DS7-2013_CORRIGE
« Bras manipulateur auto équilibré»
Ce sujet est très inspiré par le sujet de concours ATS 2007
Présentation générale.
Contexte et marché.
Les entreprises industrielles travaillent constamment à l’amélioration de la productivité et de la rentabilité. Sur des opérations de manutention, positionnement, montage, à faible cadence, l’automatisation à outrance et les cellules robotisées ne sont pas rentables…
Les systèmes d’aide à la manutention sont un compromis intéressant. En effet l’employeur maintient une activité humaine (conservation d’emploi) tout en limitant la pénibilité donc en améliorant les conditions de travail, pour des coûts d’investissement modestes.
Il existe différentes familles de systèmes d’aide à la manutention : Potence,
Pont roulant, Bras manipulateur…
C’est ce dernier type de système d’aide à la manutention que l’on se propose d’étudier. Plus particulièrement un matériel développé, fabriqué et distribué par la société SARRAZIN.
Principe.
La charge est suspendue en bout de bras à un système de préhension ou préhenseur.
Le poids de la charge à manutentionner est équilibré par le bras, l’utilisateur accompagne la charge dans son déplacement… dans
la limite des courses disponibles. Les seuls efforts à fournir sont ceux nécessaires à vaincre les
frottements et les effets d’inertie. Lorsque
l’utilisateur lâche la charge, elle doit rester stable en position dans l’espace.
Bras manipulateur étudié.
Le manipulateur étudié est constitué :
D’un système de préhension, défini sur mesure en fonction de la charge à manutentionner.
D’un bras articulé (cinématique brevetée).
D’une tête en liaison pivot d’axe vertical par rapport à la colonne support, D’un actionneur pneumatique (ou
éventuellement électrique) implanté dans la tête,
D’une colonne support scellée au sol pour l’installation sur pied. Il existe aussi des versions suspendues à la charpente ou lestées autostables ne nécessitant pas d’ancrage au sol.
Les mobilités autorisées au niveau du bras et de la colonne permettent à l’utilisateur d’atteindre tout point de l’espace, dans la limite des courses disponibles. C’est l’action de l’utilisateur sur la charge (ou le préhenseur) qui provoque son mouvement. On parle de système d’aide à la manutention.
Utilisation.
Un cycle type d’utilisation du système d’aide à la manutention peut se décomposer de la manière suivante :
Assister l’utilisateur pour le déplacement du préhenseur (suspendu en bout de bras) à vide jusqu'à proximité de la charge, Assister l’utilisateur pour le positionnement et l’orientation du préhenseur pour saisir la charge,
Prendre la charge avec le préhenseur,
Assister l’utilisateur pour le déplacement de la charge maintenue par le préhenseur, Assister l’utilisateur pour le positionnement et l’orientation de la charge pour la dépose, Dépose de la charge,
Assister l’utilisateur pour le retour du préhenseur à vide pour le cycle suivant.
Certains mouvements de prise, de dépose ou d’orientation au niveau du préhenseur peuvent être motorisés, les autres étant provoqués par l’utilisateur.
Fonctionnement du bras manipulateur.
Etude de la cinématique du bras articulé.
La cinématique du bras manipulateur seul (sans l’articulation d’axe vertical) est donnée sur la figure 3. Elle est similaire à celle d’un pantographe. D’un coté la charge suspendue (au point H), de l’autre l’effort d’équilibrage développé par l’actionneur et appliqué au point D.
Le bras est constitué de 4 classes d’équivalence ou sous ensembles fonctionnels (sans compter la tête qui est représentée ici par le bâti). A savoir :
Barre FC : Bras porteur, Barre CD : Biellette arrière, Barre ED’ : Bras de reprise, Barre HE : Bras flèche.
Les liaisons en C, D’, E et F sont des liaisons pivot d’axe perpendiculaire à la feuille. Ces 4 articulations forment un parallélogramme déformable. Au point B, le bras est en liaison pivot avec la tête du manipulateur (représentée ici par le bâti).
Autres propriétés géométriques importantes : HFB est un triangle isocèle,
Les points H, B et D restent constamment alignés quelque soit l’orientation du bras.
Auto équilibrage pneumatique.
L’actionneur pneumatique est implanté dans la tête.
L’extrémité de sa tige est en liaison mécanique avec le bras au point D.
L’action mécanique de la pression p établie dans le vérin équilibre la charge suspendue en bout de bras.
Cette pression, dite d’équilibrage, est réglée par l’utilisateur et régulée par le régulateur de pression de précision.
Si l’opérateur exerce sur la charge un effort vers le
vers le haut par l’intermédiaire du bras. L’air emprisonné dans la chambre 1 est en légère surpression donc le régulateur évacue le surplus d’air pour maintenir la pression d’équilibre. Lorsque l’opérateur lâche la charge, elle reste en équilibre.
Le principe est similaire pour faire monter la charge.
