8-La force magnétique

(1)

Version 2022 8 – La force magnétique1

1.

La force est

6

sin

5 10 10 000 0, 04 sin 90 0, 002

m s

F q vB

C T

N θ

−

=

= × ⋅ ⋅ ⋅ °

=

Selon la règle de la main droite, la force entre dans la page.

2.

La force est

6

sin

5 10 10 000 0, 04 sin180 0

m s

F q vB

C T

N θ

−

=

= × ⋅ ⋅ ⋅ °

=

3.

La force est

6

sin

10 10 30 000 0, 04 sin120 0, 0104

m s

F q vB

C T

N θ

−

=

= × ⋅ ⋅ ⋅ °

=

Selon la règle de la main droite, la force sort de la page.

4.

_{On a}

14 19 6

sin

4 10 1, 602 10 10 sin 90

0, 2497

m s

F q vB

N C B

B T

θ

− −

=

× = × ⋅ ⋅ ⋅ °

=

Selon la règle de la main droite, ce champ sort de la page.

5.

_{On a}

(2)

Version 2022 8 – La force magnétique 2

6

sin

0, 06 0, 008 10 0, 00001 sin sin 0, 75

48, 6

m s

F q vB

N C T

θ

θ θ

θ

=

= ⋅ ⋅ ⋅

=

= °

6.

Puisque la force est vers les z positifs et que le champ magnétique doit être perpendiculaire à la force, le champ doit être dans le plan xy. Le graphique suivant montre les directions possibles selon la règle de la main droite (zone en gris).

Comme la force est vers les z négatifs quand la particule va vers les y positifs, on trouve, selon la règle de la main droite que les directions possibles pour le champ magnétique sont les suivantes (zone en gris).

En combinant ces deux résultats, les directions possibles pour le champ sont

(3)

Version 2022 8 – La force magnétique 3 Dans les deux cas, la force est la même. Cela veut dire que l’angle que fait le champ avec les vitesses doit être la même dans les deux cas. Le champ doit donc séparer l’angle entre les vitesses en deux angles égaux.

L’angle θ est donc de 30°. Ainsi, le champ magnétique est dans le plan xy, à 60° de l’axe des x positifs et à 30° de l’axe des y positifs.

7.

La force est

(4)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ( ) ( ) )

6 6 6 6

2 10 2 10 3 10 1 10

0,02 0,04 0,05

2 2 3 1

0,02 0,04 0,05

2 3 0,05 1 0,04

2 0,05 1 0,02 2 0,04 3 0,02

2 0,19 0,12 0,

m m m

s s s

m m m

s s s

m m

s s

m m m m

s s s s

F qv B

i j k

C

T T T

i j k

C

T T T

C T T i

T T j T T k

C i j

−

= ×

= − × × − × − ×

−

= − − −

−

= −  − ⋅ − − ⋅ −

− ⋅ − − ⋅ + ⋅ − − − ⋅ 

= − − − −

02 0,38 0, 24 0,04

mT

k s

i j k N

 

 

 

= + + 

8.

_{On a}

( )

6 6 6 6

6 3 3 10 10 1 10 3 10 1 10

0

6 3 3 10 1 3 1

0

m m m

s s s

x z

m m m

s s s

x z

F qv B

i j k

i j k N C

B B

i j k

i j k N C

B B

−

= ×

− + = × × × ×

− + =

L’équation de la composante en x nous permet de trouver B_z.

( )

6 10 3 3 0

6 30 0, 2

m m

z

s s

Cm z s z

N C B

N B

B T

= ⋅ − ⋅

= ⋅

=

L’équation de la composante en z nous permet de trouver B_x.

( )

3 10 1 0 3

3 30

0,1

m m

s s x

Cm x s x

N C B

N B

B T

= ⋅ − ⋅

= − ⋅

= −

(5)

Version 2022 8 – La force magnétique 5 Nous avons maintenant nos deux composantes.

Remarquez que l’équation des composantes en y est automatiquement satisfaite.

