Co-intégration d'un filtre à ondes de surface avec un amplificateur d'entrée de faible bruit sur Si pour téléphone mobile

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Co-intégration d’un filtre à ondes de surface avec un

amplificateur d’entrée de faible bruit sur Si pour

téléphone mobile

Etienne Ntagwirumugara

To cite this version:

Etienne Ntagwirumugara. Co-intégration d’un filtre à ondes de surface avec un amplificateur d’entrée de faible bruit sur Si pour téléphone mobile. Electronique. Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, UVHC, (France), 2007. Français. �NNT : 2007VALE0025�. �hal-00285712�

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N° d'ordre : 07/28

THÈSE

Présentée à

L'Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis

Par

Etienne NTAGWIRUMUGARA

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR EN ÉLECTRONIQUE

Co-intégration d'un filtre

à

ondes de surface avec un

amplificateur d'entrée de faible bruit sur Si pour téléphone

mobile.

Soutenue le 10 Juillet 2007, devant le jury composé de:

Président du jury : M. Daniel ROYER Rapporteurs : M. Eric. KERHERVE M. Vincent LAUDE Directeur de thèse: M. Tadeusz GRYBA Examinateur :

Professeur à l'université de Paris 7

Professeur à l'université de Bordeaux 1

Directeur de recherche CNRS à FEMTO-ST

Professeur à l'université de Valenciennes

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N° d'ordre: 07/28

THÈSE

Présentée à

L'Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis

Par

Etienne NTAGWIRUMUGARA

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR EN ÉLECTRONIQUE

Co-intégration d'un filtre

à

ondes de surface avec un

amplificateur d'entrée de faible bruit sur Si pour téléphone

mobile.

'

Soutenue le 10 Juillet 2007, devant le jury composé de:

Président du jury : M. Daniel ROYER Rapporteurs : M. Eric. KERHERVE M. Vincent LAUDE Directeur de thèse : M. Tadeusz GRYBA Examinateur:

Professeur à l'université de Paris 7 Professeur à l'université de Bordeaux 1

Directeur de recherche CNRS

à

FEMTO-ST

Professeur à l'université de Valenciennes

M. Jean E. LEFEBVRE Professeur à l'université de Valenciennes

IIM~t::.a,;•AI au# fo•-'fs.J_.', >·

I.-... ffl!~··,

Institut d'Electronique de Microélectronique et de Nanotechnologie, UMR

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Remerciements

Remerciements

Cette thèse a été réalisée au sem du Département d~Opto-Acousto-Electronique (DOAE) de l'Institut d'Electronique, de Microélectronique et de Nanotechnologie (IEMN), dirigé successivement par Prof. M. GAZALET puis Prof. B. MONGAILLARD que je tiens à

remercier pour leur accueil.

Cette thèse n'aurait pas vu le jour sans la confiance de mon directeur de thèse, Professeur Tadeusz Gryba, responsable de l'équipe Circuits Mixtes Acousto-Opto-Electronique, que je voudrais remercier vivement pour m'avoir accepté dans son équipe, encadré et guidé avec attention et gentillesse tout au long de ma thèse. Je voudrais le remercier également pour sa disponibilité et ses encouragements et pour avoir toujours cru en mes capacités. Avec bonne humeur, il a su me communiquer une partie de son expérience en matière de recherches scientifiques. Les conseils qu'il m'a divulgués tout au long de ces années ont toujours été clairs et objectifs, me facilitant grandement la tâche et me permettant d'aboutir à la production de cette thèse.

Mes plus sincères remerciements s'adressent également à Professeur Jean Etienne Lefebvre qui m'a aidé à la correction de cette thèse. Ses conseils et ses commentaires ont été fort utiles. II a su m'aider à l'organisation de mes recherches aux bons moments. J'ai beaucoup apprécié ses questions et remarques, qui m'ont permis d'avoir un esprit critique et de me remettre en question. Pour tout cela, je ne peux qu'être profondément reconnaissant.

Je remercie également Monsieur Victor Zhang chargé de recherche CNRS à la Cité Scientifique de Lille, qui a aussi une part de participation de ce travail de thèse et Monsieur J.

Cartier qui m'a aidé à la réalisation pratique des composants. Pour tout cela, il est difficile en quelques mots de leur exprimer toute ma reconnaissance et mon estime.

Je remercie vivement les rapporteurs de cette thèse Prof. Vincent Laude, Directeur de recherche CNRS à FEMTO-ST et Prof. Eric Kerherve de l'université de Bordeaux 1, pour la

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Remerciements

Je tiens également à remercier Prof. Daniel Royer de l'Université de Paris 7, d'avoir accepté d'être Président du Jury de mon travail. Vu ses compétences et ses rigueurs scientifiques très connues, je suis très reconnaissant à sa participation en tant que Président.

Je voudrais également remercier l'ensemble des membres permanents du Département Opto-Acousto-Electronique de l'IEMN, tous les docteurs et doctorants avec qui j'ai partagé une salle, un café, un repas, un match ou une discussion pendant les années de la thèse :

Lahoucine, Ludovic, Benoît, Mustapha, Farouk, Hamid, /mad, Okassa, Abdellah, Anne-Sophie, Y. Dubois •••

J'adresse mes remerciements à Mesdames Anny Crapet, Véronique, Anne Merliot et

Edith Bantegnies pour les nombreux travaux de reprographie et les diverses tâches administratives. Je remercie également Frédéric Rivart pour son aide technique et informatique.

Je tiens à exprimer mes sincères remerciements à tous les membres de ma famille et mes proches pour leur patience, leur réconfort et pour leur présence (malgré la distance qui nous sépare) durant les moments difficiles que j'ai du vivre tout au long de ces quatre années de thèse. Je remercie également le Gouvernement Rwandais et EGIDE pour le soutien financier et moral sans lesquels cette thèse n'aurait pu aboutir. Une pensée particulière à ma

mère et à mafemme pour leurs attentions et pour leurs conseils précieux qui m'ont guidé sur le bon chemin ainsi que pour leur amour qui ne cesse de jaillir. Je pense également à mes trois petits poussins, Mugisha Kelly-Dior, Mucyo Lennon et Ntagwirumugara Iillian.

Et que puis-je te dire à toi, ma femme (chérie), qui a su parmi toutes ces personnes supporter mes sautes d'humeurs. Merci pour ton soutien permanent, tes encouragements, ta compréhension et pour ton aide. Heureusement que tu étais là pour moi (malgré la distance qui nous sépare), tu rn' as apporté 1' équilibre indispensable à la réussite de ma thèse et de ma vie. Ces quelques lignes ne pourront certainement pas refléter à quel point je te suis reconnaissant. Je suis heureux de partager cette thèse avec toi, NIBITEGEKA Godelieve. Je sais que quoi que je fasse, je ne pourrais pas te remercier assez pour ce que tu as fais pour moi. La seule chose que je peux te garantir c'est mon amour pour toujours.

