RABATTEMENTS DE NAPPE (théorie linéaire et application aux essais)

MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 L A H G U I L L E B L A N C H E 239

R a b a t t e m e n t s d e n a p p e

T H É O R I E L I N É A I R E E T A P P L I C A T I O N A U X E S S A I S

A q u i f e r d r a w d o w n

THE LINEAR THEORY A N D ITS APPLICATION T O TESTS

P A R J . BRILLANT

I N G E N I E U I t A L A S O C Í E T E S O L E T A N C H E

Dans les circonstances les plus courantes, le débit extvait d'une nappe aquifére fait appel aux reserves de ta nappe et á des apports exté- rieurs, mais les théories classiques n'envísagent á cet égard que des cas particuliers : les régimes évolutifs sans apports extérieurs, assez voisins des conditions réelles au debut du pompage, et tes régimes stabitisós qui ríinterviennent au contraire qu'aprés le délai nécessaire á Vépui- sement des reserves disponibles.

On considere ici une image plus complete, oü reserves et apports se relaient progressivement, en associant les schémas d'alimentation en vi- sagés par Theis (pour les reserves) et par P, Kotchina (pour tes apports) : á débit cons- tante Fanalijse fait apparaitre une sijmélrie remar quáble dont la vérification experiméntale peut confirmer des hypothéses plus ou moins justifiées a p r i o r i et autoriser les extrapolations indiquées par la théorie.

On prévoit par exemple un rayan d'action fictif aprés stabilisation :

R* = 095 (Re —RO/IogXi3

.../a² étant mesuré, au terme d'un es sai de durée limitée, par te rapport des pentes d*inflexión sur deux graphiques « rabaltemení-logarithme du tem.ps », établis pour les disianees Ri et Ra.

Although the pumping of water ¡rom an aquifer usually involves drawing supplies both from aquifer storage and outside inflows, the conven- tional iheories only consider special cases, namely : í) The devetopment of conditions in the absence of inflows from outside sources and 2j The stable conditions that usualty do not oceur until all the available storage water has been used up.

In the more complete set of condition consi- der ed in this articte, outside inflows gradually take over from storage in supplying the water, and the supply patterns considered by Theis and Mme P. Kotchina (for storage and inflows respectively) are associated. The analysis shows a remarcable degree of symmetry ai constant ftows, the experimental verification of which may both confirm cerfain apparcnily more or less justiciable assumptions and the validity of extrapolations suggested by theory.

In this way, for instance, the follouñng theore- tical radius of influence is suggested for stable conditions :

Ra = 0.5 (Rs —Ri)/logJUs

where, for a short-duration test, the valué of A i2 is given by the ratio between the inflexión gradients of the two "drawdown vs. log time"

graphs for distances Ri and 11» respectively.

I. — INTRODUCTION

L'existence d'un régime de pompage p e r m a - nent dans une nappe aquifére implique celle d'un débit equivalen! Q^p restitué á la nappe d'une m a - niere ou d'une a u t r e . Dans les schémas classi- ques, cette restitution s'efíectuc au contact de limites plus ou moins éloignées qui définissent une distance equivalente de réalimentation. R^a (comme si le niveau d'eau était maintenu cons- t a n t dans u n fossé circulaire á cette distance) et permettent d'évaluer le r a b a t t e m e n t S d'une

nappe captive de puissance KH p a r l'approxima- tion de Dupuit :

(Jn, p o u r logar i th me népérien)

va lab le á toute distance R assez íaible devant Ra-

Mais dans de nombreux cas, ees limites n'exis- 3

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961034

240 LA HOUILLE B L A N C H E N^{L >} 3 - M A I - J U I N 1 9 6 1

tent pas, ou apparaissent manifestement trop lointaines pour justifier la valeur experiméntale de R^a. II faut en conclure qu'elles ne sont pas toujours apparentes, ou qu'il existe d'autres sources.

Plus généralement, en Fabsence d'alimentation localisée, evidente ou présuniée, le plus simple et d'ailleurs le plus exact du point de vite sta- tistique est de considérer ralimentation comme répartie d'une maniere continué (á u n e échelle convenable) et provoquée p a r le rabattement, done, en premiére approximation, proportion- nelle á ce rabattement.

D'une maniere plus concrete :

I^o Mme P. Kotchina [1] considere la nappe exploitée, séparée d'une nappe sous-jacente p a r un horizon relativement impermeable qui laisse filtrer vers la premiére u n débit proportionnel á la difterence de charge de pai't et d'autre : cette difíerence est égale au rabattement de la nappe exploitée dans la mesure oú la « nappe réservoir » est assez puissante p o u r que sa charge initiale ne soit pas modifiée de maniere appréciable p a r Fappel d'eau de la nappe exploitée.

2 ^o On peut envisager la nappe exploitée limi- tée p a r u n e surface libre dont les niveaux n a t u - rels résultent d'un equilibre statistique entre les apports atmosphériques et les retraits p a r evapo- ración : le débit d'alimentation apparait comme un excedent, proportionnel au rabattement, qui soustrait plus ou moins la nappe á Févaporation.

3 ^o A tres grande échelle, la « nappe réservoir » de Mme P. Kotchina peut étre identifiée au réseau

de chenaux naturels (cours d'eau de toutes im- portances) ou artificiéis (fossés et canalisations) plus ou moins isolés de la nappe exploitée.

Sous cette forme, on pourrait d'ailleurs ¿tendré Falimentation proportionnelie á u n e nappe illi- mitée dans les trois dimensions, en distinguant dans tout élément de volume :

-— Le milieu aquiíére banal, assimilé p a r M. Miche [2] á u n réseau de films couram- ment recoupé p a r les puits et les forages d'observation;

— Un réseau souterrain de chenaux á grands rayons hydrauliques, dont la mise en com-

munication directe avec les forages est infl- niment peu probable, mais la présence sys- tématique justifiée, au raéme titre que cel- les des cours d'eau superficiels, p a r Faction de Férosion amorcée á la faveur des hété- rogénéités primitives.

