

6.1 Celluledumaillage

C

i

onstruite autourdu n÷ud

i

. . . 152 6.2 Intera tion ho -bulle :s hémade lagéométrie initiale. . . 158 6.3 Intera tion ho -bulle : Isovaleurs de la fra tion volumique

α

R22

= 0.5

et pressions

auxtemps

2.5 10

−4

s,

5.0 10

−4

s et

1.0 10

−3

s.Résultats dumodèle à inq équations non dissipatif. . . 159 6.4 Intera tion ho -bulle : Comparaison entre le modèle non dissipatif à inq équations

sans relaxation des températures (haut) et ave relaxation (bas). Vitesse de mélange, pressionetfra tionvolumique du gaz R22. . . 159 6.5 Intera tion ho -bulle:Comparaison despressionspour lemodèleà inqéquations non

dissipatif(gau he)etle modèleà septéquations ave relaxations instantanées (droite). 160 6.6 Intera tion ho -bulle:Comparaisondesfra tionsvolumiquesdugazR22pourlemodèle

à inq équations non dissipatif (gau he) etle modèle à septéquations ave relaxations instantanées (droite). . . 160 6.7 Intera tion ho -bulle:Comparaisondespressionspourlemodèledissipatifà inq

équa-tions(gau he)etlemodèle àsept équations ave relaxations à temps nis(droite). . . 161 6.8 Intera tion ho -bulle : Comparaison des fra tions volumiques du gaz R22 le modèle

dissipatif à inq équations (gau he) et le modèle à sept équations ave relaxations à temps nis(droite). . . 161 6.9 Chuted'unegoutte :s hémade lagéométrie initiale. . . 162 6.10 Chute d'une goutte :résultats après 0.8 s. Résultats sur la fra tion volumique du gaz

delagoutte.Modèle à inq équations (gau he)età septéquations (droite).

ε

u

= 0

. . 163 6.11 Chuted'unegoutte:résultatsaprès0.8s.Fra tionvolumiquedugazdelagoutte.Coupe

dansl'axeverti al. . . 163 6.12 Chuted'unegoutte:résultatsaprès0.8s.Résultatssurlafra tionvolumique dugazde

lagoutte.Modèledissipatifà inqéquations(gau he)etàseptéquationsave relaxations àtemps nis (droite).

εu

= 10

−2

s. . . 164 6.13 É oulementdansuntuyauave hangementssoudainsdelase tion:géométrieet

ondi-tionsaux bords. . . 165 6.14 É oulement dansun tuyau ave des expansions et ontra tions :résultats obtenus ave

lemodèleà inq équations nondissipatif. . . 166 6.15 É oulement dansun tuyau ave des expansions et ontra tions :résultats obtenus ave

lemodèleà inq équations dissipatif. . . 167 6.16 É oulement dansun tuyau ave des expansions et ontra tions :résultats obtenus ave

lemodèleà septéquations. . . 168 6.17 É oulement dansun tuyau ave des expansions et ontra tions :résultats obtenus ave

Grandeurs ara téristiques des é oulements diphasiques

k

indi e désignant laphase

k

k

′

indi e désignant laphase

k

′

_{= 3}

_{− k}

I indi e désignant l'interfa e entre deuxphases

X

k

fon tion ara téristique de laphase

k

n

_k

ve teurnormal àl'interfa e etextérieurà laphase

k

σ

ve teurvitesse del'interfa e

α

fra tionvolumique

Y

fra tionmassique

ρ

massevolumique en kg.m

−3

u

ve teurvitesse enm.s

−1

p

pressionen Pa

i

énergiespé iqueinterne enJ.kg

−1

e

énergiespé iquetotaleen J.kg

−1

;

e = i +

u

2

2

h

enthalpie spé iqueinterneen J.kg

−1

;

h = i +

p

ρ

s

entropie spé ique enJ.kg

−1

K

−1

T

température en K

g

potentiel himique en enJ.kg

−1

;

g = h

− sT

ν

volume spé iqueen m

3

_.

kg

−1

C

v

haleur spé iqueà volume onstanten J.K

−1

C

p

haleur spé iqueà pression onstante en J.K

−1

γ

rapportdes haleursspé iques

C

p

C

v

p

∞

pressionde référen ede laloi d'étatde type gaz raideen Pa

i

0

énergieinternede référen ede laloi d'état detype gaz raide enJ.kg

−1

s

0

entropie de référen ede laloi d'état detype gaz raide enJ.kg

−1

K

−1

c

vitessedusonen m.s

−1

c

I

vitessedusonà l'interfa e en m.s

−1

C

modulede ompressibilitéen kg.m

−1

s

−2

;

C = ρc

2

C

I

modulede ompressibilitéà l'interfa e enkg.m

−1

s

−2

;

C = ρc

2

I

¯

τ

tenseur des ontraintes de vis ositéen kg.m

−3

s

−1

q

uxde haleur en W.m

−2

f

v

k

ensemble desfor es volumiques

˙α

terme devariation delafra tion volumique

M

d

for esde frottement à l'interfa e

Q

I

uxde haleur interfa ial

ε

p

temps de relaxationdes pressionsen s

ε

u

temps de relaxationdes vitessesen s

ε

T

temps de relaxationdes températures ens

ε

g

temps de relaxationdes potentiels himiques en s

µ

p

oe ient de relaxationdespressionsen Pa

−1

µ

u

oe ient relaxation desvitessesen kg.m

−3

µ

T

oe ient de relaxationdestempératuresen J.m

−3

K

−1

µ

g

oe ient de relaxationdespotentiels himiques enK.kg

2

_.