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Remerciements

Je sais que j'oublie certainement d'autres personnes ... mais un fait est certain, bien que je demeure le principal artisan de cette thèse de doctorat, je ne pourrais pas ignorer que la réalisation de celle-ci n'aurait jamais été possible sans la contribution de ces personnes.

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Sommaire

Sommaire

Introduction générale ...

1

Chapitre 1: Notions essentielles sur les ondes acoustiques de surface

1.1. Introduction ... 6

1.2. Les ondes acoustiques de surface ... 7

1.2.1. Les ondes de Rayleigh ... 7

1.3. Propagation des ondes acoustiques dans une structure multicouches et piézoélectrique ... 9

1.3 .1. La piézoélectricité ... 9

1.3.2. Equations de propagation des ondes acoustiques dans un milieu Piézoélectrique ... 9

1.3.3. Conditions aux limites ... 13

1.3.4. Méthodes de résolution de l'équation de propagation ... 13

1.3 .4 .1. Méthode des matrices de transfert ... 15

1.3.4.2. Méthode de la résolution polynomiale ou de Laguerre ... 18

1.4 Génération et détection des ondes de surface ... 20

1.4.1 Principe de fonctionnement des transducteurs interdigités (IDT) ... 20

1.4.2 Réponses fréquentielle et temporelle du transducteur IDT ... 22

1.4.2.1. Détection d'une onde de surface ... 22

1.4.2.2. La fonction de transfert d'un transducteur ... 22

1.4.3. Schémas électrique équivalent d'un transducteur ... 24

1.4.4 Conductance et susceptance de rayonnement.. ... 25

(8)

Sommaire

1.5 Conclusion ... 27

Bibliographie du chapitre 1 ... 28

CHAPITRE II :Etude, modélisation et conception des filtres

à

ondes de

surface

2.1 Introduction ... 32

2.2 La méthode des modes couplés (COM) ... 33

2.2.1 Modélisation de la méthode des modes couplés ... 33

2.2.2 Les paramètres de la méthode des modes couplés ku et K' 12 ... 34

2.2.3 Les coefficients de perturbation électrique ... 36

2.2.4 Les coefficients de perturbation mécanique ... 36

2.2.5 Coefficient de couplage électromécanique

e ...

39

2.2.6 Matrice de transmission du transducteur IDT [QT]. ... 42

2.2.7 Matrice de transmission du réflecteur [QR] ... 44

2.2.8 Matrice de transmission du résonateur [T] ... 46

2.2.9 Application à l'analyse d'un filtre SAWen échelle sur une structure ... 48

Al!ZnO/Si ... 48

2.3 La méthode du circuit équivalent (RLC) ... 50

2.3.1 Paramètres du circuit équivalent pour le résonateur à un accès... 50

2.3.2 Résultats de simulation et valeurs calculées par cette méthode, pour le filtre en échelle ... 55

Bibliographie du chapitre II ... 58

Chapitre III :Conception d'un amplificateur

à

faible bruit (LNA) de type

CMOS

(9)

Sommaire

3.3 Analyse architecturale du LNA ... 71

3.3.1 Modèle standard de bruit en MOS ... 71

3.3.2 Architecture du LNA ... 73

3.3.3 Modèle de bruit étendu du transistor MOS ... 77

3.3.4 Analyse étendue de bruit du LNA ... 80

3.4. Quelques formules importantes pour la conception du LNA ... 83

3.4.1 Définition des termes ... 83

3.4.2. Calculs de la figure minimum de bruit ... 86

1) Transconductance Gm fixe: ... 87

2) Puissance consommée P 0 fixe: ... 88

3.5 Figures et tableaux des performances calculées lors de la conception du ... 90

LNA 3.6 Algorithme proposé pour la conception du LNA ... 94

3.7 Calcul de la topologie du LNA ... 95

3.8 Résultats de simulation du LNA ... 99

Chapitre IV: Techniques d'optimisation, d'adaptation du LNA CMOS

et co-intégration du filtre avec le LNA CMOS.

4.1 Introduction ... 111

4.2 Techniques d'optimisation du bruit et de l'adaptation du LNA CMOS ... 112

4.2.1 Technique classique d'adaptation de bruit (ACB) ... 112

4.2.2 Technique d'optimisation simultanée du bruit et de l'adaptation d'entrée ... 114

(10)

Sommaire

4.2.3 Technique d'optimisation de bruit contrainte par la puissance (OBCP) ... 1149

4.2.4 La technique d'optimisation simultanée du bruit et de l'adaptation d'entrée .. 120

contrainte par la puissance (SCPBAE) 4.2.5 Simulation du LNA conçu ... 127

4.3 Co-intégration du filtre avec l'amplificateur de faible bruit (LNA) ... 130

4.4 Conception du Layout du Filtre-LN A ... 136

Conclusion et perspectives ... 146

(11)

Introduction générale

Introduction générale

Le marché de la communication mobile sans fil s'est développé très rapidement ces dernières années, suite à une augmentation exponentielle de la demande des utilisateurs de l'information et du besoin associé de réseaux. La croissance rapide des applications des produits sans fil exige une faible puissance de consommation, un bas coût, et un rendement élevé des circuits intégrés radiofréquences (RFICs). L'effort de recherche s'est concentré sur de nombreux domaines d'application, tels que les téléphones sans fil (GSM), le système de positionnement global (GPS), et les réseaux radio locaux (WLANs). L'augmentation du niveau d'intégration a été la principale préoccupation en conception d'émetteurs-récepteurs pour les applications sans fil. Une intégration élevée des circuits RFICs réduit la complexité de la carte électronique (PCB) tout en abaissant le coût des composants. Les systèmes émetteurs-récepteurs réalisés sur une puce en technologie CMOS se développent aujourd'hui rapidement sur le marché sans fil, marché qui pendant des années avait été dominé par les réalisations bipolaires et BICMOS puisque ces technologies autorisent des fréquences de coupure relativement élevées. Pour le moment la technologie CMOS est devenue une alternative attrayante pour des applications RF dans la gamme de fréquence du gigahertz.

Dans les systèmes de communications RFICs actuels, le bloc d'entrée d'un récepteur sans fil est constitué d'un filtre et d'un amplificateur à faible bruit fabriqués séparément c'est-à-dire sur des puces différentes. La fonction principale de ce bloc est de filtrer et amplifier le signal pour avoir le meilleur rapport signal à bruit possible. Le but de notre recherche est de réduire au maximum la taille de ces deux composants, ainsi que leur coût et d'obtenir les meilleures performances en les co-intégrant sur une même puce. Nous avons étudié la possibilité de la co-intégration des filtres RF à ondes de surface avec l'amplificateur LNA sur un même substrat Si pour le GSM. Cette co-intégration nécessite le dépôt d'une couche de matériau très piézoélectrique ZnO sur le Si pour renforcer le couplage électromécanique qui conditionne la bande passante du filtre.

