1.1 Loi d’une variable aléatoire discrète

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Leçon 264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Dans cette leçon,(Ω,F,P)désigne un espace probabilisé.

1 Définition et premières propriétés

Définition 1. Une variable aléatoire réelle X définie sur Ωest une application X : Ω→Rmesurable, c’est à dire, pour touta6b∈R, on aX⁻¹(]a, b[)∈ F.

Définition 2. Une variable aléatoire (réelle) discrète sur (Ω,F) est une variable aléatoire X telle que X(Ω) est un ensemble réel fini ou dénombrable. On notera X(Ω) ={xk, k∈K}oùK={1, ..., n} ouK=N.

1.1 Loi d’une variable aléatoire discrète

Définition 3. La loi d’une variable aléatoire est la probabilité imagePX=P◦X⁻¹. Décrire la loi deX c’est donc décrireP(X∈A)pour les boréliensAdeR. Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, sa loi est caractérisée par les probabilités atomiques pk =P(X=xk).

Exemple 4. On considère une Urne constituée de n boules numérotées de 1 à n.

On tire au hasard une de ces boules et on noteX la variable aléatoire qui associe le numéro de la boule tirée.X est alors une variable aléatoire discrète telle quepk = ¹_n pour toutk. On dit queX suit une loi uniforme sur{1, ..., n}.

Exemple 5. Soit X une v.a.d, et f : R → R. Alors Y = f(X) est une v.a.d et P(Y =k) =P

l∈f⁻¹({k})P(X=l).

Définition 6. SiX est une v.a.r, la Fonction de répartition deX est l’application : F : R → [0,1]

x → P(X6x) Exemple 7. Si X est à valeur dansZ, alorsP(X 6t) =P

k6btcP(X =k).

Proposition 8. SoitX une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F. (i)F est croissante surR, continue à droite.

(ii) lim

x→−∞F(x) = 0et lim

x→+∞F(x) = 1

(iii) F est continue en x SSI P(X = x) = 0. Dans le cas contraire, on obtient : P(X =x) = lim

y→x⁺F(y)− lim

y→x⁻F(y).

(iv)F caractérise la loi deX.

1.2 Moments

Définition 9. SoitX une variable aléatoire discrète. si la sérieP

|xk|pk converge, on dit queX est d’espérance finie et dans ce cas, on noteE[X] =

+∞

X

k=0

xkpk son espérance.

Exemple 10. SiX suit une loi uniforme sur{1, ..., n}, alorsE[X] = ⁿ⁺¹₂ . Proposition 11. Soient X et Y des v.a.d.

(i)l’espérance est linéaire.

(ii)siX 6Y, alors E[X]6E[Y]

(iii)siX >0 etE[X] = 0, alors X = 0p.s.

(iv)|E[X]|6E[|X|].

Théorème 12(Théorème de transfert). SoitX une v.a.d etf :R→Rune fonction.

La variable aléatoire f(X) est d’espérance finie SSIP

kf(xk)pk converge absolument et dans ce cas,E[f(X)] =

+∞

X

k=0

f(x_k)p_k.

Définition 13. SoitX une v.a.d d’espérance finie telle queX² est d’espérance finie.

On dit alors que X est de variance finie et on appelle variance de X la quantité : V ar(X) =E[X²]−E[X]².

Exemple 14. SiX suit une loi uniforme sur{1, ..., n}, alorsV ar(X) = ⁿ²₁₂⁻¹

Proposition 15 (Inégalité de Markov). SoitX une variable aléatoire positive. Alors pour toutt >0,P(X >t)6^E^[X]t .

Corollaire 16(Inégalité de Bienaymé Tchebychev). SoitX une v.a.r, alors pour tout t >0,P(|X−E[X]|>t)6 ^{V ar(X)}t² .

1.3 Indépendance

Définition 17. Soit(Xn)_n∈N une suite de v.a.r (avecN fini ou dénombrable), on dit qu’elles sont indépendantes si pour toute partie finieI⊂Net pour toute suite(Bi)_i∈I de boréliens, on a :

1

(2)

P

\

i∈I

{Xi ∈Bi}

!

=Y

i∈I

P(X∈Bi).

Proposition 18. Soit (Xn)_n∈N une famille de v.a.d (avec N fini ou dénombrable), alors elles sont indépendantes SSI pour toute partie finie I ⊂ N et pour tout xi ∈ Xi(Ω), on a :

P

\

i∈I

{Xi=xi}

!

=Y

i∈I

P(X=xi).

Exemple 19. SiX et Y sont indépendantes à valeurs dansZ, alors pour toutk∈Z, on aP(X+Y =k) =X

s∈Z

P(X=s)P(Y =k−s)

2 Lois Classiques

Définition 20. On considère une expérience aléatoire n’ayant que deux issues pos- sibles appelées succès et échec (épreuve de Bernoulli). Soit 0 < p <1, on associe au succès la probabilitépet à l’échec la probabilité1−p. On noteX la variable aléatoire qui vaut1 en cas de succès et0 sinon. On dit alors queX suit la loi de Bernoulli de paramètrepet on écritX B(p).