J

−1

m

−3

R

rayon d'uneparti ule de laphasedispersée enm

S

V

aire interfa iale par unité devolume en m

−1

C

D

oe ient de traînée

Re

nombre deReynolds

u

_r

vitesse relativeentre lesphases en m.s

−1

a

_r

omposante horséquilibre de lavitesserelative enm.s

−2

u

_s

vitesse d'uneonde de ho en m.s

−1

m

débit massiqueà travers un ho en kg.m

−2

s

−1

Grandeurs géométriques et temporelles

Ω

ensemble ouvertde

IR

n

x

point appartenant audomaine

Ω

∂Ω

bord dudomaine

Ω

t

temps

Opérateurs et tenseurs

∂φ

∂ξ

dérivée partielleen

ξ

de lafon tion s alaire

φ

∂u

∂ξ

dérivée partielleen

ξ

du ve teur

u

∇φ

gradient delafon tion

φ

égalauve teur

∂φ

∂x

i

,

i = 1, ..., N

u.v

produits alaire desve teurs

u

et

v

égal à

X

i

u

i

v

i

u

⊗ v

tenseur d'ordre deuxde oe ients

(u

⊗ v)ij

= uivj

div

u

divergen e du ve teur

u

égale à

X

i

∂u

i

∂xi

div

τ

¯

divergen edu tenseur

τ

¯

égale au ve teur

X

i

∂ ¯

τ

ij

∂x

i

,

i = 1, ..., N

kuk

norme

L

2

du ve teur

u

égaleà

sX

i

u

2

_i

∂u

∂v

Ja obien de oe ients



∂u

∂v



ij

=

∂u

i

∂v

j

Grandeurs liées à la dis rétisation

∆t

pasde temps

∆x

distan eentredeux points dansle asunidimensionnel

C

i

ellule onstruite autourdun÷ud

i

V

i

volume de la ellule

C

i

∂C

i

bord de la ellule

C

i

v(i)

ensembledesn÷uds voisinsdu n÷ud

i

∂C

ij

interfa e entrelesn÷uds

i

et

j

,égale à

∂C

i

∩ ∂Cj

n

_ij

ve teur normalmoyen lié àl'interfa e etégal à

Z

∂C

ij

Dans e travail,nousnous intéressons àl'étude desé oulements diphasiques, deleur modélisation à leur simulation numérique. Les é oulements diphasiques onsistent en deux uides qui ont des pro-priétés thermodynamiques diérentes et peuvent interagir ensemble. Ces phénomènes interviennent dansde très nombreusesappli ations. Enpremier lieu, itonsles générateurs devapeursdes entrales nu léaires,où apparaissent desmélanges eau-vapeur,ainsiqueles é oulementspourles uvesde réa -teurs. Les mélanges diphasiques seren ontrent aussidansdes appli ations très éloignées dudomaine nu léaire, parmi lesquellesl'étude des explosifs ou lamodélisation de brouillard pour l'aéronautique. Denombreusesdi ultésapparaissentdans esétudes,notammentauniveaudelamodélisationde es é oulements etdes phénomènes omplexes qui apparaissent. Lestravaux sur es types d'é oulements utilisent deuxtypesd'appro hespour lamodélisation :les appro hesLagrangiennes, où l'on suit une parti ule, et la modélisation Eulérienne, où l'on étudie un volume uide immobile. Notre travail se porterasur ettedernièreappro he.Pour etypedemodélisation, unpro essusd'homogénéisationest généralement utilisé pour obtenir les équationsdé rivant e système. Maislarésolution analytique de eséquationssemblehorsdeportée,à ausedela omplexité desdiérentstermesobtenus, ommeles termes de turbulen e etd'é hange interfa iaux. Le problème de lafermeture de es équationsse pose également.

Lamodélisationdesé oulementsdiphasiquessefaitgénéralementenémettantl'hypothèsede l'éga-litéentrelespressionsdesdeuxuides.Cetypedemodélisationaététrèslargementétudiéetestutilisé pardenombreux odesindustriels,parmilesquelsNEPTUNECFD[8℄,CATHARE[7 ℄ouRELAP[87℄. Cependant, e modèle soure de sa non-hyperboli ité, e qui pose des problèmes pour la réation de s hémasnumériques: e ipeutintroduiredesproblèmesmalposés,etilexisteunpasminimalpourla dis rétisationspatialelorsquel'onveutsimulernumériquement esé oulements.Uneappro he alterna-tive aétédéveloppée par BaeretNunziato [4 ℄.Elle onsiste à neplussupposer l'égalitédespressions, mais à ajouter une nouvelle équation sur le transport de la fra tion volumique. Ce modèle possède l'avantage d'êtrehyperbolique, etpermetdon d'utiliser dess hémas numériques lassiquesbasés sur la résolution des problèmes de Riemann appro hés. Cependant, il est oûteux en terme de temps de al ul. Cemodèlea néanmoinsfaitl'objetd'unintérêt roissant es dernièresannées [77,32,27 ℄. Une autre manière de ontourner le problème de la non-hyperboli ité des modèles à deux vitesses et une pression onsisteàsupposerl'égalitédesvitessesenplusde elledespressions.Unnouveaumodèleest alors obtenu, qui a été l'objet de nombreusesétudes pour la simulation desexplosifs ou l'intera tion ho -bulle [49 , 78, 67 ℄. Cependant, l'hypothèse d'une vitesse unique le rend inapte à la simulation d'é oulements oùde grands déséquilibresmé aniques apparaissent entreles phases.

LeprojetNeptune estune oopérationentre EDF,AREVA,leCEAetl'IRSN,quiviseà dévelop-perun logi iel de simulationnumérique des é oulements diphasiques intéressant l'industrie nu léaire. Il utilise a tuellement un modèle à deux vitesses et une pression, dont les faiblesses numériques sont palliées pardiérentesméthodes, ommel'ajoutdetermesdemasseajoutée.Desa tionsdere her hes sont néanmoins ee tuées an de réé hir à de nouveaux modèles pour l'avenir. Cette thèse s'ins rit dans e adre,etnous her heronsàdévelopperdesmodèlesayantdebonnespropriétésmathématiques

etthermodynamiques.L'a ent sera mis surl'hyperboli ité desmodèles développésainsi quesurleur respe tduprin iped'entropie.Ledéveloppement desméthodesnumériquespermettantde simuler es é oulements sera un autre obje tif, ainsique l'implémentation et la validation de es méthodes pour dessimulationsmultidimensionnelles surdesma hinesparallèles.

Notre travaildethèse s'estorganiséselon troisaxes :unehiérar hisation desmodèlesutilisés pour la simulation des é oulements diphasiques, la re her he de modèles et méthodes numériques pour la simulationd'é oulements ara térisés pardesdéséquilibresmé aniquesentrelesphasesetunéquilibre despressions, que l'on peutnotamment ren ontrer dansles générateurs de vapeurs, et l'implémenta-tion de es méthodes dans un logi iel massivement parallèle pour la simulation multidimensionnelle desé oulements diphasiques.