Ce système permet donc d’avoir une charge stable dans l’espace et déplaçable moyennant de faibles efforts, liés à l’inertie et aux frottements. Le distributeur 2/2 est un organe de sécurité. En effet en cas de coupure d’alimentation pneumatique, la charge ne doit pas tomber sur l’utilisateur. Le distributeur 2/2 normalement fermé bloque l’air dans la chambre 1 du vérin et évite la chute brutale de la charge.
Partie 1 : Etude cinématique.
Cette partie doit nous permettre de mieux comprendre le fonctionnement du bras manipulateur.
1. Tracer le graphe de liaisons du bras seul à partir du schéma cinématique proposé en figure 3.
2. Exprimer le rapport des longueurs HB/BD en fonction de HF et CD. Ce rapport est indépendant de l’orientation du bras. Pour la suite il sera appelé
rapport d’homothétie, il sera noté k ; en pratique 7<k<10.
D’après le théorème de Thalès : HB HF BD= CD
3. Si le point D décrit une surface rectangulaire (zone 1 sur la figure 5 du document réponse DR1), définir à l’échelle et caractériser sur le document réponse DR1 le lieu des points H. Les esquisses de
construction seront soigneusement représentées.
Par construction : 12.8
4.2 3.05 HB HF
BD= CD= =k =
Par homothétie la forme rectangulaire est conservée.
Une étude statique de ce bras manipulateur, permet de comprendre que pour une charge constante en bout de bras, un effort constant vertical au point D permet d’équilibrer la charge dans toutes les positions permises par la
cinématique du bras.
On souhaite proposer une architecture pour l’implantation du vérin pneumatique exerçant l’effort d’équilibrage au point D. La figure 6 ci- contre définit partiellement cette implantation.
Barre HE
Barre ED’
Barre CD
Barre FC
Pivot d’axe (E,z) Pivot d’axe (D’,z)
Pivot d’axe (C,z) Pivot d’axe (F,z)
Pivot d’axe (B,z)
4. Compléter les tableaux sous les quatre solutions proposées sur le document réponse DR1.
Partie 2 : Actionneur électrique.
Dans cette partie, nous allons envisager le remplacement du vérin pneumatique par un vérin électrique.
On souhaite proposer une version électrique de l’actionneur permettant d’utiliser ce manipulateur dans des lieux n’ayant pas de réseau pneumatique. La figure 7 du document réponse DR2 donne un schéma cinématique incomplet du vérin électrique. Le corps du vérin et le stator du moteur électrique constituent le solide S0, un pignon moteur (Z1) est solidaire de l’arbre moteur S1, un arbre secondaire S2 est muni de deux roues dentées (Z21 et Z22), un arbre tertiaire S3 est muni de deux roues dentées (Z31 et Z32), un satellite S4 (Z4) permet de transmettre le mouvement de rotation à une vis S5 et finalement un système vis/écrou permet à la tige du vérin S6 de translater par rapport à S0.
5. Compléter le schéma cinématique du document réponse DR2 pour faire apparaître le système vis-écrou et garantir le bon fonctionnement de cet actionneur. Il est possible de définir de nouveaux solides si nécessaire.
6. Déterminer le rapport de transmission
1 5 ω
= ω
R en fonction des nombres de dents des différentes roues.
Ce réducteur est composé d’un train à axes fixes et d’un train épicycloïdal, on peut décomposer le rapport de transmission :
1 3 3 5 1 5
ω ω ω ω ω
ω = ×
= R Avec
0 32
32 3
5
Z Z
Z
= + ω
ω et
31 21
22 1 1 3
Z Z
Z Z
×
= × ω ω
On en déduit :
31 21
22 1 32 0
32
Z Z
Z Z Z
Z R Z
×
× ×
= +
Le rapport de transmission du réducteur est R = 0,12, le pas de la vis est p = 3 mm/tr et le rendement global de ce vérin est
de
µ = 0 , 7 .
Le point de puissance maximum retenu pour le moteur électrique est N = 12000tr/min avec un couple de C = 0,40 Nm.7. Déterminer, dans ces conditions, l’effort développé par le vérin et sa vitesse de sortie.
Dans la chaine cinématique de ce vérin, le rendement n’affecte que la transmission des efforts. On peut donc en déduire la vitesse de rotation de la vis S5 : N 5 = R . N = 0 , 12 × 12000 = 1440 tr / min
Connaissant le pas de la vis, on peut en déduire la vitesse de translation de la tige S6 :
p N mm s
V 72 /
60 1440 3 60
5
6 = . = × =
Le rendement exprime le rapport de puissance de cette chaine d’énergie :
Pmoteur Pvérin
=
= 0 , 7
µ
Avec :
≈
=
= C W Pmoteur N
V F Pvérin
30 502 . .
6 .
π 6 Où F6 est l’effort développé par le vérin. ⇒ Pvérin ≈ 351 W
On en déduit l’effort développé par le vérin : N
V C
F N 4880
16 , 2 10550 10
72 30
4 , 0 12000 14
, 3 7 , 0 6 . 30
. .
6 .
3≈ ≈
×
×
×
×
≈ ×
= µ π
−Z1 Z21
Z22
Z31 Z4
Z0
S0 S1
S2 S4
S3
S5
Z32
S6
Partie 3 : Etude statique.
