Solution proposée par Gaston Parrour Les formats des deux photos sont dans le rapport d'agrandissement k = 3 (petite photo → grande photo) La petite photo se trouve à l'intérieur

D647. Petit format sur grand format

On jette au hasard une photo de format 10x15 à l’intérieur d’un agrandissement de cette même photo au format 30x45. Montrer qu’il existe un point et un seul commun aux deux photos. Construire ce point à l’aide d’une règle et d’un compas

Solution proposée par Gaston Parrour

Les formats des deux photos sont dans le rapport d'agrandissement k = 3 (petite photo → grande photo) La petite photo se trouve à l'intérieur de la grande.

Cela signifie que la partie de la grande photo recouverte par la petite, est nécessairement un sous-ensemble de la petite.

→ si un point commun (au moins) existe, il est dans ce sous-ensemble de la petite.

N.B. On suppose bien sûr ici que le grain des photos est infiniment fin de façon à ce que la question d'une répartition discrète des points dans chacune des photos ne se pose pas.

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3 1 - Montrer qu’il existe un point et un seul commun aux deux photos

La figure 1 correspond à la situation de l'énoncé : une photo tirée au petit format (désignée par les lettres minuscules a b c d) est entièrement à l'intérieur de la même photo tirée en plus grand format (désignée par les lettre majuscules A B C D)

Montrons qu'

→ une configuration du type de la fig. 1 peut être obtenue à partir de la petite photo par deux transformations Tout d'abord une configuration du type représenté sur la fig. 2 peut être obtenue à partir de la petite photo Sur la fig. 2 :

→ Le petit et le grand tirage ont leurs côtés correspondants parallèles, et les deux images sont par exemple droites

la droite (Dd) coupe la droite (Aa) en S. Avec les triangles semblables ASD et aSd on a

SA/Sa = SD/Sd = AD/ad = 3 (1) la droite (Bb) coupe la droite (Aa) en S'. Avec les triangles semblables AS'B et aS'b on a S'A/S'a = S'B/S'b = AB/ab = 3 (2) → Les relations (1) et (2) montrent que S et S' divisent le segment Aa dans le même rapport : ils sont confondus.

En reconduisant ce raisonnement : l'intersection de la droite (Cc) avec (Bb) est aussi ce point S ==> dans la configuration représentée en figure 2, S est donc un centre d'homothétie qui transforme la

m1 M1

m2 M2

S1

S

(C ) ( c )

A B

C D

a

b c d

A B

C D

a b

d c S S' m1

m2 M1

M2

photo petit format en celle grand format, dans un rapport k = 3 Remarques : (cf. fig.2)

1) par construction, ce point S est toujours intérieur à la petite photo.

2) il est clair qu'avec tout point autre que S pris sur la petite photo il y a, deux possibilités :

soit la relation d'homothétie entre les deux photos n'est plus vérifiée si leur position relative est inchangée soit la position relative des deux photos est changée !

==> Donc pour une position relative des deux photos fixée en figure 2 ==> le point S est unique

→ A partir de cette situation en figure 2 [où l'homothétie de centre S et de rapport 3 a été effectuée à partir de la petite photo pour générer la grande photo], si on effectue une rotation de la grande photo ainsi obtenue, d'un angle alpha autour de S (0 < alpha < 360° ) ,

==> on génère une configuration du ''type de la fig. 1''

Plus précisément : l'angle de la rotation alpha de la grande photo, à effectuer avec pour centre de rotation S, est égal à l'angle de deux vecteurs correspondants dans la Fig. 1 (pris sur chaque photo)

par exemple alpha = (ab, AB)

N.B. Cette rotation de la grande photo autour de S ne change bien sûr pas la position de S

Elle ne change pas non plus les longueurs Sa , SA , Sb, SB, etc …, : les relations de proportionnalité telles que (1) ou (2) ci-dessus sont inchangées

==> Cette composition d'une homothétie de centre S et de rapport k et dune la rotation de centre S et d'angle alpha est bien sûr une similitude

S

S

==> Dans le passage de la petite photo à la grande photo, pour aboutir à une configuration de type fig. 1, le seul point invariant est donc ce point S, le centre de similitude de cette transformation.

