GEKRt MMTEN FL CHEN VON

Z U R I S O P E R I M E T R I S C H E N U N G L E I C H U N G A U F

GEKRt MMTEN FL CHEN

VON

A L F R E D H U B E R

in Z~rich

Auf einer Riemannschen Fl~ehe R sei eine konforme Metrik

ds=eU(~)ldz ]

(z = Ortsuniformisierende) definiert. (Ein konformer Parameterwechsel z = ~ (~) soll also die Transformation ~ (~) = u @ (~)) + log [~0' (~) I bewirken, so dass

invariant bleibt.) Dabei werde vorausgesetzt, dass u sich lokal als Differenz subhar- monischer Funktionen darstellen ls

u (z) = u~ (z) - u~ (z) (2)

(z = Ortsuniformisierende).

I n b e k a n n t e r Weise (F. Riesz [10]) sind den Funktionen u 1 und u~ positive Mas- senbelegungen, /t 1 u n d /~, zugeordnet (vgl. Formeln ( 6 ) u n d (7)dieser Arbeit). Nattir- lich h/~ngen diese yon der W a h l der Zerlegung (2) ab. (Letztere ist nie eindeutig b e s t i m m t ; m a n k a n n beispielsweise stets dieselbe subharmonische F u n k t i o n zu u~ und u, addieren.) Hingegen daft die Differenz

/~ (e) = #~ (e) - / ~ (e) (3)

als eine auf der Riemannsehen Fl~ehe definierte, vollst~ndig additive Mengenfunktion aufgefasst werden. Der W e r t yon # ist n~m]ieh unabh~ngig davon, welche Darstellung (2) und welehe Uniformisierende z m a n w~hlt.

1 Diese A r b e i t w u r d e z u r H a u p t s a c h e a n der U n i v e r s i t y of M a r y l a n d in College P a r k (Maryland) a u s g e f i i h r t u n d u n t c r s t i i t z t d u r c h die U n i t e d S t a t e s Air F o r c e u n t e r C o n t r a c t N o . A F 18 (600)-573.

2 Dies ist z. B. s t e t s d a n n erfiillt, w e n n u y o n der K l a s s e G s ist. Beziiglich D e f i n i t i o n u n d all- g e m e i n e E i g e n s c h a f t e n s u b h a r m o n i s e h e r F u n k t i o n e n v e r w e i s e n w i r a u f d a s B u c h y o n T. RAD6 [9].

9 6 ALFRED H U B E R

E s bezeichne / i , ( e ) = / ~ , + ( e ) - / ~ - ( e ) die J o r d a n s c h e Zerlegung (siehe [11], p. ]1), welehe d a d u r e h ausgezeichnet ist, dass fiir eine beliebige B o r e l m e n g e e u n d eine will- kfirliehe D a r s t e l l u n g (3) s t e t s tt + (e) ~/~1 (e) u n d # - (e) _-<j% (e) ist.

Sei n u n y eine lokal rektifizierbare 1 J o r d a n k u r v e auf R, welche ein einfaeh zu- s a m m e n h ~ n g e n d e s G e b i e t ~o umsehliesse. W i r fiihren die A b k i i r z u n g ~ =~u-(co) ein.

S AT z. Die Ungleichung

(f eu I z02_>-4 (1- )He2 x dy (4)

y e~

ist stets er/i~llt. Gleiehheit gilt d a n n u n d n u r dann, w e n n ~ < 1 u n d

u (z) - log ] (I)' (z) ((I) (z))-~ I + e, (5) wobei w = 9 (z) eine beliebige ]conforme Abbildung von o~ a u f I w ] < 1 u n d e eine will.

kiirliche reelle Konstante bedeuten.

Die I n t e g r a l e in (4) sind n i c h t notwendigerweise endlich. W i r b e h a u p t e n lediglich:

I s t a < 1, u n d existiert d a s linke I n t e g r a l , so existiert a u c h das r e c h t e u n d die Un- gleichung ist erffillt.

Obiger Satz ist i m W e s e n t l i c h e n bereits b e k a n n t . E r findet sich in e t w a s spezieller F o r m in [7] (vgl. hierzu a u c h F u s s n o t e 3 in [8]). I n d e r v o r l i e g e n d e n A r b e i t soll n u n ein besonders einfaeher Beweis gegeben werden. U m unn5tige L ~ n g e n zu v e r m e i d e n , b e s c h r ~ n k e n wir uns d a r a u f , den K e r n der ~ b e r l e g u n g wiederzugeben, u n d fiberlassen verschiedene (hauptsiichlieh d u r e h F r a g e n des R a n d v e r h a l t e n s bei k o n f o r m e r A b b i l d u n g v e r u r s a c h t e ) technische Details d e m Leser.