Exemple 21. SoitA un événement deΩ, alors la v.a1A suit la loi de Bernoulli de paramètreP(A).

Application 22. Soientu₁, ..., u_d∈R^d, muni de la structure euclidienne, des vecteurs de norme au plus 1. Soientp₁, ..., p_d∈[0,1]etω=Pd

i=1p_iu_i. Alors il existe₁, ..., _d∈ {0,1} tels que

ω−Pd

i=1iui

6

√ d 2 .

Définition 23. On modélise une expérience consistant à la réalisation denépreuves de Bernoulli de même loiB(p). On noteXle nombre de succès. (Par exemple on lance nfois une pièce ayant pour probabilitépde tomber sur pile (succès)).X peut prendre les valeurs 1, ..., n et P(X = k) = ⁿ_k

p^k(1−p)^n−k. On dit alors que X suit la loi Binomiale de paramètren, pet on noteX B(n, p).

Application 24 (DEV 1). Soitf ∈ C⁰([0,1]), on lui associe le n-ème polynôme de Bernstein :Bn(f)(x) =Pn

k=0 n k

f ^k_n

x^k(1−x)^n−k. Alors on a : (i)kBn(f)−fk∞6Cω_f

√1 n

, oùω_f est le module de continuité de f.

(ii)Il existe une fonction lipschitziennef telle quekB_n(f)−fk_∞>C₀ω(^√¹_n).

Définition 25. On considère la même succession d’épreuves de Bernoulli qu’avant, cette fois-ci, on se donne une infinité dénombrable de tirage, et on note X le numéro du premier succès obtenu.X est alors une v.a.d à valeurs dansN^∗et pour toutkdans N^∗,P(X=k) = (1−p)^k−1p. On dit alors queX suit la loi géométrique de paramètre pet on noteX G(p).

Définition 26. Soitλ >0. On dit qu’une v.a.dXsuit une loi de Poisson de paramètre λsiX(Ω) =Net si pour tout k∈N,P(X =k) =e^{−λ λ}_k!^k. On noteX P(λ).

Proposition 27. Soit(pn)_n∈Nune suite de réels tels que0< pn<1 pour toutn∈N et vérifiant lim

n→+∞npn = λ. On note Xn une v.a de loi B(n, pn). Alors pour tout k∈N, lim

n→∞P(Xn=k) =e^−λλ^k k!.

3 Caractérisation de loi

3.1 Étude des variables à valeurs dans N

Définition 28. SoitX une v.a à valeurs dansN, on définit la fonction génératrice de X parG(t) =GX(t) =P+∞

k=0pkt^k.

Remarque 29. GX(t)vaut égalementE[t^X] lorsque la série converge absolument.

Théorème 30. (i) Le rayon de convergence de G vaut au moins 1, et G est bien défini sur[−1,1], de classeC^∞ sur ]−1,1[.

(ii) G(1) = 1 et les dérivées de G sont positives sur [0,1] (en particulier, G y est croissante et convexe). De plus,pn=^G⁽ⁿ⁾_n!⁽⁰⁾ pour tout entiern∈N.

(iii)La fonction génératrice GdeX caractérise la loi deX.

(iv)X est d’espérance finie SSIGest dérivable à gauche en 1 et dans ce cas,E[X] = G⁰(1).

(v)X est de variance finie SSIGest deux fois dérivable à gauche en 1 et dans ce cas, V ar(X) =G⁰⁰(1) +G⁰(1)−G⁰(1)².

Proposition 31. Si X et Y sont deux v.a indépendantes à valeurs dans N, alors G_X+Y =G_XG_Y.

Application 32. On ne peut pas truquer deux dés de sorte que la somme des 2 dés suive une loi uniforme sur {2, ...,12}.

Corollaire 33. Soientλetµdeux réels strictement positifs,X P(λ)etY P(µ) avec X indépendant deY, alors X+Y P(λ+µ).

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Théorème 34. Soit(Xk)k∈Nune suite de v.a indépendantes et de même loi à valeurs dansN. SoitN une v.a dans Nindépendante des Xi. On note S =PN

k=0Xk, alors : G_S=G_N ◦G_X₁.

Application 35. SiN P(λ) etX₁ B(p), alorsS P(λp).

Application 36(Processus de Galton WatsonDEV 2). On se donneX une variable aléatoire surNet(X_kⁿ)une suite double de v.a indépendantes et de même loi queX.

On pose

Z0 = 1 Zn+1 = PZn

k=0X_kⁿ

On suppose que lesX_kⁿ ont une espérance finie et on notem=E[X]. On noteG(t) = G_X(t) =

+∞

X

k=0

p_kt^k, avec p₀ > 0; 0 < p₀ +p₁ < 1. On s’intéresse à la probabilité d’extinction, pour cela, on posex_n =P(Z_n= 0). On a alors :

(i)Si on noteG_n=G_Z_n, on aG_n=G◦...◦G(n−fois).