( )

3 10 1 1

3 10 1 0, 2 1 0,1

3 10 0,3

3 3

m m

z x

s s

m m

s s

mT s

N C B B

N C T T

N C

N N

− = − ⋅ − ⋅

− = − ⋅ − ⋅ −

− = −

− = − La réponse est donc

(

^0,1 ⁰ ^{0, 2}

)

B= − i + j+ k T

9.

a) La vitesse de l’électron est

2

19 31 2

7

1 2

2000 1,602 10 1 9,11 10 2

2,652 10

k

m s

E mv

J kg v

v

− −

=

⋅ × = ⋅ × ⋅

= ×

Le rayon de la trajectoire est donc

31 7

19

9,11 10 2,652 10 1,602 10 0,05 3,016

m s

r mv q B

kg

C T

mm

−

=

× ⋅ ×

= × ⋅

=

b) l’accélération est

( )

2

7 2

3 17

²

2,652 10 3,016 10 2,332 10

m s

a v r

− m

=

= ×

×

= ×

(6)

Version 2022 8 – La force magnétique 6 c) La période est

31 19 10

2

2 9,11 10 1,602 10 0,05 7,146 10

T m q B

kg

C T

s π

π ⁻

−

=

⋅ ×

= × ⋅

= ×

10.

_{a) On a}

27 19

6

1, 673 10

0, 2 1, 602 10 0, 06 1,149 10 ^m_s

r mv q B m kg v

C T

v

−

=

× ⋅

= × ⋅

= ×

b) La période est

27 19 6

2

2 1,673 10 1,602 10 0,06 1,093 10

T m q B

kg

C T

s π

π ⁻

−

=

⋅ ×

= × ⋅

= ×

11.

On va trouver la vitesse du noyau d’hélium avec la conservation de l’énergie en passant d’une plaque à l’autre. On a

2

19 27 2

6

1 2

2 1,602 10 15 000 1 6,646 10 2

1, 203 10 ^m_s E E qV mv

C V kg v

v

− −

= ′

=

⋅ × ⋅ = ⋅ × ⋅

= ×

Le rayon de la trajectoire est donc

(7)

( )

27 6

19

6,646 10 1, 203 10 2 1,602 10 0, 4 6, 24

m s

r mv q B

kg

C T

cm

−

=

× ⋅ ×

= ⋅ × ⋅

=

12.

a) Commençons par trouver le rayon de la trajectoire. Ce rayon est

27 7

19

1,673 10 10 1,602 10 0, 2 52, 22

m s

r mv q B

kg

C T

cm

−

=

× ⋅

= × ⋅

= Selon la figure suivante, on a donc

sin 35

52, 22 42,1

cm θ cm

θ

=

= °

Comme le champ magnétique ne change pas la vitesse, la vitesse reste à 10⁷ m/s.

b) La période est

(8)

27 19 7

2

2 1,673 10 1,602 10 0, 2 3, 281 10

T m q B

kg

C T

s π

π ⁻

−

=

⋅ ×

= × ⋅

= ×

Le proton ne fait pas un tour au complet, il ne fait qu’une partie du cercle. La proportion est 42,1°/360°. Le temps est

7

8

3, 281 10 42,1

360 3,84 10

t s

s

−

= × ⋅ °

°

= ×

13.

a) Les composantes de la vitesse sont

4 4 //

10 sin 60 8660 10 cos 60 5000

m m

s s

m m

s s

v v

⊥ = ⋅ ° =

= ⋅ ° =

Le pas de la trajectoire est donc

/ /

27 19

2

2 1,673 10 5000 1,602 10 0,04 8, 202

m s

d v m q B

kg

C T

mm π

π ⁻

−

=

⋅ ×

= ⋅

× ⋅

= b) Le rayon de la trajectoire est de

27 19

1,673 10 8660 1,602 10 0,04 2, 26

m s

r mv q B

kg

C T

mm

⊥

−

=

× ⋅

= × ⋅

=

14.

La vitesse doit être de

(9)

6

300 000 0,1 3 10

V m

m s

v E B

T

=

= ×

15.

La grandeur du champ est donnée par l’équation suivante.

6 20 000 10

0,02

V m m

s

v E B

B

B T

=

Le champ électrique fait une force vers le bas sur l’électron. La force magnétique sur l’électron doit donc être vers le haut. Selon la règle de la main droite, cela veut dire que le champ sort de la page.

16.