Tous ees aspeets ont leur point commun dans les relations de la nappe avec Fhydrologie régio- nale (définie p a r u n ensemble de niveaux indé- pendants du poinpage) dont Fexistence univer- selle ne fait pas de doute. Dans les cas p a r t i - culiers, interviennent p a r contre :

— Les déformations de la loi « statistique » á Féchelle de durées de pompage et de zones in- téressées trop réduites;

Les concentrations systématiques de certai- nes Communications (au contact des berges d'un cours d'eau tres r a p p r o c h é ) ;

— La n a t u r e de ees Communications, capable de m e t t r e en cause la proportionnalité (ré- gime turbulent ou saturation des Communi- cations).

Quoi qu'il en soit, Falimentation proportion- nelie garde bien la valeur d'une approxima- tion, valable pour les petits rabattements en Fabsence (ou dans Fignorance) des localisations particuliéres.

Les reserves de la nappe interviennent dans le régime transitoire en fournissant p a r imité de surface u n volume d'eau proportionnel au rabattement. Nous rappelons que le coefficient de proportionnalité, ou « module de Theis » [3]

représente :

— E n nappe libre, le volume d'eau evacué p a r imité de volume de terrain dénoyé p a r le r a b a t t e m e n t ;

— E n nappe captive, le volume d'eau essoré p a r imité de surface et p a r unité de com- pression intergranulaire (mesurée en h a u t e u r d'eau et égale au rabattement piézométrique).

Dans le langage « débits », les reserves inter- viennent done proportionnellement á la vitesse de rabattement et s'ajoutent aux apports exté- rieurs — proportionnels au rabattement — con- sideres précédemment.

II. — THÉORIE

A. — D É F I N I T I O N S . — UNITÉS : métre et seconde R : Distance á Faxe de symétrie;

^ ' T : Temps á p a r t i r de Forigine du pompage.

I^o Fonction et variables : 2 ^o P a r a m é t r e s :

S : Rabattement; K : Perméabilité horizontale du milieu: définit

N * 3 - M A I - J U I N 1901 J . B R I L L A N T 241

Piézométre -Niveau

piézométrtque

ínifiaí

- 4

S{R) -Niveau piézométrique rabattu

Toif étanche

^ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ^

/^dj f ° - V * ¿ * — ¡ I:*--*»• o' - " V V » *^p' - 1 - *>A; V* Milieu de pérméabilíré K

j " I A Q² | Substratum ^ /

4

s e m í - permeable

AR

( milieu de perméabilité infinie) F i g . 1

le débit Q ñ l t r a n t á travers toute surface eylindrique 2-ítR.H sous Finfluence du gradient hydraulique 3 S / 3 R dans Fhypo- thése de la loi de Darcy :

Q = K . 2 * R H . —1 | (2) s : Module de Theis : déñnit le débit p r o - portionnel á la vitesse de r a b a t t e m e n t 3 S / 3 T fourni p a r les reserves de la nappe sur la surface 2 - R . A R :

AQ^X = e . 2 t : R A R .

3 T (20 A : F a c t e u r d'alimentation : déílnit le débit

proportionnel au r a b a t t e m e n t S fourni p a r les apports extérieurs sur la surface 2 wR.AR ;

A Q² = A . 2 t u R A R . S (2") Ces formules donnent les « dimensions » des p a r a m é t r e s ; vitesse pour K, nombre sans dimen- sión p o u r e et inverse du temps pour A.

B. — EQUATION ET CONDITIONS AUX LIMITES DU R A B A T T E M E N T .

La relation :

Q (R) = Q (R + AR) + AQX + AQ2

exprime simplemcnt la conservation des débits, soit, pour AR —» 0 :

AR | Q + A Q^t + AQ² = 0 ( 3 )

II vient, en remplacant Q, AQ¡, AQ2 p a r leurs expressions (2), (20, ( V ) :

dR^{2 + R} 3R ~ KH 3 T KH *^k Le débit pompé Qp intervient comme limite de Q pour R 0 et impose la condition a u x li- mites :

Q

dR 2 t c K H

d'aprés (2) Q,

2 t c K H

pour R —> 0 On a, ou on adinet encoré :

S = 0 pour T ^ 0 et pour R —> ce En a d o p t a n t pour S, R, T, Jes unités dérivées :

Q, ' S

2 t í K H

; n, ^{x K x}" - : 'IV - (4)

fonction et variables p r e n n e n t les formes re- cluites (sans dimensión) :

S R , T

Ainsi, le probíéme théorique est défini, inde- p e n d a m m e n t des paramétres,

— p a r Féquation aux dérivées partielles :

dW ^H" 7 dr ~ "di (5)

242 LA H O U I L L E B L A N C H E -MAI-JUIN 1961 - N⁰ 3

et p a r les conditions aux limites :

$ = 0 pour t ^ 0 et pour r ~> co (5 bis)

— r —~ —> 1 pour r~> 0 (5 fcr)

SOLUTION DANS L E C A S G E N E R A L .

On justiñe directement, ou p a r la méthode esquissée au p a r a g r a p h e suivant, Fexpression de

^ sous Fuñe des trois formes :

F i g . 2

1 rr*/*t A^r

2 Veo x

y 2 ^{J- o o}

2 y⁰

déduites l'une de l'autre par les relations entre variables d'intégration

2 = ln —~- = ln ^ft r 2 x

On vérifie que les courbes $ — \\\(2t/r) (r = C^{i e}), dont Fexpression est donnée p a r la troisiéme forme, sont symétriques p a r r a p p o r t au point d'inflexion f d'abscisse ln (2 t/r) — 0 oü Fon a (fig. 2) :

— la pente : tg <¿>^f =

—• Fordonnée

8^f =

~ le temps : r.t =

( 6 )

s co (r)

2 la sous-tangente :

9/ = */•

tg 0); e s » (r)

(7)

S 00 (R) (s)

t

t

Sf = I^SC O { r )

t

1 (

") .

