D118- Le papillon Solution
Les triangles CDF et CGE qui ont tous leurs angles égaux 2 à 2 ( angle DCF = angle ECG, angle CFD = angle CEG, angle CDF = angle CGE) sont semblables. Soient H et K les projections de O sur les cordes DF et EG. H et K étant respectivement milieux de DF et de EG, les triangles CFH et CEK sont aussi semblables avec FC/FH = 2FC/FD = 2EC/ED = EC/EK. Il en résulte que les angles CHF et CKE sont égaux entre eux.
Par ailleurs les points O,C,M et H d’une part et les points O,C,N et K d’autre part sont cocycliques car les triangles OCM et OHM d’une part et les triangles OCN et OKN d’autre part sont rectangles avec OM et ON comme hypoténuses communes. Il s’ensuit que angle COM = angle CHM =angle CHF et angle CON = angle CKN = angle CKE. D’où angle COM
= angle CON. Les deux triangles rectangles OCM et OCN qui ont un côté de l’angle droit commun sont donc égaux et CM = CN.
