Enonc´e noG146 (Diophante) Oiseaux sur un cˆable
noiseaux se posent au hasard sur un cˆable ´electrique, ind´ependamment les uns des autres. Puis chacun peint en rouge le segment qui le joint au plus proche des autres et l’on calcule la proportionP(n) de la longueur du cˆable peinte en rouge. Quandn s’accroˆıt ind´efiniment, quelle est la limite de cette proportion ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La position des oiseaux ´etant al´eatoire, il en est de mˆeme de la propor- tion de longueur peinte : si tous les oiseaux se groupent, la longueur peinte sera r´eduite. Mais on peut estimer1 que, par une sorte de loi des grands nombres, plus il y a d’oiseaux, moins la proportion r´ealis´ee montrera de dispersion autour de son esp´erance math´ematique. C’est celle-ci que je noteraiP(n).
L’esp´erance math´ematique d’une somme est la somme des esp´erances, que les termes soient ou non ind´ependants en probabilit´e. On peut donc raisonner sur la probabilit´e que le k-i`eme intervalle entre oiseaux soit peint, et sur sa contribution `a la longueur peinte, pour ajouter in fine ces contributions.
Je prends pour unit´e la longueur du cˆable. les oiseaux sont aux abscisses 0< x1 < x2 < . . . < xn<1.
La couleur du k-i`eme intervalle (xk, xk+1) est li´ee `a la longueur des intervalles adjacents, si 2≤ k≤ n−2. Supposons fix´es xk−1 et xk+2, on axk =uxk+2+ (1−u)xk−1,
xk+1 =vxk+2+ (1−v)xk−1, avec 0< u < v <1.
Pour que le k-i`eme intervalle ne soit pas peint, il faut et il suffit que v−u > u, v−u > 1−v. Dans le plan (u, v), le point repr´esentatif de l’intervalle parcourt le triangle OP M ayant pour sommets O(0,0), P(0,1), M(1,1).
1Je ne pr´etends pas le d´emontrer.
Les conditions de non-peinture d´efinissent un domaine limit´e par le quadrilat`ereP QRS, avec les nouveaux sommetsQ(0,1/2),R(1/3,1/3), S(1/2,1). Son aire est 1/6, soit 1/3 de celle deOP M: tr`es logiquement, il y a une chance sur 3 que dans le partage de l’intervalle (xk−1, xk+2), ce soit l’intervalle du milieu qui soit le plus long.
Le centre de gravit´e de l’aire P QRS est G(7/36,29/36). La lon- gueur moyenne non peinte est alors, par la diff´erence u −v en G, (11/18)(xk+2−xk−1). Prenant en compte la probabilit´e 1/3, la contri- bution `a l’esp´erance 1−P(n) est (11/54)(xk+2−xk−1).
L’esp´erance de (xk+2 −xk−1) est 3/(n+ 1), car 1/(n+ 1) est celle de chacun des intervalles (0, x1), (xk, xk+1), (xn,1). La contribution `a 1−P(n) duk-i`eme intervalle est en d´efinitive 11/(18n+ 18).
Il y an−3 tels intervalles, auxquels s’ajoutent les deux intervalles entre les bouts du cˆable et les oiseaux d’extr´emit´e, intervalles jamais peints de 1/(n+ 1) en moyenne. On a donc, pourn≥3
(n+ 1)(1−P(n)) = 2 + (n−3)11/18, d’o`u on tire P(n) = 7/18 + 4/(9n+ 9).
L’esp´erance limite, dont on admet que la proportion limite se confondra avec elle, est donc
7/18
.1