D. — C A S P A R T I C U L I E R S E T CAS L I M I T E S .

I^O Régime de Theis ou régime initial:

(s⁰ = So/Su).

— Pour A — O (absence d'apports exlérieurs), r et i sont nuls, mais r²/ 4 i peut conserver une valeur íinie [(s/KH) . ( R²/ 4 T ) ] et la pre- miére expression de s p r e n d la forme particu- liére :

1

p

x

1

ét

Ei (— r²/ 4 f) est la fonction de r²/ 4 t, connue sous le nom d'cxponentielle intégrale [ 4 ] ,

— Quand / O, on demontre facilenieiit que s/s⁰-*l.

Ainsi ,v⁰ peut étre consideré comme une forme limite de s q u a n d t (ou T) tend vers zéro (ré- gime initial).

égale á ln 2 F^f/r •—ln 2 t^f/Y — ín T^{7 F}/ T^F = G^F (sur REMARQUE. — On note que s^Q vérifie Féquation la figure 2 bis relative aux grandeurs réelles,

homologues et proportionnelles S et T pour d²s _. 1 ds ds_ ^(ff.

R = ( X dr*~ rdr ~ dt ^{°^}

FIG. 2 bis

MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 J. B R I L L A N T 243 et les mémes conditions aux limites (5 bis) et (5 ter)

que 5 . G'est á ce titre que son expression a été don- née par Fouricr á propos de la propagation de la chaleur et reprise par Theis pour les écoulements souterrains.

Inversement, on remonte á Fexpression genérale de 5 — vérifiant (5) (5 bis) (5 ter) en passant par l'intermédiaire de s^v = e - * s⁰ qui yérifie (5) (5 bis)

et — (r 3 s^v/d r) -> e - * puis de :

s^w = s^v + S AT.S» U — i r )

qui vérifie (5) (5 bis) au méme titre que ses compo- santes et :

— (r 3 sjd r) = e - * + 2 AT e - ( * - T )

A la limite (Intervalies AT jointifs de 0 á t et tendant vers zéro) on a :

sw ~* *L = s^v + ft s^v (t — *) dx vérifiant encoré (5) (5 bis) et :

_ J$*L. = + p fi-(i-r) rfT = i (5 fer)

1 J o

La condition (5 fer) permet d'évaluer M = * / 2 et :

y o 2

REMARQUE. — II y a tout intérct á profiter des valeurs tabulées de la fonction de Hankel pour eífectuer le calcul numérique de s sous la forme :

s l ± l n — J = j e~rchxdx

1 /+ln ( 2l / r )

2 y o

= ~ ÍH⁰ (ir) ± 4* / e-'<**dx 4 2 y ^

Le second terrae, nul au point d'injlexion, peut étre calculé par la méthode des trapézes. (G'est ce qui a été fait pour établir Tabaque general de la relation s (rt) ) .

s^L est done une quatriéme expression de s qu'on retrouve d'ailleurs sous sa deuxiéme forme aprés le changement de variable t — T — y et une intégration par partie.

2^o Régime permanent ou régime stabilisé : («co = S o o / S i O .

P o u r s = 0 ou T infini, t est infini. Le r a - battement conserve ou atteint la valeur indépen- dante de t :

Une autre expression de s^ peut étre obtenue directement p a r m i les Solutions nuiles á l'in- iini de l'équation :

d²s . 1 ds

3jP2 + rdr ~ S

(5") déduite de Féquation genérale (5) p o u r :

ds 0 dt

P a r définition, ees solutions sont de la forme M í H⁰( í r ) . „ í H⁰ (ir) étant la fonction de Hankel equivalente á —- (2/w) In (yr/2) pour r ~> 0 [ 4 ] .

(In y = C # 0,5772 — constante d'Euler).

3 ^o Approximaticm de Diipuit : (s^d — Sd/$u).

Dans la premiére forme de s^} la fonction sous le signe / peut étre développée en serie entiérc p a r rapport a u x puissances de r²/ 4 x et — s représentée p a r u n e serie d'intégrales de la forme :

lⁿ (X) = dx

calculables compte tenu de I^x — E¿ (— X) et de la relation de récurrence :

I - ^{( X )} = ^s - 3 ¿ l [ í S - + ^ ^{( x} > ] En ordonnant le développement p a r rapport aux puissances de r², on trouve u n e suite de

« coefíicients » d'ordre de grandeur logarithmi- que en « r infiniment petit »; le premier :

ln [ ( 2 /^Yr ) e ^ f - O ^ ]

peut done étre consideré comme u n e approxi- mation de s pour r - » 0 et identifié au rabatte- ment de Dupuit (1) evalué en coordonnées r é - duites par s^d = ln ( r^a/ r ) .

On en déduit

244 LA HOUILLE BLANCHE N ° 3 - M A I - J U I N 1961

et commc :

Ei(—oo) = 0 e t E . Í — f ) = l n^Yí — í +

3 . 3 ! il vient

I^o r^a - » (2/y) ^{= V}4 í/y pour i -» O, 2 ^o r^a-*2/y pour f-> oo,

solí en tenant eoinpte des unités R^H et T^w — formules (4). :

pour T 0.

... Rayón d'action flctif du regí me de Tbeis

croissant comme \ / T (en-Fabsence d'alimen- tation extérieure ou au debut du pompnge).

2^o R^a- >

A.y/i^L

...Rayón d'action p e r m a n e n t ou stabilisé prévu par Mrac P. Kotchina (avec 2/y = 1,123 et A,

Perméabilité quotient

Épaisseur du « s u b s t r a t u m »).