Z u n s schliessen wir aus den lokalen V o r a u s s e t z u n g e n a u f die E x i s t e n z einer Zerlegung (2), welehe in ganz ~o U y gtiltig ist. W i r diirfen a u s s e r d e m verlangen, dass jul--:# + u n d # z ~ / ~ - .

F. Riesz [10] h a t die E x i s t e n z d e r D a r s t e l l u n g e n

u 1 (z) = h 1 (z) - f g (z, ~) d / t 1 (e~) (6)

( a

u n d u 2 (z) = h 2 (z) - f g (z, ~) d~a 2 (e~) (7)

t o

in m bewiesen. D a b e i b e z e i e h n e n g die Greensehe F u n k t i o n y o n m u n d h 1 (bzw. hz) die b e s t e h a r m o n i s e h e M a j o r a n t e y o n u 1 (bzw. u~) in diesem Gebiet. W i r d e f i n i e r e n

h (z) = h x (z) - h~ (z). (8)

1 d . h . z u j e d e m P u n k t p auf • u n d jeder z u g e h S r i g e n O r t s u n i f o r m i s i e r e n d e n z g e b e es e i n e n (beztiglieh z) rektifizierbaren, p e n t h a l t e n d e n , o f f e n e n T e i l b o g e n v o n ~, I n s c h l i e h t e n B e r e i c h e n ist dies m i t der R e k t i f i z i e r b a r k e i t i m G r o s s e n g l e i c h b o d e u t e n d .

Z U R I S O P ] ~ R I M E T R I S C H E N U N G L E I C H U N G A U F G E K R U M M T E N F L A C H E N 97 W i r m a c h e n n u n die A n n a h m e , dass der R a n d y y o n w a n a l y t i s c h u n d dass h a u c h auf y h a r m o n i s c h sei. V o n diesen zusgtzlichen V o r a u s s e t z u n g e n k a n n m a n sich m i t Hilfe b e k a n n t e r M e t h o d e n befreien, w o r a u f wir a b e r hier n i c h t eingehen.

W i r b e h a n d e l n z u e r s t den speziellen Fall, d a / q identisch v e r s c h w i n d e t u n d /*2 eine P u n k t m a s s e ist.

H I L F S S a T Z. S e i u (z) = h (z) + :r g (z, ~o), wobei ~o E r u n d 0 <= :r < 1. D a n n ist

(f idz l)2__> ff pu d . dr. (9)

}, m

Gleichheit gilt d a n n u n d n u r d a n n , w e n n

u (z) = log [ O ' (z) ((I) (z))-= I + c. (10) Dabei bezeichnet w = ~ (z) eine beliebige k o n / o r m e A b b i l d u n g yon co a u /

I wl

i m F a l l e : r die Z u s a t z b e d i n g u n g r z u er/iillen hat. c ist eine willkiirliche reelle K o n s t a n t e .

Z u m Beweise n e h m e n wir v o r e r s t an, dass co = [Izl < 1] u n d ~0= 0 sei. W i r de- finieren

/(z) = e x p {h (z) + i h* (z)}, ( l l ) wobei h* eine beliebige (bis auf eine a d d i t i v e K o n s t a n t e b e s t i m m t e ) , zu h k o n j u g i e r t h a r m o n i s c h e F u n k t i o n b e d e u t e t . (9) ist g q u i v a l e n t m i t

+a: 1 +~

( f II(e'~ f f II(rd~

- r ~ 0 - ~

Diese Ungleichung verifizieren wir u n t e r A n w e n d u n g einer v o n C a r l e m a n s t a m m e n d e n Schlussweise [4]. W i r setzen

(z) = V/(z) = e x p {(h (z) + i h * (z))/21 = ~ a y z ~.

Y~0

D a n n ist ] (z) = ~ c, z',

wobei c ~ = a o a ~ + a 1 a ~ _ l + . . . + a v a o.

D a r a u s folgt

=2 la, p

7 - 573804. A c t a m a t h e m a t l c a . 97. I m p r i m 6 le 12 a v r i l 1957.