(12)

Pour le moment, les systèmes de réception cellulaires utilisent des filtres céramiques ou à ondes acoustiques de surface (SA W) générées par des peignes interdigités (IDT). Le premier présente des handicaps tels que la taille importante et la structure hybride. Une intégration monolithique des filtres RF à SAW, et plus récemment des filtres à onde de volume en film mince (FBAR), sur un substrat semi-conducteur est très souhaitable pour autoriser l'introduction de nouvelles fonctionnalités et la réduction de taille. La conception-optimisation des filtres à SA W nécessite comme étude préalable 1' analyse et la détermination des caractéristiques des modes acoustiques en fonction des matériaux et de la géométrie du dispositif. Notre recherche a porté sur la modélisation des résonateurs à SAW d'une part, et la synthèse et l'optimisation des filtres en utilisant plusieurs résonateurs (structure en échelle) d'autre part. L'objectif d'intégration monolithique de ces filtres RF impose de les développer sur des matériaux semi-conducteurs tels que le Silicium ou le GaAs. Ces matériaux étant peu ou pas piézoélectriques, une couche de matériau fortement piézoélectrique (ZnO, AIN, GaN, LiNb03) est conjointement utilisée pour améliorer le couplage électromécanique (K2) et par

conséquent le rendement et la bande passante des dispositifs. Cette thèse est divisée en trois grandes parties (étude des filtres, étude du LNA et de la co-intégration de ces deux composants) organisées en quatre chapitres:

Dans le premier chapitre, nous rappelons les notions essentielles sur les ondes acoustiques de surface (SA W) et leur propagation dans des structures multicouches et piézoélectriques. Nous passerons en revue deux méthodes de résolution de l'équation de propagation qui sont la méthode des matrices de transfert et la méthode de la résolution polynomiale ou de Laguerre. Ensuite, nous rappellerons les notions de base concernant la génération et la détection des SA W à partir des transducteurs (IDT) à peignes interdigités, le fonctionnement de l'IDT et les notions de base sur sa fonction de transfert. Enfin, à partir d'un schéma équivalent, nous présenterons les formules de la conductance, de la susceptance et de l'admittance électrique d'un transducteur.

Dans le deuxième chapitre, nous présenterons 1' analyse, par la méthode des modes couplés (COM), d'un filtre en échelle composé de six résonateurs, dans la gamme de fréquence autour de 945 MHz, développé sur une structure à deux couches composée d'un

(13)

surface d'ordre supérieur des coefficients de couplage K2 de l'ordre de 5,8% avec un

coefficient de métallisation de 0,5. Nous présentons ensuite l'optimisation des performances pour les SA W, notamment par le choix de : - 1' épaisseur de la couche piézoélectrique - la localisation des IDTs- la métallisation ou non de la surface ou de l'interface- l'orientation cristalline du substrat et la direction de propagation- l'épaisseur des doigts de l'IDT. La fonction de transfert d'un filtre à ondes de surface de type résonateurs en échelle est présentée. Cette fonction de transfert confirme qu'il est possible d'intégrer sur substrat Si les filtres requis pour les systèmes GSM, DECT, etc .... Nous avons mis au point la technologie nécessaire et nous avons réalisé plusieurs prototypes de filtres sur Si avec une couche piézoélectrique de ZnO en caractérisant le gabarit et les pertes.

Dans le troisième chapitre, nous présentons des informations étendues et détaillées au sujet de l'analyse architecturale de bruit du LNA en utilisant la configuration source inductive pour établir le principe de fonctionnement et les limites sur la performance de bruit du transistor MOS et nous passons en revue les amplificateurs LNA dans diverses technologies dans la gamme de fréquence 900MHz-2,4GHz. Nous détaillons les formules nécessaires pour la conception d'amplificateurs LNA, et nous discutons deux techniques d'optimisation de bruit : le calcul de la figure minimum de bruit (NF min) en fixant la transconductance Gm de l'amplificateur et le calcul de NFmin en fixant la puissance consommée par l'amplificateur. Ensuite, nous effectuons les calculs numériques et la simulation pour la conception du LNA

--~u-~pe_f~O§ _5!n utilisant tr<:)iS _!~chno)og!es _ciiff~rentes:O,l8J.Lm,_ _0_,_25J.Lm et 0,35J.tm, un algorithme de suivi de calcul pour la conception du LNA sera proposé. Un schéma complet du LNA et des détails d'implémentation sont discutés. Des résultats de simulation de ce circuit LNA complet pour différents types d'inducteurs sont analysés: un LNA conçu avec des inductances fabriquées avec un processus épais en métal (3,1!-!m), avec un processus standard

(1 ,1 !lm), un LNA conçu en négligeant le facteur de qualité Q des inductances et un LNA dont toutes les inductances utilisées dans le circuit complet possèdent le même facteur de qualité Q=6.

Enfin dans le quatrième et dernier chapitre, nous analysons en détail les techniques d'optimisation de bruit et d'adaptation du CMOS LNA. Ces techniques nous permettent de faire une analyse complète de la conception de notre LNA afin d'arriver à une meilleure optimisation de bruit et à une meilleure adaptation en entrée et en sortie. Les résultats de

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nous décrivons la co-intégration du LNA ainsi réalisé avec le filtre cité ci-dessus. Des résultats de simulation de l'ensemble filtre-LNA pour quatre types d'inducteurs sont analysés: Filtre- LNA conçu avec des inductances fabriquées avec un processus épais en

métal (3,1~m), avec un processus standard (l,l~m), Filtre-LNA conçu en négligeant le

facteur de qualité

Q

des inductances et Filtre-LNA complet en utilisant des inductances qui possèdent toutes le même facteur de qualité

Q

= 6. Un projet de fabrication (Lay-out ou Microphotographie) de l'ensemble filtre-LNA est présenté. Enfin, une conclusion générale formule des suggestions pour les travaux futurs.

(15)

Chapitre I: Notions essentielles sur les ondes acoustiques de surface

Chapitre 1:

(16)

1.1. Introduction

C'est le savant anglais Lord Rayleigh qui fut le premter à décrire en 1885 les propriétés d'une onde de vibrations mécaniques localisée très près de la surface d'un solide et dont l'amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur, d'où le nom d'onde élastique de surface 111•

Ce n'est qu'en 1965, 80 années après la découverte de Lord Rayleigh, que les ondes de surface trouvent des applications directes en électronique avec l'invention des transducteurs à peignes interdigités par White et Voltmer 121• C'est par la suite que les lignes à retard, les filtres et les résonateurs à ondes de surface ont vu le jour 13•41.

L'intérêt des ondes de surface et leur application en électronique découlent d'un grand nombre de raisons dont voici les deux principales :

Elles se propagent à une vitesse de 1' ordre de 3000 mis, soit 105 fois moins rapidement que les ondes électromagnétiques. Ceci permet de réaliser des composants miniaturisés (entraînant la réduction de leur coût), souci permanent des industriels. Par exemple, pour obtenir un retard de 3 1-1s, il faut un câble coaxial de 900 m. Le même retard peut être obtenu en utilisant une ligne à retard à ondes de surface de 9 mm.