R E M A R Q U E . — L'approximation de Dnpuit qui prcvoit un rabattement nul pour R = R^A jnstifie Fappellation de rayón d'action... fíctif parce que l'approximation n'est généralement pas valahle a cette distan ce (dans les hypothéses actuelles, on a en fait pour r = r^a :

s ^w # 0,36 — s⁰# 0,25 et s⁰<s< s.J.

III. — APPLICATION A U X ESSAIS DE P O M P A G E

L'approximation de Dupuit pour R < < R^{f í}: 2 *KH ]n A .

R (1)

assure la liaison la plus naturelle entre les notions courantes et les aspects partieuliers de la théorie actuelle-

Dans les circonstances les plus larges, R^a est une fonction indéterminée (du temps, du dé- bit pompé...?) r e s u l t a n ! de conditions d'ali- mentation dont le mode n'est pas precisé. La relation (1) determine sur un graphique S —- ln R (T constan!) une droite de pente (fig. 4).

FIG. 3

MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 J. BRILLANT 245

Ordonnées S (ouf)

m Points expe'rímentaux / ( S i - l n R í - T )

r9^{= W}T (inR)

FIG. 4 3S„

B l n R 2 %KR O*

Inversement, Falignement approximatif des points expérimentaux Si — ln R^{ á la méme épo- que T determine une droite D^T de coefficient angulaire W^T dont on peut déduire — indépen- d a m m e n t de toute hypothése plus ou moins res- trictive concernant Falimentation — la valeur K H = Q^p/2 7c. W^T; cette grandeur représente á titre de moyenne ou d'équivalence ce qiFil est convenu d'appeler la puissance de la nappe.

Si H est connu, la valeur K = Q^p/2 T T . H W^t est la perméabilité horizontale equivalente sur la h a u t e u r H , plus préeisément la moyenne :

SK< A H , 2 A H Í

s - 0 , 2 5 Q p

" 2 n KH

des perméabilités K¿ des horizons homogénes suc- cessifs d'épaisseur AH¿.

2° Dans Fhypothése de Theis concernant le mode d'intervention des reserves et dans les conditions initiales indépendantes des ap- ports extérieurs éventuels, la loi R^a (T) est précisée sous la forme R^{f t} = V T K H T / v e et Fapproximation de Dupuit sous la forme :

'4 KHT

2 u K H ln V ~ Y « " ⁼ _L Q* i^{n 4R}H T

R 2 2TTKH ^Ts R²

qui determine dans u n graphique S — ln T (R constan!) une droite Dⁿ (fig. 5)

— de coefficient angulaire W^R = 3 S^d

S l n T 2 * K H qui coupe Faxe (S définie p a r :

0) pour Fabscisse ln T^R 4 K H T^R

ye R² = 1 soit T^R = R² 4 KH Inversement, Falignement des points expé- rimentaux Si — ln T^{ á une distance donnée R determine u n e droite de coefficient angulaire W^{T í} = W^T/ 2 dont Fintersection avec Faxe S = 0 determine u n temps Tⁿ — y s R²/ 4 KH.

On en déduit — i n d é p e n d a m m e n t de toute hypothése restrictive concernant Falimentation extérieure, la valeur :

4 K H . T^T,

TR²

considérée comme u n coefficient de vide appa- rent (inférieur au coefficient réel qui intervien- drait s'il s'agissait d'une nappe libre, dans un terrain complétement asséché entre le niveau initial et le niveau r a b a t t u ) .

A ce stade, qui reste dans le domaine des méthodes classiques, il convient de r e m a r q u e r que les droites D^T et D^u ne representen! que des approximations : la premiare p o u r les dis- tances R assez réduites devant R⁰ (correspon- d a n ! á T donné — fig. 4), Fautre (fig. 5), aprés un délai suffisant pour justifier des valeurs R^a (T) assez grandes vis-á~vis de R donné; les droites D^x et D^{I t} ne sont que les asymptotes des cour- bes réelles (telle D^r> pour la courbe G^t dans la figure 5).

Ceci ne souléve pas de difficuité essentielle, Falignement des points expérimentaux pouvant eííectivement étre assimilé á Fasymptote pour des valeurs convenables des variables R (assez petites) ou T (assez grandes).

Mais Fapproximation graphique apparait plus douteuse lorsqu'on r e m a r q u e que la droite D^K

FIG. 5

246 LA HOUILLE BLANCHE N ° 3 - M A I - J U I N 1 9 6 1

ne représente pas n o n plus les rabattements pour T assez grand, si ce n'est dans Fhypothése de Theis admise á titre restrictif (en Fabsence d'ali- mentation extérieure). Or, sans présumer de leur n a t u r e ni de leur mode d'intervention, les ap- ports modérent progressivement les rabattements alors figures par u n e courbe C² d'asymptote D^H (pour I n T - * * — o o ) et a d m e t t a n t une autre di- rection asymptotique D moins inclinée que Du

pour ln T —> + co (avec ou sans asymptote, ho- rizontale ou inclinée, suivant le mode d'alimen- tation — fig. 5).

II en resulte que la courbe réelle C, asymptote á C^t et á C², comporte u n point d'inflexion F.

La tangente en F qui sera pratiquement prise en co-mpte dans Falignement des points expérimen- taux sous-estime simultanément Finclinaison (W < WR) et le temps ( TP < TR) .

— Dans le cadre le, plus large (sans hypothése restrictivo concernant Falimentation exté- rieure), u n e approximation suffisante de W vis-á-vis de WR ( = 1/2 WT connu) cons- titue u n test raisonnable — sans plus — de Fapproximation de TP (vis-á-vis de TR) et, en conséquence, de s ;

— P a r contre, dans le cadre de Falimentation extérieure proportionnelle définie par le pa- r a m é t r e A, on demontre que Ferreur relative sur g (par défaut) est equivalente á :

AR²

KH In / KH V AR²

et devient négligeable p o u r R assez réduit.