(ii) (x_n)_n converge versαqui est le plus petit point fixe dans[0,1]deG.

(iii)α= 1 sim61.

(iv) 0< α <1sim >1.

Application 37 (Division cellulaire). On prend X qui est la loi P(X = 2) = p = 1−P(X = 0). Alors on a avec les notations précédentes : α= min

1,^1−p_p

3.2 Étude des variables à valeurs dans Z

Définition 38. Si X est une v.a.d à valeur dans Z, sa fonction caractéristique est φX(t) =E[e^itX] :=E[cos(tX)] +iE[sin(tX)].

Exemple 39. Soitα >0. Alorsφ_X est α−périodique SSIP(X ∈ ^2π_αZ) = 1.

Remarque 40. SiX est une v.a.d à valeurs dansN, alorsφ_X(t) =G_X(e^it)∀t∈[−1,1].

Proposition 41. Si X est un v.a.d à valeur dans Z, alors pour tout n ∈ Z on a : P(X=n) = _2π¹ R2π

0 φX(t)e^−int.

Corollaire 42. φ_X caractérise la loi deX.

Définition 43. On se donne une suite(X_k)_k∈_N de v.a indépendantes à valeurs dans {−1,1} telles que P(Xk = 1) = p. Pour tout n ∈ N, on pose Sn = Pn

k=0Xk. Ceci définit une suite de v.a.d (Sn)n à valeurs dans Z. Cette suite est appelée marche aléatoire simple surZ.

Exemple 44. Soit (Xk)k∈N une suite de v.a indépendantes et de même loi, avec P(Xk = 1) =P(Xk =−1) = ¹₂, et(Sn)n définie comme précédemment. Alors : P(S2n= 0) = _π²W2n oùW2ndésigne l’intégrale de WallisR^π₂

0 cos(θ)²ⁿdθ. On en déduit queP(S_2n= 0)∼ ^√¹_πn.

4 Convergence en loi

Définition 45. Soit(X_n)_n∈_N une suite de v.a.r sur(Ω_n,F_n,Pn), etX une v.a.r sur (Ω,F,P), on dit queX_n tend en loi versX si lim

n→∞F_X_n(t) =F_X(t)en tout pointtoù F_X est continue. On noteX_n−→^L X

Exemple 46. Soit(Xn)_n∈_N^∗ une suite de v.a de loiG(_n^p)oùp >0. Alors ¹_nXn

−→L X avecX >0 et FX(t) = 1−e^−pt ∀t>0 (On dit alors queX suit la loi exponentielle de paramètrep)

Théorème 47. Soit (Xn)_n∈N une suite de v.a.d et X une v.a.d qui sont à valeurs dans un ensemble discret, alors :

X_n−→^L X ⇐⇒ P(X_n=x_k)−−−−−→

n→+∞ P(X=x_k)pour toutk∈K.

⇐⇒ GX_n(t)−−−−−→

n→+∞ GX(t) pour toutt∈[0,1[ (siX est à valeur dans N).

Application 48 (Théorème des événements rares). Soit (Xn,k)_n,k∈_N une suite de variables aléatoires indépendantes de loi B(pn,k), où pn,k ∈]0,1[. On note Sn = Pn

k=1Xn,k et on suppose quePn

k=0pn,k −−−−−→

n→+∞ λet que max

16k6npn,k−−−−−→

n→+∞ 0. Alors Sn

−→ PL (λ).

Théorème 49 (Théorème limite central). Soit(Xn)n∈N une suite de variables aléa- toires indépendantes, de même loi, et admettant une variance finie σ²>0. On note m=E[X₁] et on poseS_n =X₁+...+X_n. Alors on a : ^Sⁿ_σ^−nm^√_n −→ N^L (0,1).

Exemple 50. Si Xn B(n, p)alors √^Xⁿ^−np

np(1−p)

−→ NL (0,1). SiYn P(na)oùa >0, alors ^Yⁿ^√^−na_na −→ N^L (0,1).

Application 51 (Formule de Stirling). n!∼√

2πn ⁿ_en

.

3

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Table1 – Lois classiques

Loi Espérance Variance Fonction génératrice B(p) p p(1−p) 1−p+ptsurR B(n, p) np np(1−p) (1−p+pt)ⁿ surR

G(p) ¹_p ^1−p_p2

pt

1−(1−p)t surh

−_1−p¹ ,_1−p¹ h

P(λ) λ λ e^λ(t−1)surR

Développements

1. Polynômes de Bernstein[24]

2. Processus de Galton Watson[36] &[34]

Références

— [A]W.Appel,Probabilités pour les nom-probabilistes (2^e édition).

— [B]P.Barbeet M.Ledoux,Probabilité.

— [G]O.Garet etA.Kurtzmann, De l’intégration aux probabilités.

— [Z]CI.Zuilyet H.Queffélec,Éléments d’analyse (2^eédition).

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