Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n’a pas valeur contractuelle

IS Math314 Année 2007

Examen deuxième session, 30 juin 2007, durée 3 heures.

– Ce sujet comporte 5 pages, incluant 2 tables statistiques.

– Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n’a pas valeur contractuelle.

– Documents autorisés : polycopié du cours IPE, polycopié du cours d’IS, diction- naire bilingue pour étudiants étrangers.

– Calculatrices autorisées.

Ex 1. Intervalle de confiance (2 points)

Le tableau ci-dessous donne un 100-échantillon observé d’une loi de Bernoulli de paramètre inconnu p.

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1) Calculez simplement la moyenne empirique et la variance empirique de cet échan- tillon¹.

2) En déduire un intervalle de confiance au niveau 96 % pour p par la méthode avec variance estimée. Quel résultat du cours vous permet de justifier cette méthode ? Ex 2. Vous reprendrez bien un peu de vecteurs gaussiens ? (4 points)

Soient X₁ et X₂ deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω,F, P), indépendantes et de même loi gaussienne N(0,1). Soienta et b des réels véri- fiant a²+b² = 1. On définit les variables aléatoires Y₁ etY₂ par l’égalité matricielle :

Y₁ Y₂

=

a −b b a

X₁ X₂

.

1) Expliquez sans aucun calcul pourquoi V = (Y₁, Y₂) est un vecteur gaussien de R².

2) Calculez le vecteur espérance et la matrice de covariance de (Y₁, Y₂). Comparez les lois des vecteurs (X₁, X₂) et(Y₁, Y₂).

3) Que peut-on dire du vecteur aléatoire image de (X1, X2) par une rotation de centre (0,0) et d’angle 38˚?

1En évitant ici la méthode consistant à entrer les données une par une dans votre calculatrice !

Ex 3. Un mélange de gaussiennes (6 points)

On considère le modèle statistique Ω,F,(P_θ)_θ∈[0,1]

et une variable aléatoire X : Ω→R, dont la loi sous P_θ a pour fonction de répartition F_θ définie par :

∀θ∈]0,1[, ∀x∈R, Fθ(x) = (1−θ)Φ

x−µ σ

+θΦ

x−µ 5σ

,

oùΦest la fonction de répartition de la loi N(0,1). Dans tout l’exercice, les paramètres µ∈R et σ∈]0,+∞[ sont supposés connus.

1) Quelle est la loi deXsousP₀? SousP₁?Indication :calculezP₀ (X−µ)/σ≤x).

2) Expliquez pourquoi la loi de X sous P_θ admet une densité f_θ et calculez la.

3) Calculez E_θX.

4) Calculez Var_θX.

5) Au vu du calcul précédent, proposez un estimateur T_n fortement consistant de θ, basé sur un échantillon X₁, . . . , X_n de v.a. indépendantes de même loi queX sousP_θ. 6) Lors d’une séance de T.D. sur machine à laquelle vous avez échappé, l’enseignante a demandé à son groupe de proposer une méthode de simulation de la loi deX sous P_θ. L’étudiant G. Duflair a proposé de définir une variable aléatoire Y par

Y := (σZ+µ)1{U >θ}+ (5σZ+µ)1{U≤θ},

oùU est une v.a. de loi uniforme sur[0,1]etZindépendante deU est gaussienneN(0,1).

Les variables U et Z sont fournies facilement par le générateur de nombre aléatoires utilisé. G. Duflair s’apprête à en tirer un programme Scilab, quand l’enseignante lui demande de justifier sa réponse. Pouvez vous l’aider ?