On saurait d'ailleurs calculer : A =

et évaluer en conséquence le facteur correctif, mais des lors qu'on introduit le p a r a m é t r e A et qu'on presume ainsi du mode d'alimentation ex- térieure, il semble préférable de s'inspirer des deux méthodes suivantes. Dans u n esprit tres différent :

— La premiére est axée sur les propriétés par- ticuliéres de la relation s (vt) ; symétrie des courbes C (fig. 2 bis et 5) et expression sim- ple de 3 s / 3 In t;

— Uautre peut au contraire étre considérée comme la méthode genérale applicable lors- que les p a r a m é t r e s á évaluer (KH-—A-—¿), qui interviennent dans la relation présumée entre grandeurs observables (S — R — T), peuvent étre elimines p a r u n choix convena- ble des imites (Sí t •—R„ — T J .

B. — En principe, les éléments expérimentaux G^F — S^F — T '^p (fig. 2 bis), relatifs a u n seul point

d'inflexion F correspondan! á la distance R> sont suffisants. E n t r a n s p o s a n t les formules (7), il vient en effet :

(g^f = ) G^F = e^rsⁿ (r)

r

(70 (7' bis)

(T ter)

on en tire r — formule (70 et table I — d'oü

Rt t = =R /r, pUis s„(== 2S*/s„ (r) — table II) et

TM( = 2 T 'FA ) . Les quantités S„ - R„ - T„ déter- minent KH puis A puis s p a r Fintermédiaire des formules (4) ou fournissent la formule genérale du rabattement, déduite de la relation s (r, t) sous la forme :

S -— S.W. 5 ( —— , — - rlj/ 1 u

E n fait, on ne connait que Falignement des points expérimentaux, identifié á u n e tangente d'inflexion qui ne determine que la pente tg 0^P = W et Fabscisse (In T^F) de son intersec- tion avec Faxe S = 0 (fig. 2 bis), soit seulement deux relations :

W = a s _

d ln T S„ ds

dlnt 2 J 2

ln T^F = l n T '^F— G h , = l n T „ f^/— g , = hiT^u

pour trois inconnues : S.„, R.a et Tu.

II faut done connaítre au m í n i m u m deux ali- gnements aux distances Rx et R2... P r a t i q u e m e n t , on a u r a a u t a n t d'alignements que de forages d'observation, fournissant a u t a n t de g r o u p e s d e valeurs corrélatives R¿ — W2 — ln TF l et il est avantageux de toutes les considérer pour obtenir une moyenne significative. A cet égard, oe sont les procedes graphiques fondés sur Falignement des points expérimentaux qui font apparaítre le plus clairement les mesures les plus aberrantes (á expliquer, corriger ou éliminer) et les groupe- ments particuliers qui peuvent orienter vers une interprétation fragmentaire dans le temps et dans

Fespace.

P a r exemple, les points d'abscisses R, et d'or- donnée ln 1/W¿ définissent u n alignement de co- efficient angulaire 1/R^{t t}, d'ordonnée á Forigine

— ln(S«/2), et la deuxiéme relation fournit au- t a n t de valeurs Tw (TH Í) qu'on posséde de valeurs corrélatives TF i — R¿ ( = R ^ ) .

M A I - J U I N 1961 - N ° 3 J . R R I L L A M T 247

T A B L E I TABLE I I T A B L E I I I

ersw (r)

m ~~> 0 2 4

jt m—>Q m —> 0 ., ,

r-~^{2 m}

—

1

0,45 7,59 0,05 0,642 0,05 1058

0,50 6^04 0,10 0,824 0,10 292

0,55 4?95 0,15 0,986 0,15 140,7

0,60 446 0,20 1,141 0,20 85/15

0,65 3*49 0,25 1,299 0,25 57,95

0,70 2,99 0,30 1,458 0,30 42,47

0,75 2^56 0,35 1,622 0,35 32,87

0,80 2,23 0»40 1,805 0,40 26,38

0,85 1,96 0,45 1,975 0,45 21,78

0,90 1,715 0,50 2,164 0,50 18,36

0,95 1,525 0,55 2,364 0,55 15,79

1,00 1,355 0,60 2,573 0,60 13,75

1,10 1,095 0,65 2.794 0,65 12,13

1,20 0,895 0,70 3,057 0,70 10,81

1,30 0,740 0,75 3,277 0,75 9,705

1,40 0 620 0,80 3,540 0,80 8,795

1,50 0,526 0,90 4,112 0,90 6,740

1,60 0,443 1,00 4,755 1,00 ü,276

1,70 0,376 140 5,505 1,10 5,455

1,80 0,324 1,20 6,280 1,20 4,795

1,90 0,282 1,30 7,195 1,30 4,273

2,00 0,244 1,40 8,210 1,40 3,835

2,10 0,212 1,50 9,356 1,50 3,477

2,20 0,184 2,00 17,56 2,00 2,320

2,30 0,161 2,50 32,20 2,50 1,711

2,40 0,141 3,00 57,56 3,00 1,340

2,50 0,125 3,50 102,1 3,50 1,093

2,60 0,110 4,00 174,4 4,00 0,920

2,80 0,0875 4,50 312,7 4,50 0,791

3,00 0,0552 5,00 542,0 5,00 0,691

M —>

00

M —>

00

y V ^{J t} I M

On a :

T1 ( 1 = TF Í. ?- V > > = TF i. E (r¿

1 i

(table III)... et on p r e n d r a simplement la moyenne des T,7,

Avec deux pentes W^x W² relatives á deux dis- tances RT R2 on peut évaluer sommairement :

lt<l~ y

V

2Jog fi R2 — Rt / l l o g ^ e \ y log W i / W o \ Y ⁹ V

C. — La surface de coordonnées log .9 — log r

— log f, définie p a r la relation s (rt) et celle de coordonnées log S — log R — log T définie par un ensemble de points expérimentaux de coordon- nées log S i — l o g R⁴ — l o g ^ sont théoriquement superposables par translation de composantes log S^u — log R^u — log T^M. Inversement, la compa- raison de ees deux suríaces permet d'apprécier le bien fondé de la théorie et d'évaluer log S,,.—

log R^{? í} — logT,,, composantes de la translation opérée pour assurer au rnieux la comeidence.