Une méthode possible pour la génération et la détection des ondes de surface est l'utilisation des transducteurs interdigités fabriqués par les techniques bien maîtrisées de la microélectronique. Ceci permet le fonctionnement de dispositifs à ondes de surface à des fréquences jusqu'alors interdites élargissant ainsi leur champ d'applications.

Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux notions essentielles sur la propagation des ondes acoustiques de surface dans des structures multicouches où chaque couche peut être un matériau quelconque anisotrope et piézoélectrique. La génération des ondes acoustiques est rendue possible sur de petites surfaces par 1 'utilisation des matériaux III-V et de leurs alliages qui sont à la fois semi-conducteurs et piézo-électriques. Les ondes induisent des déformations mécaniques ainsi qu'un champ électrique résultant de la piézoélectricité du substrat 141• Nous

(17)

Ensuite, nous allons introduire les notions élémentaires concernant la génération et détection des ondes de surface en utilisant les transducteurs piézoélectriques à peignes interdigités (IDT). Après avoir examiné le principe de fonctionnement du transducteur à électrodes en forme de peigne, nous allons passer en revue les notions de base sur sa fonction de transfert. Enfin, nous présentons la conductance, la susceptance et 1' admittance électrique d'un transducteur simple en se basant sur un schéma équivalent 181•

1.2. Les ondes acoustiques de surface

Le terme onde de surface s'applique en principe à toute déformation qui se propage en n'ébranlant qu'une faible épaisseur de la matière de l'ordre de quelques longueurs d'onde acoustique J.... Il existe plusieurs types d'ondes de surface tels que: les ondes de Rayleigh, les ondes de Bleustein-Gulyaev, et les ondes de Love [t.l,3,Z91. Dans notre étude nous nous intéresserons aux ondes de Rayleigh.

Les ondes de Rayleigh

Ces ondes qui ont été découvertes par Rayleigh en 1885, sont des ondes qui se propagent dans un milieu semi-infini en contact avec un milieu d'impédance acoustique faible tel que l'air 1101 et qui s'annulent à une profondeur de l'ordre de 2').. à l'intérieur du matériau. Les déformations mécaniques provoquées par ces ondes sont localisées dans une épaisseur de l'ordre de la longueur d'onde acoustique, l'amplitude de l'onde s'atténue donc très rapidement avec la profondeur. Les ondes de Rayleigh sont non dispersives (la vitesse de propagation est indépendante de la fréquence). Dans les milieux isotropes, la vitesse de l'onde de Rayleigh est comprise entre les vitesses des ondes acoustiques transversale ~ et longitudinale

v; .

Cette onde possède une composante longitudinale et une composante transversale déphasées de 7C contenues dans le plan défini par le vecteur d'onde et la normale

2

à la surface libre du solide appelé plan sagittal dans lequel le vecteur de polarisation décrit une ellipse 141 comme le montre la figure 1.1.

(18)

Chapitre 1: Notions essentielles sur les ondes acoustiques de sur{àce

La vitesse de l'onde de Rayleigh Vr est déterminée par une équation du 3ème degré en

(V

₁/~ )2 obtenue en tenant compte de 1' annulation des contraintes au niveau de la surface 141•

avec

v,,

v.=

~c" -c~, ,

V.=

re;:

2p

v-;

(I-1)

p : masse volumique

C_{11 ,}et C₁₂: constantes élastiques du milieu isotrope.

Lorsque le milieu est anisotrope, il existe une troisième composante perpendiculaire au plan sagittal. La polarisation qui reste elliptique est alors contenue dans un plan incliné par rapport au plan sagittal. La figure 1.2 montre le déplacement des particules dans le plan sagittal l' orsque l'onde se propage.

Figure 1.1: Onde de Rayleigh à la surface d'un matériau isotrope

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~r11'\_--. L.. T •:/_ ..

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. 'l -.-. -\ I ... _

...

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(19)

Chapitre I: Notions essentielles sur les ondes acoustiques de sur(ace

1.3. Propagation des ondes acoustiques dans une structure multicouches

et piézoélectrique

1.3.1. La piézoélectricité

La piézoélectricité est la capacité d'un milieu élastique à convertir l'énergie mécanique en énergie électrique et inversement 1131• Une structure piézoélectrique soumise à des effets extérieurs engendrant des champs de déformations et de contraintes internes produit un champ électrique: c'est l'effet direct qui a été mis en évidence en 1880 par les frères Pierre et Jacques Curie 141• Ils mettent en évidence non seulement 1' existence du couplage entre les grandeurs mécaniques et électriques dans certains matériaux mais prédirent aussi dans quelles structures cristallines pouvait apparaître ce type de comportement. Inversement, sous l'influence d'un champ électrique, une structure piézoélectrique est le siège d'un champ de déformations et de contraintes : c'est 1 'effet inverse découvert par les mêmes personnes. Le mécanisme mis en jeu consiste en des variations de la polarisation ionique: sous l'action d'une contrainte mécanique les centres de gravité des charges positives et négatives ne coïncident plus, il en résulte une polarisation électrique. Inversement, l'application d'un champ électrique provoque l'apparition de forces électrostatiques équilibrées par des forces élastiques induites responsables des déformations mécaniques.

1.3.2. Equations de propagation des ondes acoustiques dans un milieu piézoélectrique

La propagation des ondes de surface dans un milieu piézoélectrique est régie par le principe fondamental de la dynamique de Newton :

i ,}=1,2,3 (I-2)

où:

u; :est la composante du déplacement mécanique suivant l'axe i,

T;j : les composantes du tenseur des contraintes.

Les contraintes Tij et l'induction électrique D; sont exprimées en fonction de la déformation Ski et du champ électrique E k par les relations suivantes 14• 14•241 :

(20)

Chapitre 1: Notions essentielles sur les ondes acoustiques de surface

où:

(1-3)

(1-4)

eifel sont les constantes piézoélectriques reliant les contraintes au champ électrique

ou les tenseurs de piézoélectricité d'ordre 3,

eik est le tenseur de permittivité d'ordre 2,

cijkl est le tenseur de rigidité.

Il est à noter que du fait de la piézoélectricité, les constantes Cükl et eik employées

dans ces équations sont exprimées respectivement à champ électrique constant et à

déformations constantes.

L'induction électrique D doit satisfaire à l'équation de Poisson dans un milieu isolant:

(1-5)

Dans un matériau piézoélectrique, 1' interdépendance entre les grandeurs électriques et mécaniques dans les équations constitutives du milieu piézoélectrique implique un couplage entre ondes élastiques et électromagnétiques. Le problème de la propagation ne peut, en principe, être traité complètement qu'en résolvant en même temps l'équation de Newton et les équations de Maxwell. Mais même dans un matériau fortement piézoélectrique, l'interaction entre ondes acoustiques et ondes électromagnétiques est faible puisque leurs vitesses respectives sont très différentes. Il est alors possible d'étudier la propagation des ondes

acoustiques en admettant que le champ électrique associé à 1 'onde acoustique est statique par

rapport aux phénomènes de propagation électromagnétique.