La vitesse des ions à la sortie du sélecteur de vitesse est

5

200 000 0,5 4 10

V m

m s

v E B

T

=

= × Le rayon de l’ion 1 (carbone 12) est

1 1

1

m v m v r = q B = eB Le rayon de l’ion 2 (carbone 14) est

2 2

2

m v m v r = q B = eB La distance d est donc

(10)

( )

2 1

5

26 26

19

2 2

2

2 4 10

2,325 10 1,993 10 1,602 10 0,5

3,316

m s

d r r

m v m v eB eB

v m m eB

kg kg

C T

cm

− −

−

= −

= ⋅ × ⋅ × − ×

× ⋅

=

17.

Fil de droite (la longueur du fil est 2 m tan30°)

( )

sin

5 2 tan 30 0,1 sin 90 0,577

F I B

A m T

N θ

=

= ⋅ ° ⋅ ⋅ °

= ℓ

Selon la règle de la main droite, cette force sort de la feuille.

Fil du bas

( )

sin

5 2 0,1 sin180

0 F I B

A m T

N θ

=

= ⋅ ⋅ ⋅ °

= ℓ

Fil qui forme l’hypoténuse (la longueur du fil est 2m/cos 30°) sin

5 2 0,1 sin 30

cos 30 0,577 F I B

A m T

N θ

=

 

= ⋅ ⋅ ⋅ °

 °

= ℓ

Selon la règle de la main droite, cette force entre dans la feuille.

18.

_{On a}

(11)

3

sin

0,02 6, 2 5 sin 7,5 4,94 10

49, 4 F I B

N A m B

B T

G θ

−

=

= ⋅ ⋅ ⋅ °

= ×

= ℓ

19.

Fil qui va de a à b

sin

5 1 0,1 sin180 0

F I B

A m T N

θ

=

= ⋅ ⋅ ⋅ °

= ℓ

Fil qui va de b à c

sin

5 1 0,1 sin 90 0,5

F I B

A m T N

θ

=

= ⋅ ⋅ ⋅ °

= ℓ

Selon la règle de la main droite, cette force est vers les x négatifs.

Fil qui va de c à d

( )

sin

5 2 1 0,1 sin 45 0,5

F I B

A m T

N θ

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °

= ℓ

Selon la règle de la main droite, cette force est vers les z négatifs.

(12)

Version 2022 8 – La force magnétique 12 Fil qui va de d à a

( )

sin

5 2 1 0,1 sin 90 0,7071

F I B

A m T

N θ

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °

= ℓ

Selon la règle de la main droite, cette force est dans la direction suivante.

(Le vecteur est dans le même plan que le dessus du cube.)

20.

On a vu qu’on peut remplacer la partie circulaire par un bout de fil droit. On a alors la situation suivante.

La force est donc

(13)

Version 2022 8 – La force magnétique 13 sin

8 3 0, 01 sin 90 0, 24

F I B

A m T

N θ

=

= ⋅ ⋅ ⋅ °

= ℓ

Selon la règle de la main droite, cette force est vers la droite.

21.

La force faite par le ressort est vers la gauche et elle vaut

200 0, 002 0, 4

N m

F kx

m N

=

= ⋅

=

C’est cette force qui annule la force magnétique. La force magnétique sur le fil est donc de 0,4 N vers la droite. On a donc

sin

0, 4 0, 2 0,5 sin 90 4

F I B

N I m T

I A θ

=

= ⋅ ⋅ ⋅ °

= ℓ

22.

Le courant dans la tige est

5000 0,5 10 000 I V

R V

A

= ∆

= Ω

= La force sur la tige est donc

sin

10 000 1, 4 0, 2 sin 90 2800

F I B

A m T

N θ

=

= ⋅ ⋅ ⋅ °

= ℓ

Ainsi, l’accélération est

²

2800 0,8 3500^m_s F ma N kg a a

=

= ⋅

=

(14)

23.

a) Le moment magnétique est

( )

1 3 0,1 0, 06 0, 018 ²

µ NIA

A m m

Am

=

= ⋅ ⋅ ⋅

= La direction est

b) Le moment de force est

sin

0, 018 ² 0,8 sin150 0, 0072

µB

Am T

Nm

τ = θ

= ⋅ ⋅ °

= c) Dans ce sens :

d) L’énergie potentielle à 30° est

(15)

Version 2022 8 – La force magnétique 15 cos

0, 018 ² 0,8 cos150 0, 01247

U µB

Am T

J θ

= −

= − ⋅ ⋅ °

=

L’énergie quand l’angle est de 90° est cos

0, 018 ² 0,8 cos180 0, 0144

U µB

Am T

J θ

= −

= − ⋅ ⋅ °

=

On doit donc fournir l’énergie suivante.