Dans notre cas particulier, íes mesures R¿ sont échelonnées en nombre plus ou moins limité

2 4 8 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - MAI-JUIN 1961

(commandé p a r celui des forages d'observation).

P a r contre. les mesures corrélatives S^ — T^y (rabattement en fonction du temps) associées á chaqué distance R¿ peuvent étre tres denses et méme continúes (enregistrement graphique), ce qui fixe les conditions d'application pratique les plus avantagetises.

On dispose une fois pour toutes d'un réseau de « courbes de niveau » (cotées en log r) dé- fini p a r la relaíion s (rí) et p a r des axes de eoor- données gradúes en log s et log t (les cotes

« log r » en progression arithmétique de raison o assez petite : Tabaque donné pour la relation

^ (rí) a été précisément établi sous cette forme avee p — 0.1).

P a r ailleurs, on trace sur u n calque le systéme d'axes gradúes en log S et log T qui permettent de placer les points S# — T^{f i} correspondant aux mesures corrélatives Rabattement-Temps effec- tuées dans chaqué forage (R¿) et de tracer cha- qué courbe de cote log R¿.

On cherchera la meilleure coincidence des deux réseaux en conservant le parallélisme des deux systémes de coordonnées.

Dans la position ainsi obtenue, les difíerences d'ordonnées et d'abseisses entre les deux systé- mes representen! respectivement log S^u et log T„, log R„ étant donné p a r la différence de cote (en principe constante) des courbes en coincidence.

L'appréciation de cette coincidence sera d'ail- leurs facilitée si les mesures log R¿ sont en pro- gression arithmétique de raison múltiple de p (forages d'observation á des distances échelon- nées en progression géométrique de raison 1 0ⁿ/^{1 0} pour comparer á Tabaque).

£>. — Rabattements au-dessous du toit de la nappe :

La théorie reste applicable dans les conditions ci-aprés :

a) K constant (sans restriction concernant la perméabilité verticale K^v);

b) Rabattement S (compté á p a r t i r de la h a u t e u r d'équilibre Z⁰) , défini et eíTectivement repéré p a r le niveau d a n s des piézométres crépinés sur toute la h a u t e u r de la n a p p e ;

c) S, généralisé sous la forme :

í S p o n r S < Z⁰ — H

g = ) ^S ( ^{2 Z} o - ^{S 2} ^ - < ^Z o - ^{H ) 2} p o u r S > Z ⁰ - H

(nappe libre incluse dans la convention Z⁰= = H ) ; d) Alimentation proportionnelle á S et d'S/'dT

(ou á S et B S / 3 T sous reserve que les

« grands S » ne concernent q u ' u n e zone de faible étendue au voisinage du puits).

P o u r la pratique des essais, u n e grandeur 2>

notabíement plus petite que S ne risque guére d'intervenir que sous la forme 2?^p oú elle rem- place le r a b a t t e m e n t dans le puits et repré- sente Tordonnée de la droite de Dupuit ( D^T, fig. 4) p o u r R := R^{/ ;} (rayón du puits ideal).

Inversement, les éléments expérimentaux (D^T, S P ) définissent, p a r la construction de la figure 4, le rayón efficace d'un p u i t s de forme quelconque... qu'il serait illusoire d'apprécier en fonction des cotes d'exécution : la qualité des filtres et la perméabilité lócale du terrain (éven- tuellement remanió p a r le développement) jouent á cet égard le role prépondérant qu'il a p p a r - tient j u s t e m e n t á Texpérience de préciser.

COMMENTAIRES. — I^o. La reserve exprimée en b) est sans objet lorsqu'on admet que la perméabilité verticale est infinie et entraine des rabattements communs (sur une verticale) á tous les «filets d'écoulement»; aprés substitution de S á S^} la for- mule (2) exprime simplement que la section de passage (primitivement H) est limitée á la plus petite des hauteurs H et Z⁰ — S, et la méme substi- tution dans les formules (2') et (2") est admise (con-

FIG. 6 FIG. 6 bis FIG. 6 t e r

MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 J. BRILLANT 2 4 9

dition d) par hypothése, ou á titre approximatit' quand on x^eut séparer :

— Une zone R > mR^a oú tous les rabattements sont assez faibles pour qu'on puisse indifFéremment considérer que Falimentation est proportionnelle á S, á § ou á toute autre grandeur equivalente pour S ~> 0;

— Une zone R < mR^a qui fournit (quelle que soit Phypothése) une fraction négligeable du débit total.

2^o. Les considérations de Tcharnyi [5] permet- tent d'étendre rigoureusement la démonstration

pour K^V quelconque, mais la reserve b) devient essentielle, et il faut des lors bien distinguer :

— La méridienne Z (fig. 6 bis et 6 ter) définie pai- la théorie ou comme « ligne de charge moyenne » repérée par les niveaux dans des piézométres qui recoupent tous les filets d'écoulement;

— Les lignes de charge distinctes pour les diffé- rents filets d'écoulement, et en particulier celle du íilet d'écoulement supérieur (Z^y) qui fixerait la snrface libre en passant au-dessous du toit, mais reste provisoirement indéterminée entre Z (pour K^v infini) et Z' (pour K^Y mil).