En supposant que nous sommes dans le cas d'un problème quasi-statique, les équations de Maxwell s'écrivent:

- - 8B

-rot E=--=0

(21)

où E k est la composante du champ électrique

Ë

dérivant du potentiel scalaire t/J •

En remplaçant les tenseurs S Id etE k par leurs expressions, le système d'équations

(1-3) et (1-4) devient :

(1-8)

(1-9) Nous considérons que la conductivité du matériau est négligeable. En reportant la relation

(1-8) dans l'équation du mouvement (1-2) et la relation (1-9) dans (1-5) nous obtenons le système d'équations de propagation suivant:

forme:

où:

(1-1 0)

(1-11)

Etant donné que les ondes sont progressives, on cherche une solution harmonique de la

u; =Ut

exp(jw~-njxj

lvP))

t/J

=

t/Jo exp(jw(t-n jxj lv P ))

(1-12) (1-13)

les n j sont les composantes du vecteur unitaire définissant la direction de propagation,

u;

et t/Jo sont des constantes indépendantes de t et dexj.

En reportant ces expressions dans le système d'équations (I-10), (I-ll) et en posant:

(1-14) (1-15) (I-16)

(22)

Ce système devient :

(1-17) (I-18)

L'élimination du potentiel électrique f/J₀ entre ces deux équations donne l'équation tensorielle

suivante appelée équation de Christoffel :

(1-19)

où

ôu

est le symbole de Kronecker,

ru

est le tenseur de Christoffel défini par :

(1-20)

en posant:

(1-21)

Les quantités Cijki , appelées constantes élastiques durcies ne sont pas de vraies

constantes élastiques car elles sont définies pour des ondes élastiques planes et elles dépendent de la direction de propagation.

La matrice de Christoffel

ru

est symétrique, ses valeurs propres sont donc réelles et ses vecteurs propres orthogonaux. A ces derniers correspondent trois ondes planes se propageant dans la même direction.

Dans un milieu anisotrope, ces trois ondes de polarisations données par les vecteurs propres, correspondent aux ondes planes suivantes :

onde quasi longitudinale (sa polarisation est très voisine de la direction de propagation)

onde transversale quasi verticale onde transversale quasi horizontale

(23)

Chapitre I: Notions essentielles sur les ondes acoustiques de sur(ace

1.3.3. Conditions aux limites

L'équation de propagation de l'onde de surface doit satisfaire aux conditions aux limites suivantes:

..,. Continuité des tensions (des contraintes) mécaniques normales et du potentiel électrique aux interfaces .

..,. Annulation des contraintes mécaniques normales sur une surface mécaniquement libre . ..,. Annulation du potentiel électrique sur une surface métallisée .

..,. Continuité de la composante normale de l'induction électrique sur une surface non métallisée.

Dans le cas des hétérostructures anisotropes piézoélectriques, ces conditions doivent être vérifiées à chaque interface entre deux matériaux. L'équation de propagation devient très complexe, sa résolution s'obtient par des méthodes numériques. Il existe deux grandes familles de méthodes pour la résolution de cette équation : La résolution par les matrices de transfert 191, et la méthode polynomiale de Laguerre 151•

• les méthodes qui utilisent les matrices de transfert et qui ont donné lieu à une littérature abondante 19-111, méthodes qui aboutissent toujours à une équation caractéristique dont il faut rechercher les zéros.

• les méthodes polynomiales de Laguerre 15'6'121 qui incorporent directement dans les équations de propagation les contraintes imposées par la structure. Ces méthodes aboutissent à une équation aux valeurs propres et vecteurs propres qui restituent la vitesse des ondes guidées et permettent le calcul des profils des champs.

1.3.4. Méthodes de résolution de l'équation de propagation

Dans 1' exposé, nous supposons une propagation suivant x₁, une profondeur de la

(24)

Chapitre 1: Notions essentielles sur les ondes acoustiques de surface Cœcben• 1 hl XI Cœcben•2 hl hlil-l Cœcben• N-1 Cœcben• N ~1 hliT

Figure 1.3: Description de la structure et du système de coordonnées utilisé.

Les solutions recherchées seront donc de la forme suivante :

ua(xpx2

,t)=

Aa(x2

)exp(im(s

1x1

-t))

~(xpx

₂

,t)= B(x2

)exp(im(s

1x1

-t))

a= 1,2,3 (I-22)

(I-23)

où u et~ désignent respectivement le déplacement mécanique et le potentiel électrique, s la

lenteur dans le matériau. Les profils Aa (x2 ) et B(x2 ) des ondes de surface sont des grandeurs

à déterminer.

Chaque matériau comme le montre la figure 1.4, est caractérisé par son tenseur de rigidité« C », son tenseur piézoélectrique « e », son tenseur des constantes diélectriques ou permittivités« 8

»

et sa masse volumique« p ». Les constantes élastiques, piézoélectriques

et les permittivités doivent être explicitées dans le repère de travail en utilisant les formules classiques de transformation tensorielle 171•

0 co eo '20 po hl cl el '21 pl h2

r?

él

p2 h3 hN CH eN EN PN

(25)

1.3.4.1. Méthode des matrices de transfert

La description initiale des matrices de transfert est attribuée à Thomson !lSl. La

littérature sur le sujet est abondante et les références 19-11'251 peuvent constituer une

documentation de base concernant le traitement des modes guidés dans les structures multicouches. Les calculs de la résolution par matrice de transfert s'inspirent essentiellement des références 116" 171•

La méthode des matrices de transfert nécessite en premier lieu de déterminer une matrice de transfert locale qui relie les grandeurs sur une face d'une couche aux grandeurs sur l'autre face de cette couche.

Pour une couche individuelle, toute grandeur d'une onde de surface est obtenue par superposition des différentes solutions modales partielles dans le volume. Ces dernières devront satisfaire la loi de Snell-Descartes aux interfaces c'est-à-dire présenter la même

composante s₁de la lenteur. Toute composante d'une grandeur de champ s'écrira donc:

C

=

ÎArC(r)ejw(s

1 x

1 +s~'lx

2 -t)

_(I-24)

r=l

où : R est le nombre de modes propres permis physiquement,

c(r) est 1' amplitude de la composante correspondante du mode de volume

(r)

considéré,

s;r) est la lenteur suivant x₂ pour le mode

(r)

considéré,

Ar est l'ensemble des coefficients de pondération sur les modes propres à déterminer par les conditions aux limites.

Dans une couche, huit modes sont physiquement permis : un mode longitudinal, deux modes transverses et un mode électrostatique avec pour chaque mode, propagation à x₂croissant et

x₂décroissant. Dans le substrat subsisteront quatre modes physiquement permis

correspondant dans le système d'axes choisis à des ondes se propageant à x₂croissant.