Ex 4. Podomètre (8 points)

Un podomètre est un appareil qui, fixé à la ceinture d’un marcheur, compte ses pas. Il est aussi capable de calculer approximativement la distance parcourue par le marcheur. La distance parcourue à chaque pas par un marcheur est une variable aléatoire X d’espérance µet d’écart type σ (ces quantités seront exprimées en mètres). Ces deux paramètres dépendent du marcheur et du type de terrain. On les supposera constants pour simplifier. Notons X_i la distance parcourue par le marcheur lors du i^e pas. Nous supposerons en outre que les X_i sont indépendantes et de même loi que X. Ce que le podomètre peut mesurer exactement est le nombre N de pas effectués. Pour estimer la distance parcourue enN pas, il affiche simplement la valeur du produitN µ. En pratique, le podomètre est réglé en usine avec une certaine valeur par défaut µ₀ en mémoire et chaque utilisateur a la possibilité de la remplacer par sa valeur personnelleµ. La distance parcourue lors desk premiers pas du marcheur est notée :

Sk:=

k

X

i=1

Xi (k ∈N^∗).

1) On suppose dans cette question que µ = 0,75 m et σ = 0,20 m. Après une randonnée, le podomètre affiche N = 12 764 pas et estime la distance parcourue à

9 573 m. En justifiant votre réponse, proposez un intervalle [a, b] tel que la distance réellement parcourue S_N vérifie :

P(a ≤S_N ≤b)'0,99.

2) Le manuel de l’utilisateur du podomètre explique comment évaluer µ(marcher sur une distance connue, par exemple un kilomètre entre deux bornes sur une route, et diviser cette distance par le nombre de pas). Par contre, il ne dit rien de σ et on peut seulement lire que la distance calculée par le podomètre est fournie avec une précision relative de ±10%.

a) Trouvez ε(N, µ, σ)tel que

P

1−ε(N, µ, σ)≤ S_N

N µ ≤1 +ε(N, µ, σ)

'0,99.

b) En supposant µconnue et σ inconnu mais tel que σ/µ ≤1/2, critiquez l’affirmation du manuel sur la précision relative.

3) En fait l’utilisateur du podomètre a quelques notions de statistique. Il lui paraît légitime de supposer que lesX_isont gaussiennes de loiN(µ, σ)et il applique la procédure suivante pour estimer µet σ.

– Il marche sur 10 km de borne à borne le long d’une route et note que son podomètre lui indique n= 13 158 pas. Il en déduit une valeur estimée µc_n(ω) deµ. Laquelle ? – Il enduit ses semelles d’un liquide coloré et effectue 25 pas sur une route gou- dronnée. Grâce aux traces de ses semelles, il peut mesurer les valeurs observées des v.a. gaussiennes Z₁, . . . , Z₂₅, où Z_i est la distance parcourue lors du i^e pas. Il calcule alors la variance empirique de cet échantillon et trouve0,008 5m². Il déter- mine ensuite grâce au théorème de Student un intervalle de confiance de la forme [0,σc₂₅(ω)[ pour σ, au niveau de confiance 99%. Expliquez comment et donnez la valeur de σc₂₅(ω).

Pourquoi n’utilise-t-il pas l’échantillon Z1, . . . , Z25 pour estimer µ?

4) Notre utilisateur voudrait bien déduire de son travail une formule d’encadrement de S_N avec grande probabilité (ici N est quelconque). Il introduit alors les évènements indépendants :

A:=n

N µ−2,575σ√

N ≤S_N ≤N µ+ 2,575σ√ No

(1)

B :=

µ− 2,575σ

√n ≤µc_n≤µ+2,575σ

√n

(n= 13 158) (2)

C :={σ < σc₂₅}. (3) a) Justifiez brièvement les égalités exactes² P(A) = P(B) = P(C) = 0,99.

b) En déduire que P(A∩B∩C)≥0,97.

c) En déduire un encadrement deS_N vrai avec une probabilité d’au moins 97%, dont les bornes s’expriment en fonction deN et des valeurs estimées ci-dessus³ pourµ etσ.

2En négligeant les erreurs d’approximation numérique dans le calcul de la f.d.r.Φde la loiN(0,1).

3On ne vous demande pas de justification rigoureuse du fait que l’on peut remplacer les v.a. µc_n et

σc₂₅ par les valeurs numériques trouvées ci-dessus. En fait, c’est là que l’indépendance de A, B et C

serait utile.