Danslapremière partiede ettethèse,on her he à réerune hiérar hiede modèlespourles é ou-lements diphasiques, selon l'utilisation ou non d'hypothèses sur l'égalité des pressions, des vitesses, destempératuresoudespotentiels himiques.Cettehiérar hisationnouspermet derelierlesdiérents modèlestrouvésdanslalittératureentreeux,nonseulementlesmodèles detypesBaer-Nunziatoetles modèles bi-uides à une seule pression, maiségalement les modèles à une vitesse et une pression,les modèles relaxés homogènes (HRM)ou modèles de Navier-Stokesmulti- omposantes, etles modèles à l'équilibrehomogène (HEM).

La deuxième partie s'atta he à la simulation des é oulements ara térisés par un équilibre des pressions et un déséquilibre des vitesses en utilisant des méthodes hyperboliques. Ce i sera fait par l'utilisation de deux appro hes :les appro hes par relaxations, où un modèle à deux vitesses et deux pressionsest utilisé, ave desméthodes de retour à l'équilibre de es grandeurs, et une appro he par modèle réduit, où l'ajout de termes du se ond ordre permet au modèle à une vitesse etune pression de prendreen ompte lesdéséquilibres de vitesses.

Dansladernièrepartie,lasimulationnumériquedediérentsé oulementsdiphasiquesseraétudiée. Tout d'abord, ons'intéressera àlapropagation d'ondesde ho dansdes alliages,puison her heraà simulerdesé oulements multidimensionnels, en utilisantlesdiérentsmodèles hyperboliques dévelop-pésdans e travail.

Le présent mémoire estdé oupé de lamanièresuivante:

Le premier hapitre s'atta he à la présentation de la modélisation des é oulements diphasiques. Nous introduirons ainsi le pro essus d'homogénéisation qui permet d'obtenir les équations utilisées pour la modélisationde e type d'é oulements. Une fermeture de e modèle seraégalement proposée, qui assure le respe t par elui- i du prin ipe d'entropie, 'est-à-dire une produ tion positive de l'en-tropiede mélange.L'obtentiondestemps deretourà l'équilibredesdiérentesgrandeurs physiqueset mé aniques sera enn étudiée, e qui permettra d'obtenir les ordres de grandeurs de es temps pour les as quinousintéressent.

Ledeuxième hapitrede emémoireportesurl'utilisationdesdéveloppementsdeChapman-Enskog pour la réationd'unehiérar hiedemodèlespourlasimulation desé oulementsdiphasiques. Ce i per-met de montrer que l'ensemble des modèles utilisés pour es é oulements sont reliés entre eux, et se diéren ient uniquement par des hypothèses sur les équilibres entre les pressions, les vitesses, les températures etles potentiels himiques. Cesdéveloppements permettent aussid'obtenir desmodèles à l'ordre un, où des termes du se ond ordre apparaissent. Ces termes permettent de représenter des déséquilibresde grandeursmé aniques outhermodynamiques,bienquelemodèlene omportequ'une

dèles, qui sont dérivées en supposant que haque phase se omporte omme un uide monophasique gouvernépar desloisd'état de typegaz raide.

Dansletroisième hapitre,ons'intéresseraàl'utilisation deméthodesderelaxationpour la modé-lisation d'é oulements omportant des déséquilibres de vitesses et despressions. Après avoir présenté une méthode numérique pour la partie hyperbolique du système, nous introduirons desméthodes de retour à l'équilibre desvitesses et de pressions, d'abord de manière instantanée, puis en utilisant des méthodes de relaxation à temps nis. Il a en eet été montré que l'utilisation de méthodes de re-laxation instantanée des pressionspermetde simuler les é oulementsà deux vitesses etune pression, maissoureaussidesfaiblessesde etype demodèles [45 ℄.Nosméthodesseront validéesenreprenant plusieurs as-tests delalittérature eten les omparant ave desdonnées expérimentales.

Lequatrième hapitre porterasurl'étuded'unnouveau modèlepourlasimulationdesé oulements omprenant desdéséquilibresmé aniques. Cemodèlea étéobtenupar l'utilisation dedéveloppements de Chapman-Enskog sur le modèle à une vitesse et deux pressions. Bien que e modèle ne possède qu'une vitesse et une pression, les développements à l'ordre un permettent d'obtenir des termes dis-sipatifs où apparaissent des dérivées du se ond ordre, et qui permettent de prendre en ompte les déséquilibres mé aniques. Une méthodenumérique pour larésolution numérique de e modèle est en-suite développée. Celle- i est basée sur l'utilisation d'un pas fra tionnaire : le système hyperbolique sanstermedissipatifestrésoludansunpremiertemps,puisonse on entresurlarésolutiondestermes du se ond ordre. Diérents as-tests mettent en éviden e la apa ité de ette méthode à simuler des é oulements omplexes, pouvant impliquer des ontre- ourants.

Nousnousintéresserons dansle inquième hapitre àlapropagationd'ondes de ho dansdes mé-langesdiphasiques.Dansle asdesondesprogressives,lemodèledissipatifàunevitesseetunepression seréduitàunsystèmed'équationsdiérentiellesordinaires,quipeutêtrerésolunumériquementdansle asdesgazparfaits. Les hémanumérique detypevolumesnis, développédansle hapitrepré édent, sera utilisé an d'étudier diérentes fermetures des relations de Rankine-Hugoniot proposées dansla littérature [75, 80 ℄, quenousvalidonspar omparaison ave des donnéesexpérimentales.

Le sixième hapitre portera sur la simulation d'é oulements multidimensionnels. L'adaptation de nos s hémas numériques au as multidimensionnel sera présentée dans un premier temps, puis nous étudierons diérents as-testsqui ont étésimulés enutilisant lelogi ielmassivement parallèle de l'IN-RIA, NUM3SIS [50 ℄. Le premier as portera sur l'intera tion entre un ho et une bulle de gaz, et permettradevalidernosméthodespourunnombredeMa himportant.Ledeuxièmeproblème onsis-teraen l'étudede la huted'unegoutte.Bienque esoitun problèmed'interfa e oùl'utilisationd'une méthode de simulationdudéséquilibre desvitesses nesejustie pasàpriori, on utiliserades modèles ne supposant pas l'égalité des vitesses. On verra alors que la prise en ompte de es déséquilibres permet de réduire la diusion de es modèles. Enn, on s'intéressera au as d'un é oulement eau-air dans un tuyau omprenant une ontra tion et une expansion soudaines. Des variations de pressions apparaissent au niveau des hangementsde se tion, etentraînent laséparationdes phases.Ce phéno-mène deséparation ne peutpasêtre retrouvé lorsque lemodèleà inq équations sanstermedissipatif estutilisé,maisapparaîtlorsquenousutilisonslemodèleàseptéquations ave desrelaxationsàtemps nis, ou ave unmodèle utilisant une vitessede dérive [37 ℄.