( )

0 0,0144 0,01247 0,00193

ext k

W E U

J J J

J

= ∆ + ∆

= + −

=

24.

a) Le moment magnétique est

2 20 1 3 2

2

120 ²

µ NIA

A m m

Am

=

 

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

 

= Le moment de force est donc

sin

120 ² 0,1 sin 30 6

µB

Am T Nm

τ = θ

= ⋅ ⋅ °

=

b) Au départ, l’énergie est

0 cos

0 120 ² 0,1 cos30 10,392

E Ek U µB

Am T

J θ

= +

= + −

= + − ⋅ ⋅ °

= −

Quand le moment magnétique est aligné avec le champ, l’énergie est

(16)

Version 2022 8 – La force magnétique 16 cos

120 ² 0,1 cos 0 12

k k k k

E E U

E µB

E Am T

E J

θ

′ = +

= + − ′

= + − ⋅ ⋅ °

= −

Avec la conservation de l’énergie, on a

10,392 12

1,608

k k

E E

J E J

E J

= ′

− = −

=

25.

À l’équilibre, La somme des moments de force doit être nul. On a donc 0

0

net mag poids

τ

τ τ

=

+ =

Le moment de force fait par la masse de 5 g est

( )

sin 90

0,005 9,8 0,1 sin 90 0,0049

poids

N kg

Fr

kg m

Nm

τ = °

= ⋅ ⋅ ⋅ °

=

(On a choisi un sens positif dans le sens de ce moment de force.) Le moment de force sur le cadre fait par le champ magnétique est

mag µBsin

τ = − θ

Pour le trouver, il nous faut le moment magnétique. Ce moment est

( )

10 0, 2 0, 2 0, 4 ²

µ NIA

N A m m

N Am

=

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

Le moment de force fait par le champ magnétique est donc

(17)

(

²

)

sin

0, 4 0,00025 sin 90 0,0001

mag µB

N Am T

N Nm

τ = − θ

= − ⋅ ⋅ ⋅ °

= − ⋅

Le moment de force est négatif, car le champ magnétique cherche à faire tourner le cadre dans la direction opposée à ce que le poids tente de faire.

Le moment de force net étant nul à l’équilibre, on a 0

0 0, 0001 0, 0049

0, 0049 0, 0001

49

mag poids

N Nm Nm

N N

τ τ

= +

= − ⋅ +

=

26.

_a)

Pour trouver la différence de potentiel, nous aurons besoin de la vitesse de dérive et pour trouver cette vitesse de dérive, nous avons besoin de la densité d’électrons libre.

23 1

³

3

28 3

valence

19 300 6, 02 10

1 0,19697 10

5,899 10

A

kg m

kg mol

n N

M

mol m

ρ

−

= ⋅

⋅ ×

= ⋅ ×

= ×

La vitesse de dérive est donc

( )

28 3 19

6

25 5,899 10 1,602 10 0,02 0,1

1,323 10

d

d m

d s

I nev A

A m C v m m

v

− −

−

=

= × ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅

= ×

La différence de potentiel est donc

6 9

1,323 10 0,02 0,1 2,645 10

H d

m s

V v BL

T m

V

−

∆ =

= × ⋅ ⋅

= ×

(18)

Version 2022 8 – La force magnétique 18 b) Sur la figure suivante, vous pouvez voir le côté positif (donc celui avec le potentiel

le plus élevé).

27.

Pour trouver la différence de potentiel, nous aurons besoin de la vitesse de dérive et pour trouver cette vitesse de dérive, nous avons besoin de la densité d’électrons libre.

23 1

³

28 3

valence

19 300 6, 02 10

1 0,19697

5,899 10

A

kg m

kg mol

n N

M

mol m

ρ

−

= ⋅

⋅ ×

= ⋅

= ×

La vitesse de dérive est donc

( )

28 3 19

6

10 5,899 10 1,602 10 0,08 0,005 2,645 10

d

d m

d s

I nev A

A m C v m m

v

− −

−

=

= × ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅

= ×

On a donc

6 6

0, 2 10 2,645 10 0,08 0,945

H d

m s

V v BL

V B m

B T

− −

∆ =

× = × ⋅ ⋅

=