Relations fondamentales de la dynamique des
milieux continus d´ eformables
Lois universelles de la physique des milieux continus
• conservation de la masse
• bilan de quantit´e de mouvement
• bilan de moment cin´etique
• bilan d’´energie
• bilan d’entropie
2/38
Plan
1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Plan
1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Efforts surfaciques et de coh´esion Lois d’Euler du mouvement
Plan
1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Masse
On suit un ensemble de particules de massedm contenue initialement dans le volumedV enX ∈Ω0
dm =ρ0(X)dV champ de masse volumique initiale.
L’´el´ement de volume dV devientdv enx ∈Ωt `a l’instantt mais la masse contenue dansdv est la mˆeme, par d´efinition du point mat´eriel
dm=ρ(x,t)dv
dm=ρ0(X)dV =ρ(x,t)dv =Constante masse totale
m(M) = Z
Ω0
ρ0(X)dV = Z
Ωt
ρ(x,t)dv
Quantit´e de mouvement, moment cin´etique 6/38
Plan
1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Vitesses
• Vitesse d’une particule en mouvement V(X,t) := d
dtΦ(X,t) = ∂Φ
∂t(X,t) repr´esentation mat´erielle/lagrangienne de la vitesse
Quantit´e de mouvement, moment cin´etique 8/38
Vitesses
• Vitesse d’une particule en mouvement V(X,t) := d
dtΦ(X,t) = ∂Φ
∂t(X,t) repr´esentation mat´erielle/lagrangienne de la vitesse
• C’est aussi la vitesse instantan´ee de la particule se trouvant `a la position x `a l’instantt
v(x,t) :=V(Φ−1(x,t),t) repr´esentation spatiale/eul´erienne de la vitesse
Plan
1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Efforts surfaciques et de coh´esion Lois d’Euler du mouvement
Quantit´ e de mouvement
SoitDt⊂Ωt un sous–domaine mat´eriel de M`a l’instantt
Ωt
D
∂D
Z
Dt
ρ(x,t)v(x,t)dv =
Quantit´ e de mouvement
SoitDt⊂Ωt un sous–domaine mat´eriel de M`a l’instantt
Ωt
D
∂D
Z
Dt
ρ(x,t)v(x,t)dv = Z
D0
ρ0v(Φ(X,t),t)dV
= Z
D0
ρ0V(X,t)dV
Quantit´e de mouvement, moment cin´etique 12/38
Quantit´ e d’acc´ el´ eration
SoitDt⊂Ωt un sous–domaine mat´eriel de M`a l’instantt
Ωt
D
∂D
A(Dt) = d dt
Z
Dt
ρ(x,t)v(x,t)dv
= d
dt Z
D0
ρ0(X)V(X,t)dV En l’absence de discontinuit´es,
Quantit´ e d’acc´ el´ eration
SoitDt⊂Ωt un sous–domaine mat´eriel de M`a l’instantt
Ωt
D
∂D
A(Dt) = d dt
Z
Dt
ρ(x,t)v(x,t)dv
= d
dt Z
D0
ρ0(X)V(X,t)dV En l’absence de discontinuit´es
A(Dt) = Z
D0
ρ0(X)dV
dt (X,t)dV
= Z
D0
ρ0(X)∂V
∂t (X,t)dV
= Z
D0
ρ0(X)A(X,t)dV
= Z
Dt
ρ(x,t)a(x,t)dv
Quantit´e de mouvement, moment cin´etique 14/38
Plan
1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Moment cin´ etique
SoitDt⊂Ωt un sous–domaine mat´eriel de M`a l’instantt et un pointO de l’espace, fixe dans le r´ef´erentielR
O
P Ωt
D
∂D
Z
Dt
OP ∧ρ(x,t)v(x,t)dv OP =x −xO
Quantit´e de mouvement, moment cin´etique 16/38
Moment dynamique
SoitDt⊂Ωt un sous–domaine mat´eriel de M`a l’instantt et un pointO de l’espace, fixe dans le r´ef´erentielR
O
P Ωt
D
∂D
d dt
Z
Dt
OP ∧ρ(x,t)v(x,t)dv
Torseur dynamique
SoitDt⊂Ωt un sous–domaine mat´eriel de M`a l’instantt et un pointO de l’espace, fixe dans le r´ef´erentielR
O
P Ωt
D
∂D
torseur dynamique pour le domaineDt : {O, d
dt Z
Dt
ρ(x,t)v(x,t)dv, d dt
Z
Dt
OP ∧ρ(x,t)v(x,t)dv}
Quantit´e de mouvement, moment cin´etique 18/38
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1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
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1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Efforts surfaciques et de coh´esion Lois d’Euler du mouvement
Relation fondamentale de la dynamique des milieux continus
Torseur dynamique = Torseur des efforts appliqu´es (r´ef´erentiel galil´een)
d dt
Z
Dt
ρvdv =R d
dt Z
Dt
OP ∧ρv dv =MO
Plan
1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Efforts surfaciques et de coh´esion Lois d’Euler du mouvement
Un th´ eor` eme de transport
f(x,t) fonction tensorielle sur Ωt continuedans sa repr´esentation spatiale/eul´erienne, d´erivable/t, Dt ⊂Ωt un domaine mat´eriel
d dt
Z
Dt
ρ(x,t)f(x,t)dv =
Un th´ eor` eme de transport
f(x,t) fonction tensorielle sur Ωt continuedans sa repr´esentation spatiale/eul´erienne, d´erivable/t, Dt ⊂Ωt un domaine mat´eriel
d dt
Z
Dt
ρ(x,t)f(x,t)dv = d dt
Z
Dt
f(x,t)ρ(x,t)dv
= d
dt Z
D0
F(X,t)ρ0(X)dV
= Z
D0
d
dt(F(X,t))ρ0(X)dV
= Z
Dt
f˙(x,t)ρ(x,t)dv F(X,t) :=f(Φ(X,t),t)
d´eriv´ee particulaire ou en suivant le mouvement : d
dtF(X,t) = d
dtf(Φ(X,t),t) = ∂f
∂x.v +∂f
∂t = ˙f(x,t)
Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus 24/38
Un th´ eor` eme de transport
Formellement, pour un domainemat´erielDt, on “d´erive sous le signe somme” (grˆace `a la conservation de la masse)
d dt
Z
Dt
ρf dv = Z
Dt
( ˙fρdv+f
•
z}|{ρdv) = Z
Dt
ρf dv˙ autres formules de transports plus g´en´erales (Reynolds...) Application au moment dynamique (en l’absence de discontinuit´es...)