Modélisation des é oulements diphasiques

Sommaire

1.1 É ritured'un modèlediphasique à deux vitessesetdeux pressions . . . . 9

1.1.1 Équationsmonophasiques . . . 9

1.1.2 Extensiondeséquationsmonophasiquesaudomaineétudié . . . 10

1.1.3 Équationssurlesgrandeursmoyennes . . . 11

1.1.4 Équationsurlafra tionvolumique . . . 16

1.2 Fermetureentropique du modèle . . . 17

1.2.1 Équationsd'état . . . 17

1.2.2 É rituredel'équationdeprodu tiond'entropie . . . 18

1.2.3 Fermetureentropiquedumodèlediphasique . . . 21

1.3 Déterminationdes tempsde relaxation . . . 24

1.3.1 Relaxationdespressions . . . 24

1.3.2 Relaxationdesvitesses. . . 25

1.3.3 Relaxationdestempératures . . . 26

1.3.4 Relaxationdespotentiels himiques . . . 26

1.3.5 Ordresdegrandeur. . . 26

1.1 É riture d'un modèle diphasique à deuxvitesses et deuxpressions

Lesé oulementsen mé aniquedesuides sontmodélisés enutilisant deuxgrandes famillesde mo-délisations.Laméthode Lagrangiennes'atta he àsuivrelepar oursd'uneparti ule quandlaméthode Eulérienne s'intéresse à e qui se passe dans un domaine xe. Nous nous intéressons i i à la modé-lisation Eulérienne, et les équations qui gouvernent l'é oulement sont obtenues suivant un pro édé d'homogénéisation [24 , 46 ℄,qui estrappelé dans e paragraphe.

1.1.1 Équations monophasiques

Ons'intéresse à un é oulement diphasique où le uide étudié est omposé de deux phases notées

k = 1

et

2

. Ces deux omposantes sont onsidérées immis ibles;elles sont séparées par desinterfa es supposées inniment min es, au travers desquelles s'opèrent des transfert de masse, de quantité de mouvement et d'énergie. Cha une d'elles o upe don un sous-domaine

Ω

k

(t)

du domaine uide

Ω

, tels que

Ω

1

(t)

∩ Ω2

(t) =

∅

et

Ω

1

(t)

∪ Ω2

(t) = Ω

.Ainsi,onpeut onsidérerquesur haquesous-domaine

é oulements ompressibles, quis'é rivent

∂ρ

k

∂t

+

div

(ρ

k

u

k

)

= 0

(1.1.1)

∂ρ

k

u

k

∂t

+

div

(ρ

k

u

k

⊗ uk

)

+

∇pk

−

div

τ

k

= ρ

k

f

v

k

(1.1.2)

∂ρ

k

e

k

∂t

+

div

((ρ

k

e

k

+ p

k

) u

k

) +

div



q

k

− τ

k

u

k



= ρ

k

f

v

_k

.u

k

(1.1.3)

où l'on note

ρ

k

lamasse volumique dansle sous-domaine

Ω

k

(t)

,

u

k

leve teur vitessede la phase

k

,

p

k

sa pression et

e

k

= i

k

+

u

2

_k

2

son énergie spé ique totale, ave

i

k

l'énergie spé ique interne.

τ

_k

représente le tenseur des ontraintes visqueuses de la phase

k

,

q

k

son ux de haleur. Enn,

f

v

k

représente les for es volumiquesappliquées sur laphase

k

. Ces équations sont omplétées par une loi d'état omplètepour haquephase.

1.1.2 Extension des équations monophasiques au domaine étudié

Lesvariablesappliquéesàlaphase

k

quenousvenonsd'introduirene sontdénies àprioriquesur lesous-domaine

Ω

k

(t)

o upépar ettephase.Ilfautdon lesétendresurl'ensembledudomaineuide

Ω

;nouslefaisonsensupposantque esvariablessontégalesà0sur

Ω

k

′

(t)

ledomaine omplémentaire de

Ω

k

(t)

.Onsouhaitemaintenant dénirdeséquationsquisoientégalementvalablessurl'ensembledu domaine

Ω

.Multiplionsdon leséquations(1.1)parlafon tion ara téristique

X

k

(t)

dusous-domaine

Ω

k

(t)

,quiest dénie ommesuit

X

k

(x, t) =



1

si

x

∈ Ωk

(t)

0

sinon

(1.2)

Danslesmanipulationsformellesquivont suivre,lesproduitsentrelesgrandeursphasiques

ψ

k

.n

k

δ

doiventêtredénis,où

ψ

k

estunegrandeurgénériquedelaphase

k

,dis ontinuesurl'interfa eentreles phases

∂Ω

k

(t)

,

n

k

leve teurunitésortantetnormalàl'interfa eentrelesphases

∂Ω

k

(t)

,

δ

lafon tion ara téristique de

∂Ω

k

(t)

. Pour ela, on onsidère que

ψ

k

peut être étendue à

Ω

¯

k

(t)

l'adhéren e de

Ω

k

(t)

,etdon sur l'interfa e

∂Ω

k

(t)

,puis oné ritlamodélisation suivante

ψ

k

(x, t) n

k

(x, t) δ (x, t) =



ψ

k

(x, t) n

k

(x, t)

si

x

∈ ∂Ωk

(t)

0

sinon

(1.3)

Sinousintroduisonsunefon tions alaire

φ

,unve teur

u

etuntenseur

τ

,lafon tion ara téristique

X

k

vérie les propriétés suivantes, en onsidérant les dérivées ausens desdistributions

∇ (Xk

φ)

= X

k∇φ − φnk

δ

(1.4.1)

div

(X

k

u)

= X

k

div

u

− u.nk

δ

(1.4.2)

div

X

k

τ

= X

k

div

τ

− τ nk

δ

(1.4.3)

∂

∂t

(X

k

φ)

= X

k

∂φ

∂t

+ φσ.n

k

δ

(1.4.4)

∂

∂t

(X

k

u)

= X

k

∂u

∂t

+ u (σ.n

k

) δ (1.4.5)

ave

σ

lavitessede l'interfa e entre les phases

∂Ω

k

(t)

.