Après la transformation, cet unique point S ''invariant'', lorsqu'il est observé sur la petite photo, coïncide donc avec son image observée sur la grande photo

→ Précisions sur ce point S

Comme il a été souligné, S se situe à l'intérieur de la petite photo.

Sa position (dans la petite photo) dépend en définitive de la position relative des deux photos en figure 1 Par construction même de S ci-dessus comme centre d'homothétie en figure 2, il est clair que S parcourt toute la petite photo quand celle-ci prend toutes les positions possibles sur la grande photo (la petite photo restant toujours entièrement contenue dans la grande, - deux bords peuvent se superposer)

Conclusion : à une configuration bien précise donnée en figure 1 correspond un centre S de similitude bien défini. Cela fait l'objet de la construction demandée (voir ci-dessous)

2 - A partir d'une configuration donnée des deux photos (figure 1), déterminer le centre de la similitude

S

définie ci-dessus

→ Deux couples de points correspondants fixent entièrement la position relative des deux photos en fig. 1 Choisissons comme points correspondants par exemple des milieux de côtés :

les couples (m1, M1) (m2,M2) sont représentés sur la fig. 1

La figure 3 explicite la méthode proposée à partir de ces deux couples de points :

1) avec la règle : les supports des droites (m1m2) et (M1M2) se rencontrent en S1

2) (c) est le cercle circonscrit au triangle m1S1m2 , (C) est le cercle circonscrit au triangle M1S1M2 le centre de chacun de ces deux cercles se construit au compas.

==> (c) et (C) se coupent en un second point S

→ Montrons que S ainsi obtenu est le centre de similitude cherché Sur la fig. 3 :

dans (c) ang m1SM1 = ang m1S1M1 dans (C) ang m2SM2 = ang m2S1M2

et puisque ang m1S1M1 c'est aussi ang m2S1M2 , ang m1SM1 = ang m2SM2 (1) => depuis S : l'angle de rotation qui fait passer de (Sm1) à (SM1) est le même que celui qui fait passer de (Sm2) à (SM2)

Cet angle est égal à l'angle ALPHA de sommet S1 entre (m1m2) et (M1M2) D'autre part

dans (c) ang SS1M1 = ang Sm1M1 dans (C) ang SS1M2 = ang Sm2M2

et puisque ang SS1M1 c'est aussi ang SS1M2 , ang Sm1M1 = ang Sm2M2 (2) Les relations (1) et (2) ==> les triangles m1SM1 et m2SM2 sont semblables

La proportionnalité de leurs côtés permet d'écrire

SM1/Sm1 = SM2/Sm2 (3) En conclusion :

==> Les relations (1) et (3) montrent que le point S considéré ici est bien le centre

S

Cela à partir de la position relative finale imposée pour ces deux photos [ position parfaitement définie à partir de la donnée des deux couples de points correspondants (m1M1) et (m2M2) ]

N.B. Comme développé ci-dessus, ce point S invariant dans la transformation est bien l'unique point commun aux deux photos

Remarque

→ Le centre S de la similitude est celui pour lequel en particulier le rapport des distances à deux points quise correspondent est fixe (ici k = 3)

On pourrait songer à utiliser le fait que le lieu des points S tels que SM1/Sm1 = k est le cercle (c1) de diamètre r1r'1 ; où r1 et r'1 sont les points intérieur et extérieur au segment m1M1 qui le divisent selon le rapport k

k = r1M1/r1m1 = r'1M1/r'1m1

En considérant le cercle analogue (c2) pour l'autre couple de points correspondants (m2,M2), il coupe le premier cercle (c1) en deux points.

On peut alors montrer qu'une des intersections de ces deux cercles est le centre

S

Mais cela demande de diviser ''avec la règle et le compas'' un segment selon un rapport donné quelconque ! La solution proposée ci-dessus est donc préférée.