IV. — CONCLUSIONS

A. — Sous les reserves qui concernent les loca- lisations particuliéres de Palimentation et les pré- cautions á p r e n d r e au su jet des nappes libres ou décollées, la théorie linéaire s'applique avec u n e bonne rigueur aux essais (limites en principe á de « petits » r a b a t t e m e n t s ) .

Appliquée aux prévisions, la théorie justifie- rait :

I^o L'addition p u r é et simple des rabattements provoques p a r u n nombre quelconque de puits, méme lorsqu'ils sont repartís dans u n e zone de dimensions appréciables vis-á-vis de R^a (conditions pour lesquelles Fapproxima- tion de Dupuit et les transformations confor- mes ne sont plus rigoureusement justifiées).

2^o L'évaluation des rabattements sous débit va- riable : il suffirait de décomposer le débit en éléments constants (positifs ou négatifs) de- puis u n e origine variable j u s q u ' á Tinfini et de faire la somme des rabattements corres- p o n d a n t s : p a r exemple le rabattement provo- qué p a r le débit Q^p maintenu p e n d a n t u n temps limité T serait :

s(r, t) — 5 (r, t — T)

B. — E n fait, dans les conditions normales d'ex- ploitation (rabattements de nappe et captages), la théorie linéaire ne représente plus q u ' u n e ap- proximation. Méme si on laisse de cote les pro- blémes concernant la localisation de la surface libre réelle (pratiquement résolus par les métho- des de relaxation — référence [6]), toutes les re lations de base exprimées par les équations (2) - (20 - (2") sont mises en cause :

I^o La loi de Darcy n'est plus exacte [7] : mais les divergences portent surtout sur les grandes vitesses au voisinage du puits et la conséquence

la plus tangible est une réduction du rayón equi- valen! (R^p) pour les grands débits; en particulier le débit p e r m a n e n t maximal Q^M, determiné en principe p a r la relation :

2>„ QM

2 TCKH ln avec

et

:Z⁰ d'oü "§,, — 2 Zⁿ 2 /"

R^a (stabilisc) — —• y »

peut étre surévalué, si R^p a été obtenu avec u n faible débit d'essai.

2^o L'intervention difíérée des reserves [8] doit accélérer Tévolution initiale du rabattement et la ralentir par la suite.

3° L'alimentation, représentée par une vitesse (AS) proportionnelle au rabattement, ne peut pas croitre indéfiniment avec S. I I faudrait la rempla- cer p a r une expression de la forme :

ASV

ou 2 V . . % Are tg ^~-¿r~

Tí Á

AS .^{r i 1} AS -~Y~ou V th — - . AS + V

equivalente á la premiére pour les petits ra- battements et limitée á V pour les grands rabat- tements.

Suivant Ford re de grandeur des rabattements vis-á-vis de V/A (dans la zone d'alimentation la plus efficace), la solution admettrait deux cas limites :

— L'alimentation sous vitesse AS (la théorie ac- tuelle);

— L'aliraentation sous vitesse constante V qui permet d'évaluer u n rayón d'action íictif et stabilisé R^a = \/Q^p/nTe7\^T proportionnel á la

250 L A H O U I L L E B L A N C H E • N ° 3 - MAI-,TUIN 1 9 6 1

t —* ~2 -—#. log t 1 —* ióg t — • O — ^ log t —* . +.1

ABAQUE. — Courbes log s — log t (de cote log r ) .

racine carree du débit pompé (et V e fois plus petit que le rayón R défini p a r VTCR² = Q^p).

Lorsqu'il n'y a pas d'autre source que la plu- viosité (deuxiéme exemple), V est borne p a r la

« donnée climatique » V^C (la h a u t e u r de pluie a n . nuelle) et la valeur de R ¿ associée á V^c :

Q p \

7teV„

est une limite inférieure (normalement j a m á i s atteinte); ainsi Finégalité experiméntale :

... grossiérement — ^ > > 10 V„ AO

° KH ^c

implique l'existence d'autres sources que la plu- viosité.

C. —• Enfin, qu'il s'agisse d'essais ou de prévi- sions, les localisations particuliéres de r a l i m e n - tation ne peuvent pas toujours étre négligées.

P a r exemple. si la nappe est au contact d'une berge rectiligne á la distance R⁰/ 2 , le rabattement

doit étre evalué dans le cadre méme de la théo- rie linéaire p a r Texpression plus complete :

s^f = s(r⁹i)—s(^,t) r' étant la distance du point consideré au sy- métrique du puits p a r rapport á la berge (réelle ou virtuelle) et on évaluerait le rayón d'action fictif et stabilisé sous la forme :

R^a == R^A. e ( 2 K⁰/⁷K^e)

Pour R^A — rayón d'action fictif correspon- d a n t á Talimentation proportionnelle seule — assez grand devant R^{0 ;} on retrouve bien le rayón d'action classique (le double de la distance á la berge) :

R « # R^Ae

In ( y / 2 ) . ( 2 R0/7EA)

Ro

... Mais des que R⁰ est un peu supérieur á 2 R^V, Fexposant — (2 R⁰/ r R^A) devient inférieur á 0,05 et R^a est commandé par R^A á moins de 5 % prés.

M A I - J U I N 1 9 6 1 - N ° 3 J. BRILLANT 251 C'est précisément le cas sígnale au debut oü

r a l i m e n t a t i o n strictement localisée au contact de limites trop éloignées (la berge á la distance R⁰/ 2 ) n e saurait justifier á elle seule la valeur

experiméntale et corréete R^a, peu différente de R^A et éventuellement tres inférietire á la valeur classique R⁰.

RÉFÉRENCES

[1] D E GLEE. — C o u r s de T i s o n . 2E p a r t i e , page 4 0 2 . KOTCHINA (Mine). — S.H.F., Sixiémes journées de T hydraulique QI, C 16,

[ 2 ] R . M I C H E . — S.H.F., Sixiémes journées de Vhy- draulique Q I, C 4 .