Dans cette partie, nous allons déterminer l’effort demandé au vérin et les efforts dans l’articulation entre le bras et la tête.
Le poids de la charge au point H est noté Mg et l’effort développé par l’actionneur est noté Fv. Le poids des différentes barres est négligé et les différentes liaisons seront considérées comme parfaites.
Quelque soit la position du point H, sa position est définie par le vecteur unitaire
HD u = HD .
8. En isolant l’ensemble des 4 barres, montrer que : Fv = -k.Mg
On isole les 4 barres (HE – FC – ED’ – CD), cet ensemble est soumis à 3 actions mécaniques extérieures :
- Le poids de la charge (-Mg) en H : { }
−
=
−
=
→
) , cos(
. .
0 0
0 0
0 0 0
0 0 )
(
u X Mg BH Mg Mg
HE g
T
B H
- L’effort dans l’actionneur (
uurFv=Fv yur) en D : { }
=
=
→
) , cos(
. .
0 0
0 0
0 0 0
0 0 )
(
u X Fv BD Fv Fv
CD vérin T
D B
- Actions dans le pivot d’axe (
B z, r) : { }
=
→
0 )
( MB
LB
ZB YB XB FC
tête T
B
PFS au point B :
= +
=
=
=
= + +
−
=
6 . 0 ) , cos(
. . ) , cos(
. .
5 . 0
4 . 0
3 . 0
2 . 0 1 . 0
eq u
X Fv BD u X Mg BH
eq MB
eq LB
eq ZB
eq YB
Fv Mg
eq XB
Equation des moments sur l’axe (
B z, r) : eq . 6 ⇒ BD . Fv + BH . Mg = 0
On en déduit : Mg
BD Fv BH
Mg BH Fv
BD = − ⇒ = −
⇒ . . d’où Fv = − k . Mg
9. En déduire les composantes du torseur de la liaison pivot d’axe (B,z) entre la tête et le bras porteur (barre FC).
Les 5 autres équations donnent directement : { }
+
=
→
0 0 0
0 ) 1 (
0 )
( tête FC Mg k
T
B
Partie 4 : Modification.
Dans cette partie, nous allons envisager de modifier ce manipulateur pour le rendre autonome pour les opérations répétitives.
Pour déterminer les mouvements effectués par ce manipulateur, on place deux capteurs, respectivement sur les barres BF et FH, pour mesurer les angles
α
etγ
définis sur la figure 3.Attention, pour la suite des calculs, on considérera le paramètrage de la figure ci-contre. Les dimensions seront notées BF = FH = a
10. Exprimer les coordonnées cartésiennes du point H dans le repère R(B, x, y, z) en fonction de a et des deux angles.
−
−
+
−
= +
=
0 sin .
cos .
0 cos .
sin .
γ γ α
α
a a a
a FH
BF BH
− +
−
=
⇒
0 cos sin
cos sin
α γ
γ α
a BH
11. Calculer le vecteur vitesse du point H / R.
) / ( )
/ (
) /
( H HF R V F HF R HF HF R
V ∈ = ∈ + ∧ Ω
Z X
a X a R HF H
V ( ∈ / ) = − α & 1 + 2 ∧ γ & .
2 . 1 )
/
( H HF R a X a Y
V ∈ = − α & − γ &
12. Calculer le vecteur accélération du point H / R.
( )
dt
RR HF H V R d
HF
H
∈
=
∈
Γ ( / )
) / (
2 . .
2 . 1
² 1 )
/
( H ∈ HF R = − a α & & X − a α & Y − a γ & & Y + γ & Z ∧ − a γ & Y
Γ
2 . 2 . 1
² 1 )
/
( H ∈ HF R = − a α & & X − a α & Y − a γ & & Y + a γ &
2X
Γ
On souhaite écrire un programme sous SCILAB pour déterminer la cinématique du point H / R à partir des données fournies par les deux capteurs. Une ébauche du programme est donnée sur le document réponse DR2. La première partie du programme permet de récupérer les données des capteurs dans un fichier de type csv et de les stocker dans trois vecteurs à n composantes :
• Alpha = [les n valeurs de l’angle
α
en radian]• Gamma = [les n valeurs de l’angle
γ
en radian]• Temps = [les n valeurs de temps en ms]
13. Compléter le programme, sur le document réponse DR2, pour calculer et stocker les coordonnées cartésiennes du point H / R dans deux vecteurs à n composantes : « XH » et « YH ».
14. Poursuivre l’écriture du programme pour calculer les vitesses et les accélérations angulaires ( α & , α & & , γ & , γ & & ) et les stocker dans les vecteurs à n composantes suivants : « Alpha_p » ; « Alpha_pp » ; « Gamma_p » ;
« Gamma_pp ».
Rechercher la valeur maximale de α & et la stocker dans une variable : « Max_Alpha_p ».
Afficher cette valeur à la console.
B F
Y
X X1
α Y1 α
Z
H
F Y
X2 γ Y2 γ
Z
X
Q. 13
Q. 14