MultiplionsleséquationsdeNavier-Stokesmonophasiques(1.1) parlafon tion ara téristique

X

k

, on obtient les équations suivantes

X

k



∂ρ

k

∂t

+

div

(ρ

k

u

k

)



= 0

(1.5.1)

X

k



∂ρ

k

u

k

∂t

+

div

(ρ

k

u

k

⊗ uk

) +

∇pk

−

div

τ

k



= X

k

ρ

k

f

v

_k

(1.5.2)

X

k



∂ρ

k

e

k

∂t

+

div

((ρ

k

e

k

+ p

k

) u

k

) +

div



q

_k

− τ

_k

u

_k



= X

k

ρ

k

f

v

_k

.u

k

(1.5.3)

Enutilisantlespropriétés(1.4)delafon tion ara téristique

X

k

etenutilisant lanotiondedérivée au sensdesdistributions,leséquations (1.5)peuventêtre réé ritesenintroduisantles fon tions ara -téristiques des phases à l'intérieur des opérateurs diérentiels. Cette manipulation permet d'obtenir les équations suivantes, validessurl'ensemble dudomaine :

∂

∂t

(X

k

ρ

k

) +

div

(X

k

ρ

k

u

k

) + ρ

k

(u

k

− σ) .nk

δ

= 0

(1.6.1)

∂

∂t

(X

k

ρ

k

u

k

) +

div

(X

k

ρ

k

u

k

⊗ uk

) +

∇Xk

p

k

−

div



X

k

τ

_k



+ρ

k

(u

k

⊗ uk

) .n

k

δ

− ρk

u

k

(σ.n

k

) δ + p

k

n

k

δ

− τ

_k

n

k

δ

= X

k

ρ

k

f

v

_k

(1.6.2)

∂

∂t

(X

k

ρ

k

e

k

) +

div

(X

k

(ρ

k

e

k

+ p

k

) u

k

) +

div



X

k



q

_k

_{− τ}

_k

u

_k



+ρ

k

e

k

(u

k

− σ) .nk

δ + p

k

u

k

.n

k

δ +



q

k

− τ

k

u

k



.n

_k

δ

= X

k

ρ

k

f

v

_k

.u

k

(1.6.3)

1.1.3 Équations sur les grandeurs moyennes

Le sous-domaine

Ω

k

(t)

o upé par laphase

k

peut être formé de plusieurs zonesnon onne tées, des bulles par exemple. Ces zones peuvent être plus petites que la taille des éléments du maillage utilisé pour la simulation numérique. On ne peut don pas utiliser les équations (1.6) telles quelles, mais elles- i doivent êtrehomogénéisées.

Le pro édé d'homogénéisation [24 , 46 ℄ se poursuit don par l'introdu tion d'un opérateur de moyenne

< . >

. On fait l'hypothèse que et opérateur vérie les propriétés de linéarité

< a + b > =

<a> + <b>

et d'idempoten e

<<a>>=<a>

, et peut être ommuté ave les opérateurs diérentiels. Une grandeur instantanée

φ

peutalors être dé omposéeen une sommed'une valeur moyenne

<φ>

et d'unevaleuru tuante

φ

′

quivérie

<φ

′

_{>= 0}

.Lamoyennestatistique

<φ>= lim

N →∞

1

N

P

N

φ

,validepour le as présent d'é oulements instationnaireshétérogènes, serautilisé.

Pouré rireleséquationshomogénéisées,nousdénissonségalementlafon tion

α

k

=<X

k

>

.Puisque

X

k

est dénie omme la fon tion ara téristique du domaine

Ω

k

(t)

,

α

k

peut être interprétée omme la fra tionvolumique de la phase

k

, en onsidérant l'opérateur

<.>

omme une moyenne volumique. Cettegrandeurprendsesvaleursdansl'intervalle

[0, 1]

,etvériela ontraintedesaturation

α

1

+α

2

= 1

.

Onintroduit pourla suitela moyenne Eulérienne déniepar

¯

φ

k

=

<X

k

φ

k

>

α

k

(1.7)

Une grandeur phasique

φ

k

peutdon se dé omposer en samoyenne Eulérienneetune valeur u -tuante,

φ

k

= ¯

φ

k

+ φ

′

k

.Enutilisant lapropriété d'idempoten e del'opérateur moyenne, onmontre que le terme de u tuation vérie l'équation

<X

k

φ

′

k

>= 0

. Nous introduisons également la moyenne de Favre, notée

φ

˜

k

, qui sera utilisée pour les moyennes sur les vitesses et les énergies internes. Elle est déniepar l'équation suivante

˜

φ

k

=

<X

k

ρ

k

φ

k

>

α

k

ρ

k

(1.8)

où

ρ

¯

k

est la densité phasique moyennée en utilisant la moyenne Eulérienne (1.7)

ρ

¯

k

=

<X

k

ρ

k

>

α

k

. Onpeut ainsidé omposerlagrandeur

φ

k

,

φ

k

= ˜

φ

k

+ φ

′′

k

,oùletermede u tuation

φ

′′

k

vérie l'égalité

< X

k

ρ

¯

k

φ

′′

_k

>= 0

. L'opérateur moyenne

< . >

est introduit dans les équations (1.6), e qui donne le systèmesuivant

∂

∂t

<X

k

ρ

k

> +

div

<X

k

ρ

k

u

k

> + <ρ

k

(u

k

− σ) .nk

δ>

= 0

(1.9.1)

∂

∂t

<X

k

ρ

k

u

k

> +

div

<X

k

ρ

k

u

k

⊗ uk

> +

∇ <Xk

p

k

>

−

div

<X

k

τ

k

>

+ <ρ

k

(u

k

⊗ uk

) .n

k

δ>

− <ρk

u

k

(σ.n

k

) δ> + <p

k

n

k

δ>

− <τ

_k

n

k

δ> = <X

k

ρ

k

f

v

_k

>

(1.9.2)

∂

∂t

<X

k

ρ

k

e

k

> +

div

<X

k

(ρ

k

e

k

+ p

k

) u

k

> +

div

<X

k



q

k

− τ

k

u

k



>

+ <ρ

k

e

k

(u

k

− σ) .nk

δ> + <p

k

u

k

.n

k

δ> + <



q

_k

− τ

_k

u

_k



.n

_k

δ>

= <X

k

ρ

k

f

v

_k

.u

k

> (1.9.3)

Nous utilisons les dénitions de la moyenne Eulérienne et de la moyenne de Favre pour réé rire l'équationde onservation delamasse (1.9.1), quidevient alors

