I 130. Le parcours du maire. Problème proposé par Simon Pellicer
La commune de Diophantix a la forme d'un carré de 3 kilomètres de côté et compte 200 habitants qui occupent des maisons individuelles réparties aléatoirement à l'exception de celle du maire qui est située en plein centre. Chaque maison est occupée par une seule personne qui connaît les adresses de tout le monde dans la commune.
Le maire veut organiser chez lui une réunion au cours de laquelle participent tous ses administrés. A cette fin, partant de chez lui, il va de maison en maison pour avertir leurs occupants qu’il y a une réunion.
Chaque villageois est à son domicile et une fois informé, peut aller directement dans la maison du maire ou aider le maire à avertir les habitants.
Tout le monde se déplace à pied à la vitesse de 6 km/h et peut emprunter n'importe quel trajet pour aller d'une maison à une autre. Pour simplifier, on suppose que chaque maison est assimilée à un point et que tout habitant est instantanément informé dès qu'un autre habitant entre chez lui.
Déterminer le temps le plus court qui permet au maire de réunir chez lui tous les habitants de la commune.
Proposition de solution :
Le maire peut réunir chez lui tout le monde en moins de 2 heures et 8 minutes
Démonstration :
Prenons comme unités pour la distance : 3 km, et pour le temps : 1 heure.
Supposons dans un premier temps que la vitesse de déplacement est 1.
Ainsi on est dans un carré de côté 1, avec le maire au centre, et la distance comme le temps s’expriment par le même nombre, ce qui permet d’identifier distance et temps.
[Il faudra diviser par deux le résultat trouvé ci-dessous pour avoir le temps en heures avec les données réelles du problème.]
Soit 𝑡 un réel qui vérifie la propriété 𝑆𝑜𝑙(𝑡) ci-dessous :
Pour tout effectif 1 ≤ 𝑛 ≤ 200 et toute disposition des n habitants (le maire au centre) il est possible dans le carré unité où chacun se déplace à la vitesse 1 de réunir tout le monde au centre en 𝑡 heures.
Un tel réel existe puisque 𝑺𝒐𝒍(𝟖√𝟐) est vraie.
En effet, 𝑆𝑜𝑙(8√2) est vraie de manière évidente pour n = 1 ou n = 2.
Et si 𝑛 > 2 on utilise la stratégie ci-dessous :
Le maire va prévenir un habitant quelconque, ce qui prend au plus 1
2√2 heures.
2 habitants sont maintenant prévenus.
Chacun de ces deux habitants va en prévenir un autre (s’il en reste) et cela en au plus √2 heures puisque
√2 est la diagonale du carré unité.
4 habitants sont maintenant prévenus.
Chacun de ces 4 habitants va en prévenir un autre (s’il en reste) et cela en au plus √2 heures.
8 habitants sont maintenant prévenus.
Et ainsi de suite jusqu’à ce que tout le monde soit prévenu.
Ainsi, en √2 [12+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1] heures on peut prévenir jusqu’à 256 personnes.
Avec le retour au centre de tout le monde [qui prend au plus 1
2√2 heures], le problème a donc une solution, en 8√2
2 heures (moins de 5 heures et 40 minutes).
Reprenons maintenant le problème avec 200 habitants.
Appelons "centre" le carré (en gras) de côté 1
2 de la figure 1 ci-dessous.
Distinguons deux cas :
Premier cas, il y a au moins 10 personnes (dont le maire) au centre.
D’après le lemme des tiroirs, l’un (au moins) des 4 quarts du carré central contient au moins 3 personnes (sans compter le maire). Disons que le carré en grisé contient (au moins) 3 personnes sans le maire.
Examinons la stratégie suivante :
Le maire va en M, centre du carré grisé, ce qui prend 𝑂𝑀 = 𝟏
𝟖√𝟐 heures.
D’après ce qu’on a vu plus haut, le maire peut prévenir les 3 personnes [avec retour au centre M] en un temps égal à 𝒕𝟏
𝟒 heures puisque le carré grisé est quatre fois plus petit que le carré unité.
Quatre personnes (au moins) sont maintenant prévenues et se trouvent en M.
Chacune de ces 4 personnes va respectivement en A, B, C, D.
Cela prend au plus le temps 𝑀𝐷 =𝟑
𝟖√𝟐 heures.