[ 3 ] T H E I S . — E x p o s é de M. H O U P E U R T : E l é m e n t s de m é c a n i q u e des ftuides d a n s les m i l i e u x p o r e u x , (page 177).

[ 4 ] JA.HNKE et EMDE. — T a b l e s of f u n c t i o n s , Dover publications.

[5] TCHARNYI. — C o m m e n t a i r e s de M. VIBERT et de P a u t e u r . Le Gónie Civil, 1/54 et 3 / 5 6 .

[6] SOUTHWELL. — A p p l i c a t i o n s de M . E . d e CAZENOVE, La Houille Blanche. (Présent numero),

[ 7 ] SCHNEEBELI. — L i m i t e de v a l i d i t é de la loi de D a r - cy, La Houille Blanche, m a r s - a v r i l 1 9 5 5 .

[ 8 ] BOULTON. — Association Internationale de Recher- che Hydraulique, Congrés de Rome, t o m e I I .

NOTEE FEONTISPICE

Cf. page 224

DUPUIT (18044865).

Dupuit est peut-étre autant, sinon plus coniiu commc écono- miste que comrae ingénieur et commc hydraulícien. C'est que clans le domaine de l'économique, autant que dans celui des sciences de l'ingénieur, íl fit avant tout figure de praticien et d'homme d'action : ii a « construít » et non point seulement

<c calculé » ou pensé.

Celui de ses premiers mémoires qui eut un retentissement consi- derable en France et en Europe et fut traduit en plusieurs langues, traitait « de ¡a mesure de l'utilitc des travaux publics » (1844), et les conclusíons en étaient aussi constructivas que per- tinentes.

Arséne Jules Emile Juvénal Dupuit naquit le IS.xnai 1804 á Fossano, ville du Piémont, alors partie de l'Empire francais.

Polytechnicien en 1822, ingénieur ordinaire des Ponts et Chaus- sées en 1827, ingénieur en chef á Angers en 1844, les inondations qui avaient desolé cette región les années precedentes 1'anie- nérent á se pencher sur les problémes des crues et á publier en 1848 son « Etude théorique ct pratique sur le mouvemcnt des cau.v coiirantcs », dont íes partios les plus remarquables étaient l'étude des écoulcmeuts á sur face libre, des ondes de crue, des courbes de reuious en canaux hori/.outaux ou á pente douec ou ra i de, et des eíTcts des élargissemeuts et des rétrécissements des canaux en fonction de la Kgne de profondeur critique. L'im des premiers, ÍI sut opérer un rapprochemeut entre le ruissellcment et les précipitations.

Chargé en .1850 de la direction des travaux municipaux á París, notamment du Service des eaux ainsi que des égouts, il décrivit ses travaux et ses conceptions dans le Traite théorique et pra- tique de la conduite et de la distribulion des eaux (1854).

En hydraulique théorique, Dupuit revisa la formule de Prony et démontra que la vitesse nioyenne n'est pas seulement une fonction de la vitesse á la surface, mais dépend de la pente, de la hauteur du canal et de la vitesse á la paroi.

Dans son métier d'ingéníeur» Dupuit, ennemi de la routine et toujours en quéte de procedes nouvcaux, doué par surcroit d'un robusta bon sens, fit ccitvre origínale dans les domaines les plus divers, avec un constant souci de garder le contact avec le concret, c'est-á-dire avec l'observation et avec Pexpérience.

DUPUIT (1804-1865).

Dupuit, famous hoth as an engincer and as a hydranlicist, is probabty cqually well kno?vn as an cconamist—if not more so.

In tí lis iatter subject—just as in Iiis other aetivities—he was above all a practícal person and a man of action; he not only catealated and thought, but he also "made things".

A paper entitled " O n the measurement of the usefulness of public woi'ks", (1844) tvhich ivas onc of his first, made a consi- derable impact both in France and other comunes, and was transí a ted into scveral tang unges. Its conclusión s ivere as cons*

tructivi as tlu:y were pertinent.

Arséne Emile Juvénal Dupuit was born at Fossano in Ptedmont

—then part of the French E ni pire—on the 18 th May 1804. He giaduated from the Eróle Polytechniquc in 1822, was appointed an ^Engincer of the Ponts ct Chaussces in 1827, and became Chicf Engincer for the city of Angers in 1844. It was as a rcsnlt of the catastro phic floods cxpericnccd in the Angers región during previous ycars that he carne ta study problcms of this type and, in 18481 he published his "Theoretical and practícal study of the movement of ílowing •water". The most rcmar- kablc parts of this worlc ierre his study of free surface flows, flood ivaves, backzoatcr curves in horizontal cañáis and canals zeíth various degrecs of slopc, and the cffeets of inervases and restrictions in canal cross-sectional arca on the fimo at various critica i depth Unes. He ivas onc of the first lo cstablish a rcla- tion betzvccn ninoff and precipitation.

Dupuit ivas appointed Snperintendent of Municipal works for París in 1850, being mainly rcsponsiblc for the Water Suppiy and Sr:vcrs Department, His ivork and ideas are describrd in this

"Theoretical and practícal treaiisc ou the ducting and distribtt-

t i o i i o f w a t e r " (1854).

Iu. theoretical hydrautics, Dupuit revísed Prony's formula- by demonstrating that mean veheity not only depends on surface vetocities, but also on canal slopc and depth, and on the velad- ti es at the canal walls.

As an engincer, Dupuit loathed routine and ivas constantly on the lookout for nczv methods. AHhough this trait, atlied with his sound common sense, enabled him to hrcak nezv ground in scvctal very different ñeids, he nevertUeícss constantly endea- vonved to hcep in touch ivith the concrete aspect of each problem by observation and experimentalion.