(13)

98 A L F R E D H U B E R 1 + g

0 --~

u n d dr d O

1 +rr

0 - r ~

Ic, I

,~o (14

= o z v + l - : ~ N u n i s t a b e r

(1 - a ) ] c ~ l 2 = (1 - ~ ) ] a o a ~ + a l a ~ _ _ l + ... + a~ ao] =

<=(1-~) (v+ l) (lao]=]a~l= +]al]=la,_ll= +...+]a~12[ao]=)

< ( v + l - ~ ) ( l a o I = l a ~ ] 2 + ] a l ] 2 [ , a ~ _ ~ ] 2 + . . . + l a , 12]aol,). (15)

D a r a u s s c h l i e s s t m a n a,[ 2 (16)

,=o v + 1 - : r 1 - : r (12) f o l g t n u n u n m i t t e l b a r a u s (13), (14) u n d (16).

Z u r I ) i s k u s s i o n d e r G l e i c h h e i t u n t e r s c h e i d e n w i r zwei F g l l e : (I) ~ = o.

A u s d e r G l e i c h h e i t i n (12) - - u n d d a m i t i n (15) - - f o l g t a 0 a~ = a 1 a~-i . . . a, a o

ffir v = 1, 2, 3 . . . D a r a u s s c h l i e s s e n wir, d a s s a,/a~_ 1 = c o n s t . , s o m i t a, = a 0 q~ (v = 1,2, 3 . . . . ), (z) = a0/(1 - qz) u n d l (z) = a~)/(1 - qz) ~. D a o f f e n b a r a 0 = ~ (0) * 0, i s t d i e T r a n s f o r m a -

z

t i o n w = F ( z ) = f l ( z ) d z b i l i n e a r , b i l d e t also ]z[ < 1 a u f d a s I n n e r e e i n e s K r e i s e s i n d e r

zo

w - E b e n e a b . D u r c h g e e i g n e t e W a h l y o n z o k S n n e n w i r e r r e i c h e n , d a s s w = 0 d e s s e n M i t t e l p u n k t ist. D a n n i s t F (z) = C R e (z), w o b e i w = 1F (z) e i n e k o n f o r m e A b b i l d u n g y o n I z I < 1 a u f ] w [ < 1 u n d C e i n e p o s i t i v e K o n s t a n t e b e d e u t e n . D a r a u s f o l g t l (z) = C xF' (z).

M i t h i n

u(z) = h (z) = l o g [~F' ( z ) ] + l o g C, (17) d . h . u l g s s t sich a u f d i e p o s t u l i e r t e A r t d a r s t e l l e n . D i e U m k e h r u n g i s t l e i e h t z u b e - w e i s e n .

( I I ) 0 < ~ < 1 .

A u s (15) folgt, d a s s

]aol21a~]2-t-[al[2]a~_xl2-t - ... + ]a~]~ ]ao12--O

Z U R I S O P E R I M E T R I S C H E N U I ~ G L E I C H U I ~ G A U F G E K R U M M T E I ~ F L X C H E I ~ 99 ffir v = 1 , 2 , 3 . . . D a a o = ~ ( 0 ) = ~ 0 , impliziert dies a ~ = 0 ( v = 1 , 2 , 3 . . . . ). Die F u n k - t i o n e n q, f u n d h sind also k o n s t a n t u n d es gilt

u (z) = cog (0, z) + c = - cr log ]z [ + c. (18) Dies ist die b e h a u p t e t e Darstellung, d e n n im b e t r a c h t e t e n Fall ist (I)(z)= e ~ ~ ( 0 reell).

D e r Beweis tier U m k e h r u n g ist trivial.

Sind die A n n a h m e n co = [Izt < 1] u n d ~ o = 0 n i c h t erffillt, so b e t r a e h t e n wir die F u n k t i o n

P - - 1

u 0 (w) = u ((I)o 1 (w)) - log I (I)o ((I)0 (w)) I 9 (19) Dabei b e d e u t e w = (I) o (z) eine beliebige k o n f o r m e A b b i l d u n g y o n co a u f I w l < 1, welehe im Falle ~ > 0 die B e d i n g u n g dP o (~o) = 0 befriedige. Wie m a n leicht verifiziert, f/~llt u o u n t e r den soeben erledigten Spezialfall. F e r n e r ist offenbar

fe~ld~l = f e='ldwl

~, I w l = l

u.d He ~ He ' udv

co I w l < l

W i t schliessen:

(I) a = 0. (9) ist erfiillt. Gleichheit gilt g e n a u dann, w e n n

Uo (w) = log I ~ ' (w) l + e, (20)

wobei ~F einen beliebigen k o n f o r m e n A u t o m o r p h i s m u s y o n ]w I < 1 bezeichnet. D u r e h Gleiehsetzen der r e c h t e n Seiten y o n (19) u n d (20) linden wir n a c h leiehter U m f o r m u n g

u(z)=logl~W(Oo(Z))l+c

Dies ist ~iquivalent m i t (10).

