G146. Oiseaux sur un câble
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
n oiseaux se posent au hasard sur un câble électrique, indépendamment les uns des autres.
Puis chacun peint en rouge le segment qui le joint au plus proche des autres et l'on calcule la proportion P(n) de la longueur du câble peinte en rouge.Quand n s'accroît indéfiniment, quelle est la limite de cette proportion?
Solution proposée par Paul Voyer:
Posons que le câble est représenté par le segment [0, 1].
Soit un oiseau placé au point A à l'abscisse a. Le segment X de longueur x situé à droite de A est peint en rouge :
- Par l'oiseau A s'il existe un des n oiseaux, B, à l'abscisse (a+x) [densité de probabilité (n-1) pour x≤1-a, sinon 0] et que tous les autres oiseaux sont à l'extérieur du segment [a-x, a+x], événement de probabilité :
(1-2x)(n-2) si x≤a, et cas normal ; exige x≤1/2 (1-a-x)(n-2) si x≥a extrémité 0
- Par l'oiseau B si tous les autres oiseaux sont à l'extérieur du segment [a, a+2x], événement de probabilité :
(1-2x)(n-2) si a+2x≤1, cas normal ; exige x≤1/2
a(n-2) si a+2x≥1. extrémité 1
- Mais il ne faudra compter qu'une seule fois la peinture si A et B sont tous deux en situation de peindre le segment X. Cette condition est remplie si tous les autres oiseaux sont à
l'extérieur du segment [a-x, a+2x], événement de probabilité :
(1-3x)(n-2) si x≤a et a+2x≤1, cas normal ; exige x≤1/3 (1-a-2x)(n-2) si x≥a et extrémité 0
(a-x)(n-2) si a+2x≥1. extrémité 1
Comme on ne s'intéresse pas à P(n) exactement mais seulement à sa limite quand n augmente indéfiniment, on peut simplifier en négligeant les effets d'extrémité.
Avec cette approximation, le segment (x, x+dx) sera peint en rouge avec une probabilité n(n- 1)[2(1-2x)(n-2) pour
2 ,1 0
x - (1-3x)(n-2) pour
3 ,1 0
x ].
Le résultat recherché est l'espérance mathématique de la distance peinte en rouge entre oiseaux, somme de x(X)*probabilité de (x, x+dx) pour tous les X.
Rn = n(n-1)[2
2 / 1 0
) 2
)(
2 1 (
x x
n dx
x
x -
3 / 1 0
) 2
)(
3 1 (
x x
n dx
x
x ] et en changeant de variables, u = 2x pour la première, u = 3x pour la seconde, il vient :
Rn = n(n-1)(1/2-1/9) u u u du
u
n 1 0
) 2
)(
1 (
L'intégrale définie se calcule par parties et vaut
1
0 ) 1 (
) 1 (
) 1
*(
n u u
n
+ du
n u n
) 1 (
) 1 (
1 0
) 1 (
=
1
) 0
1 (
) 1
(
n n
u n
= ( 1) 1
n n
D'où le résultat R= 1/2-1/9=7/18.
Ce résultat ne dépendait de n que par les effets d'extrémités, ce qui était prévisible.