∂

∂t

(α

k

ρ

k

) +

div

(α

k

ρ

k

u

˜

k

) + <ρ

k

(u

k

− σ) .nk

δ>= 0

(1.10) Delamême manière, l'équation de onservationde laquantité de mouvement (1.9.2) seréé ritde lamanièresuivante

∂

∂t

(α

k

ρ

k

u

˜

k

) +

div

(α

k

ρ

k

˜

u

k

⊗ ˜uk

) +

∇ (αk

p

k

)

−

div



α

k



τ

_k

_{− ρk}

u

′′

k

⊗ u

′′

k



+ <ρ

k

(u

k

⊗ uk

) .n

k

δ>

− <ρk

u

k

(σ.n

k

) δ> + <p

k

n

k

δ>

− <τ

_k

n

k

δ>

= α

k

ρ

k

f

v

_k

(1.11)

Selon la dénition(1.8), l'énergie spé ique totale de laphase

k

,

e

k

,vérie l'égalité

<X

k

ρ

k

e

k

>=

α

k

ρ

k

e

˜

k

, e quipermetde déduire l'égalité

e

˜

k

= ˜i

k

+

f

u

2

k

2

+

α

k

ρ

k

u

2

′′

k

2

,ave

˜i

k

l'énergiespé iqueinterne de la phase

k

. En utilisant ette expression et en utilisant les moyennes Eulérienne et de Favre, on

∂α

k

ρ

k

e

˜

k

∂t

+

div

(α

k

(ρ

k

e

˜

k

+ p

k

) ˜

u

k

)

+

div

α

k

q

k

− τ

k

u

˜

k

+ ρ

k

h

k

u

′′

k

+

ρ

k

u

2

_k

u

′′

k

2

− τ

k

u

′′

k

!!

+ <ρ

k

e

k

(u

k

− σ) .nk

δ> + <p

k

u

k

.n

k

δ> + <



q

k

− τ

k

u

k



.n

_k

δ> = α

k

ρ

k

f

v

_k

.u

k

(1.12)

oùl'enthalpiespé iquedelaphase

k

estintroduite,

h

k

= i

k

+

p

k

ρ

k

.Ondénitmaintenantletenseur

de vis osité turbulente

τ

T

k

=

−ρk

u

′′

k

⊗ u

′′

k

et leuxde haleur turbulent

q

T

k

= ρ

k

h

k

u

′′

k

+

ρ

k

u

2

k

u

′′

k

2

−

τ

k

u

′′

k

. Ces deux derniers termes modélisent l'énergie de onve tion turbulente et le travail dû à la turbulen e. Leséquations de onservation (1.10),(1.11) et(1.12) s'é rivent alors

∂

∂t

(α

k

ρ

k

) +

div

(α

k

ρ

k

u

˜

k

) + <ρ

k

(u

k

− σ) .nk

δ>

= 0

(1.13.1)

∂

∂t

(α

k

ρ

k

u

˜

k

) +

div

(α

k

ρ

k

u

˜

k

⊗ ˜uk

) +

∇ (αk

p

k

)

−

div



α

k



τ

k

+ τ

T

k



+ <ρ

k

(u

k

⊗ uk

) .n

k

δ>

− <ρk

u

k

(σ.n

k

) δ> + <p

k

n

k

δ>

− <τ

_k

n

k

δ> = α

k

ρ

k

f

v

_k

(1.13.2)

∂α

k

ρ

k

e

˜

k

∂t

+

div

(α

k

(ρ

k

e

˜

k

+ p

k

) ˜

u

k

) +

div



α

k



q

_k

+ q

T

_k

− τ

_k

u

˜

_k



+ <ρ

k

e

k

(u

k

− σ) .nk

δ> + <p

k

u

k

.n

k

δ> + <



q

k

− τ

k

u

k



.n

_k

δ>

= α

k

ρ

k

f

v

_k

.u

k

(1.13.3)

Dansla suite de e travail, nousferonsl'hypothèse simpli atri e de négliger les termesde

turbu-len e

ρ

k

u

2

′′

k

2

,

τ

T

k

et

q

T

k

.Il faut maintenant dénir physiquement lesautres termes de eséquations.

Tout d'abord, le terme

<ρ

k

(u

k

− σ) .nk

δ>

de l'équation (1.13.1), qui sera noté

Γ

k

dans la suite, représentele transfert de masseà l'interfa e entre les phases. Des termes apparaissent aussidans les équations de onservationde laquantitéde mouvement etdel'énergie, quireprennent l'expressiondu transfert de masse. Ce i amène à la dénition de la vitesse

uΓ

et de l'enthalpie interne spé ique

hΓ

asso iéesà e transfertde masse. Lesdénitions asso iéesà e phénomène peuvent être résumées par les équations suivantes

Γ

k

déf

=

_{− <ρk}

(u

_k

_{− σ) .nk}

δ>

(1.14.1)

u

_Γ

Γ

k

déf

=

_{− <ρk}

(u

_k

_{− σ) uk}

.n

_k

δ> (1.14.2)

hΓΓ

k

déf

=

− <ρk

h

k

(u

k

− σ) .nk

δ> (1.14.3)

Onpeutensuite interpréter le terme

<τ

k

n

k

δ>

de l'équation de onservation de l'énergie (1.13.2) omme le terme de for e de traînée interfa iale, qui sera noté par la suite

M

d

k

. Cette expression se retrouvedansl'équation(1.13.3).Lavitessedelaphase

k

àl'interfa e entrelesphases,notée

u

aussiêtredénie. Les dénitionsrelatives àlafor e detraînée sontdonnées par

M

d

_k

déf

=

<τ

_k

n

_k

δ>

(1.15.1)

u

_k,I

.M

d

_k

déf

=

<τ

_k

u

_k

.n

_k

δ> (1.15.2)

L'équation de onservation de l'énergie(1.13.3) ontient également leterme

− <qk

.n

k

δ>

qui peut être ompris omme leuxde haleur entre lesdeuxphasesà leurinterfa e.Ladénition suivanteest don introduite

Q

k,I

déf

=

_{− <qk}

.n

_k

δ>

(1.16)

Il reste à modéliser leterme

<p

k

n

k

δ>

del'équation de onservation dela quantité de mouvement et leterme

<p

k

σ.n

k

δ>

de l'équation de onservation de l'énergie. Pour ela,la pressionde laphase

k

àl'interfa e

p

k,I

estintroduite, ainsiquelesmodélisationssuivantes

p

k,I

∇αk

déf

=

_{− <pk}

n

_k

δ> (1.17.1)