En vue d'une résolution du problème par la méthode des matrices de transfert, les variables choisies sont les grandeurs continues aux interfaces 1111 • Ainsi, on définit un vecteur

(26)

d'état r dont les composantes sont les contraintes normales, le déplacement électrique normal, les vitesses de déplacement des particules et le potentiel électrique :

(I-25)

où l'exposant t désigne ici transposé, r est donc un vecteur colonne.

L'état du système est entièrement déterminé par la connaissance de ce vecteur d'état r . En effet toutes les autres grandeurs peuvent s'exprimer à partir des huit composantes de ce vecteur.

La première étape consiste donc à rechercher les solutions modales partielles en volume pour chacun des matériaux constitutifs de la structure multicouche. Les équations dynamiques et les équations constitutives permettent d'écrire un système d'équations différentielles couplées du premier ordre faisant intervenir les composantes du vecteur r 1161:

OT .

-=;mAr

ôx₂ (I-26)

où la matrice A est une matrice (8x8) dans laquelle interviennent le paramètre d'itération qui est aussi la lenteur des ondes de surface s 1 = k1 / m où OJ est la pulsation de 1' onde, et toutes

les grandeurs caractéristiques du matériau. Cette matrice est indépendante de la fréquence. L'avantage de cette méthode est qu'elle ramène le problème de l'obtention des modes partiels ou modes propres de volume à la résolution d'un système aux valeurs propres et vecteurs propres. Des valeurs propres, on tire

s~r)

=

k~')

où k; est une constante de propagation en

(J)

x₂• Les amplitudes respectives des différentes composantes du vecteur r sont déduites pour

chacune des solutions modales partielles. On peut dès lors exprimer la matrice de transfert relative à une couche, puis la matrice de transfert globale P de la structure qui permet de relier le vecteur d'état r0 en surface x2 = 0 au vecteur d'état sur la dernière interface

(27)

Le vecteur d'état r étant continu sur chaque interface, la matrice globale

P

s'écrit:

où le symbole

*

désigne ici le produit de matrices. L'injection des conditions à la limite supérieure de la structure

1';

2

=

T22 = T32 = 0 en surface

mécaniquement libre, associées à ~ =0 pour une surface métallisée, ou à la continuité du vecteur D pour une surface non métalisée, pennet de calculer pour le paramètre

s

₁ choisi initialement, les coefficients de pondération A, introduits dans l'équation (I-24).

La deuxième étape consiste à déterminer par itération les valeurs acceptables du paramètre s1 •

Pour cela, on utilise le concept de la permittivité effective de surface qui relie le potentiel électrique ~ sur la surface x2

=

0, qu'on peut écrire encore ~(x

2 =

0 }, à la densité de charge

a. ( j li = -::---::-...,--.,....----_.,.... eff [abs(msl ~(x2 = 0 )] (I-27)

a=D;(x

2

=0)-D;(x

2

=0}

où a- est calculé à partir de la condition de passage du déplacement électrique à la surface de la structure,

n;

(x2

=

0) représente le déplacement élecrique normal à la surface côté vide et

D;

(x₂

=

0) représente le déplacement électrique normal à la surface côté structure.

n;

(x2

=

0) est déterminé à partir de la résolution de l'équation de Laplace dans le vide. Dans le cas d'une surface libre1301, la condition a=O impose lieff

=

0. Pour une

surface métallisée, r/J(x₂

=

0) impose lllieff

=

0. Les valeurs de s₁relatives aux situations de

surface libre et surface métallisée correspondront respectivement aux zéros et aux pôles de

li eff . Or, si on considère 1' expression de li eff , toutes les grandeurs dans le membre de droite

ont déjà été calculées en fonction du paramètre itératif s1 dans la première étape. Le problème

est donc ramené à une recherche des pôles et des zéros de la fonction li eff en fonction de s ₁•

Une fois ce paramètre déterminé, on peut alors calculer les profils de toutes les grandeurs dans toute la structure.

(28)

1.3.4.2. Méthode de la résolution polynomiale ou de Laguerre

L'analyse de la propagation des ondes de surface par l'approche polynomiale de Laguerre est proposée par Maradudin 1121• Elle a été introduite dans les années 70 et, a donné lieu à une littérature abondante. Les références 17• 15' 181 constituent une documentation de base

dans le domaine. Elle est développée pour une structure multicouche dans un milieu semi-infini par Datta & Hunsinger 1191 et est appliquée à des structures piézo-électriques par Kim &

Hunt 1201 et Thompson & Weiss 1211.

Les polynômes de Laguerre forment une base orthonormée complète dans le demi-espace x₂>0. Toute fonction de carré sommable et continue par morceaux peut donc être développée dans cette base. ua et ~ sont donnés par:

co ua

=

LP:~cx2) > ejklxl (I-28) m=O co ~ = LrmJm(x2) > ejktxt (I-29) m=O

où k₁représente l'amplitude du vecteur d'onde dans la directionx₁•

k2x2

avec Jm(x₂)) = e--2-Lm(x2)où Lm est le polynôme de Laguerre d'ordre m,p: et rm sont les

coefficients du développement en polynômes de Laguerre du déplacement et du potentiel respectivement.

La résolution polynomiale utilise la fonction échelon B(x_{2 )} définie comme suit:

B(x,) =

{~

si

x

₂;::: 0

ailleurs (I-30)

Cette fonction permet d'incorporer automatiquement les conditions aux limites dans les relations constitutives 171 :

(29)

Chapitre 1 : Notions essentielles sur les ondes acoustiques de surface (1-32) avec: N c;:bd(Xz) =

c~cbdB(xz)

+

L

(c:cbd-

c.::,:~ ~(Xz-

hp) (1-33) p=l N

e~Jx

₂

)

=

e~cB(x

2 )+

I(e:Oc-

e;a~

}1(x

2 -hp) (1-34)

p=l

N

c:;:(x

₂

)=&~dB(x

₂

)+ I(c~ -&~-

1

_)9(x

2

-hP) (I-35)

p=l

En réinjectant les expressions 33), 34), 35) dans les équations constitutives 31) et

(I-.

8

2_u.

ar;.

32), et dans l'équation de propagatiOn p -₂- ' = __ r; , puis en substituant à la masse

at

axj

volumique p 1' expression suivante :

N

PM (xz) = poB(xz)+ L{PP- P:-1

~{xz

-hP) (1-36) p=l

où hP représente la profondeur de la couche p suivant la Figure 1.3, le problème se ramène à

une équation aux valeurs propres et vecteurs propres de type :

(I-37) où la matrice M est entièrement déterminée par les paramètres des matériaux des différentes couches et du substrat. La valeur propre 01 est la vitesse de propagation de l'onde de surface.

k

Le vecteur propre correspondant donne les distributions respectivement des champs du déplacement mécanique du potentiel électrique, du déplacement électrique, et des constantes mécaniques et électriques en utilisant les équations (I-28), (I-29), (I-31 ), (I-32). Les déplacements et le potentiel développés en polynômes de Laguerre contiennent un nombre infini de termes. Pour le calcul numérique, ces développements seront tronqués à l'ordre net la matrice

M;':!;

sera donc une matrice carrée de dimension (3n+3). Parmi les (3n+3) valeurs

(30)

propres obtenues, on retiendra celles qui convergent lorsque l'ordre n de la troncature est incrémenté.