Table des valeurs de Φ, f.d.r. de la loi normale standard N(0,1)

Φ(x) = P(Z ≤x) = 1

√2π Z x

−∞

exp −t²

2

dt, Z ∼N(0,1).

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5754

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6627 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7122 0.7156 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7356 0.7389 0.7421 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7793 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8079 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8414 0.8438 0.8461 0,8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8622

1.1 0.8643 0.8665 0.8687 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0,8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9083 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9193 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9485 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9874 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9895 0.9898 0.9901 0.9903 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9924 0.9926 0.9928 0.9930 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9944 0.9946 0.9948 0.9949 0,9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9958 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

TabledesvaleursduréelxqtelqueP(X>xq)=q,pourXdeloiχ2 (d) H H H H Hdq 0,9990,9950,9900,9750,950,900,500,100,050,0250,010,0050,001 10,0000,0000,0000,0010,0040,0160,4552,7063,8415,0246,6357,87910,828 20,0020,0100,0200,0510,1030,2111,3864,6055,9917,3789,21010,59713,816 30,0240,0720,1150,2160,3520,5842,3666,2517,8159,34811,34512,83816,266 40,0910,2070,2970,4840,7111,0643,3577,7799,48811,14313,27714,86018,467 50,2100,4120,5540,8311,1451,6104,3519,23611,07012,83315,08616,75020,515 60,3810,6760,8721,2371,6352,2045,34810,64512,59214,44916,81218,54822,458 70,5980,9891,2391,6902,1672,8336,34612,01714,06716,01318,47520,27824,322 80,8571,3441,6462,1802,7333,4907,34413,36215,50717,53520,09021,95526,124 91,1521,7352,0882,7003,3254,1688,34314,68416,91919,02321,66623,58927,877 101,4792,1562,5583,2473,9404,8659,34215,98718,30720,48323,20925,18829,588 111,8342,6033,0533,8164,5755,57810,34117,27519,67521,92024,72526,75731,264 122,2143,0743,5714,4045,2266,30411,34018,54921,02623,33726,21728,30032,909 132,6173,5654,1075,0095,8927,04212,34019,81222,36224,73627,68829,81934,528 143,0414,0754,6605,6296,5717,79013,33921,06423,68526,11929,14131,31936,123 153,4834,6015,2296,2627,2618,54714,33922,30724,99627,48830,57832,80137,697 163,9425,1425,8126,9087,9629,31215,33823,54226,29628,84532,00034,26739,252 174,4165,6976,4087,5648,67210,08516,33824,76927,58730,19133,40935,71840,790 184,9056,2657,0158,2319,39010,86517,33825,98928,86931,52634,80537,15642,312 195,4076,8447,6338,90710,11711,65118,33827,20430,14432,85236,19138,58243,820 205,9217,4348,2609,59110,85112,44319,33728,41231,41034,17037,56639,99745,315 216,4478,0348,89710,28311,59113,24020,33729,61532,67135,47938,93241,40146,797 226,9838,6439,54210,98212,33814,04121,33730,81333,92436,78140,28942,79648,268 237,5299,26010,19611,68913,09114,84822,33732,00735,17238,07641,63844,18149,728 248,0859,88610,85612,40113,84815,65923,33733,19636,41539,36442,98045,55951,179 258,64910,52011,52413,12014,61116,47324,33734,38237,65240,64644,31446,92852,620 269,22211,16012,19813,84415,37917,29225,33635,56338,88541,92345,64248,29054,052 279,80311,80812,87914,57316,15118,11426,33636,74140,11343,19546,96349,64555,476 2810,39112,46113,56515,30816,92818,93927,33637,91641,33744,46148,27850,99356,892 2910,98613,12114,25616,04717,70819,76828,33639,08742,55745,72249,58852,33658,301 3011,58813,78714,95316,79118,49320,59929,33640,25643,77346,97950,89253,67259,703