(II) 0 < ~ < 1 . (9) ist befriedigt. Dns Gleiehheitszeiehen s t e h t darm u n d n u r dann, w e n n

u0 (w) = log I~F ' (w) ('F (w))-~ I + c, (21)

wobei W=ei~ ((9 reell). D u r e h Gleiehsetzen der r e e h t e n Seiten y o n (19) u n d (21) g d a n g t m a n wieder z u r D a r s t e l l u n g (10). D a m i t ist der Hilfssatz bewiesen.

N u n g e h e n wir d a z u tiber, die P u n k t m a s s e /x 2 zu verschmieren. B e t r a e h t e n wit zun/~ehst d e n Fall, da bt2 aus endlich vielen Einzelmassen b e s t e h t : px~r in r P ~ in

~2

(siehe z . B . [6], p. 140] u n d d e m Hilfssatz sehliessen wit

100 A L F R E D H U B E R

co co

= [exp {2 h ( z ) + 2~g(z, ~'d}] v~ d x d y

co

5[ff

=< exp {2 h (z) + 2 ~g (z, ~'d} d x d y

a}

l ( f

< e h(") [dz 9 (22)

= 4 ~ r ( 1 - ~ )

Aus einem naheliegenden Grenzfibergang ersieht man sodann, dass die resultierende Absch/~tzung fiir beliebige Massenverteilungen ~u 2 gfiltig ist. Ferner ist

f Idol = f I dzl (23)

und, trivialerweise, f g (z, ~) d p l (er > 0. (24)

co

Ungleichung (4) folgt nun aus (6), (7), (22), (23) und (24).

Man verifiziert leicht, dass fiir alle Funktionen von der Form (5) in (4) das Gleichheitszeiehen steht. Ferner finder man, dass unter denjenigen Funktionen, ffir welche /~1 identiseh verschwindet und /~. aus einer Einzelmasse besteht, Gleiehheit nur ffir jene der Form (5) gilt. Es bleibt noch iibrig zu zeigen, dass Gleichheit in (4) nur dann mSglich ist, falls #1 (co)= 0 und /~2 in einem P u n k t e konzentriert ist. Die Notwendigkeit der ersten Bedingung ist evident : ju I (w) > 0 bewirkt Ungleichheit in (24) und kann nicht auf Gleichheit in (4) fiihren. Die Behauptung, dass ein Verschmieren der Masse #2 die Gleichheit in (4) verunm6glicht, ist etwas schwieriger zu beweisen.

Wir verziehten auf eine Wiedergabe dieser Absch//tzung, welche sich wiederum auf eine Anwendung der H61derschen Ungleichung stfitzt, und verweisen den Leser s t a r t dessen auf ([8], pp. 579-581), wo eine durchaus analoge (~berlegung ausffihrlieh dar- gestellt wurde.

Auf die fl/~chentheoretisehe Deutung der Ungleichung ( 4 ) w u r d e in [7] hinge- wiesen, insbesondere auf die Tatsaehe, dass dieselbe eine Erweiterung der isoperi- metrischen Ungleichungen von E. F. Beckenbach und T. Rad6 [2] und von F. Fiala [5]

darstellt. In diesem Zusammenhang ist noch eine Arbeit von G. Bol [3] zu erwiihnen, in welcher die Fialasche Ungleichung in anderer Richtung verallgemeinert wurde. Vor allem aber sind die Forsehungen yon A. D. Alexandrow aufzuffihren, dessen neueste

zutr ISOPERIMET!tISCHE~ UNGLEICI-IUNG AUF GEKRUMMTEN FLACHEN 101 i s o p e r i m e t r i s c h e U n g l e i c h u n g ([l], p. 514) die u n s r i g e u m f a s s t . Die in [1], [3] u n d [5]

v e r w e n d e t e n ( g e o m e t r i s c h e n ) M e t h o d e n s i n d s o w o h l v o n e i n a n d e r , als a u c h v o n d e r u n s r i g e n ( f u n k t i o n e n t h e o r e t i s c h e n ) g~nzlich v e r s c h i e d e n .

E s sei h i e r n o c h h e r v o r g e h o b e n , d a s s die v o n C a r l e m a n h e r r f i h r e n d e isoperi- m e t r i s c h e U n g l e i c h u n g fiir Minimalfl/~chen [4] d e n A u s g a n g s p u n k t ffir d i e e r w ~ h n t e n U n t e r s u c h u n g e n b i l d e t e .

H e r r n Prof. Dr. M. Riesz s i n d wir ffir eine w i c h t i g e A n r e g u n g zu h e r z l i c h e m D a n k v e r p f l i c h t e t .

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