La méthode basée sur les polynômes de Laguerre est facile à programmer 17,3°1• Les

équations aux limites incorporées dans les équations du champ sont automatiquement prises en compte. La vitesse de propagation de l'onde est obtenue comme une valeur propre d'une matrice prédéterminée contenant toutes les grandeurs caractéristiques des différents matériaux constituant la structure multicouche. Les distributions des champs sont obtenues par une combinaison linéaire de fonctions orthonormées faciles à manipuler, les coefficients étant fournis par le vecteur propre associé à la valeur propre choisie.

1.4 Génération et détection des ondes de surface

Les ondes de surface ont l'avantage d'être excitées et détectées sur des substrats piézo-électriques par des transducteurs à doigts de technologie planaire. Il paraît nécessaire de faire quelques rappels sur le fonctionnement du transducteur et ses propriétés parmi lesquelles on peut citer les différents paramètres électriques et acoustiques modélisant le transducteur.

Un transducteur à peignes interdigités a pour fonction de transformer une énergie électrique en énergie mécanique et inversement. Le transducteur à peignes interdigités (IDT), inventé en 1965 par White et Voltmer 121 , est composé de deux rangées d'électrodes métalliques interdigitées déposées sur un substrat piézoélectrique. Chaque électrode est composée de plusieurs paires de doigts comme représenté sur la Figure 1.5.

1.4.1 Principe de fonctionnement des transducteurs interdigités (IDT)

L :

Substrat piézoélectrique

(31)

La méthode de génération des ondes acoustiques de surface dans notre structure est basée sur l'utilisation des propriétés piézoélectriques du substrat et consiste en 1 'utilisation d'électrodes interdigitées posées sur l'interface air/ substrat. L'application d'une tension électrique U entre les deux électrodes de l'IDT entraîne, sur les doigts des peignes, une accumulation de charges avec des signes alternés d'un doigt à son voisin. Il y a donc création d'un champ électrique E entre chaque paire de doigts. En raison de l'effet piézoélectrique, ce champ engendre des compressions et des dilatations près de la surface. Ces déformations provoquent des déplacements qui donnent naissance aux ondes de surface (en anglais Surface Acoustic Waves : SA W) émises perpendiculairement aux doigts du peigne.

Un IDT se comportant comme une suite de sources ultrasonores, les vibrations générées par chaque paire de doigts doivent interférer de façon constructive. Ceci n'est réalisé que si la distance d séparant deux doigts adjacents est égale à la demi-longueur d'ondeÂR /2. L'effet cumulatif des contributions de chaque paire de doigts n'a lieu qu'à une fréquence fo

appelée fréquence de synchronisme ou de résonance et définie par 141 :

(I-38)

où VR est la vitesse de l'onde de Rayleigh et d la distance entre doigts.

Si la fréquence s'écarte de cette valeur, l'interférence entre les signaux élastiques émis par les différentes paires de doigts n'est plus totalement constructive et le signal résultant est moindre. Il apparaît ainsi que la bande passante d'un transducteur est d'autant plus étroite qu'il comporte plus de doigts.

Il faut noter que les ondes de surface peuvent également être excitées par d'autres méthodes, comme par exemple par un faisceau laser de puissance (effet thermo-acoustique : méthode utilisée pour la détection non destructive des défauts dans des objets solides) 1221, par

(32)

1.4.2 Réponses fréquentielle et temporelle du transducteur IDT

1.4.2.1 Détection d'une onde de surface

Figure 1.6: IDT émetteur et récepteur

Pour relever la réponse impulsionnelle d'un transducteur, il faut recueillir le train

d'onde élastique émis à l'aide d'un second IDT placé à une distance L du premier

transducteur. Il apparaît sur le transducteur récepteur un signal électrique avec un retard dû à

la vitesse de propagation de 1' onde acoustique. Ce retard dépend de la vitesse de 1' onde dans le matériau et de la distance entre l'IDT récepteur et l'IDT émetteur (Figure 1.6). Les caractéristiques du signal ainsi recueilli dépendent du nombre de doigts du récepteur 141•

1.4.2.2 La fonction de transfert d'un transducteur

La réponse fréquentielle qui est une fonction de transfert d'un transducteur simple à N paires de doigts se déduit de sa réponse impulsionnelle. Une impulsion, brève devant le temps de transit de 1' onde de Rayleigh entre deux doigts, appliquée aux électrodes excite

simultanément les différentes parties du transducteur. Comme le champ électrique s'inverse à

chaque intervalle entre doigts, le signal élastique émis a une période spatiale 2d . Sa durée 0 est égale à la longueur active du transducteur L

=

2Nd divisée par la vitesse de 1' onde de Rayleigh 141 :

(33)

En assimilant cette réponse impulsionnelle de durée 8 à une sinusoïde de fréquence fo , la réponse fréquentielle égale à la transformée de Fourier, est une courbe en (sin X)/ X où X

est donné par 141 :

(1-40)

La bande passante à trois décibels (X

=

±0.8851l" 1 2) est inversement proportionnelle au nombre de paires de doigts N :

tJ.f::::: 0,885

fo- N (I-41)

En pratique, pour relever la réponse impulsionnelle d'un transducteur, il faut transformer le train d'ondes élastiques émis en signal électrique à l'aide d'un transducteur récepteur, par exemple aussi à électrodes interdigitées. Le champ électrique qui accompagne 1' onde élastique, induit, lorsque celle-ci passe sous les électrodes, une différence de potentiel variable au cours du temps. La forme du signal dépend du nombre de doigts du récepteur :

..,.. Si le récepteur à une seule paire de doigts (fig. 1.7.a) ; la détection est localisée sur une ligne parallèle aux fronts de l'onde ; le signal électrique reproduit fidèlement le signal élastique au fur et à mesure qu'il défile sous le récepteur .

.... Si le récepteur est identique à l'émetteur (fig. 1.7.b), l'amplitude de la tension électrique détectée augmente à partir de l'instant r = L/VR où le front avant du train d'ondes élastiques atteint le premier intervalle interdigital du récepteur ; elle passe par un maximum à l'instant r

+

8 lorsque les différents éléments du récepteur sont simultanément excités puis décroît. La réponse impulsionnelle globale, d'enveloppe triangulaire et de durée 28 est la fonction d'autocorrélation de la réponse impulsionnelle d'un des transducteurs. La réponse fréquentielle de la ligne à deux transducteurs identiques est donc une courbe en [(sin X) 1 X ]2

dont la bande passante à trois décibels est :

tJ.f::::: 0,635

(34)

Figure J. 7: Réponse impulsionnelle de deux transducteurs à peignes : a)Récepteur à deux doigts

b) Récepteur identique à l'émetteur.