<p

k

σ.n

k

δ>

déf

=

p

k,I

∂α

k

∂t

(1.17.1)

En utilisant toutes esnotationsdansles équations (1.13), es dernièrespeuvent êtreréé rites

∂

∂t

(α

k

ρ

k

) +

div

(α

k

ρ

k

u

˜

k

) = Γ

k

(1.18.1)

∂

∂t

(α

k

ρ

k

u

˜

k

) +

div

(α

k

ρ

k

˜

u

k

⊗ ˜uk

) +

∇ (αk

p

k

)

−

div



α

k

τ

_k



=

u

_Γ

Γ

k

+ p

k,I

∇αk

+ M

k

d

+ α

k

ρ

k

f

v

_k

(1.18.2)

∂α

k

ρ

k

e

˜

k

∂t

+

div

(α

k

(ρ

k

˜

e

k

+ p

k

) ˜

u

k

) +

div



α

k



q

k

− τ

k

u

˜

k



=



hΓ

+

u

2

Γ

2



Γ

k

− pk,I

∂α

k

∂t

+ M

d

k

.u

k,I

+ Q

k,I

+ α

k

ρ

k

f

v

_k

.u

k

(1.18.3)

Ces équations sont utilisées pour haque phase

k

. Nous devons maintenant nous assurer que e systèmed'équationsassurela onservationdelamassedumélange,desaquantitédemouvementetde sonénergie.Lesé hangesentrelesphasesdoiventdon êtreéquilibrés :laquantitédemassetransférée de la phase 1 à la phase 2, représentée par le terme sour e

Γ1

, doit être l'opposée de la quantité de masse transférée de la phase 2 à la phase 1,

Γ

2

. Des onditions similaires doivent être vériées sur

suivantes

2

X

k=1

Γ

k

= 0 (1.19.1)

2

X

k=1

M

d

_k

= 0 (1.19.2)

2

X

k=1

Q

k,I

= 0 (1.19.3)

2

X

k=1

p

k,I

∇αk

= 0 (1.19.4)

Onintroduit l'hypothèse selon laquelleleve teur desfor es volumiques extérieures,letenseur des ontraintes visqueuses et le ux de haleur sont égaux à leurs valeurs moyennes (

τ

k

= τ

k

,

q

k

= q

k

,

f

v

_k

= f

v

_k

).Deplus,puisquelestermesdeturbulen eontéténégligés,lesé rituresdeséquationspeuvent êtresimpliéesensupprimantlesnotations

¯

 et

˜

.En on lusionde epro essusd'homogénéisation deséquations, onobtient lesystèmesuivant

∂

∂t

(α

k

ρ

k

) +

div

(α

k

ρ

k

u

k

) = Γ

k

(1.20.1)

∂

∂t

(α

k

ρ

k

u

k

) +

div

(α

k

ρ

k

u

k

⊗ uk

) +

∇ (αk

p

k

) +

div



−αk

τ

k



=

u

_Γ

Γ

k

+ p

k,I

∇αk

+ M

k

d

+ α

k

ρ

k

f

v

_k

(1.20.2)

∂

∂t

(α

k

ρ

k

e

k

) +

div

(α

k

ρ

k

e

k

+ α

k

p

k

) u

k

+

div



α

k



q

k

− τ

k

u

k



=



h

Γ

+

u

2

Γ

2



Γ

k

− pk,I

∂α

k

∂t

+ M

d

k

.u

k,I

+ Q

k,I

+ α

k

ρ

k

f

v

_k

.u

k

(1.20.3)

ave les diérents termessour esdénis par les expressionssuivantes

Γ

k

=

− <ρk

(u

k

− σ) .nk

δ>

(1.21.1)

u

_Γ

Γ

k

=

− <ρk

(u

k

− σ) uk

.n

k

δ> (1.21.2)

h

Γ

Γ

k

=

− <ρk

h

k

(u

k

− σ) .nk

δ> (1.21.3)

M

d

_k

= <τ

_k

n

_k

δ>

(1.21.4)

u

_k,I

.M

d

_k

= <τ

_k

u

_k

.n

_k

δ>

(1.21.5)

Q

k,I

=

− <qk

.n

k

δ>

(1.21.6)

p

_k,I∇αk

=

_{− <pk}

n

_k

δ>

(1.21.7)

pro-de onservation des transferts interfa iaux (1.19), es transferts ne seront plus notés en fon tion de la phase, mais seront é rits

Γ = Γ

1

=

−Γ2

,

M

d

_{= M}

d

1

=

−M

d

2

et

Q

I

= Q

1

=

−Q2

. Enn, nous remarquonsà partirdel'équation (1.19.4)l'égalité

p

1,I

= p

2,I

= p

I

.

1.1.4 Équation sur la fra tion volumique

Denombreuseshypothèsesetmodélisationsrestentàdonnerpourfermerlesystème(1.20).L'égalité depressionentreles deuxphasesestl'hypothèse laplus ourantedanslestravauxsurlesé oulements bi-uides [21,46 ,18℄ ainsiquedansles programmesindustriels desimulation [39 ,87, 51℄

p1

= p2

(1.22)

Cependant, il est bien onnu que le modèle obtenu est alors non-hyperbolique [84 ℄. Cette ara -téristique du modèle peut mener à desinstabilités numériques, ommeon peutle voir dansplusieurs travaux sur e modèle [76, 45℄. Une solution proposée est d'ajouter de nouveau termes sour es qui peuvent rendre lemodèle hyperbolique [13 , 90℄.

Dans le travail présent, nous avons dé idé de ne pas retenir ette hypothèse d'égalité des pres-sions. Une modélisation diérente est utilisée, ave l'introdu tion d'une équation supplémentaire sur la fra tion volumique, dénie par l'équation

α

k

=<X

k

>

, où l'on rappelle que

X

k

(t)

est la fon tion ara téristique du volume

Ω

k

(t)

o upé par la phase

k

.À partir des équations (1.4.1) et (1.4.4), en utilisant lafon tion

φ = 1

,on peuté rire l'équation

∂ <X

k

>

∂t

=<σ.

∇Xk

>

(1.23)

Le terme

<σ.

∇Xk

>

estdé omposéde manièrearbitrairesous laforme suivante

<σ.

_∇Xk

>= ˙α

k

− uα

.