Chacune de ces 4 personnes est maintenant au centre d’un carré de côté 1
2 et peut donc prévenir tous les habitants éventuels de son carré [avec retour au centre] en un temps égal à 𝒕𝟏
𝟐 heures.
Les 200 habitants maintenant prévenus, peuvent regagner le centre O en au plus 𝐶𝑂 =𝟏
𝟒√𝟐 heures.
Avec cette stratégie, on a 𝑆𝑜𝑙 (𝑡2) avec 𝑡2 =3
4𝑡1+3
4√2 Or l’inéquation 𝑡2 < 𝑡1 équivaut à 𝑡1 > 3√2 qui est vrai.
De plus 𝑡2 > 3√2 ⟺ 𝑡1 > 3√2 donc 𝑆𝑜𝑙(𝑡1) ⟹ 𝑆𝑜𝑙(𝑡2).
La suite définie par 𝑡1= 8√2 𝑒𝑡 𝑡𝑘+1= 3
4𝑡𝑘+3
4√2 est décroissante et minorée par 3√2.
Sa limite est précisément 3√2. En itérant la stratégie ci-dessus, on arrive à Pour tout ε > 0 𝑺𝒐𝒍 (𝟑√𝟐 + 𝜺) Dans ce premier cas, le problème a une solution en 𝟑√𝟐+𝜺
𝟐 heures donc en moins de 2 heures et 8 minutes.
Second cas, il y a au plus 9 personnes (dont le maire) au centre.
Il y a donc au moins 200 − 9 = 191 habitants hors du carré central.
Or 191
12 = 15,91 … Donc l’un des 12 petits carrés (tel celui en grisé de la figure 2 ci-dessous) situés hors du centre a au moins 16 habitants.
Supposons (C’est le pire des cas) que le carré grisé au N-O de la figure 2 contienne au moins 16 habitants.
Examinons la stratégie suivante : M
Figure 1 A
B
D
C
O
Le maire va en L, centre du carré grisé, ce qui prend 𝑂𝐿 = 𝟑
𝟖√𝟐 heures.
D’après ce qu’on a vu plus haut, le maire peut prévenir 16 personnes de ce carré [avec retour au centre L] en un temps égal à 𝒕𝟏
𝟒 heures.
16 personnes (au moins), sont maintenant prévenues et se trouvent en L.
Chacune de ces 16 personnes va respectivement en A, B, C, D, …, K, L centres des 12 petits carrés du bord.
Cela prend au plus le temps 𝐿𝐹 =𝟑
𝟒√𝟐 heures.
Chacune de ces 16 personnes est maintenant au centre d’un carré de côté 1
4 et peut donc prévenir tous les habitants éventuels de son carré [avec retour au centre] en un temps égal à 𝒕𝟏
𝟒 heures.
Les 200 habitants maintenant prévenus, peuvent regagner le centre O en au plus 𝑂𝐹 =𝟑
𝟖√𝟐 heures.
Avec cette stratégie, on a 𝑆𝑜𝑙 (𝑡2) avec 𝑡2 =1
2𝑡1+3
2√2 Or l’inéquation 𝑡2 < 𝑡1 équivaut à 𝑡1 > 3√2 qui est vrai.
De plus 𝑡2 > 3√2 ⟺ 𝑡1 > 3√2 donc 𝑆𝑜𝑙(𝑡1) ⟹ 𝑆𝑜𝑙(𝑡2).
La suite définie par 𝑡1= 8√2 𝑒𝑡 𝑡𝑘+1= 1
2𝑡𝑘+3
2√2 est décroissante et minorée par 3√2.
Sa limite est précisément 3√2.
Donc pour tout ε > 0 on a 𝑺𝒐𝒍 (𝟑√𝟐 + 𝜺)
Dans ce second cas aussi, le problème a une solution en 𝟑√𝟐+𝜺
𝟐 heures (moins de 2 heures et 8 minutes).
Remarque.
On peut, en distinguant beaucoup plus de deux cas, améliorer sensiblement le temps nécessaire.
Mais on ne peut pas descendre en dessous de √2 heures (soit 1 heure et 25 minutes environ) comme on le voit en examinant la configuration dans laquelle on a 199 habitants répartis dans les quatre coins du carré et le maire au centre.
L
Figure 2 A
B
C
O
FD
E
I J K
G