d dt
Z
Dt
OP ∧ρv dv = Z
Dt
OP ∧ρadv
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Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Efforts surfaciques et de coh´esion Lois d’Euler du mouvement
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1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Champs de forces
Il existe une
• une densit´e massique f(x,t) de forces Rdist =
Z
Dt
ρf(x,t)dv
Exemple : acc´el´eration de la pesanteur (unit´e N.kg−1 ≡ m.s−2)
f :=g
hypoth`ese simplificatrice : f ne d´epend pas du domaine Dt
Repr´esentation des efforts 28/38
Champs de forces
Il existe une
• une densit´e massique f(x,t) de forces Rdist =
Z
Dt
ρf(x,t)dv
Exemple : acc´el´eration de la pesanteur (unit´e N.kg−1 ≡ m.s−2)
f :=g
hypoth`ese simplificatrice : f ne d´epend pas du domaine Dt
• une densit´e massique de couples MdistO =
Z
Dt
(OP ∧ρf +ρm)dv i.e. le moment des forces volumiques + des couples volumiques intrins`eques (´electromagn´etisme) simplification : m = 0
Plan
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Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Efforts surfaciques et de coh´esion Lois d’Euler du mouvement
Efforts surfaciques
Ωt
∂Ωt
• efforts de contact sur
∂Ωt Rsurf =
Z
∂Ωt
t(x, ∂Ωt,t)ds vecteur densit´e
surfacique de forces / vecteur–contrainte (unit´e N.m−2 )
Efforts surfaciques
Ωt
∂Ωt
D
∂D
• efforts sur ∂Dt ?
Repr´esentation des efforts 32/38
Efforts surfaciques
Ωt
D
∂D
• efforts sur ∂Dt ?
Efforts surfaciques
Ωt
D
∂D
• efforts surfaciques sur
∂Dt Rsurf =
Z
∂Dt
t(x, ∂Dt,t)ds Le pari de remplacer les efforts de champ `a courte distance par des efforts surfaciques
• remplacer une action non locale par une action locale;
en pratique,
d´ecroissance rapide des forces de coh´esion (∼10 atomes)
Repr´esentation des efforts 34/38
Efforts surfaciques
Ωt
D
∂D
• densit´e surfacique de forces
Rsurf = Z
∂Dt
t(x, ∂Dt,t)ds
• densit´e surfacique de couples
MsurfO = Z
∂Dt
(x−xO)∧t(x, ∂Dt,t)ds hypoth`ese : pas de densit´e
surfacique de couples
intrins`eque (milieunon polaire)
Plan
1 Quantit´e de mouvement, moment cin´etique Conservation de la masse
Champ de vitesses
Quantit´es de mouvement et d’acc´el´eration Moments cin´etique et dynamique
2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts ext´erieurs
Un th´eor`eme de transport
3 Repr´esentation des efforts Efforts volumiques
Efforts surfaciques et de coh´esion Lois d’Euler du mouvement
Lois d’Euler du mouvement
d dt
Z
Ωt
ρv dv =R d
dt Z
Ωt
OP ∧ρv dv =M0
Lois d’Euler du mouvement
d dt
Z
Ωt
ρv dv = Z
Ωt
ρ(x,t)f(x,t)dv + Z
∂Ωt
t(x, ∂Ωt,t)ds d
dt Z
Ωt
OP ∧ρv dv = Z
Ωt
OP ∧ρ(x,t)f(x,t)dv +
Z
∂Ωt
OP ∧t(x, ∂Ωt,t)ds
• Elles s’appliquent `a tout sous–domaineDt ⊂Ωt.
• On a besoin des deux ´equations!
• R´ef´erentiel non galil´een : mettre les forces d’inertie dans f
Repr´esentation des efforts 38/38