∇αk

(1.24)

où

˙α

k

représente la variation de la fra tion volumique et

u

α

la vitesse d'adve tion de

α

1

. Une équationsupplémentaire estalors obtenue surl'adve tion delafra tion volumique de laphase

∂α

1

diphasiques, qui s'é rit

∂

∂t

(α

1

ρ

1

) +

div

(α

1

ρ

1

u

1

) = Γ

(1.26.1)

∂

∂t

(α

1

ρ

1

u

1

) +

div

(α

1

ρ

1

u

1

⊗ u1

) +

∇ (α1

p

1

)

−

div



α

1

τ

₁



= u

_Γ

Γ + p

I∇α1

+ M

d

+ α

1

ρ

1

f

v

₁

(1.26.2)

∂

∂t

(α1ρ1e1) +

div

((α1ρ1e1

+ α1p1) u

1

) +

div



α1



q

₁

− τ

₁

u

₁



=



h

Γ

+

u

2

_Γ

2



Γ

_{− pI}

∂α

1

∂t

+ M

d

_.u

I

+ Q

I

+ α

1

ρ

1

f

v

₁

.u

1

(1.26.3)

∂

∂t

(α

2

ρ

2

) +

div

(α

2

ρ

2

u

2

) =

−Γ

(1.26.4)

∂

∂t

(α

2

ρ

2

u

2

) +

div

(α

2

ρ

2

u

2

⊗ u2

) +

∇ (α2

p

2

)

−

div



α

2

τ

₂



=

_−uΓ

Γ

_{− pI}

_∇α1

_{− M}

d

+ α

2

ρ

2

f

v

₂

(1.26.5)

∂

∂t

(α

2

ρ

2

e

2

) +

div

((α

2

ρ

2

e

2

+ α

2

p

2

) u

2

) +

div



α

2



q

₂

_{− τ}

₂

u

₂



=

₋



h

Γ

+

u

2

_Γ

2



Γ + p

I

∂α

1

∂t

− M

d

_.u

I

− QI

+ α

2

ρ

2

f

v

₂

.u

2

(1.26.6)

∂α1

∂t

+ u

α

.

∇α1

= ˙α1

(1.26.7)

1.2 Fermeture entropique du modèle

Le modèle à deux vitesses et deux pressions (1.26) n'est toujours pas fermé. Il doit en ore être omplété par deséquationsd'état liant lesvariablesd'état, etdeshypothèsesde modélisationdoivent être proposées pour le terme de transfert de masse

Γ

, la for e de traînée interfa iale

M

d

, le ux de haleurinterfa ial

Q

I

,etletermedevariationdelafra tionvolumique

˙α

1

,ainsiquesurlesdiérentes vitesses

u

Γ

,

u

I

et

u

α

,lapressionàl'interfa e

p

I

etl'enthalpiedetransfertdemasse

h

Γ

,etennsurles tenseursde ontraintesvisqueusesphasiques

τ

k

etlesuxde haleurphasiques

q

k

.Dans eparagraphe, nousallonsproposerdesfermeturespour estermespourquelaprodu tiond'entropie demélange,qui sera également dénie, soitpositive, e quipermettrade respe ter l'appro he phénoménologique dela thermodynamiquedes pro essus irréversibles [19℄.

1.2.1 Équations d'état

Pour haquephase,leséquationsd'étatliantlapression

p

k

,l'énergieinterne

i

k

,lamassevolumique

modéliser desgaz,maisaussidesliquides etdessolides.Elless'é rivent

i

k

(p

k

, ρ

k

)

=

p

k

+ γp

k,∞

(γ

k

− 1) ρk

+ i

k,0

(1.27.1)

T

k

(p

k

, ρ

k

) =

p

k

+ p

k,∞

C

v

k

(γ

k

− 1) ρk

(1.27.2)

s

k

(p

k

, ρ

k

)

= C

v

k

ln



p

k

+ p

k,∞

(C

v

k

(γ

k

− 1) ρk

)

γ

k



+ s

k,0

(1.27.3)

oùlerapportdes haleursspé iques

γ

k

,lapression de ohésion

p

k,∞

,l'énergiede référen e

i

k,0

et l'entropie de référen e

s

k,0

sont des onstantes dépendant despropriétés thermodynamiquesduuide. Uneméthodededéterminationde esparamètres dansle asdesé oulementsdiphasiquesestproposée par Le Métayer,MassonietSaurel [57 ℄.

1.2.2 É riture de l'équation de produ tion d'entropie

Nous souhaitons utiliser une fermeture du modèle (1.26) de telle manière que laprodu tion d'en-tropiedumélangesoit positive.Ilfaut don obtenir l'équationdelaprodu tion d'entropie dumélange

s

. Maisavant ela, dénissons les variables de mélange qui seront né essaires :la massevolumique

ρ

, la vitesse

u

, l'énergie spé ique interne

i

, la pression

p

et l'entropie spé ique

s

. Ces variables sont dénies ommesuit

ρ

= α

1

ρ

1

+ α

2

ρ

2

(1.28.1)

ρu = α

1

ρ

1

u

1

+ α

2

ρ

2

u

2

(1.28.2)

ρi

= α

1

ρ

1

i

1

+ α

2

ρ

2

i

2

(1.28.3)

p

= α

1

p

1

+ α

2

p

2

(1.28.4)

ρs

= α

1

ρ

1

s

1

+ α

2

ρ

2

s

2

(1.28.5)

La fra tionmassiquede laphase

k

estégalement déniepar l'expression

Y

k

=

α

k

ρ

k

ρ

(1.29)

Selonl'appro hephénoménologiquedelathermodynamiquedespro essusirréversibles[19℄,laforme généralede l'équationde laprodu tion d'entropie s'é rit

∂ρs

∂t

+

div

F

s

= ∆

s

(1.30)

où

F

s

représente leuxd'entropie et

∆

s

letermedeprodu tiond'entropie,quidoitêtrepositif.Le uxd'entropieestdéni ommelasommedesuxd'entropie phasique

F

s

= α

1

ρ

1

s

1

u

1

+ α

2

ρ

2

s

2

u

2

.On introduitégalement lanotiondedérivéetotale,oudérivée Lagrangienne,d'unequantité

φ

parrapport àlavitesse phasique

u

k

,qui peuts'é rire

D

k

φ

Dt

=

∂φ

∂t

+ u

k

.

∇φ

(1.31) Ave ette notation et enutilisant les diérentes dénitions qui ont été introduites, nouspouvons