1.4.3. Schémas électrique équivalent d'un transducteur

Du point de vue électrique, un IDT est équivalent à un schéma parallèle ou série

(figure 1.8). o---~~~----~1 R.(ro) -- jXT(&)

G,..(m)

[ jBa(m}

[]iX.(m)

(a) Schéma série (b) Schéma paraDèle

(35)

Chaque schéma comporte deux parties 181 : la capacité totale des électrodes

CT

et deux termes qui représentent l'excitation d'onde acoustique qui sont la conductance Ga ( m) et la susceptance acoustique Ba ( m) .

L'impédance d'entrée pour le montage en série qui représente l'impédance totale de l'IDT Z(m) peut être écrite sous la forme suivante 181 :

(1-43)

où Ra ( {J)) est une résistance acoustique de rayonnement et la réactance totale du transducteur due aux effets acoustique et capacitif est donnée par (XT(m)+Xa(m)) qui est l'impédance globale : électrique + acoustique, ou encore électrique + motionnelle.

La résistance et les réactances séries d'entrée sont déduites à partir de la conductance, de la susceptance de rayonnement et de la capacité totale de l'IDT par les relations suivantes 181 :

Ra ( llJ)

=

Ga ( llJ) 2 G;(m)+(mCT +Ba({J))) (1-44) Xr(m) = -meT

G;

(m) +(meT +Ba (m))2 (1-45) X /OJ)

=

-Ba (m) 2

G;

(m) +(mer +Ba (m)) (1-46)

L'admittance totale (acoustique+ électrique) du circuit équivalent parallèle peut s'écrire :

(I-47)

1.4.4 Conductance et susceptance de rayonnement

L'impédance électrique d'un transducteur à électrodes interdigitées se compose de la capacité statique Cr et d'une impédance de rayonnement qui traduit l'émission d'ondes de surface. La conductance de rayonnement Ga ( m) variant avec la fréquence est nécessairement

(36)

accompagnée d'une partie imaginaireB0(0)). Cette conductance exprime que l'énergie

mécanique engendrée par le transducteur est égale à l'énergie électrique dissipée.

Dans le cas qui se rapporte au transducteur simple ( d

=

Cte , W = Cte ) et à la fréquence centrale, la conductance de rayonnement, pour (j) > 0 vaut 141:

(1-48) où K2

est le coefficient de couplage électromécanique du matériau donné et X = 7!N(f - fo) .

fo

La valeur G₀ à la fréquence centrale est proportionnelle à la largeur Wpar l'intermédiaire de

la capacité totale du transducteur. Cette expression est semblable, à un coefficient près, à celle établie par Smith et al. 1261 à partir du schéma équivalent de Masson et à celle obtenue par B. Auld 1271 à l'aide de la théorie des modes normaux, soit respectivement:

ou (1-49)

Pour tout système causal, la partie imaginaire de 1' admittance de rayonnement

Ba ((j)) est la transformée de Hilbert de la conductance :

B (m) = G sin(2X)- 2X

a 0

2X2 (1-50)

Ces différentes relations nous permettent de calculer 1' admittance de rayonnement pour un IDT donné en fonction de la fréquence, en prenant en compte la capacité statique Cr :

Y(/)=G (sinX)

2

+

·c

(j)

(_f_+7rK

2_Nsin(2X)-2XJ

(l-5l)

(37)

1.4.5 Capacité totale du transducteur

La capacité interdigitale Cr dépend non seulement du nombre de doigts constituant 1 'IDT et de la longueur de recouvrement des doigts W mais également du taux de métallisation

1J = a/d où a est la largeur d'un doigt et d la distance centre à centre de deux doigts voisins. Elle est définie par la relation suivante 1271 :

Cr = NC W K(sin(1Jn 1 2))

s K(cos(7Jnl2))

(1-52)

avec Cs

=

(s

0

+

&

P)

où &

0

est la permittivité du vide et s

P

est la permittivité effective du

substrat piézoélectrique. Elle est donnée par la relation 1281 :

(1-53)

les & ij sont les éléments du tenseur de permittivité

[s]

du matériau.

K(x) est l'intégrale elliptique, où x représente les variables sin(7J7i 1 2) et cos(17n 1 2).

1.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté des éléments théoriques relatifs aux ondes acoustiques de surface et à leur propagation dans les multicouches piézoélectriques. Deux techniques d'analyse des ondes de surface dans les structures multicouches piézoélectriques sont présentées. Ces deux techniques permettent de calculer la vitesse et les champs correspondants des ondes de surface.

Finalement, ce chapitre donne les éléments de base nécessaires sur les ondes de surface, éléments indispensables pour la conception des dispositifs utilisant ces ondes, filtres par exemple, que nous abordons dans le chapitre suivant.

(38)

Bibliographie du chapitre 1

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(41)

Chaoitre Il : Etude, modélisation et conception des filtres à ondes de surface

CHAPITRE II:

(42)

Chapitre II : Etude, modélisation et conception des filtres à ondes de surface

2.1 Introduction

Une nouvelle classe de filtres à ondes de surface (SA W) a été développée : elle utilise des résonateurs SAW à un accès (port) reliés électriquement dans des réseaux du type en échelle 11•21. Les investigations théoriques et expérimentales ont été faites sur les filtres SA W développés sur une structure ZnO/ substrat GaAs 131 • Visser 141 a présenté le résonateur SA W fonctionnant à une fréquence intermédiaire de 160 mégahertz basés sur une structure Zn0/Si02/ Si.

Dans ce chapitre, nous allons décrire un filtre SA W en échelle utilisant six résonateurs : il sera développé sur une structure à deux couches ZnO/Si avec des électrodes en aluminium à l'interface entre le ZnO et le Si. Nous décrivons en premier lieu, le modèle approché des modes couplés (COM) qui est l'outil de base utilisé dans notre analyse du résonateur. Chaque élément de ce résonateur c'est-à-dire: les réflecteurs, le transducteur et les gaps entre réflecteurs et transducteurs sont modélisés individuellement à 1' aide de la solution

générale des équations COM par une matrice de transfert. Comparé à d'autres modèles utilisés

pour la conception et l'analyse des dispositifs à SAW, le modèle des modes couplés (COM) fournit une approche efficace et très souple pour modéliser divers types d'électrodes, et a été largement appliqué dans la modélisation des dispositifs non dispersifs à SA W pendant de nombreuses années 15•6•71• Les paramètres des équations COM sont habituellement obtenus par

des mesures ou par une modélisation théorique 18•91• Récemment, quelques outils numériques précis pour analyser les propriétés des ondes de surface et calculer les paramètres COM ont été proposés 110' 11'121•

Dans ce chapitre également, la réponse en fréquence de ce filtre en échelle sur un film ZnO/Si est analysée et comparée aux résultats expérimentaux. Enfin, en dernier lieu, une autre étude utilisant les paramètres de circuit équivalent de« Lamped »142.431 pour ce résonateur à un accès a été menée afin de valider notre conception.